El Espacio Normado R n

Transcripción

1 Capítulo 1 El Espacio Normado R n 1. Conceptos básicos En este curso supondremos conocida la estructura de R y su topología, así como las propiedades de las funciones continuas o derivables de una variable. Todo este bagaje inicial se usará, sin necesidad de hacer las demostraciones que correspondan. Nuestro objetivo fundamental serán las funciones de varias variables, más exactamente el cálculo diferencial para funciones definidas en subconjuntos de R n. Muchos de los resultados serán extensiones a las varias variables de otros ya estudiados en una variable, otros en cambio serán nuevos por responder a problemas que no tienen sentido en 1-variable. A pesar de que sólo estamos interesados en las funciones de un número finito de variables, muchos conceptos y demostraciones se establecerán para funciones definidas entre espacios vectoriales reales de cualquier dimensión, sentando así las bases para un Cálculo Diferencial en espacios funcionales y, evitando además el uso de coordenadas, cuando éstas no sean necesarias. Consideramos pues funciones f : A E F, siendo E y F espacios vectoriales sobre el cuerpo de los números reales de dimensión 1. Cuando E sea de dimensión n diremos que f es una función de las n-variables reales (x 1, x 2,..., x n ). En tal caso, puesto que E es isomorfo a R n, estamos identificando E y R n. También es habitual decir que una función que toma sus valores en R (i.e. F = R ) es una función escalar, mientras que la función se dice vectorial cuando dim(f ) > 1. En el caso en que F sea el producto de un número finito de espacios vectoriales, f : A E F 1 F 2 F p, si se denota por f i (x) la i-ésima coordenada de f(x), escribiremos f = 1

2 2 El Espacio Normado R n 1.1 (f 1,..., f p ) y diremos que las funciones f i : A E F i ; i = 1, 2,..., p, son las funciones coordenadas de f. Sea E un espacio vectorial sobre un cuerpo K = R ó C indistintamente. Una norma sobre E es una aplicación de E en R que satisface las tres propiedades siguientes: NOR1. x = 0 si y sólo si x = 0 NOR2. λx = λ x, λ K, x E NOR3. x + y x + y, x, y E Al número real x se le denomina norma del vector x y se dice que el par (E, ) es un espacio normado. En lo sucesivo, todos los espacios vectoriales serán reales, es decir K = R. Ejemplos 1.1 (1) Las únicas normas sobre R son el valor absoluto y sus múltiplos positivos. En efecto, sea una norma cualquiera sobre R y sea k = 1. Entonces x = x 1 = x 1 = k x. Para probar que k debe ser un número real mayor estrictamente que 0, sólo hay que tener en cuenta que toda norma sobre un espacio vectorial E satisface las propiedades: NOR4. Toda norma es simétrica, es decir x = x, para todo x E, NOR5. La norma de todo vector de E es un número real positivo, La propiedad NOR4 se obtiene trivialmente de la segunda condición de norma. NOR5 se demuestra así: 0 = x x x + x = 2 x x 0. (2) En R n las normas más utilizadas son ( n ) 1/p (x 1,..., x n ) p = x i p, p 1 i=1 (x 1,..., x n ) = máx{ x 1,..., x n }.

