Tema 8: Aplicaciones de la derivada, Representación de Funciones

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1 Tema 8: Aplicaciones de la derivada, Representación de Funciones 0.- Introducción.- Crecimiento y Decrecimiento de una función. Monotonía..- Máimos y mínimos de una función..- Etremos relativos...- Etremos absolutos...- Condición necesaria de etremo..- Curvatura: Concavidad, conveidad. 4.- Cálculo de Límites mediante la regla de L Hopital. 5.- Optimización de Funciones. 6.- Representación de funciones. ) Dominio y Recorrido ) Simetrías ) Periodicidad 4) Continuidad 5) Puntos de Corte 6) Asíntotas 7) Monotonía 8) Curvatura 9) Boceto de la grafica 7.- Ejercicio Resuelto. 8.- Ejercicios de selectividad Raúl González Medina 08 Aplicaciones de las derivadas & Representación de funciones VIII-

2 8.0.- Introducción Esta unidad sobre derivación y representaciones gráficas resume de alguna manera, todo un trabajo que hasta el momento de abordarla se ha desarrollado en este curso y en cursos precedentes. La relación entre derivación, continuidad y límite tiene aquí su punto culminante, cuando en 4º de la ESO se trataba de dejar patente, en sentido puramente geométrico, el concepto de límite y de continuidad. Se trata así de repasar, consolidar y aportar nuevos planteamientos y desarrollos prácticos a lo aprendido en cursos precedentes y en este mismo de primero, todos los cuales serán de vital importancia tanto en el próimo curso como en los previsibles años universitarios. Los contenidos de esta unidad didáctica están estrechamente relacionados con todos los de este mismo bloque de análisis, con el de trigonometría y geometría e incluso con el de aritmética y álgebra. El cálculo de funciones derivadas se conforma en uno de los procedimientos más útiles para resolver cantidad de situaciones relacionadas con las diferentes ciencias: numerosas magnitudes físicas, como la velocidad y la aceleración de un móvil en cierto instante o rapidez con la que varía la cantidad de movimiento de una partícula se epresan mediante la derivada de una función. Relacionados con las ciencias económicas aparecen conceptos, tales como inflación, presión fiscal o producto interior bruto que pueden ser presentado mediante gráficas de funciones, por tanto de puede realizar mediante la ayuda de conceptos matemáticos, como crecimiento y curvatura, lo mismo que ocurre a la hora de ajustar mediante funciones numerosos conceptos de la física: movimientos de partículas, el trabajo desarrollado al aplicar una fuerza para desplazar un objeto, la ecuación del estudio de un gas ideal o la propagación de la onda sonora plana son solo algunos de los numerosos ejemplos que se podrían enunciar. Aprovecharemos los conocimientos adquiridos sobre derivadas, junto con los de límite y continuidad, para afrontar el fin principal para el que se aprenden: la representación y el estudio local y global de funciones que constituyen la segunda y última parte de la unidad. En ella, las etapas a seguir serán tres: estudiar f determinando sus características generales y realizando la determinación de sus posibles asíntotas, estudiar f y obtener intervalos de monotonía y etremos y estudiar f obteniendo los intervalos de curvatura y puntos de infleión. Para ello, se recuerdan los Teoremas pertinentes sobre la relación entre las derivadas sucesivas de una función y sus características locales. Los rasgos de la curva se irán perfilando haciéndole preguntas a la función. Empezaremos con la monotonía de una función Crecimiento y decrecimiento de una función Sea f una función definida en un intervalo I. Si la función f es derivable en el intervalo I, se verifica: f es creciente en I f () 0 I f es decreciente en I f () 0 I f es constante en I f () 0 I f es estrictamente creciente en I f () > 0 I f es estrictamente decreciente en I f () < 0 I Lo que ocurre, es que, una función no es siempre creciente ni siempre decreciente, sino que tiene intervalos en los que es creciente, e intervalos en los que es decreciente. Para hallar los intervalos de crecimiento y decrecimiento de una función f definida en [a,b], hemos de considerar: Los etremos a y b del intervalo Los puntos donde f ()0. Los puntos donde no eiste f () Tendremos así los posibles etremos de los intervalos en los que cambia de signo f (). Raúl González Medina 08 Aplicaciones de las derivadas & Representación de funciones VIII-

