Automatización de Procesos/Sistemas de Control Ing. Biomédica e Ing. Electrónica Capitulo VI Lugar de las Raíces

Transcripción

1 Automatización de Procesos/Sistemas de Control Ing. Biomédica e Ing. Electrónica Capitulo VI Lugar de las Raíces D.U. Campos-Delgado Facultad de Ciencias UASLP Enero-Junio/2014 1

2 CONTENIDO Motivación Pasos para la Graficación Ejemplos Diseño de Controladores 2

3 Motivación Considerar que se tiene un sistema retroalimentado con acción proporcional K de control, donde G(s) representa la planta la función de transferencia de lazo cerrado estaría dada por H(s) = Y(s) R(s) = K G(s) 1+K G(s). Asumir que la planta se puede representar como un cociente de 2 polinomios de la variable s, G(s) = num(s) den(s) donde num(s) y den(s) son polinomios mónicos (coeficiente de la potencia más alta es unitario). 3

4 Los polos de lazo cerrado estarán dados por las raíces de la ecuación característica: 1+K G(s) = 0 G(s) = 1 K 1+K num(s) den(s) = 0 den(s)+k num(s) = 0 El lugar de las raíces se define como la gráfica en el plano complejo C de todas las posibles raíces de la ecuación característica (polos de lazo cerrado) en función de una ganancia o parámetro de control. Ejemplo 1: considerar que la planta es inestable de 1er orden G(s) = 1 s 1 y considerar un control proporcional K, encontrar el lugar de las raíces con respecto de K.

5 Solución: la ecuación característica se describe por 1+ K s 1 = 0 s 1+K = 0 cuya raíz está dada por s = 1 K, es decir en lazo cerrado el polo inestable se puede mover al plano izquierdo complejo en función de la ganancia K!!. De esta manera, para K > 1 se tendría un sistema retroalimentado estable, y entre más grande sea K más rápida será la respuesta transitoria. Ejemplo 2: considerar que la planta está dada por un doble integrador G(s) = 1 s 2

6 y considerar un control proporcional K, encontrar el lugar de las raíces con respecto de K. Solución: la ecuación característica se describe por 1+ K s 2 = 0 s 2 +K = 0 cuya raíces están dada para K > 0 por s 1,2 = ±j K, es decir el sistema retroalimentado entra en oscilación sostenida, y el valor de K define la frecuencia. Por otro lado, si K < 0 entonces las raíces serían reales s 1,2 = ± K, pero una sería estable y la otra inestable!! No es posible estabilizar el sistema en lazo cerrado con un control proporcional.

7 Ejemplo 3: asumir que la planta está dada por la siguiente función de transferencia de 2do orden: 1 G(s) = s(s+2) y considerar un control proporcional K, encontrar el lugar de las raíces con respecto de K. Solución: la ecuación característica se describe por 1+ K s(s+2) = 0

8 s 2 +2s+K = 0 Por lo tanto, las raíces se calculan por la ecuación general de 2do orden s 1,2 = 2± 4 4K = 1± 1 K 2 en la siguiente tabla se calculan las raíces en función de K > 0. Ganancia Polos K = 0 0, 2 K = 1 2 1± 12 K = 1 1, 1 K = 2 1±j K = 5 1±2j K = 10 1±3j Observar que para 0 K 1 los polos son reales, y para K > 1 los polos se vuelven complejos conjugados, aunque con parte real constante!

9

10 Pasos para la Graficación Definir n como el número de polos {p i } de G(s) y m el número de ceros {z i } las ramas se asocian a las trayectorias de los polos en lazo cerrado conforme K, donde todas las ramas parten de los polos en lazo abierto (K = 0). En el lugar de las raíces, m ramas tienden a los ceros de lazo abierto conforme K, y n m tenderán a. Enseguida se definen los pasos generales para graficar el lugar de las raíces con K 0. En MATLAB se utiliza el comando rlocus para obtener la gráfica. i) Marcar con una cruz los polos de lazo abierto, y con un círculo los ceros en el plano complejo C. 4

11 ii) Las ramas que se encuentran sobre el eje real se marcan al particionar el eje por segmentos definidos en función de los polos y ceros reales si dado un segmento la suma de polos y ceros que se encuentran a la derecha del segmento es impar, entonces se marca el segmento y pertenecería al lugar de las raíces. iii) Las asíntotas definen el comportamiento de las ramas que tienden a conforme la ganancia K crece, y existirán n m asíntotas cuyo centroide se calcula por α = ip i iz i n m y cada asíntotas tendrán los siguientes ángulos con respecto eje real φ l = 180o +360 o (l 1) n m l = 1,2,...,n m iv) Los ceros complejos conjugados estarán asociados con ángulos de llegada de las

