MÉTODOS MATEMÁTICOS DE LA ECONOMÍA

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1 UNIVERSIDAD DE VALLADOLID DEPARTAMENTO DE ECONOMÍA APLICADA SUBSECCIÓN DE MATEMÁTICAS MÉTODOS MATEMÁTICOS DE LA ECONOMÍA Economía Derecho Administración y Dirección de Empresas RELACIÓN DE PROBLEMAS DE CONVEXIDAD Y PROGRAMACIÓN MATEMÁTICA Curso

2 Convexidad 2 Convexidad 1. Justifica si son o no convexos los siguientes conjuntos: (a) A 1 = { x IR 3 x 1 + x 2 + x 3 5, x 2 x 3 > 2}. (b) A 2 = { x IR 5 x 1 + 3x 2 x 3 + x 5 < 2, x 1 + x 2 = 7}. (c) A 3 = { x IR n A x = b}, donde A M m n (IR) y b IR m (Conjunto de soluciones un sistema de ecuaciones lineales). 2. Justifica por qué no es convexo ninguno de los siguientes subconjuntos de IR 2. Obtén gráficamente la envolvente convexa de cada uno de ellos y da su expresión analítica. A 1 = {(x, y) IR 2 x 2 y 2 }. A 2 = {(x, y) IR 2 x 0, y 0, x 2 + y 2 1}. A 3 = {(x, y) IR 2 x 0, y 0, x y 1}. A 4 = {(x, y) IR 2 x 0, y 0, (x + y 1) (x y 1) = 0}. 3. Determina si cada uno de los siguientes subconjuntos: A 1 = {x IR x 2 > 1} A 2 = {(x, y) IR 2 x > 0, y > 0, x + y < 1} A 3 = {(x, y) IR 2 y = 2} A 4 = {(x, y) IR 2 x 0, y 0, 2x + 3y = 6} A 5 = {(x, y, z) IR 3 z = 3x + 2y 1} es o no un (a) conjunto convexo (b) politopo (c) hiperplano (d) poliedro. 4. Encuentra los vértices del siguiente politopo y determina si es un poliedro. A = {(x 1, x 2 ) IR 2 x 1 + 2x 2 3, x 1 2x 2 2, x 1 x 2 1, x 2 1}. 5. Se consideran los siguientes subconjuntos de IR 2 : A 1 = {(x, y) IR 2 1 x 2 + y 2 4} A 2 = {(x, y) IR 2 0 x y 1} A 3 = {(x, y) IR 2 0 y x 2, 0 x 1}. Represéntalos gráficamente, indica si son compactos y/o convexos y halla su envolvente convexa gráfica y analíticamente. 6. Se consideran los siguientes conjuntos del plano: A = {(x, y) R 2 x 0, y 0, y 1 x 2 } y B = {(x, y) R 2 x 0, y 0, y 1 x 2, x + y 2}. (a) Dibuja A, B, A B y A B y justifica si son o no convexos. (b) Halla de forma gráfica y analítica las envolventes convexas de A, B, A B y A B.