3 Ejemplo : Hallar los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función Lo primero que tenemos que hacer es calcular la derivada de la función f() f ( ) 4 ( ) f'( ) ( 4) y la igualamos a cero para obtener sus raíces: ( ) f'( ) 0 ( 4) ( ) 0 0 Dibujamos una línea recta en la que ponemos los puntos que hacen la derivada 0, y los puntos donde no está definida la derivada, - y. f ()>0 f ()<0 f ()<0 f ()<0 f ()<0 f ()>0-0 f ( ) es creciente en el intervalo (, ) (, ) f ( ) es decreciente en el intervalo (, ) (, ) (, ) Simbolizamos con que la función es creciente, y con que es decreciente Máimos y mínimos de una función Se dice que una función f tiene en el punto a un máimo relativo, o que a es un máimo relativo de f, cuando para todo h, número real, suficientemente pequeño, y tal que ah pertenezca al dominio de f, se cumple: f(ah) f(a). Se dice que una función f tiene en el punto a un mínimo relativo, o que a es un mínimo relativo de f, cuando para todo h, número real, suficientemente pequeño, y tal que ah pertenezca al dominio de f, se cumple: f(ah) f(a). También podemos decir que: La función f posee un máimo relativo en el punto a, si en este punto la función cambia de ser creciente a ser decreciente. La función f posee un mínimo relativo en el punto a, si en este punto la función cambia de ser decreciente a ser creciente. Raúl González Medina 08 Aplicaciones de las derivadas & Representación de funciones VIII-

4 8...- Máimos y mínimos absolutos Decimos que un punto a de una gráfica es el máimo absoluto, si además de ser máimo relativo, el punto a es el punto más alto de la gráfica, es decir: f tiene en el punto a un máimo absoluto, cuando para todo h, número real, suficientemente pequeño, y tal que ah pertenezca al dominio de f, se cumple: f(ah) < f(a). Y de la misma forma, que un punto a de una gráfica es el mínimo absoluto, si además de ser mínimo relativo, el punto a es el punto más bajo de la gráfica, es decir: f tiene en el punto a un mínimo absoluto, cuando para todo h, número real, suficientemente pequeño, y tal que ah pertenezca al dominio de f, se cumple: f(ah) > f(a) Condición necesaria de etremo Sea a un punto interior del dominio de la función f. Si f tiene un etremo relativo en a y además f es derivable en a, entonces f'( a ) 0. Continuando con el ejemplo anterior: f () tiene un máimo en ( ) f () tiene un mínimo en f en el punto (, ) f ( ) en el punto (, ) 8..- Concavidad y Conveidad Sea f una función dos veces derivable en un intervalo I, decimos que: La función es convea si: f () 0 La función f es cóncava si: f () 0 La gráfica de la función es cóncava en un intervalo (a,b) si la gráfica de la función está por encima de cualquier tangente a la gráfica en dicho intervalo. La gráfica de la función es convea en un intervalo (a,b) si la gráfica de la función está por debajo de cualquier tangente a la gráfica en dicho intervalo. Raúl González Medina 08 Aplicaciones de las derivadas & Representación de funciones VIII-4

5 A los puntos donde una función cambia de cóncava a convea o viceversa se les llama puntos de infleión, y en ellos ocurre que f ()0. En el ejemplo de la derecha, la función f() tiene en 0 un punto de infleión. Ejemplo : Continuando con nuestro ejercicio, f ( ) 4 vamos a calcular ahora sus puntos de infleión. Para ello empezamos primero calculando la segunda derivada de f(): Si la igualamos a cero: Llegamos a que la función ( ) ( 4) ( ) ( ) ( 4) 8 f''( ) 8 f ''( ) f ()<0 X0 f ( ) tiene un punto de infleión en 0. 4 f ()> Criterio de la segunda derivada Sea f una función tal que f (a)0 y la segunda derivada de f eiste en un intervalo abierto que contiene a a, (a-k,ak) k entonces: En un máimo, la segunda derivada es negativa. f ''( a) 0 f '( a) 0 En un punto de infleión la segunda derivada es cero al igual que la primera. f ''( a) 0 f '( a) 0 En un mínimo, la segunda derivada es positiva. f ''( a) 0 f '( a) 0 Máimo Punto de Infleión Mínimo Cálculo de Límites: Regla de L Hopital Sean f y g dos funciones reales que cumplen las siguientes condiciones: las funciones f y g son derivables en un entorno E del punto a. f(a)g(a)0 f'( ) Eiste lim a g '( ) f( ) f '( ) Entonces se cumple que: lim lim a g( ) a g '( ) Raúl González Medina 08 Aplicaciones de las derivadas & Representación de funciones VIII-5