12 ramas y los polos complejos conjugados con ángulos de partida que se calculan por: Ángulo de Partida de un Polo = 180 o - ( ángulos de los vectores que unen al polo con respecto del resto)+( ángulos de los vectores que unen al polo con todos los ceros). Ángulo de Llegada a un Cero = 180 o - ( ángulos de los vectores que unen al cero con respecto del resto de ceros)+( ángulos de los vectores que unen al cero con todos los polos). v) Los puntos de rompimiento o llegada de las ramas en el eje real entre un par de polos, o hacia uno o dos ceros se obtienen por K = den(s) num(s) dk = 0 ds s=punto de rompimiento o llegada den (s)num(s) den(s)num (s) = 0

13 donde ( ) representa la derivada del polinomio. Observar que todas las soluciones de la ecuación anterior tendrán significado. vi) Los cruces de las ramas con respecto del eje imaginario se obtienen de resolver por K y ω tal que o G(s) s=jω = 1 K den(jω)+k num(jω) = 0

14 Ejemplos Ejemplo 1: calcular el lugar de las raíces para la planta G(s) = 1 s(s+1)(s+2) = 1 s 3 +3s 2 +2s al considerar un control proporcional K > 0. Solución: observa que G(s) no tiene ceros (m = 0) y cuenta con 3 polos (n = 3) en s = 0, s = 1 y s = 2. Por lo que se tienen n m = 3 asíntotas con los siguientes parámetros α = = 1 3 φ 1 = 180o 3 = 60o φ 2 = 180o +360 o = 180 o 3 φ 3 = 180o +720 o = 300 o 3 Observar que solamente los segmentos (, 2] y [ 1,0] del eje real pertenecen al lugar de las raíces, y existiría un punto de rompimiento sobre el eje real. 5

15 Las ramas que siguen las asíntotas con ángulos φ 1 y φ 3 cruzan el eje imaginario, cuyo valor se obtiene de encontrar la solución a (jω) 3 +3(jω) 2 +2(jω)+K = 0 jω 3 3ω 2 +2jω +K = 0 { 2ω 2 +K = 0 ω 3 +2ω = 0 K = 6 & ω = ± rad/s Por lo que los polos en lazo cerrado serán estables para 0 < K < 6. El punto de rompimiento sobre el eje real se obtiene de calcular las raíces den (s) }{{} 3s 2 +6s+2 num(s) den(s) }{{}}{{} 1 s 3 +3s 2 +2s 3s 2 +6s+2 = 0 num (s) }{{} 0 = 0 cuyas raíces son s = y s = , por lo que la primer raíz representa el punto de rompimiento.

16 Ejemplo 2: calcular el lugar de las raíces para la planta G(s) = 1 s[(s+4) 2 +16] = 1 s 3 +8s 2 +32s al considerar un control proporcional K > 0. Solución: observa que G(s) no tiene ceros (m = 0) y cuenta con 3 polos (n = 3) en s = 0 y

17 s = 4 ± 4j. Por lo que se tienen n m = 3 asíntotas con los siguientes parámetros 0 4 4j 4+4j α = = 8/3 = φ 1 = 180o 3 = 60o φ 2 = 180o +360 o = 180 o 3 φ 3 = 180o +720 o = 300 o 3 Observar que solamente el segmento (,0] del eje real pertenece al lugar de las raíces, y no existen puntos de rompimiento o llegada sobre el eje real. Las ramas que siguen las asíntotas con ángulos φ 1 y φ 3 cruzan el eje imaginario, cuyo valor se obtiene de encontrar la solución a (jω) 3 +8(jω) 2 +32(jω)+K = 0 jω 3 8ω 2 +32jω +K = 0 { 8ω 2 +K = 0 ω 3 +32ω = 0

18 K = 256 & ω = ±5.65 rad/s Finalmente, los ángulos de partida de los polos complejos conjugados se obtienen a partir de θ 1 = 180 o 90 o 135 o = 45 o θ 2 = 180 o 270 o 225 o = 315 o = 45 o

19 Ejemplo 3: calcular el lugar de las raíces para la planta G(s) = s+2 s 2 +2s+3 = s+2 (s+1) 2 +2 al considerar un control proporcional K > 0. Solución: observar que G(s) tiene un cero (m = 1) en s = 2, y cuenta con 2 polos (n = 2) en s = 1± 2j. Por lo que se tienen n m = 1 asíntota con los siguientes parámetros α = 0 1+j 2 1 j φ 1 = 180o 1 = 180o = 0 Observar que solamente el segmento (, 2] del eje real pertenece al lugar de las raíces, y existiría un punto de llegada al cero real sobre el eje real. Además no existirán cruces de las ramas con el eje imaginario. Por lo que los polos en lazo cerrado serán siempre estables para

