Elementos de Probabilidad y Estadística Segundo de Economía Examen del 26 de junio de 2006 DURACIÓN: 2 horas

Transcripción

1 Elementos de Probabilidad y Estadística Segundo de Economía Examen del 6 de junio de 6 DURACIÓN: horas. a) Se realizan lanzamientos de un dado regular. i) Calcular la probabilidad de obtener exactamente tres seises. ii) Si sabemos que se han obtenido exactamente tres seises, cuál es la probabilidad de que haya sido en los tres primeros lanzamientos? b) Un dado regular se lanza repetidas veces hasta que aparece el mismo resultado en dos lanzamientos consecutivos. Sea X el número de lanzamientos necesario para ello. Determinar el valor de P(X = ) y P(X = ).. Una empresa fabrica dos productos: A y B, cuyos beneficios X e Y son variables aleatorias medidas en millones de euros que se distribuyen conjuntamente según la función de densidad: f(x, y) = si x + y, x, y en otro caso a) Calcula la función de densidad marginal, la media y la varianza de la variable aleatoria X. b) Sea Z la variable aleatoria correspondiente a los beneficios del producto B condicionados a que los beneficios del producto A sean exactamente de medio millón de euros. Calcula la función de densidad de Z. c) Están X e Y correlacionadas? Son independientes? d) Cuál es la probabilidad de que los beneficios del producto A sean superiores a los de B? e) Calcula la función de densidad de la variable W = (X + ).. Los ingresos en euros, por ventas mensuales de un determinado comercio siguen una distribución normal de media y varianza 9. a) Calcular la probabilidad de que los ingresos en un mes sean menores a 95 euros. b) Si se sabe que los ingresos en un mes han sido menores a euros, calcular la probabilidad de que los ingresos en dicho mes hayan sido menores a 95 euros.

2 c) Además, se sabe que la devolución de artículos provoca una disminución en los ingresos mensuales de un %. i) Calcular la probabilidad de que en un mes los ingresos finales sean inferiores a 75 euros. Nota: considerar que las devoluciones se producen en el mismo mes que los ingresos. ii) Si el comercio tiene unos gastos fijos de 8 euros al mes, calcular la probabilidad de que el beneficio en un mes sea superior a 95 euros.

3 SOLUCION-Elementos de Probabilidad y Estadística 6/6/6. a) Si se realizan lanzamientos de un dado regular: i) La probabilidad de obtener exactamente tres seises es la suma, tantas veces como formas de colocar tres seises en diez casillas, de la probabilidad: P( seises en una ordenación fija) = ( 6 ) ( 5 6 )7 Hay =! 7!! = formas de colocar los tres seises, luego P( seises en lanzamientos) = ( 6 ) ( 5 6 )7 b) ii) Si sabemos que se han obtenido exactamente tres seises, la probabilidad de que haya sido en los tres primeros lanzamientos, se puede calcular como casos favorables entre casos posibles: P( obtener un 6 en los tres primeros lanzamientos se han obtenido seises en lanzamientos )= = = =,8 P(X = ) = = 6 =,66 P(X = ) = = 5 6 =,88 Además aunque no se pide en el problema: P(X = 4) = En general, P(X = k) = ( 5 6 )k 6, para k.. Una empresa fabrica dos productos: A y B, cuyos beneficios X e Y son variables aleatorias medidas en millones de euros que se distribuyen conjuntamente según la función de densidad: f(x, y) = si x + y en otro caso a) La función de densidad marginal de la v.a. X es: f(x) = x dy = y x = ( x), x

4 La media, E(X) = x ( x)dx = (x x ) = =,666 La varianza, V ar(x) = E(X ) (EX), donde E(X ) = x ( x)dx = =,666 luego V ar(x) = 9 =,. b) Sea Z es la variable aleatoria correspondiente a los beneficios del producto B condicionados a que los beneficios del producto A sean exactamente de medio millón de euros. Entonces: f(z) = f(y x =,5) = Es decir Z U[, ]. f(,5, y) f X (,5) =,75 =, z c) De forma análoga a lo realizado en el apartado a), se obtiene la función de densidad marginal de la v.a. Y : f(y) = y dx = ( y) y. Para ver si están o no correlacionadas, se calcula la covarianza entre las variables X e Y. E(XY ) = = x xy dxdy = (x + x 4 x ) = [ x x [ y ] x + x4 6 x dx = ] = x 4 ( x) dx Cov(X, Y ) = E(XY ) E(X)E(Y ) = = 9 Por tanto, las variables X e Y están correlacionadas, en particular, están relacionadas linealmente de manera inversa. En consecuencia, X e Y son dependientes. d) P(X > Y ) = y y dxdy = x dydx + x dydx = 4

5 e) Si W = (X + ), la función de distribución de W es: F W (w) = P(W w) = P((X + ) w) = P( w X + w) = = P( w X w ) Si X, F W (w) = P( X w ) = F X ( w ) Luego: f W (w) = f X (x(w)) x (w) = dado que x(w) = w y x (w) = w. Haciendo operaciones:. X N(, 9). f W (w) = ( ( w )) w si w 4 ( w w ) si w 9 en otro caso en otro caso a) P(X < 95) = P ( ) T < 95 = P(T <,667) = P(T >,667) =,48 b) P(X < 95 X < ) = P(X<95 X<) P(X<),96. = P(X<95) =,48 = c) Si Y =,9X, es la v.a.: Ingresos finales(tras las devoluciones), entonces Y N(,9,,9 9) = N(7, 79) i) P(Y < 75) = P ( ) T < = P(T <,85) = P(T >,85) =,9675 ii) Z=Y-8 denota los beneficios netos. Entonces, Z N(7 8, 79) = N(9, 79). P(Z > 95) = P ( T > ) = P(T >,959) =,788 5