6 Si f (a)g (a)0, siendo las funciones f () y g () derivables en a, se puede aplicar otra vez la regla de L Hôpital, y así sucesivamente. sen Ejemplo : Calcular lim 0 tg Este límite es una indeterminación del tipo 0, como ambas funciones son derivables en R, y además son nulas en 0, podemos aplicar 0 L Hopital, de forma que: sen cos cos cos cos lim lim limcos lim( cos ) lim tg cos 0 ( cos ) ( cos ) 0 cos cos Para aplicar la regla de L'Hôpital hay que tener un límite de la forma número o infinito, y aparecer las indeterminaciones: 0 0 ó f ( ) lim, donde a puede ser un a g ( ) En las otras indeterminaciones podemos utilizar L Hopital siempre y cuando seamos capaces de transformar una indeterminación 0 y - en otra del tipo 0/0 ó / Indeterminación 0 Si lim f ( ) 0 y lim g ( ) entonces: a regla de L Hôpital. a f ( ) 0 lim f( ) g( ) 0 lim, que se puede resolver con la a a 0 g ( ) Indeterminación - Si lim f( ) lim g( ) ; entonces lim[ f( ) g( )] a a Si multiplicamos y dividimos por f().g() y operamos un poco, podemos llegar a una epresión que se puede resolver con la regla de L Hôpital. f( ) g( ) f( ) f( ) f( ) g( ) f( ) g( ) f( ) g( ) f( ) g( ) f( ) g( ) lim [ f( ) g( )] lim [ f( ) g( )] lim lim g( ) f( ) lim a f( ) g( ) a a a a f( ) g( ) f( ) g( ) f( ) g( ) f( ) g( ) a Ejemplo : Calcular lim e e Este límite es una indeterminación del tipo, operando un poco llegamos a una epresión en la que si podemos aplicar la Regla de L Hopital. ( ) ( ) L' Hopital e e 0 e e lim lim lim e e ( ) ( e e) 0 e ( ) ( e e) Indeterminaciones o 0, 0 y B Bln A Para estas, aplicaremos logaritmos: A e, de modo que las tres indeterminaciones se reducen a formas 0,, que resolveremos mediante la regla de L Hôpital. 0 Raúl González Medina 08 Aplicaciones de las derivadas & Representación de funciones VIII-6

7 8.5.- Optimización de Funciones Los problemas de optimización son una de las aplicaciones más inmediatas e interesantes del cálculo de derivadas. El problema es determinar los etremos relativos (máimos ó mínimos) de una función. Procedimiento a la hora de plantear un problema: a) Epresión de la magnitud que se desea optimizar. (Por ejemplo el área) b) Si la epresión a optimizar tiene más de una variable, relacionarlas mediante las condiciones del enunciado. c) Sustituir en la primera epresión, de forma que esta solo dependa de una variable, y esta será la función a optimizar f(a). d) Imponer la condición de etremo relativo, esto es, primera derivada igual a cero y despejar la variable a. {f (a)0 y calcular valores de a}. e) Mediante la segunda derivada comprobar si el etremo es máimo o mínimo: Si f 0 a es mínimo ''( a ) 0 a es máimo f) Calcular el resto de variables y el valor de la función optimizada. Ejemplo 8: H a l l a r l a s d i m e n s i o n e s d e l m a y o r r e c t á n g u l o i n s c r i t o e n u n t r i á n g u l o i s ó s c e l e s q u e t i e n e p o r b a s e 0 c m y p o r a l t u r a 5 c m. La superficie del triángulo se calcula: S y. 5 y (5 y ) Al tener dos triángulos semejantes se cumple que:, de donde: 0 5 (5 y ) Sustituimos en la epresión de S, y tenemos: S y ( 5y y ) ' Derivamos: S' ( 5 y) e igualamos a cero: S ( y) De donde obtenemos: 5 y y de (5 y ), obtenemos el valor de : 5 4 '' 0. Para ver si es máimo o mínimo, calculamos la segunda derivada: y ( ) 5 Por tanto para que el área sea máima, ha de ocurrir que 5 e y Representación de funciones A la hora de estudiar funciones, seguiremos el siguiente esquema: ) Dominio y Recorrido ) Simetrías ) Periodicidad 4) Continuidad 5) Puntos de Corte 6) Asíntotas 7) Monotonía 8) Curvatura 9) Boceto de la grafica Veamos paso a paso cada uno de los ítems anteriores: Raúl González Medina 08 Aplicaciones de las derivadas & Representación de funciones VIII-7

