Unidad 5 Trigonometría II

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1 Unidd Trigonometrí II PÁGINA SOLUCIONES. Ls tres igulddes son flss. Pr probrlo bst con utilizr l clculdor.. Clculmos el áre del octógono circunscrito y le restmos el áre del octógono inscrito obteniendo l superficie pedid. El octógono circunscrito const de ocho triángulos como el de l figur: l,º tg,º l 8,8 cm 0 0 Áre del octógono circunscrito,cm l El octógono inscrito const de ocho triángulos como el de l figur:,º l 0 l sen,º l 7,6 cm 0 cos,º 9,4 cm 0 Áre del octógono inscrito 8,744 cm El áre comprendid entre mbos será:, 8,744 48, 46 cm 79

2 . Ls soluciones quedn: ) sen ( x º ) x º 60º K x º 60º K x 4º 60º K b) sen x cos x x º 60º K c) tg (x ) x 0º 90º K 4. Supongmos conocidos los ldos b y c y el ángulo A comprendido: Clculmos l ltur: h b sen A El áre será: Áre bse ltur c b sen A Áre b c sen A 80

3 PÁGINA SOLUCIONES. Llmemos B ls vcs blncs y N ls vcs negrs: (4B N ) 4 (B N ) 0B N B 0N 8B N Dn más leche ls vcs negrs.. El número de nrnjs en l pirámide es: nrnjs. 8

4 PÁGINA 6 8

5 SOLUCIONES. Quedn: y tg cos tg b y sen b cos b sen ( b ) ; cos ( b ) ; tg ( b ) sen. Los cálculos son los siguientes: sen 90º sen ( 0º 60º ) cos 90º cos ( 0º 60º ) 0 sen 0º sen ( 60º 60º ) cos 0º cos ( 60º 60º ) tg 0º tg ( 60º 60º ) sen 0º sen ( 4º 60º ) 6 4 cos 0º cos ( 4º 60º ) 6 4 tg 0º tg ( 4º 60º ). Quedn: sen 4 cos cos ( 0º ) cos cos 0º sen sen 0º 0 sen ( 0º ) 48 tg ( 0º ) cos ( 0º ) 9 sen ( 0º ) sen cos 0º sen 0º cos 4. Pr ello es suficiente con utilizr los teorems de dición pr el seno, coseno y tngente estudidos en est unidd didáctic. 8

6 . Qued de l form: sen sen( b c ) sen b sen( c ) sen c sen( b ) sen sen b cos c sen sen c cos b sen b sen cos c sen b sen c cos sen c sen cos b sen c sen b cos 0 6. Qued de l form: cos( b ) cos( b ) (cos cos b sen sen b ) (cos cos b sen sen b ) cos cos b sen sen b A prtir de est expresión obtenemos ls dos igulddes: cos cos b sen sen b cos ( sen b ) ( cos ) sen b cos sen b cos cos b sen sen b cos b ( sen ) ( cos b ) sen cos b sen 7. Qued de l form: sen( b ) sen( b ) (sen cos b sen b cos ) (sen cos b sen b cos ) sen cos b sen b cos A prtir de est expresión obtenemos ls dos igulddes: sen cos b sen b cos sen ( sen b ) ( sen ) sen b sen sen b sen cos b sen b cos cos b ( cos ) ( cos b ) cos cos b cos 8. Qued: ) cos cos ( ) 4 cos cos b) sen 4 sen (4 sen 8 sen ) sen Tmbién se puede resolver est ctividd medinte l fórmul de De Moivre. 9. Ls rzones trigonométrics quedn: 4 tg 4 y sen ; cos sen sen cos 4 ; cos cos sen ; tg tg 4 tg 84

7 0. L tngente qued: tg tg tg tg tg 0 tg o bien tg. Ls simplificciones quedn: ) sen sen cos tg cos cos b) sen cos sen cos : sen cos sen ( cos ). Prtimos del segundo miembro pr llegr l primero: cotg x cotg x ( tg x ) tg x tg x tg x tg x tg x tg x tg x. Prtiendo del primer miembro obtenemos: tg tg ( tg ) tg cos tg tg tg tg ( tg ) tg tg 4. Quedn: cos 4º 4º sen º 0 ' sen cos 4º 4º cos º 0 ' cos cos 4º 4º tg º 0 ' tg cos 4º cos 0º 0º sen 7º sen 8

8 cos 0º 0º cos 7º cos cos 0º 0º tg 7º tg cos 0º 86

9 PÁGINA 7 87

10 SOLUCIONES. Quedrí: cotg sen cos ; cos tg ; cos cos ; tg cos cos 6. Qued expresdo del siguiente modo: cos sen sen cos tg ) sen sen cos sen cos sen cos sen cos cos b) cos cos cos sen cos sen cos cos tg cos ( cos ) sen 7. Ambs rzones trigonométrics quedn: cos 4 x cos x cos x ; sen x Ls simplificciones quedn: ) sen 40º sen 0º sen 0º cos 0º tg 0º cos 40º cos 0º cos 0º cos 0º b) sen 9º sen 7º cos º sen 60º cotg º tg 60º sen 9º sen 7º sen º cos 60º c) cos 60º cos 40º sen 0º sen 0º tg 0º,9 sen 60º sen 40º cos 0º sen 0º 9. Se demuestr del siguiente modo: cos( x y ) cos( x y ) sen x sen ( y ) tg y sen( x y ) sen( x y ) sen x cos y 88