3 1.3 El Espacio Normado R n 3 La comprobación de que se satisfacen las condiciones de norma para p = 1 y p = es bien fácil. Para el caso p = 2 cabe una demostración basada en la desigualdad de Cauchy-Schwartz, que veremos a continuación. La 2 es la norma de la geometría euclídea, ella forma parte del importante grupo de normas que se derivan de un producto escalar las Normas Euclídeas. La norma es conocida como la norma producto. Como es bien conocido mediante la igualdad (x, y) (u, v) = xu + yv, se define una aplicación bilineal de R 2 R 2 en R, el producto escalar euclídeo (ejercicio). Obviamente, se tiene que el producto escalar de un vector por sí mismo es justamente el cuadrado de su norma euclídea: (x, y) (x, y) = x 2 + y 2 = (x, y) 2. Vamos a ver que se satisface la desigualdad, (x, y) (u, v) (x, y) (u, v), conocida como Desigualdad de Cauchy-Schwartz. Es obvio que esta desigualdad es cierta sii (xu + yv) 2 (x 2 + y 2 )(u 2 + v 2 ) 2xyuv x 2 v 2 + y 2 u 2 sii x 2 v 2 + y 2 u 2 2xvyu 0, y es claro que esto último es cierto pues x 2 v 2 + y 2 u 2 2xvyu = (xv yu) 2. Deducimos entonces que ( ) ( ) (x, y) + (u, v) 2 = (x, y) + (u, v) (x, y) + (u, v) = (x, y) (x, y) + 2(x, y) (u, v) + (u, v) (u, v) ( 2 (x, y) (x, y) (u, v) + (u, v) 2 = (x, y) + (u, v) ). Para el caso general, es decir p > 1 arbitrario, referirnos a algunos conceptos y resultados prevos, habituales de los espacios normados: 1.2 Toda norma lleva asociada de forma natural una distancia d definida por d(x, y) = x y. En particular, en R la distancia asociada a la norma valor absoluto es la usual d(x, y) = x y. Para E = R 2 la distancia asociada a 2 es la distancia euclídea. Para es fácil ver que si P, Q son dos puntos del plano situados en un rectángulo de lados paralelos a los ejes de medidas s, t, entonces d (P, Q) máx{t, s}. sii

4 4 El Espacio Normado R n 1.5 Definición 1.3 En un espacio normado (E, ), i) al conjunto de puntos de E que distan de un punto a menos que r > 0 lo llamaremos bola abierta de centro a E y radio r > 0 y se denotará por B(a, r). Luego B(a, r) = {x E : x a < r}. Análogamente la bola cerrada será, B[a, r] = {x E : x a r} y la esfera, S[a, r] = {x E : x a = r}; ii) un subconjunto A E se dirá acotado si existe alguna constante α 0 tal que x α para todo x A. Equivalentemente si A está contenido en alguna bola. Introducimos ahora la noción de convexidad: Definición 1.4 En un espacio vectorial E se denomina segmento de extremos a, b, al conjunto [a, b] = {a + t(b a): t [0, 1]} = {(1 t)a + tb: t [0, 1]}. Llamaremos segmento abierto de extremos a y b al conjunto (a, b) = [a, b] \ {a, b}. El conjunto A se dirá convexo si para cada par de puntos de A, el segmento que los une está totalmente contenido en A. Proposición 1.5 Sea E un espacio vectoial y : E R + una aplicación satisfaciendo las condiciones NOR1 y NOR2 de norma. Entonces es una norma sobre E si y sólo si la bola cerrada unidad, B[0, 1], es un conjunto convexo. Demostración. Supongamos que es una norma sobre E y sean x, y B[0, 1] entonces para cada t [0, 1] se tiene que (1 t)x + ty (1 t) x + t y (1 t) + t = 1. Recíprocamente veamos que si B[0, 1] es convexo y los vectores x, y E son no nulos entonces x + y x + y o equivalentemente que En efecto: x + y x + y 1. x + y x + y = x x + y + y x + y x x = x + y x + y y x + y y x x y + y = 1. x + y x x + y y

5 1.7 El Espacio Normado R n 5 Ejercicio. Probar que en un espacio normado cada bola es un conjunto convexo con más de un punto (y por tanto con infinitos puntos). Corolario 1.6 Si p es un número real mayor que 0, entonces la aplicación p : R n R es una norma si y sólo p 1. Demostración. Sea p un número real mayor que 1. Es inmediato comprobar que la aplicación p satisface las condiciones de la proposición anterior por lo que será una norma si B[0, 1] es un conjunto convexo. Para probar esto último vamos a usar el hecho de que la función de una variable f(x) = x p es convexa en R, es decir para cada x, y R se tiene que f(x+t(y x)) f(x)+ t(f(y) f(x)) (el segmento de extremos (x, f(x)), (y, f(y)) está por encima de la gráfica de f) o equivalentemente f(1 t)x + ty) (1 t)f(x) + tf(y) para todo t [0, 1]. Sean pues x = (x 1,..., x n ), y = (y 1,..., y n ) dos puntos de B[0, 1], entonces n ( (1 t)x + ty p ) p = (1 t)x i + ty i p i=1 n n n (1 t) x i p + t y i p = (1 t) x i p + t y i p i=1 i=1 i=1 = (1 t) x p p + t y p p (1 t) + t = 1. (Ver en ejercico 1A una demostración alternativa). Lema 1.7 Si f es una función real derivable en un intervalo I entonces f es convexa en I si y sólo si f es no decreciente en I. Demostración. Supongamos que f es no decreciente y sean x < y en I. Se trata de probar que para cada z = x + t(y x) [x, y] se tiene que f(z) f(x) + t(f(x) f(y)) = f(x) + z x y x (f(y) f(x)) o lo que es lo mismo que para cada z (x, y] se tiene f(z) f(x) z x f(y) f(x). y x Para ello sólo hemos de observar que la función ϕ(z) = f(z) f(x) z x