8 Dominio y recorrido Dominio: Valores de para los que está definida (eiste) f () Recorrido: Valores que toma f () MODELO GRÁFICA MODELO GRÁFICA Funciones Polinómicas, son de la forma f ( ) ao a... an an y su dominio es. Funciones Racionales, son de la forma los valores que anulan el denominador. Funciones Irracionales, son del tipo f ( ) n f '( ), siendo su dominio: El mismo que f () si n es impar o n n n n ao a... an an f ( ) y su dominio es menos n n b b... b b n El conjunto de valores reales que hagan f ( ) 0 si n es par n Funciones eponenciales, son de la forma f '( ) f ( ) a, con a>0 y a, su dominio es. Funciones logarítmicas, son de la forma f ( ) log f '( ), con a>0 y f '( ) 0 Funciones circulares: f ( ) sen, f ( ) cos, su dominio es. a Simetrías La función f : A es par si A, f( ) f( ) La curva de cualquier función par es simétrica respecto del eje OY Raúl González Medina 08 Aplicaciones de las derivadas & Representación de funciones VIII-8

9 La función f : A es impar si A, f( ) f( ) La curva de cualquier función impar es simétrica respecto del origen de Coordenadas O Recuerda que para comprobar que una función es par, basta con doblar con respecto al eje y. Y para que sea impar, doblamos con respecto al eje y y después con respecto al. (ver figuras) Periodicidad La función f : A es periódica, si eiste un número real T distinto de cero, llamado periodo, tal que: f ( T) f ( ) f()sen() TΠ f()sen() TΠ f()sen() TΠ/ f()sen() TΠ Continuidad. Periodos de algunas funciones sinusoidales. Las discontinuidades de una función, son los puntos donde la función no es continua. Según la definición de continuidad en un punto, una función es continua en un punto a cuando se cumple: a) f( a) b) lim f( ) a c) lim f( ) lim f( ) f( a) a a Si en algún punto no se verifican los tres puntos anteriores, decimos que en dicho punto la función no es continua. Raúl González Medina 08 Aplicaciones de las derivadas & Representación de funciones VIII-9

10 Discontinuidades de una función a) f( a) En la tabla siguiente se resumen los 4 tipos de discontinuidades: Tipos de Discontinuidades No eiste f(a) No eiste lim f ( ) b) lim f( ) a c) lim f( ) lim f( ) f( a) a a a) fa ( ) b) lim f( ) a a No coinciden el límite y el valor de la función en a c) lim f( ) lim f( ) f( a) c) lim f( ) lim f( ) f( a) a a a) f( a) b) lim f( ) a a a Evitable Asintótica (De salto infinito) De Salto finito Evitable Puntos de Corte con los ejes Con el eje X: Para calcular los puntos de corte de la función con el eje, igualamos la función acero f ( ) 0 y calculamos las soluciones de dicha ecuación. Los valores obtenidos son los puntos de corte con el eje. Con el eje Y: Para calcular los puntos de corte con el eje Y, calculamos (0) 0, f (0). f, y el punto de corte es el punto ( ) Asíntotas y ramas infinitas Muchas veces a la hora de representar una función conviene saber qué pasa con la función cuando toma valores infinitamente grandes o cuando se acerca a puntos que no pertenecen al dominio Asíntota Vertical La recta a es una asíntota vertical de la función f () si eiste alguno de estos límites:. lim f( ). lim f( ). lim f( ) a a a Cómo saber dónde buscar la asíntota vertical? Si es una función polinómica, no tiene asíntotas de ningún tipo. Si es una función RACIONAL, tendremos que buscar en las raíces del denominador, o lo que es lo mismo, donde se anula el denominador. Esos son los candidatos; después hay que comprobar que efectivamente lo son. Raúl González Medina 08 Aplicaciones de las derivadas & Representación de funciones VIII-0

