Tema 5. DIAGONALIZACIÓN DE MATRICES

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1 José Maía Maíe Mediao Tema DGONLZCÓN DE MTRCES oducció Poecia de ua mai Sea Supogamos que se desea calcula : Deemia ua egla paa o esula imediao Compobemos, aes de segui adelae, que MDM, siedo M D Esa úlima mai es diagoal E efeco, calculado M muliplicado, se ve que: MDM 9 Co eso: ( )( ) M MD MDM MDM obsévese que M M ( )( ) M MD M MD MDM M MD Se cosigue así calcula El poblema esá e ecoa M D El poceso que os faciliaá deemia las maices M D, que pemiiá halla la poecia ésima de ua mai, se llama diagoaliació

2 uovaloes auovecoes Defiició de auovalo: R (o a C, auque o lo cosideaemos) es u auovalo de ua mai, cuadada,, si eise u veco R (a E ), s, al que se le llama auoveco asociado a Tambié se uilia los ombes valo popio veco popio, especivamee, paa auovalo auoveco Obsevacioes: Si Po ao, paa deemia cómo acúa esula úil cooce, pues el esudio de es mucho más secillo Si es u auoveco asociado a, eoces k es oo auoveco asociado a s E efeco: si k k k k ( ) ( ) ( ) ( ) Ejemplo: Si, es u auovalo si E efeco: 8 Oos auovecoes asociados a so o (Habiualmee se oma el más secillo, el coespodiee a k ) Cálculo de auovaloes Ecuació caaceísica s s De s ( ) sisema homogéeo, que iee solució disia de la ivial (se busca ) cuado Es sisema ( ) s ecibe el ombe de auosisema se le llama ecuació caaceísica P ) ( es u poliomio de gado se llama poliomio caaceísico Las solucioes de, de P ( ), so los valoes popios (auovaloes) de la mai a a a a a a Si la mai es de ode, P( ) a a a Los auovaloes o iee poqué se disios El úmeo de veces que se epie u auovalo es su muliplicidad algebaica Si es u auovalo de, ua solució o ivial, s, de ( ) es u auoveco asociado a ese José Maía Maíe Mediao

3 José Maía Maíe Mediao Ejemplo: Si ) )( ( Los auovaloes so: Si : esas seía las compoees de los auovecoes asociados: E paicula, si, Si : esas seía las compoees de los auovecoes asociados: E paicula, si, Oo ejemplo: Págia 8 de Sdsaee: b) B B ( ) ( ), doble; Si, ( ) s B h h h Se oma: ; E ese caso la solució del auosisema depede de dos vecoes (es la ecuació de u plao, cua dimesió es ): es u subespacio vecoial co muliplicidad geoméica igual a Si, ( ) s B Se oma:

4 uovaloes de maices diagoales d d Las maices diagoales D D d d d D d d d, cumple: d d La ecuació caaceísica es: D d d d d d E defiiiva, los auovaloes de ua mai diagoal so los elemeos de esa diagoal Ejemplo: Si D D Los valoes popios so:, D lguas popiedades de los auovaloes La suma de los auovaloes es igual a la aa de la mai a a a El poduco de los auovaloes es igual al deemiae de la mai Los auovaloes de so los mismos que los de Dos maices B so semejaes si eise ua mai M iveible al que MBM Co eso, si dos maices B so semejaes, ambas iee la misma ecuació caaceísica Po ao, los auovaloes de B so los mismos E efeco, si MBM MBM MBM MM M ( B ) M M B M B Sea,,, p auovaloes, disios ee sí, de Si,,, p so auovecoes o ulos, asociados especivamee a,,, p, eoces, el cojuo {,,, p } es liealmee idepediee José Maía Maíe Mediao

5 pue paa ua demosació: Vamos a demosalo paa p Po ao, se iee:,,, ambos vecoes o ulos Si los vecoes fuese ld, eoces eise k k, o ulos, ales que k k Po ao: ( k k ) ( k ) ( k ) k( ) k ( ) k k (*) De k k k k Susiuedo e (*): ( k ) k ( ) k, pues k Lo que coadice la hipóesis iicial de E cosecuecia, el cojuo {, } es liealmee idepediee Paa demosalo e geeal se hace po iducció Se compueba paa p, se supoe cieo hasa p, demuesa que ambié es cieo paa p José Maía Maíe Mediao

6 Diagoaliació Ua mai cuadada, de ode, se dice que es diagoaliable si eise ua mai iveible P, de ode, ua mai diagoal, al que P P D Oa maea de decilo es: Ua mai cuadada es diagoaliable si es semejae a ua mai diagoal Diagoalia ua mai es ecoa las maices D P ales que PDP Es evidee que si P P D PDP PD P El objeivo es deemia qué maices so diagoaliables cómo halla P D Teoema Ua mai cuadada, de ode, es diagoaliable si sólo si iee u cojuo,,, de auovecoes liealmee idepediees E ese caso, P P P P dode P es la mai cuas columas so los vecoes,,,,,, so auovaloes de P (,,, ) Noa: La demosació de ese eoema puede vese e la p 8 del Sdsaee Ejemplo: Paa la mai, visa aeiomee, se eía: uovaloes: uovecoes asociados: Paa Po ao: D ; P P Puede vese que: P P D ; Paa, Qué maices so diagoaliables? Las codicioes eigidas e el eoema aeio puede cocease como sigue: Caso Todos los auovaloes so disios Si ua mai cuadada, de ode, iee auovaloes eales disios, eoces (como cosecuecia de la popiedad de los auovaloes) el cojuo {,,, } es liealmee idepediee Luego, la mai es diagoaliable José Maía Maíe Mediao