3 Convexidad 3 7. Sean C IR n un conjunto convexo, f 1, f 2 : C IR y g : IR IR. Demuestra las siguientes propiedades: (a) Si f 1 es convexa y f 2 es cóncava, entonces f 1 f 2 es convexa. (b) Si f 1 y f 2 son convexas, entonces max(f 1, f 2 ) es convexa. (c) Si f 1 es convexa y g es convexa y creciente, entonces g f 1 es convexa. 8. Justifica si es o no posible que exista una función f : IR IR convexa y de clase C 1 tal que f(0) = 1, f(1) = 6 y f (0) = 6. (Indicación: utiliza la caracterización de funciones convexas de clase C 1 ). 9. Sea f : IR IR de clase C 2, no negativa (f(x) 0), creciente (f (x) 0) y convexa. Demuestra que las siguientes funciones son convexas: (a) f 2. (b) 2 f. (c) f f. 10. Estudia la convexidad o concavidad de las siguientes funciones: (a) f 1 (x, y) = x 3 + y 3 + 2x 2 + 4y (b) f 2 (x, y, z) = x 2 y 2 z 2 + x + 2y + yz. (c) f 3 (x, y) = x 2 + y 2. (d) f 4 (x, y, z) = x 2 + y Estudia si son o no convexos los siguientes conjuntos: (a) A 1 = { (x, y) IR 2 y x 2, x 2 + y 5}. (b) A 2 = {(x, y, z) IR 3 z x 2 + y 2 } (c) A 3 = { (x, y, z) IR 3 x 2 + z 2 1, x 2 + 2y 2 4}. 12. Se considera la función f : D IR, con D = {(x, y) IR 2 x > 0, y > 0}, definida por f(x, y) = Ax α y β, con A > 0 y α, β (0, 1). Demuestra que D es convexo y si α + β < 1, entonces f es estrictamente cóncava. 13. Sea f : IR n IR m y C IR n un conjunto convexo. Estudia la convexidad de f(c) en los siguientes casos: (a) f es una aplicación lineal. (b) f es una función continua. 14. Considera las cinco proposiciones siguientes relativas a f : D IR, con D IR n abierto, convexo y f C 2 (D). (a) Hf(x) es definida positiva para todo x D. (b) f es convexa. (c) El epígrafe E(f) = {(x, y) IR n+1 x D, y f(x)} es convexo. (d) El α-corte inferior N α = {x D f(x) α} es convexo para todo α IR. (e) f es cuasiconvexa.

4 Programación clásica sin restricciones 4 Señala con una V el cuadro correspondiente si la proposición de la fila (x) implica la de la columna (y), y con una F en caso contrario. Por ejemplo, como (x) (x) la diagonal principal ha sido marcada con V. a b c d e a V b V c V d V e V 15. Se considera la función f : D IR definida por f(x, y) = ln(x 1) + ln(y 1). (a) Obtén gráfica y analíticamente su dominio D IR 2 y justifica que se trata de un conjunto convexo. (b) Demuestra que f es estrictamente cóncava en D. (c) Deduce que los siguientes conjuntos son convexos: N = {(x, y) D f(x, y) 0}, H = {(x, y, z) D IR f(x, y) z}. 16. Dada la función de utilidad U(x, y) = 1 3 ln x ln y, x, y > 0: (a) Demuestra que U es estrictamente cóncava en su dominio. (b) Comprueba que U no tiene máximos globales. Contradice este hecho el teorema local global? (c) Justifica que las distribuciones de bienes (x, y) que reportan utilidad no negativa determinan un conjunto convexo. 17. Sean C IR convexo y abierto, f C 1 (C) y x 0 S. Se define la función F : C IR por F (x) = f(x) f (x 0 )x. Prueba que si f es convexa, entonces x 0 es un mínimo global de F en C. Programación clásica sin restricciones 1. Halla los extremos de las siguientes funciones: (a) f(x, y) = 4x 3 + 6xy x 2 + 3y (b) f(x, y, z) = 4x 2 + 8y 2 + yz + x + y + z. (c) f(x, y) = x 2 y Dados n números reales a 1,..., a n, halla el número x que mejor los aproxima al minimizar d(x) = (x a 1 ) (x a n ) 2. Qué nombre recibe este número? 3. Demuestra que x 2 + y 2 + z 2 xy + xz + yz. (Indicación: estudia los mínimos de la función auxiliar f(x, y, z) = x 2 + y 2 + z 2 xy xz yz). 4. Determina las cantidades de los bienes q 1, q 2 producidos por una empresa que maximiza beneficios, si C(q 1, q 2 ) = q q 1 q 2 + 5q es su función de costes, y p 1 = 12, p 2 = 36 los precios unitarios de venta de los dos productos.