11 Tipos de asíntotas verticales Otra función que tiene asíntota vertical es la función LOGARÍTMICA, más concretamente, en los puntos etremos de los intervalos donde empieza el dominio Asíntota Horizontal La recta yk es una asíntota horizontal de la función f () si eiste alguno de los siguientes límites:. lim f( ) k. lim f( ) k' Una función tiene como máimo asíntotas horizontales correspondientes a cada uno de los límites en el infinito. Tipos de asíntotas horizontales Una función puede tener como máimo dos asíntotas horizontales, correspondientes a cada uno de los límites en y en - : tendríamos una asíntota hacia la izquierda y otra hacia la derecha, aunque frecuentemente la misma recta es asíntota por la izquierda y por la derecha. En funciones racionales, si hay asíntota para, la misma recta es asíntota para Sin embargo, en funciones con radicales suelen ser distintas. La gráfica de una función puede cortar a la asíntota horizontal en uno o varios puntos, aunque en la mayoría de las funciones elementales la gráfica está por encima o por debajo de la asíntota Asíntota Oblicuas y ramas parabólicas Se estudian solo si: lim f ( ), es decir si no hay asíntota horizontal. Lo primero es estudiar el límite: f ( ) lim f ( ) Si lim la curva tiene una rama parabólica en la dirección del eje OY. Raúl González Medina 08 Aplicaciones de las derivadas & Representación de funciones VIII-

12 f ( ) Si lim 0 la curva tiene una rama hiperbólica en la dirección OX. (de la forma y ) Si f ( ) lim m 0, estudiamos el límite: lim f( ) m f ( ) Si lim m 0 lim llamada asíntota oblicua. y f ( ) m b, la curva tiene la asíntota en la dirección ymb f ( ) Si lim m 0 de la recta ym y lim f ( ) m, la curva tiene una rama parabólica en la dirección Asíntota vertical 0 Asíntota Oblicua y Rama Parabólica Rama Hiperbólica Debemos tener en cuenta las siguientes consideraciones: Una función puede tener como máimo dos asíntotas oblicuas correspondientes a cada uno de los límites. Las asíntotas horizontales y las oblicuas son mutuamente ecluyentes. La gráfica de una función puede cortar a la asíntota oblicua en uno o varios puntos. La situación de la gráfica respecto de la asíntota oblicua se hace estudiando el signo de f() (m n) para valores grandes de Monotonía En este punto, estudiaremos los intervalos de crecimiento y decrecimiento y los etremos relativos y absolutos. Para ello nos ayudaremos de la derivada, que igualaremos a cero para obtener los posibles etremos. En una tabla, en la que representaremos la recta real, indicaremos con una línea sencilla los puntos de derivada nula, y con dos rayas los puntos de no dominio. Por tanto, si utilizamos la tabla, tenemos: (-,0) (0,) (, ) f () - f() Mín (0,) Utilizando el signo de la derivada en cada uno de los intervalos formados, veremos si la función es creciente o decreciente y lo señalaremos con una flechita (, ). Además, indicaremos dónde están los etremos relativos, que calcularemos. Raúl González Medina 08 Aplicaciones de las derivadas & Representación de funciones VIII-

13 Véase el ejemplo del final. Etremos relativos de una función: f (a)0 Ejemplos: Mínimo: f (a)>0 Máimo: f (a)< Curvatura Para la curvatura, nos ayudaremos de la segunda derivada. Calculamos f () y la igualamos a cero, de forma que estos puntos serán los posibles puntos de infleión. Punto de infleión: f (a)0 Ejemplos: Tangente horizontal: f (a)0 Tangente oblicua: f (a) 0 Punto Cóncavo Conveo: f (a)>0 Punto Conveo - cóncavo: f (a)< Dibujo de la gráfica Atendiendo a todos los datos obtenidos una vez seguidos los 8 pasos anteriores, ya estamos en paraje de poder representar la función. Veamos todo esto con un ejemplo Ejemplo Representar la función f ( ) 4.- Dominio La función es un cociente de polinomios, por tanto, su dominio es el conjunto de los números reales, menos los valores que anulen el denominador. Raúl González Medina 08 Aplicaciones de las derivadas & Representación de funciones VIII-