6 6 El Espacio Normado R n 1.8 es derivable en cada z > x y su derivada es no negativa, por lo que ϕ debe ser no decreciente y por tanto ϕ(z) ϕ(y) si z y, que es justamente lo que se quiere demostrar. En efecto: ϕ (z) = 1 (f (z) z x f(z) f(x) ) = 1 z x z x (f (z) f (ξ)) 0, ya que f es no decreciente y ξ < z. Recíprocamente, si f es convexa y x < y entonces De igual modo f f(x + t(y x)) f(x) (x) = lím t 0 + t(y x) f(x) + t(f(y) f(x)) f(x) f(y) f(x) =. t(y x) y x f f(y + t(x y)) f(y) (y) = lím t 0 + t(x y) En consecuencia f (x) f (y). f(x) f(y) x y = f(y) f(x). y x Ejercicio. Probar que la función f(x) = x p es convexa para p > 1. Las normas anteriores pueden definirse sobre productos finitos de espacios normados, o sea si E en en vez de R n es un producto de los espacios normados E i, i = 1,..., n, entonces sobre el espacio vectorial E = E 1 E n podemos considerar de forma análoga la norma producto y las normas p. 1.8 Algunas de las propiedades elementales de las bolas en un espacio normado son las siguientes: 1. La geometría de las bolas no depende del centro ni del radio. Esto es debido a la igualdad B(a, r) = a + rb(0, 1) (ejercicio), que nos dice que toda bola se obtiene mediante la traslación de una homotética de la bola unidad (de centro 0 y radio 1). 2. Para cada par de puntos distintos a, b E existes dos bolas centradas en a y en b respectivamente que son disjuntas: Si a b entonces r = 1/2 a b es mayor estrictamente que 0 y las bolas B(a, r) y B(b, r) son disjuntas, pues si x B(a, r) entonces a b a x + x b < r + x b, lo que implica que x b > r y por tanto x B(b, r).

7 1.10 El Espacio Normado R n 7 Ejercicio. Dibujar en R 2 una bola respecto a la normas, 1, 2 y también respecto a la norma (x, y) = x + x y. La extensión a los espacios normados de los conceptos de sucesión convergente, de Cauchy, función continua etc es completamente natural: Definición 1.9 i) La sucesión de puntos del espacio normado (E, ) se dice que converge (o que -converge, si pudiera haber confusión) al punto x, {x p } x, si ε > 0 ν N : p ν x p x < ε. En otras palabras, si a partir de ν todos los términos de la sucesión están en la bola B(x, ε). Cuando la sucesión {x p } converge a x, también se dice que x es el punto límite de la misma y se escribirá lím p x p = x. ii) Una función f : A E F es continua en a A si ε > 0 δ > 0 : x A, x a < δ f(x) f(a) < ε. Es fácil ver que un toda función continua en un punto es secuencialmente continua en ese punto, i.e. si la función f es continua en el punto a y {x p } es una sucesión de puntos que converge al punto a, entonces la sucesión de sus imágenes {f(x p )} converge a f(a). El recíproco también es cierto (en espacios normados) pues si f no fuese continua en a existiría algún ε > 0 y una sucesión de puntos x p de A tal que x p a < 1 p tal que f(a p ) f(a) > ε, es decir f no sería tampoco secuencialmente continua. Es claro también que una sucesión no puede converger a dos puntos distintos. Si la sucesión {x p } convergiese a los dos puntos distintos x 1 x 2, tomando ε tal que B(x 1, ε) B(x 2, ε) =, todos los términos de la sucesión a partir de uno en adelante deberían estar en ambas bolas, lo cual es absurdo. Sin embargo una misma sucesión de un espacio vectorial E puede ser convergente respecto a una norma y no serlo respecto a otra: Ejemplo 1.10 Sea E = C[0, 1] el espacio vectorial de las aplicaciones continuas de [0, 1] en R. Consideremos en E las dos normas siguientes (es un buen ejercicio comprobar que en efecto lo son): f = máx{ f(t) : t [0, 1]} f 1 = 1 0 f(t) dt.