7 José Maía Maíe Mediao 7 Puede obsevase que si {,,, } so li la mai P (,,, ) es ivesible Luego puede escibise que PDP Caso Ha auovaloes epeidos (múliples) Ua mai cuadada, de ode, es diagoaliable si sólo si odos sus auovaloes so eales, además, la muliplicidad geoméica de cada uo coicide co su muliplicidad algebaica La muliplicidad algebaica es la del auovalo: solució doble, iple de la ecuació ) ( P La muliplicidad geoméica es la de los auovecoes especivos: la dimesió del espacio vecoial solució del auosisema ( ) s Noa: Ese esulado o lo demosamos; lo damos po cieo Ejemplos: Diagoaliació de ( )( )( ) uovaloes: ; ; Los es auovaloes so simples la mai es diagoaliable Si, ( ) s Si, ( ) s Si, ( ) s La mai D La mai P P Es fácil compoba que PDP

8 José Maía Maíe Mediao 8 Diagoaliació de ( ) ( ) uovaloes:, doble (muliplicidad algebaica );, simple La mai seá diagoaliable si la muliplicidad geoméica del sisema ( ) s es Veamos: Si, ( ) s (el ago de la mai de coeficiees es ) h (paa h ): ; (, h ): Luego, la muliplicidad geoméica es : la solució depede de paámeos Como coicide co la muliplicidad algebaica, la mai seá diagoaliable Si, ( ) s La mai D La mai P P Puede compobase que PDP Noa La mai B, visa e u ejemplo aeio, cumplía: uovaloes:, doble; uovecoes:,, Po ao: D ; P

9 José Maía Maíe Mediao 9 Diagoaliació de ( ) ( ) uovaloes:, doble La mai seá diagoaliable si la muliplicidad geoméica del sisema ( ) s es Veamos: Si, ( ) s (el ago de la mai de coeficiees es : la solució depede de u solo paámeo) Como o coicide la muliplicidad geoméica co la algebaica, la mai dada o es diagoaliable

10 Relació de coguecia diagoaliació de maices siméicas Defiició: Ua mai cuadada C es oogoal si sólo si C C CC Eso es, ua mai es oogoal cuado su ivesa coicide co su aspuesa: C C Si ua mai es oogoal sus vecoes fila ( sus vecoes columa) so ooomales: iee módulo so pepediculaes dos a dos Po ao, sus vecoes fila (o columa) cosiue ua base ooomal Fi Fi ( Fi)( Fj) La demosació es imediaa Basa co cosidea que ( )( ) Ejemplo: La mai C es ooomal C C Como puede obsevase sus vecoes fila co uiaios, pepediculaes ee sí Si ua mai C es oogoal, eoces C ± De C C CC C C C C C C ± Coguecia Defiició de coguecia: Ua mai cuadada es coguee co oa mai B si sólo si eise ua mai oogoal C al que CBC Cuado la mai B es diagoal (B D), se dice que es diagoaliable mediae coguecias Eso es: es diagoaliable po (mediae) coguecias CDC, siedo C oogoal D diagoal Ejemplo: Veamos que la mai es diagoaliable po coguecias Los auovaloes so: Si : / uoveco El segudo es uiaio / Si : / uoveco El segudo es uiaio / Los vecoes so pepediculaes / / La mai de paso puede se P Peo ambié lo puede se C / / Como la mai C es oogoal, la diagoaliació de po coguecias es: CDC José Maía Maíe Mediao

11 Eso es: / / / / / / / / Coguecia maices siméicas Las maices siméicas cumple: El poliomio caaceísico P( ), de oda mai siméica, iee solamee aíces eales Po ao, odos los auovaloes de so eales La dimesió algebaica de u auovalo coicide co la muliplicidad geoméica de los auovaloes asociados Los auovecoes asociados a dos auovaloes disios so oogoales Eso es si, sus auovecoes asociados veifica que E geeal, cualesquiea dos auovecoes popios so oogoales (Eso es, los auovecoes asociados a valoes popios múliples ambié cumple la popiedad ) Como odo veco puede omaliase (ecoa u veco de módulo co la misma diecció que el dado), siempe puede hallase ua mai de paso, P, que sea oogoal Todo lo aeio coduce al siguiee eoema: Teoema especal paa maices siméicas Toda mai siméica es coguee co algua mai diagoal Dicho de oa maea: oda mai siméica es diagoaliable oogoalmee Paa el caso de auovaloes simples es imediao pueso que la mai es diagoaliable co seguidad Po ao, basa co omalia la mai de paso Paa el caso de auovaloes múliples la demosació equiee coocimieos avaados de Álgeba se ecuea e muchos mauales de Álgeba supeio Ejemplo: Diagoaliació de la mai siméica ( ) ( ) uovaloes:, doble; Si, s ( ) { h h (paa, h ) ; (paa, h ) José Maía Maíe Mediao

12 José Maía Maíe Mediao Si, ( ) s Como puede vese fácilmee los auovecoes, so oogoales ee sí Nomaliádolos se obiee: / / / ; / / ; / / / Po ao: La mai D La mai / / / / / / / / P La ivesa, P, es la aspuesa de P Es fácil compoba que PDP Diagoaliació de la mai siméica ( )( )( ) 8 uovaloes:, 8; Si, ; Si 8, ; Si, Como puede vese fácilmee los auovecoes, so oogoales ee sí Nomaliádolos se obiee: / / / ; / / ; / / / Po ao: 8 D ; / / / / / / / / P Se cumple que PDP Noa La coicidecia de las dos maices P de los ejemplos aeioes es eso, ua coicidecia

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