14 Dom( f ), Simetrías Calculamos f(-) y vemos que ocurre: ( ) ( ) f( ) f( ) 4 4 Por tanto, la función es impar, es simétrica respecto del origen de coordenadas..- Periodicidad La función f () no es periódica ya que no aparecen funciones circulares. 4.- Continuidad Como f () es un cociente de polinomios, es una función continua ecepto en los puntos donde se anule el denominador. Calculamos los límites en los puntos de no dominio para ver el comportamiento de la gráfica: 8 8 lim lim lim lim La función f () presenta en y en - dos discontinuidades asintóticas o de salto infinito. 5.- Puntos de cortes con los ejes Con el eje : Igualamos a cero: f ( ) 0 4 Con el eje y: calculamos f (0) Por tanto, el punto de corte con el eje X y con el eje Y es el (0,0) 6.- Asíntotas Como hemos visto ya en el punto 4, f() presenta en y en - dos asíntotas verticales. Como lim f ( ) y lim f ( ) asíntota oblicua o rama parabólica., no presenta asíntotas horizontales, pero si puede presentar alguna Raúl González Medina 08 Aplicaciones de las derivadas & Representación de funciones VIII-4

15 Calculamos f( ) lim lim lim 4 4 Y ahora calculamos 4 lim f( ) lim lim Por tanto f () presenta una asíntota oblicua en y. 7.- Monotonía y curvatura Para ello, lo primero es calcular la derivada de f(). ( ) f'( ) ( 4) y la igualamos a cero para calcular los etremos relativos: 0 ( ) f'( ) 0 ( ) 0 ( 4) Estudiamos ahora el signo de f '( ) para ver los intervalos de monotonía. Dibujamos una línea recta en la que ponemos los puntos que hacen la derivada 0, los puntos que hacen la función cero, y los puntos donde no es continua. (-,- ) (-,-) (-,0) (0,) (, ) (, ) f () f() () () Mín (-,) Punto de Infleión Má (-,) f es creciente en el intervalo (, ) (, ) f es decreciente en el intervalo (, ) (, ) (, ) f () tiene un máimo en ( ) f en el punto (, ) f () tiene un mínimo en f ( ) en el punto (, ) Vamos a calcular ahora los puntos de infleión, donde la curva cambia de cóncava a convea. Para ello trabajamos con la segunda derivada. f ''( ) f''( ) 8 ( ) ( 4) y la igualamos a cero 8 ( ) f''( ) 0 ( 4) 8 ( ) 0 0 f ()<0 X0 f ()>0 Obtenemos punto, vamos a ver dónde la función cambia de convea a cóncava. Tenemos un punto de infleión en el punto (0,0) Raúl González Medina 08 Aplicaciones de las derivadas & Representación de funciones VIII-5

16 8.- Gráfica de la función Con todos los datos que ya tenemos de f(), lo único que nos falta es representarla.. Dom( f ),. f es simétrica respecto del origen O.. f no es periódica 4. f es continua en, y en y en - presenta dos discontinuidades de salto infinito. 5. El punto de corte con el eje X y con el eje Y es el (0,0) 6. Asíntotas verticales en - y ; y asíntota oblicua en y 7. Monotonía y curvatura: (-,- ) (-,-) (-,0) (0,) (, ) (, ) f () f() Mín (-,) Punto de Infleión Má (-,) Raúl González Medina 08 Aplicaciones de las derivadas & Representación de funciones VIII-6

17 4..- Ejercicios resueltos.- Estudiar las asíntotas de la función f ( ) Asíntotas Verticales: lim 0 lim 0 La función presenta una Asíntota Vertical en el punto Asíntota Horizontal: lim La función no presenta Asíntota Horizontal lim Asíntotas Oblicuas o Ramas Infinitas: f ( ) Como lim, calculamos el límite lim f ( ) lim lim m Ya sabemos que la función tiene una asíntota oblicua en la dirección de la recta ymb. Vamos a calcular b haciendo el límite lim[ f ( ) m] : lim [ f ( ) m] lim lim lim Por tanto la función presenta una Asíntota Oblicua en la dirección de la recta y 4.- De la función f( ) se pide: ( ) a) Dominio de Definición y asíntotas. b) Máimos y mínimos relativos en intervalos de crecimiento y decrecimiento c) Representación Gráfica. Dominio: Dom( f ) Asíntotas Verticales: 4 4 lim ( ) lim ( ) 0 La función presenta una Asíntota Vertical en el punto Asíntota Horizontal: 4 lim 4 lim La función no presenta Asíntota Horizontal Raúl González Medina 08 Aplicaciones de las derivadas & Representación de funciones VIII-7