8 8 El Espacio Normado R n 1.12 Observemos que una sucesión {f p } de funciones de E es - convergente a la función f de E, si y sólo f p f = máx{ f p (t) f(t) : t [0, 1]} 0, es decir si y sólo si ε > 0 ν N tal que si p ν entonces máx{ f p (t) f(t) : t [0, 1]} < ε f p (t) f(t) < ε t, es decir si y sólo si la sucesión converge uniformemente a f. Teniendo en cuenta esto es claro que la sucesión f p (t) = t p no converge respecto a esta norma a la función 0. Sin embargo esta sucesión es 1 -convergente a 0, pues 1 1 f p 1 = f p (t) dt = t p dt = 1 p Por otra parte, veremos a continuación que la situación descrita por el ejemplo anterior sólo será posible en espacios normados de dimensión infinita, en donde pueden existir como en el ejemplo normas no equivalentes. 2. Normas equivalentes Definición 1.11 Dos normas, sobre el mismo espacio vectorial E se dicen equivalentes si existen dos números reales α, β mayores estrictamente que 0 tales que x α x ; x β x, x E. Ejercicio. Demostrar que las normas p de R 2 son todas equivalentes. Proposición 1.12 Sean, dos normas sobre el mismo espacio vectorial E. Los enunciados siguientes son equivalentes: 1) Las normas, son equivalentes, 2) Cada sucesión que converge respecto a una de ellas converge también respecto a la otra y al mismo límite, 3) Cada sucesión que converge respecto a una de ellas converge también respecto a la otra. Demostración. 1) implica 2) Supongamos que las normas son equivalentes i.e existen α, β mayores estrictamente que 0 tales que x α x ; x β x, x E, y sea {x p } una sucesión -convergente a x. Luego dado

9 1.13 El Espacio Normado R n 9 ε > 0, a partir de un cierto índice, los términos de la sucesión -distan de x menos que ε. Se deduce entonces que, a partir de ese índice, x p x β x p x < βε. Es decir la sucesión {x p } también -tiende a x. 2) implica 1) Recíprocamente, supongamos que las normas no son equivalentes, por ejemplo que no se satisface β para ningún β > 0. En particular, que para cada p N existe x p E tal que x p > p x p. O lo que es lo mismo, que x p x p < 1/p, lo que significa que la sucesión, { x p } x p, -converge a 0. Pero, en cambio, esta sucesión no -converge a 0, pues xp x p = 1. Trivialmente 2) implica 3). 3) implica 2) Teniendo en cuenta que una sucesión {x p } converge a a si y sólo si la sucesión {x p a} converge a 0, bastará probar que si {x p } es una sucesión que -converge a 0 entonces esta sucesión -converge a 0. Por 3) {x p } debe ser -convergente. Lo que se trata de probar es que además debe hacerlo a 0. En efecto, supongamos que {x p } -converge a b, entonces es obvio que la sucesión {2x p } -converge a 0 y -converge a 2b. Sea {y p } la sucesión definida por y p = x p si p es impar e y p = 2x p si p es par. Obviamente {y p } -converge a 0, por lo que según 3), debe ser -convergente a algún c. Pero la subsucesión de los términos impares -converge a b mientras que la de los términos pares converge a 2b. Por tanto c = b = 2b que implica b = 0 como queríamos probar. Proposición 1.13 Sea f : A E F y a A. Si y son normas equivalentres de E y F, entonces f es -continua en a si y sólo si es -continua en a Demostración. Supongamos f es -continua en a y veamos que entonces es continua (equiv. secuencialmente continua ) en a respecto a las normas. Sea entonces {x p } una suceción de puntos de A -convergente a a. Como las normas son equivalentes, dicha sucesión es tambien -convergente a a según la proposición anterior y por tanto {f(x p )} es -convergente a f(a) lo que implica nuevamente que {f(x p )} es también -convergente a f(a). Nuestro objetivo inmediato es probar que en R n todas las normas son equivalentes. Utilizaremos en la demostración los dos resultados siguientes (ejercicio):