11 0. L solución qued: ) x K ó x K 4 4 b) x K 9 K ó x 6 6 c) x K 6 d) x 8 4K ó x 4K e) x 0º 0º K ó x 0º 0º K f) x º 60º K. Ls soluciones quedn: ) sen x cos x sen x cos x cos x cos x 0; sen x sen x cos x cos x 0 x 90º 80º K b) sen x sen x cos x sen x cos x cos x cos x 0; sen x sen x cos x cos x 0 x 90º 80º K x º 80º K x 7º 80º K c) sen 4 x sen x sen x cos x sen x sen x cos x sen x 0 x 0º 90º K x 0º 80º K sen x ( cos x ) 0 cos x ; sen x 0 x 0º 80º K d) cos x cos 6 x sen x sen x sen 4 x sen( x ) sen 4 x cos x sen 4 x (sen x cos x ) 0 sen 4 x 0 cos x (sen x ) 0 cos x 0; sen x x 4º K sen( x ) cos x 0 x 90º 80º K x 0º 60º K x 0º 60º K 89

12 e) sen x cos x 6sen x sen x cos x 6sen x 0 sen x (cos x sen x ) 0 sen x 0 x 0º 80º K cos x cos x sen x 0 cos x ( cos x ) 0 x 0º 80º K x 0º 80º K f) sen x tg x sen x ( cos x ) 0 sen x 0 ; cos x x 0º 80º K x 60º 60º K x 00º 60º K. L solución de cd ecución qued: ) sen x cos x sen x sen x sen x sen x sen x 0 x 90º 60º K b) sec x tg x 0 sen x sen x 0 cos x cos x x 70º 60º K cos x x c) 6 cos cos x 6 cos x x 0º 60º K cos x cos x cos x x 40º 60º K d) 6 cos x 6sen x sen x 6 sen x sen x x 90º 60º K e) tg x tg x tg x tg x tg x x 0º 80º K x 0º 80º K f) cos x sen x 4 sen x sen x x 0º 80º K x 0º 80º K 90

13 . L solución qued: ) sen x cos x sen( x 60º ) b) sen x cos x sen( x 4º ) c) sen x cos x sen x cos x x 0º 60º K sen x cos x x 4º 60º K Imposible sen x cos x 4. Ls soluciones de los sistems quedn: ) x sen y Sumndo mbs x ecuciones: x cos y sen y sen y y y x 4 Sumndo mbs sen ( x y ) x y 90º x 90º y ecuciones obtenemos: cos x sen y 4 b) sen x cos y Sustituyendo en l ª ecución: y 0; x 60 sen (90 y ) cos y y 0; x 00 cos y cos y 4 4 y 0; x 40 y 0; x 0 c) cos x cos y De l ª ecución x y 0º x y obtenemos: cos ( x y ) Sustituyendo en l ª ecución: cos y y 60º x 00º cos ( y ) cos y cos y y 00º x 60º d) x y 90º y 90º x 6 Sustituyendo en l ª ecución sen x sen y sen x sen(90º x ) cos (4º x ) 6 sen 4º cos (90º x ) x 4º 0º ó 6 x 4º 0º y 7º x º ó y º x 7º 9

14 PÁGINA 8 9

15 SOLUCIONES. Según l figur siguiente: Llmndo l ángulo bjo el cul se ve el pedestl, tenemos: tg tg tg ( ) ; tg tg 7, x x 60,8 x x 69 6,8 x 60,8 x x 08 x x x,7 m L nchur del río es de,7 metros. 6. Qued del siguiente modo: tg A cos A 4 cos A ; sen A cos A cos A Hllmos : cos A cos A sen A sen A 96 9

16 7. Se el esquem: Los cálculos quedn: tg 60 H H 6 6 H 0,9 m tg 0 h h 6 6 h,46 m tg H h H tg. Sustituyendo tg y tg obtenemos: tg H h 7h 6H 0 h h 6 h H 6 H Ést es l relción que lig mbs lturs. Relción que se verific pr los vlores obtenidos nteriormente. 8. A prtir del desrrollo de tg( A B C ) y de sustituir A B C 80º, obtenemos l expresión buscd: tg ( A B C ) tg A (B C ) tg A tg (B C ) tg A tg B tg C tg A tg B tg C tg A tg (B C ) tg B tg C tg A tg B tg A tg C Como A B C 80º entonces tg ( A B C ) 0 y qued tg A tg B tg C tg A tg B tg C 94

17 9. Se un triángulo: El áre del triángulo es: S bse ltur c h Vmos clculr h: tg A tg B hc h tg A tg B tg B c x tg A h x De modo que sustituyendo en el áre obtenemos l fórmul buscd: S tg A tg B tg A tg B c c c tg A tg B tg A tg B 9

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