5 Programación clásica con restricciones de igualdad 5 5. Sean I(x) y C(x) las funciones de ingresos y costes generadas por un bien x, ambas de clase C 1. Las funciones de ingresos y costes marginales vienen dadas por I (x) y C (x), respectivamente. (a) Demuestra que si I(x) es cóncava y C(x) convexa, entonces los beneficios son máximos en aquel valor x 0 para el que coincidan el ingreso marginal y el coste marginal. (b) Aplica lo anterior para encontrar el valor de x que maximiza la función de beneficios cuando I(x) = 10 x y C(x) = 5x Una explotación maderera realiza una plantación de árboles jóvenes cuya anchura a y altura A en función del tiempo medido en años, vienen dadas por las funciones a(t) = e t (cm.), A(t) = e 0.1t2 (m.). Se estima que el instante adecuado de tala es el momento en que mayor sea el cociente entre la anchura y la altura. Calcula dicho instante y las dimensiones del árbol. 7. Un comerciante de vinos posee una cantidad de toneles que puede vender ahora o almacenar durante un tiempo y entonces vender por un valor superior. El valor creciente del vino en miles de euros, en función del tiempo, viene dado por la expresión v(t) = e t, donde t es el número de meses transcurridos. (a) Si el tanto de interés en el mercado es i 12 = 10% mensual efectivo, calcula la función v a (t) que expresa el valor actualizado del vino en t = 0. (b) Calcula el instante óptimo de venta del vino. (Indicación: instante que maximiza v a ). Programación clásica con restricciones de igualdad 1. Resuelve por el método gráfico el programa opt (x 2) 2 + y 2 s.a: x 2 + y 2 = La función de utilidad conjunta reportada por un par de bienes (x, y) viene dada por U(x, y) = xy. Cada unidad del primer bien cuesta 2 u.m. y cada unidad del segundo bien 1 u.m. Sabiendo que se dispone de un presupuesto de 4 u.m., halla por el método gráfico la combinación de productos que maximiza la utilidad. 3. Resuelve los siguientes programas matemáticos: (a) opt xy s.a: 2x + y = 4. (b) opt x 2 + y 2 + z 2 s.a: y x = 2, z = y x. (c) opt xy s.a: x 2 + y 2 = 1. (d) opt e (x2 +2y 2 ) s.a: 2x + 3y = Comprueba que el punto (1, 0, 0) es solución del programa min x + y + x 2 + y 2 + z 2 s.a: x 2 + y 2 = 1, x = 1 a pesar de no verificar la condición de Lagrange. Cuál es la razón de esta aparente contradicción? 5. Se considera el programa opt. x + y s. a: x 2 + y 2 = 2 (a) Es continua la función objetivo? Es cóncava/convexa? Estrictamente? Es compacto el conjunto factible? Es convexo? Sin hacer operaciones, justifica por qué el problema tiene solución, tanto en el caso de minimizar como en el de maximizar. (b) Encuentra las soluciones del programa y justifica su optimalidad. (c) Existe algún punto de la circunferencia de ecuación x 2 + y 2 = 2 cuya suma de coordenadas sea mayor que 2? Razona la respuesta.

6 Programación clásica con restricciones de igualdad 6 6. Dadas las funciones f, g : IR 2 IR de clase C 1, se consideran los problemas (I) max f(x, y) (II) max f(x, y) s. a: g(x, y) = 0 Si (x 0, y 0 ) es solución de los problemas (I) y (II) simultáneamente y es un punto regular de (II) (es decir, g(x 0, y 0 ) (0, 0)), qué valor toma el multiplicador asociado en el problema (II)? Razona la respuesta. 7. Dadas dos funciones f, g : IR 2 IR de clase C 1, se considera el problema max f(x, y) s.a: g(x, y) = 0. (a) Plantea las condiciones de Lagrange que debe cumplir todo punto (x 0, y 0 ) regular que sea solución del problema anterior. (b) Justifica que en cualquier solución regular (x 0, y 0 ) del problema enunciado se debe verificar f y (x 0, y 0 ) g x (x 0, y 0 ) = f x (x 0, y 0 ) g y (x 0, y 0 ). (Indicación: despeja el multiplicador que aparece en las condiciones de Lagrange). 8. Se considera la función definida por f(x, y) = e (x 1) x + (y 2) 2. (a) Demuestra que se trata de una función estrictamente convexa. Cuántos puntos críticos podrá tener a lo sumo? Calcúlalos y justifica si son máximos/mínimos locales/globales. Puede esta función tener otros máximos/mínimos que no sean puntos críticos? Razona las respuestas. (b) Verifica que f(x, y) 0 para cualquier par (x, y) IR 2. (c) Justifica que el punto (1, 2) es solución única del programa con restricciones de igualdad: min f(x, y) s.a: y = x Una empresa fabrica x e y unidades de dos productos que luego comercializa a precios unitarios de 50 y 100 u.m. respectivamente. Los costes que ello le supone vienen dados por C(x, y) = x 2 + 2y 2. (a) Estudia la convexidad/concavidad (estricta o no) de la función de beneficios de la empresa. (b) Si no existiese ningún tipo de restricción, encuentra los valores de x e y que maximizarían los beneficios de la empresa. (c) En realidad, restricciones tecnológicas sólo permiten que la empresa fabrique exactamente 41 unidades entre ambos productos. Cuál es en tal caso la forma óptima de diversificar la producción para maximizar sus beneficios? 10. La producción de trigo que se obtiene por unidad de superficie depende de la cantidad de abono x y de simiente y, según la relación P (x, y) = x + 10y x 2 2y 2. (a) Encuentra las cantidades x, y que maximizan la producción en ausencia de cualquier tipo de restricciones sobre las variables. (b) Si los precios unitarios del abono y de la simiente son 10 y 20 unidades monetarias respectivamente y se dispone de 60 u.m. que se agotarán en la compra de ambos, cuáles serían las cantidades de abono y simiente que maximizan la producción bajo esta restricción presupuestaria? (c) Sería conveniente aumentar el presupuesto en 1 u.m. si el precio unitario del trigo es de 9 u.m.? Razona la respuesta.