10 10 El Espacio Normado R n 1.14 En un espacio normado si {x p } es una sucesión convergente entonces también es de Cauchy, i.e para cada ε > 0 existe un índice ν tal que si p, q ν entonces x p x q ε. En R 2 respecto a la norma producto, una sucesión {(x p, y p )} converge al punto (x, y) si y sólo si las sucesiones coordenadas {x p } y {y p } convergen respectivamente a x e y. Igualmente en R n. Teorema 1.14 En R n todas las normas son equivalentes. Demostración. Vamos a probar que cada norma sobre R n es equivalente a la norma. 1) Denotemos por e i = (0,..., 1,..., 0) entonces n x = (x 1,..., x n ) = x i e i i=1 n x i e i ( x e i ) = ( e i ) x. i=1 Entonces, si β = e i, se ha probado que para todo x R n, x β x. 2) Para probar la otra desigualdad razonaremos por inducción sobre n. Ya sabemos que es cierta para n = 1, pues las únicas normas sobre R son los múltiplos positivos del valor absoluto. Supongamos cierto en R n 1 la existencia de una desigualdad en este sentido entre cada norma y la norma producto. Para probar que esto mismo sucede en R n, observemos que si v = (x 1, x 2,..., x n ) es un vector no nulo, entonces para cada x j 0 podemos escribir v = x j (x 1 /x j,..., 1,..., x n /x j ), de lo que se deduce que v = v u, donde u es un vector que tiene un 1 en alguna de sus coordenadas. La desigualdad que buscamos se obtendría si fuese cierto que existe alguna constante α > 0 tal que para cada vector u de este tipo u fuese mayor que α. Denotemos por L 1, L 2,... los conjuntos formados por los puntos que tienen un 1 en la 1 a coordenada, un 1 en la 2 a coordenada,... y veamos que en cada uno de ellos es cierto lo anterior. Supongamos que no y que por ejemplo existe una sucesión de vectores u p = (1, y p 2,..., yp n) L 1, p = 1, 2,... tal que u p 1/p. Teniendo en cuenta que u p = (1, y p 2,..., yp n) = (1, 0,..., 0) + (0, y p 2,..., yp n), eso significaría que la sucesión {(0, y p 2,..., yp n)} -converge a ( 1, 0,..., 0) (luego también es -Cauchy).

