Departamento de Matemáticas. I.E.S. Ciudad de Arjona 1º BAC UNIDAD Nº 1: NÚMEROS REALES
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- Lorenzo Coronel González
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1 Deprteto de Mteátics. I.E.S. Ciudd de Arjo º BAC UNIDAD Nº : NÚMEROS REALES. NÚMEROS RACIONALES. EXPRESIONES DECIMALES. Defiició: Llreos frcció u expresió teátic del tipo, siedo y úeros eteros uerdor y 0. deoidor Defiició: Los úeros rcioles so los que se puede escriir e for de frcció. Q /, Z y 0 Su y rest de frccioes:. Igul deoidor: Se su o se rest los uerdores y se dej el iso deoidor:. Distito deoidor: Se reduce coú deoidor y se oper coo e el cso terior ) Producto de frccioes: El producto de dos frccioes es u frcció cuyo uerdor es el producto c c de los uerdores y el deoidor el producto de los deoidores. d d Divisió de frccioes: Dividir dos frccioes es ultiplicr l prier por l ivers de l segud. Es decir ultiplicos e cruz. X c d : d c Represetció e l rect Utilizdo el teore de Tles (divisió de u segeto e prtes igules), o hciedo l divisió y represetr proxidete. Expresioes deciles. Tod frcció irreducile tiee u expresió decil, que se otiee dividiedo uerdor etre deoidor. (Ejeplo: ; 0... ; 0 ) 4 excts Ls expresioes deciles puede ser : Purs Periódics Mixts Iportte: Tod expresió decil exct o periódic se puede expresr e for de frcció Si l expresió o es exct i periódic (es decir iliitd o periódic) o se puede expresr coo frcció. A todos estos úeros se les ll úeros irrcioles. Ejeplo: Periódico exct Frcció Núero rciol Q Expresió decil iliitd o periódic > No es frcció. Núero Irrciol Pso de úero decil frcció ( ) Decil excto Decil periódico puro Decil periódico ixto úero si co seguido de ttos 0 coo cifrs deciles úero si co y si gorrito - prte etero ttos 9 coo cifrs tiee el periodo úero si co y si gorrito - úero si co y si periodo ttos 9 coo cifrs tiee el periodo y 0 coo deciles o periodicos
2 Deprteto de Mteátics. I.E.S. Ciudd de Arjo º BAC. NÚMEROS IRRACIONALES. Rdicles: ; + ; +. Núero áureo: Φ. Núero pi: π 49.. Núero e 88 Todos estos úeros o se puede escriir e for de frcció: SON IRRACIONALES. L for de escritur ás secill y exct es llrlo co lgu letr (π, e) o co l operció co l que surge ( ; ). NÚMEROS REALES. ORDEN Y REPRESENTACIÓN EN LA RECTA REAL. El cojuto fordo por los úeros rcioles y los irrcioles se ll cojuto de los úeros reles (IR). Pr represetrlos y orderlos se ps úero decil. (L represetció es csi siepre proxid, uque hy lguos irrcioles que se puede represetr de er exct, coo los ríces cudrds) 4. INTERVALOS, ENTORNOS Y VALORES ABSOLUTOS. Itervlos: Los itervlos uéricos so cojutos de úeros y se represet edite u segeto co o si extreos. Puede ser cotdos o o cotdos: Itervlos o cotdos (Seirrects): Los itervlos o cotdos se represet edite u seirrect. Expresió verl Desiguldd Gráfic Itervlo Núeros eores que, Núeros eores o igules que Núeros yores o igules que Núeros yores que Núeros yores que y eores que x < ( ) x (,] x [,+ ) x > (. + ) < (, ) x < x [. ] Núeros yores o igules que y eores o igules que. Núeros yores o igules que y eores que. x < [, ) Núeros yores que y eores o x, ] igules que. Icluido sigific que puede ser igul, se represet co u puto relleo, y v co corchete [ ó ]. No icluido sigific que o puede ser igul, se represet co u puto lco, y v co prétesis ( ó ). El ifiito coo o es igú úero v siepre co prétesis. Uió de itervlos: Jutr los itervlos. [,) (,8] [,8] Itersecció de itervlos: Lo que tiee e coú. (, ] ( 4, + ) ( 4,] Etoros: Llreos etoro l cojuto de úero que está lrededor de u úero. Necesitos dos referecis: el úero (cetro) y l distci áxi (rdio). E c r x IR / x c < r c r, c + r E,, + 4, ( ) { } ( ), Ejeplo: ( ) ( ) ( ) Si os d u itervlo pr psrlo etoro deeos ecotrr el cetro (puto edio del itervlo) y el rdio (distci de u extreo l cetro) (, ) E, Ejeplo: ( ) ( 4) 4, E, E(, ) Desigulddes y vlores solutos: x c < r. Drá lugr l desiguldd r < x c < r psos c os ldos sudo Será el itervlo ( c r, c + r) y por lo tto el etoro E ( c, r) c r < x < c + r x c > r. Drá lugr l desiguldd r > x c > r psos c os ldos sudo Será los itervlos (, c r) ( c + r, + ) c r > x > c + r