7 Programación con restricciones de desigualdad Se considera la función u(x, y) = 1 2 ln x + 1 ln(10 y). 2 (a) Calcula el dominio de u (subconjunto de puntos (x, y) IR 2 donde u está definida). Represéntalo gráficamente. Es convexo? Y compacto? Justifica las respuestas. (b) Demuestra que: i. u es estrictamente cóncava en su dominio, ii. u no tiene máximos globales. Contradicen estos hechos el Teorema local-global? (c) Se supone que la función de utilidad de un agente económico que consume x unidades de un bien y trabaja durante y unidades de tiempo viene dada por u(x, y). Además, el consumo depende del trabajo realizado conforme a la restricción y x = 2. Bajo tales supuestos, encuentra los valores (x, y) que maximizan la utilidad del agente. Programación con restricciones de desigualdad 1. Encuentra los óptimos de los siguientes programas: { 4x + 3y 2 (a) opt x 2 xy + y 2 s.a: x 0, y 0. x 2 + y 9 (b) max 2x 2 + y 2 s.a: x + y 2 x 0, y Se considera la función f : (0, ) (0, ) IR definida por f(x, y) = x ln x + y ln y. (a) Demuestra que se trata de una función estrictamente convexa. Indica cuántos puntos críticos podrá tener a lo sumo. Pueden ser puntos de silla? Calcúlalos y estudia su optimalidad. (b) Resuelve el programa con restricciones de desigualdad: min f(x, y) s.a: { x + y 1 x 1/4, y 1/4. Indicación: Dibuja en un mismo gráfico: El dominio de f y la localización de su(s) óptimo(s) irrestricto(s), indicando su carácter. El conjunto factible del programa con restricciones de desigualdad y la localización de su(s) mínimo(s) condicionado(s). 3. Se considera el problema (P) max ( x 1 2) 2 + y 2 s.a: { 0 x 1 0 y 1. (a) Estudia la continuidad y concavidad/convexidad de la función objetivo, así como la compacidad y convexidad del conjunto factible. Indica si se puede asegurar a priori la existencia de solucion(es). Caso de existir, dónde deben encontrarse necesariamente? (b) Encuentra los máximos de (P). (c) Compruebe que el punto (x, y) = (0, 0) verifica las condiciones de Kuhn Tucker de (P) sin ser un máximo. Hay alguna contradicción en ello? Razona la respuesta.