20 K > 0. El punto de llegada sobre el eje real se obtiene de calcular las raíces den (s) }{{} 2s+2 num(s) den(s) }{{}}{{} s+2 s 2 +2s+3 s 2 +4s+1 = 0 num (s) }{{} 1 = 0 cuyas raíces son s = 3.73 y s = 0.268, por lo que la primer raíz representa el punto de rompimiento. Finalmente, los ángulos de partida de los polos complejos conjugados se obtienen a partir de θ 1 = 180 o 90 o o = o θ 2 = 180 o 270 o o = o

21

22 Diseño de Controladores El incorporar el lugar de las raíces en la etapa de diseño de un controlador permite visualizar la ubicación de los polos de lazo cerrado al variar una ganancia de control, y su efecto en la respuesta transitoria. Con en el capítulo anterior, se necesita incluir el modelo de la planta e incorporar los requerimientos de la respuesta transitoria y de estado estable. Ejemplo: encontrar el valor apropiado de la ganancia de control K para un sistema manipulador de un rayo laser, cuya planta está dada por 1 G(s) = s(τ 1 s+1)(τ 2 s+1), con τ 1 = 0.1 y τ 2 = 0.2, de forma que se satisfaga que el error de estado estable para una rampa r(t) = At 1(t) (A = 1 mm/s) es menor 6

23 a 0.1 mm, es decir e ssr 0.1 mm, y la respuesta transitoria sea tan rápida como sea posible y con el menor sobretiro. Solución: la error de estado estable para una rampa R(s) = A/s 2 estaría dado por donde e sr = A K v 0.1 mm/s K v = ĺım s=0 sk G(s) = ĺım s=0 sk s(τ 1 s+1)(τ 2 s+1) = K por lo que se necesita cumplir A 0.1 K 10 K Por otro lado, la ecuación característica de lazo

24 cerrado estaría dada por K 1+ s(τ 1 s+1)(τ 2 s+1) = 0 K 1+ s(τ 1 τ 2 s 2 +(τ 1 +τ 2 )s+1) = 0 50K 1+ s(s 2 +15s+50) = 0 K 1+ s(s+10)(s+5) = 0 donde K = 50K. De esta manera se tiene la forma base para graficar el lugar de las raíces, con n = 3 y m = 0, es decir se tienen 3 polos en s = 0, s = 5 y s = 10, pero ningún cero. Por lo que se tienen n m = 3 asíntotas con los siguientes parámetros α = = 5 3 φ 1 = 180o 3 = 60o φ 2 = 180o +360 o = 180 o 3 φ 3 = 180o +720 o = 300 o 3

25 Observar que solamente los segmentos (, 10] y [ 5,0] del eje real pertenecen al lugar de las raíces, y existiría un punto de rompimiento sobre el eje real. Las ramas que siguen las asíntotas con ángulos φ 1 y φ 3 cruzan el eje imaginario, cuyo valor se obtiene de encontrar la solución a (jω) 3 +15(jω) 2 +50(jω)+50K = 0 jω 3 15ω 2 +50jω +50K = 0 { 15ω 2 +50K = 0 ω 3 +50ω = 0 K = 15 & ω = ±7.071 rad/s Por lo que los polos en lazo cerrado serán estables para 0 < K < 15. El punto de rompimiento sobre el eje real se obtiene de calcular las raíces den (s) }{{} 3s 2 +30s+50 num(s) den(s) }{{}}{{} 1 s 3 +15s 2 +50s 3s 2 +30s+50 = 0 num (s) }{{} 0 = 0

26 cuyas raíces son s = y s = , por lo que la primer raíz representa el punto de rompimiento. Para calcular la ganancia K correspondiente a este punto del lugar de las raíces K = s3 +15s 2 +50s 50 = 0.96 Por lo que para 0.96 < K < 15 se tienen polos estables y complejos conjugados, y entre mas

27 se acerque la ganancia a 15, menor amortiguamiento se tendrá. De esta manera, se asigna el valor de K = 10, que cumple con la condición de estado estacionario.

28 Tarea # 6 Resolver los siguientes problemas del libro de texto (Ingeniería de Control Moderna, K. Ogata, 4a Edición, Prentice Hall): B.6.2 B.6.3 B.6.8 B.6.10 B