18 Asíntotas Oblicuas o Ramas Infinitas: 4 f ( ) Como lim, calculamos el límite lim f ( ) 4 lim lim ( ) m Ya sabemos que la función tiene una asíntota oblicua en la dirección de la recta ymb. Vamos a calcular b haciendo el límite lim[ f ( ) m] : 4 4 lim [ f ( ) m] lim lim ( ) ( ) Por tanto la función presenta una Asíntota Oblicua en la dirección de la recta 0 y Máimos y mínimos: Para calcular los máimos y mínimos necesitamos la derivada. Calculamos la derivada: 8( ) 8 f '( ) 4 ( ) ( ) Igualamos la derivada a cero para encontrar los posibles etremos relativos: 8 8 f '( ) 0 ( ) ( ) ( ) Creamos una tabla: f () - 0 f() Intervalos de Crecimiento:,, Asíntota Vertical Mínimo Relativo (,4) Intervalos de Decrecimiento:, Máimos y mínimos: Mínimo relativo en (,4) Raúl González Medina 08 Aplicaciones de las derivadas & Representación de funciones VIII-8

19 .- Estudia y representa gráficamente la siguiente función:.- Dominio: Dom( f ), f ( ).- Simetrías: ( ) ( ) f( ) f( ) Por tanto, la función es impar simétrica respecto al origen de coordenadas..- Periodicidad: La función no es periódica por no tener funciones circulares. 4.- Continuidad: La función es continua en todos los puntos de su dominio, mientras que en los puntos - y presenta discontinuidades de segunda especie (Asintóticas). 5.- Puntos de corte con los ejes: Eje : f ( ) 0 0 Eje y: f ( 0) 0 Corta a los ejes en el (0,0) 6.- Asíntotas: Asíntotas Verticales: lim 0 La función presenta una Asíntota Vertical en el punto - lim 0 lim 0 La función presenta una Asíntota Vertical en el punto lim 0 Asíntota Horizontal: lim La función no presenta Asíntota Horizontal lim Asíntotas Oblicuas o Ramas Infinitas: Como lim, calculamos el límite f ( ) lim f ( ) lim lim m Ya sabemos que la función tiene una asíntota oblicua en la dirección de la recta ymb. Vamos a calcular b haciendo el límite lim[ f ( ) m] : lim [ f ( ) m] lim lim lim 0 Por tanto, la función presenta una Asíntota Oblicua en la dirección de la recta y Raúl González Medina 08 Aplicaciones de las derivadas & Representación de funciones VIII-9

20 7.- Máimos y mínimos: Para calcular los máimos y mínimos necesitamos la derivada. Calculamos la derivada: 4 4 ( ) f '( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Igualamos la derivada a cero para encontrar los posibles etremos relativos: ( ) 0 f '( ) 0 ( ) 0 ( ) Creamos una tabla: - 0 f () 0 - No Definida No Definida - 0 f() Máimo Relativo Asíntota Vertical Asíntota Vertical Mínimo Relativo, (0,0), Intervalos de Crecimiento: ], ] [, [ Intervalos de Decrecimiento: [, [ ],[ ], ] Máimo relativo en (, ) y mínimo relativo en (, ) 8.- Concavidad y conveidad. Puntos de Infleión: ( ) ( ) Para ello necesitamos la segunda derivada: f '( ) ; f ''( ) 0 0 ( ) ( ) Por tanto, en (0,0) tenemos un punto de infleión: - 0 f () - No Definida 0 - No Definida f() Asíntota Vertical Punto de Infleión (0,0) Asíntota Vertical 9.- Representación Gráfica: Raúl González Medina 08 Aplicaciones de las derivadas & Representación de funciones VIII-0