3 Deprteto de Mteátics. I.E.S. Ciudd de Arjo º BAC. POTENCIAS Por defiició Propieddes:.- ( ) Iportte ( ).-.- ( ).- si es pr si es ipr +. RADICALES. Reducció de rdicles ídice coú. Psos seguir:.hllr el.c.. de los ídices.colocrlos rdicles cuyo ídice se el.c...dividir el.c.. por el ídice terior y ultiplicr por el expoete del rdicdo iicil 4 ; ;.c..(,,)0 0 0 ; 0 0 ; 0 4 Multiplicció y divisió de rdicles. Si tiee el iso ídice Miso ídice y se ultiplic o divide los rdicdos Si tiee distito ídice se reduce igul ídice y posteriorete se ultiplic o divide los rdicles 9 ( ) Itroducció y extrcció de fctores jo el iso rdicl. Itroducció: Pr itroducir u úero detro de u rdicl es ecesrio elevrlo l ídice del rdicl: Extrcció: Pr extrer u fctor de u rdicl es ecesrio que esté elevdo l ídice del rdicl. Lo scos fuer eliido el ídice. fctores prios el rdicdo. 0. Muchs veces es ecesrio descopoer e [ : sor] 49 c d d c Su de rdicles. + No se puede hcer. No se puede sur rdicles, lo úico que podeos hcer es grupr rdicles igules Apreteete o se puede hcer d, pero vos descopoer los rdicdos y extrer los fctores que podos
4 Deprteto de Mteátics. I.E.S. Ciudd de Arjo º BAC Poteci de u rdicl. Pr relizr l poteci u rdicl ultiplicos los expoetes de l poteci y el p p rdicdo.( ) ( ) 4 8 ( ) ( ) Ríz de u rdicl. Pr relizr l ríz de u rdicl ultiplicos los ídices de los rdicles Rciolizció. L rciolizció cosiste e eliir los rdicles de los deoidores de ls frccioes. er Cso: Ríces Cudrds Multiplicos uerdor y deoidor por l ríz del deoidor: º Cso: Otrs Ríces Multiplicos el uerdor y el deoidor por u rdicl de ídice el del deoidor terior y rdicdo l poteci del rdicdo terior que os flt pr llegr l ídice del rdicl Multiplicos por porque os flt pr llegr. er Cso: Su y rest de Ríces cudrds: Multiplicos el uerdor y el deoidor por el cojugdo del deoidor. L operció cojugd de l su es l rest y l de l rest l su. El cojugdo de p p + es. Si os dos cuet l ultiplicrlos ( + )( ) ( ) ( ) ( + ) ( )( + ) ( ) ( ) Expresió de los rdicles e for de poteci Todos los rdicles se puede expresr e for de poteci de l siguiete for explic uchs de ls propieddes de los rdicles.. NOTACIÓN CIENTÍFICA.. Esto Los úeros de uchs cifrs, y se eteros o deciles, se ej ejor escriiédolos e otció cietífic. L otció cietífic se s e escriirlos de l for cd... 0, dode es u úero etero de u sol cifr, y es u úero etero culquier Ejeplo: Si es positivo el úero es uy grde, y si es egtivo es uy pequeño. Ls opercioes co úeros e otció cietífic se suele hcer co l clculdor. 0
5 Deprteto de Mteátics. I.E.S. Ciudd de Arjo º BAC 8. LOGARITMOS Los logritos fuero itroducidos e ls teátics co el propósito de fcilitr, siplificr o icluso, hcer posile coplicdos cálculos uéricos. Utilizdo logritos podeos covertir : productos e sus, cocietes e rests, potecis e productos y ríces e cocietes. Defiició: Se ll logrito e se del úero x l expoete l que hy que elevr l se pr oteer dicho úero. log x que se lee : "el logrito e se del úero x es ", o tié : "el úero se ll logrito del úero x respecto de l se ". Coo podeos ver, u logrito o es otr cos que u expoete, hecho que o deeos olvidr cudo trjeos co logritos. L costte es u úero rel positivo distito de, y se deoi se del siste de logritos. L poteci, pr culquier vlor rel de solo tiee setido si > 0. Ejeplo: log 8 porque 8 ; log porque Propieddes : log 0 u v log u x log ( ) + log v u v log log log u log v x x log log ( u ) log u log x x log u log u Logritos Deciles : Se ll logritos deciles o vulgres los logritos que tiee por se el úero 0. Al ser uy hitules es frecuete o escriir l se. log 0 x logx Logritos Neperios : Se ll logritos eperios, turles o hiperólicos los logritos que tiee por se el úero e. log e x l x Cio de se: El logrito e se de u úero se puede oteer prtir de logritos e otr se log log log c c Lx
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