8 Programación con restricciones de desigualdad 8 4. Se consideran los programas no lineales: (I) opt f(x, y) s. a: x + y = 4 (II) opt f(x, y) s. a: x + y = 4 x 0, y 0 (III) opt f(x, y) s. a: x + y 4 x 0, y 0 donde f(x, y) = 20 (x 1) 2 y 2 2y. Comprueba que (I) y (II) tienen los mismos máximos, y (II) y (III) los mismos mínimos. 5. Dadas las funciones f, g : IR 2 IR de clase C 1, cóncava y convexa respectivamente, se consideran los problemas (I) max f(x, y) s. a: g(x, y) = 0 (II) max f(x, y) s. a: g(x, y) 0, x 0, y 0 (a) Justifica que (II) es un programa convexo. (b) Demuestra que si (x, y ) es solución de (I) con x 0, y 0 y multiplicador de Lagrange λ 0, entonces también es solución de (II) con el mismo valor para el multiplicador de Kuhn-Tucker asociado.(se suponen satisfechas las condiciones de regularidad para ambos problemas). 6. Se considera el programa max 3x + 4y s.a: x 2 + y x 0, y 0. (a) Estudia el carácter de la función objetivo (continua, cóncava/convexa, estrictamente o no) y del conjunto factible (compacto, convexo) del problema. Puede garantizarse a priori la existencia de algún máximo? Local, global? Único? Se trata de un programa convexo? (b) Resuelve el problema planteado. (c) Existe algún punto del conjunto factible en el que la función objetivo tome un valor superior a 50? Razona la respuesta. 7. Una empresa fabrica cantidades x e y de 2 bienes. Los precios unitarios de los bienes son 70 y 100 u.m., respectivamente, y los costes de producir los mismos vienen dados por la función C(x, y) = x 2 + 2y 2. Se sabe que la capacidad de producción de la empresa no le permite fabricar más de 30 unidades de ambos bienes. (a) Plantea el problema de maximizar los beneficios bajo las condiciones enunciadas. problema convexo? Se puede asegurar la existencia de solución? Y su unicidad? Es un (b) Escribe las condiciones de Kuhn-Tucker del problema. Serán máximos globales del problema los puntos que verifican dichas condiciones? (c) Halla la solución del problema. (d) Cuál sería la solución del problema, si por restricciones tecnológicas la empresa debiera fabricar exactamente 30 unidades de ambos bienes?

9 Programación lineal 9 8. Un padre dispone de un capital de 4 millones de euros que puede dejar en herencia total o parcialmente a sus dos hijos. Por ley, la suma de las partes x 1 y x 2 (en millones de euros), no será 1 menor de 1 millón de euros y los impuestos de sucesión son exi, i = 1, 2, para cada hijo (a) Plantea el problema de maximizar y minimizar la función de impuestos sucesorios totales con los supuestos mencionados. Estudia el caracter de la función objetivo y del conjunto factible. (b) Por qué se puede asegurar que la distribución de herencia x 1 = x 2 = 2 no es la que paga más impuestos? (c) Por qué se puede asegurar que las distribuciones de herencia x 1 = 1, x 2 = 0 y x 1 = 0, x 2 = 1 no son las que pagan menos impuestos? (d) Calcula efectivamente las distribuciones de herencia que minimizan y maximizan la funcion de impuestos sucesorios totales con las restricciones expuestas en el apartado (a). 9. Un agente económico que desea vender un nuevo producto ha calculado que con unos costes de x millones de euros en desarrollo e y millones de euros en promoción obtendría unos ingresos de millones de euros. 32x x y y+4 (a) Estudia la convexidad/concavidad (estricta o no) de la función de beneficios en el primer cuadrante. (b) Si el agente dispusiera de un fondo ilimitado para invertir, encuentra los valores de x e y que maximizarían sus beneficios. (c) En realidad, el agente no puede disponer de más de 8 millones de euros para invertir en su producto. Cuál es en tal caso la forma óptima de diversificar en desarrollo y promoción para maximizar beneficios? 10. Sea el programa max 1 x 2 y 2 s. a: x + y 1 x 0, y 0. (a) Estudia el carácter de la función objetivo y del conjunto factible. Puede garantizarse a priori la existencia de solución? Y la unicidad? (b) Resuélvelo. (c) Comprueba que la solución encontrada en el apartado (b) no es solución del correspondiente problema irrestricto. Programación lineal 1. Una empresa editorial va a lanzar al mercado tres tipos de libro, con precios de coste unitarios de 10, 15 y 20 euros, y precios de venta unitarios de 15, 20 y 35 euros, respectivamente. La capacidad de producción no puede superar un total de ejemplares y tampoco puede exceder los 2000 ejemplares de los libros más caros. Determina cuál es el máximo beneficio que puede conseguir la empresa y la(s) forma(s) de lograrlo. 2. Dado el problema de programación lineal (P) max ax 1 + bx 2 s.a: x 1 + 2x 2 6 2x 1 + x 2 6 x 1 0, x 2 0. Qué valores deben tomar a y b para que (3, 0) sea la única solución del problema?