21 4.- Sea la función definida por f ( ) a) Estudiar las asíntotas, las zonas de crecimiento y decrecimiento, los máimos y mínimos relativos y las zonas de concavidad y conveidad. b) Teniendo en cuenta los resultados del apartado anterior, realiza un esbozo de la gráfica de f. El dominio de la función es, por tanto, no tiene asíntotas verticales. lim 0 La función presenta una asíntota horizontal en y0. lim 0 No presenta asíntotas oblicuas ya que lim Estudiemos su derivada: f ( ) Creamos una tabla: ( ) ( ) f'( ) ( ) ( ) ; f '( ) f () f() Min Absoluto Ma Absoluto 0 -/ / 0 Intervalos de Crecimiento: [,] Intervalos de Decrecimiento: ], ] [, [ Máimo Absoluto en, y mínimo absoluto en, Para los intervalos de concavidad y conveidad utilizaremos la segunda derivada: f'( ) ( ) f''( ) ( ) ( ) ( ) f ''( ) 0 0 y ( ) ( ) ( ) ( ) 4 ( ) ( ) f () f() El dibujo de la gráfica es: Punto de Infleión, 4 Punto de Infleión (0,0) Punto de Infleión, 4 Raúl González Medina 08 Aplicaciones de las derivadas & Representación de funciones VIII-

22 5.- Dada la función f ( ), se pide e a) Dominio y asíntotas. Puntos de corte de la gráfica con las asíntotas, si las hay. b) Crecimiento y decrecimiento. c) Dibujar la gráfica a partir de los resultados anteriores. Dominio de f; *. Asíntotas Verticales: lim 0 0 e La función no tiene asíntota vertical lim e Asíntota Horizontal: lim e La función presenta Asíntota Horizontal en y / lim e La función no presenta asíntotas oblicuas. Calculamos la derivada para estudiar los distintos intervalos de crecimiento y decrecimiento. f( ) e e e f'( ) 0 e e Por tanto la función es siempre creciente, Creciente en ], 0[ ]0, [ Creamos una tabla: 0 No f () definida f() No definida / / La función no tiene ni máimos ni mínimos relativos. El dibujo de la gráfica es: Raúl González Medina 08 Aplicaciones de las derivadas & Representación de funciones VIII-

23 6.- Dada la función f( ) ln, >0, se pide: a) Eplicar de forma razonada por qué la ecuación ln 0 tiene eactamente una raíz. b) Representar gráficamente la curva de la función f. Vamos a estudiar la función. Dominio ]0, [ LH ' ln lim ln lim ln lim lim lim lim lim lim lim lim ln Calculamos su derivada: f '( ) ln ; igualamos a cero: Creamos una tabla: f '( ) 0 ln e 0 f () f() No Definida No Definida - e - 0 Min Absoluto e e Intervalos de Crecimiento:, e Intervalos de Decrecimiento: 0, e e Mínimo absoluto en, e e A la pregunta de eplicar de forma razonada por qué la ecuación ln-0 tiene eactamente una raíz diremos que: La función f es una función definida en X>0, vemos que la función empieza en -, y es decreciente hasta, en el que hay e un mínimo absoluto, y a partir de este punto pasa a ser creciente hasta. Por tanto, tenemos una función que al principio es negativa, cambia de signo a positiva, que es continua, y que diverge a, entonces corta al eje una vez sola vez, y la ecuación solo tiene una solución. Si dibujamos la gráfica: Raúl González Medina 08 Aplicaciones de las derivadas & Representación de funciones VIII-

24 e 7.- Sea la función f definida por f ( ) a) Estudia las asíntotas de la gráfica de la función f. b) Halla los etremos relativos y los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de f. a) El dominio de la función es Dom( f ), por tanto, vamos a empezar estudiando las asíntotas verticales: La función f, presenta una asíntota vertical en un punto o, si ocurre: lim f ( ) e e lim lim ( ) 0 f o e e lim 0 o Por tanto, f tiene una Asíntota Vertical en. Estudiamos ahora la asíntota horizontal: Una función presenta una asíntota horizontal en yk, si ocurre: lim f( ) k k Por tanto: Y e 0 lim 0 L' Hopital e e lim lim f ( ) lim Estudiamos en este caso: y obtenemos: Asíntota Horizontal y0 cuando L' Hopital L' Hopital e e e lim lim lim ( ) Por tanto, la función presenta una rama parabólica cuando b) Para la monotonía, utilizamos la derivada de la función y la igualamos a cero: e f '( ) f '( ) 0 e 0 0 ( ) Por tanto, si utilizamos la tabla, tenemos: Así que: (-,0) (0,) (, ) f () - f() f es creciente en: ( 0,) (, ) f es decreciente en (,0) Mín (0,) la función presenta un mínimo en el punto (0,) Raúl González Medina 08 Aplicaciones de las derivadas & Representación de funciones VIII-4