10 Programación lineal Se considera el problema lineal (P) min x 1 x 2 s.a: x 1 2x 2 4 x 1 2x 2 8 2x 1 + x 2 6 x 1 0, x 2 0. (a) Resuelve (P). (b) Plantea (D), el problema dual de (P). (c) Halla la solución de (D) mediante las condiciones de holgura complementaria. 4. Dado a IR, se considera el problema de programación lineal 3x 1 + x 2 3 x x 2 (P) max 4x 1 + ax 2 s.a: 4x 1 x x 1 0, x 2 0. (a) Expresa (P) en forma canónica y obtén su dual (D). (b) Justifica que ambos problemas, (P) y (D), tienen solución. (c) Determina los valores de a para los cuales (2, 0) es solución única de (P) y encuentra la solución de (D) correspondiente. 5. Una heladería puede elaborar dos tipos de horchata, una normal y otra baja en calorías. Su producción total diaria se encuentra entre los 100 y los 200 litros. Además, la empresa no desea producir más de 100 litros de horchata baja en calorías que de horchata normal. Analiza cuál ha de ser la producción de ambos tipos de horchata que maximice los beneficios de la empresa, en función de que los beneficios unitarios de cada tipo de horchata sean iguales o distintos. 6. (Sydsaeter y Hammond, pp. 564 y siguientes). Un pastelero tiene 150 Kg. de harina, 22 Kg. de azúcar y 27.5 Kg. de mantequilla para hacer dos tipos de pasteles. (a) Se necesitan 3 Kg. de harina, 1 Kg. de azúcar y 1 Kg. de mantequilla para hacer una docena de pasteles de tipo A, mientras que las cantidades para una docena de tipo B son, respectivamente, 6 Kg., 0.5 Kg. y 1 Kg. Supongamos que los beneficios que se obtienen por la venta de una docena de pasteles del tipo A es 20 unidades monetarias y por una docena de tipo B es 30 unidades monetarias. Halla el número de docenas de cada tipo de pastel que debe hacer para maximizar el beneficio total. (b) El pastelero se cansa de su negocio y quiere poner un precio λ 1 por Kg. de harina, λ 2 por Kg. de azúcar y λ 3 por cada Kg. de mantequilla, de manera que los precios asignados a los ingredientes sean los mínimos tales que no le sea más rentable continuar con el negocio de la venta de pasteles. Comprueba que esto conduce al problema dual del planteado en el apartado anterior y que el pastelero gana lo mismo que antes.

11 Programación lineal De un par de problemas lineales Primal (P) / Dual (D) asociados, ambos de dos variables, se conocen los siguientes datos: (P) es un problema canónico a maximizar, y su conjunto factible tiene por vértices: (0, 0), (0, 3), (2, 2) y (3, 0). Los dos últimos puntos citados son máximos de (P). El valor mínimo alcanzado por la función objetivo de (D) es 12. (a) Encuentra razonadamente los planteamientos completos de (P) y (D). (b) Resuelve (D). (c) Tiene (P) algún máximo más, aparte de los proporcionados como datos del problema? Indica cuáles, si es así. 8. Una consulta privada está formada por un médico especialista y un analista de laboratorio. Los pacientes acuden para su reconocimiento en visitas rutinarias: requieren 40 minutos de exámenes por parte del especialista y 20 minutos de laboratorio por parte del analista; y de chequeo: precisan 20 minutos de exámenes del especialista y 60 minutos de laboratorio del analista. El especialista dispone a lo sumo de 200 minutos al día para sus exámenes médicos, mientras que el analista tiene libre el laboratorio 300 minutos diarios como mucho, en los que ha de realizar las pruebas clínicas. (a) Si la consulta gana 50 euros por cada visita rutinaria y 90 euros por cada visita de chequeo, cual sería la manera óptima de distribuir el número de visitas diarias en rutinarias (x) y de chequeo (y) para maximizar ingresos? (b) Si el especialista y el analista programaran exactamente la distribución de visitas diarias hallada en el apartado anterior, desperdiciarían en parte el tiempo de trabajo diario del que disponen, o bien lo aprovecharían por completo? Razona la respuesta.

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