11 1.16 El Espacio Normado R n 11 Denotemos por a la norma sobre R n 1 definida así: (y 2,..., y n ) = (0, y 2,..., y n ) (comprobar que es norma). Por hipótesis de inducción debe existir una constante s > 0 tal que (y 2,..., y n ) s (y 2,..., y n ) = s (0, y 2,..., y n ). De esta desigualdad se deduce entonces que el carácter -Cauchy de la sucesión {(0, y p 2,..., yp n)} implicaría que la sucesión {(y p 2,..., yp n)} es -Cauchy, equivalentemente que las sucesiones coordenadas son sucesiones de Cauchy de números reales, luego convergentes. Si c 2, c 3,..., c n fuesen sus límites entonces la sucesión {(y p 2,..., yp n)} convergería respecto a la norma al punto c = (c 2,..., c n ), pero entonces, teniendo en cuenta que (según vimos en 1) β, la sucesión {(0, y p 2,..., yp n)} -convergería a (0, c 2,..., c n ). Habríamos obtenido dos límite diferentes para la misma sucesión. Corolario 1.15 Una sucesión de puntos de R n es -convergente ( - Cauchy) si y sólo si cada sucesión coordenada es una sucesíon convergente (de Cauchy) de números reales. En consecuencia R n es un espacio normado completo (un espacio de Banach) respecto a cualquier norma i.e., cada sucesión de Cauchy en (R n, ) es convergente cualquiera que sea la norma. Demostración. Puesto que en R n todas las normas son equivalente, una sucesión es -Cauchy si y sólo es -Cauchy y, por tanto, si y sólo si cada sucesión coordenada es una sucesión de números reales de Cauchy (luego convergente, pues suponemos conocido que R es completo). Se tiene pues que dicha sucesión, según veíamos antes, es -convergente lo que, según la proposición 1.12, equivale a ser -convergente. 3. Topología de un espacio normado En esta sección establecemos las nociones imprescindibles de topología a que tendremos necesidad de referirnos en el curso. Comenzamos aquí con el estudio de las funciones de varias variables, y más generalmente con el de las funciones del tipo f : A E F con E y F espacios normados. Para ello necesitaremos definir previamente algunos conceptos de topología: Definición 1.16 Un subconjunto A de un espacio normado (E, ) se dirá entorno del punto a (o equivalentemente que a es un punto interior de A: a A) o si existe un número real r > 0 tal que B(a, r) A. Un subconjunto U se dirá abierto cuando sea entorno de todos sus puntos o dicho de otra

12 12 El Espacio Normado R n 1.19 o forma si U= U. A los complementarios de abiertos se les llama cerrados. Nos referiremos a la familia τ de los abiertos como a la topología del espacio normado. Es obvio que todo conjunto que contenga un entorno de un punto a es también entorno de a y que la intersección de dos entornos del punto a es también entorno de a. Asimismo es claro que la unión arbitraria de abiertos y la intersección finita de abiertos es un abierto. Proposición 1.17 Un conjunto U es abierto del espacio normado E si y sólo si U es unión de bolas abiertas. Demostración. Si U es abierto entonces U = x U B(x, r x). Recíprocamente, cada B(a, r) es un conjunto abierto. En efecto si x B(a, r) y 0 < r x < r x a entonces cada y B(x, r x ) verifica que y a y x + x a < r x + x a < r. Proposición 1.18 Si y son normas equivalentes sobre el espacio vectorial E y a E, entonces todo -entorno de a es un -entorno de a. En consecuencia ambas normas inducen la misma topología sobre E. Demostración. Denotemos por V (a) y V (a) a la familia de entornos de a respecto a esas normas. Supongamos que son equivalentes y que U V (a), es decir que existe B(a, r) U. Al ser equivalentes ambas normas existe α > 0 tal que x a α x a para todo x. Por tanto si x a < r/α entonces x a < r o sea que B (a, r/α) B(a, r) U, lo que implica que U V (a). De igual modo se prueba que V (a) V (a) Ejercicio. Probar que todo subespacio vectorial de R n es cerrado. Proposición 1.19 o A es el mayor abierto contenido en A. o Demostración. Veamos que A es abierto. Sea pues x A. o Entonces existe alguna bola B(x, r) A lo que implica (puesto que las bolas abiertas son o conjuntos abiertos) que B(x, r) = B(x, r) A o o y por tanto que A es entorno de x. El mismo argumento vale para probar que es el mayor abierto contenido en A pues si B es un abierto y B A entonces B = B o A. o Si A un conjunto de un espacio normado E, entonces es obvio que podemos descomponer E en tres conjuntos disjuntos, los formados por los puntos que son interiores a A, los que son interiores a A c y los demás, es decir los

13 1.21 El Espacio Normado R n 13 que no son interiores ni a A ni a A c, los cuales se dicen que son los puntos de la frontera de A, F r(a) ó A. Por tanto un punto x F r(a) si cada bola centrada en x tiene intersección no vacía con A y con A c. Podemos escribir pues: F r(a) = ( o A o  c ) c ; E = o A o  c F r(a). Por último llamaremos clausura de A o adherencia de A, al conjunto A cl(a) = A F r(a). Proposición 1.20 Un conjunto A de un espacio normado es cerrado si y sólo si A = A. Demostración. Por definición si A es cerrado entonces A c es abierto, luego o A c = (  c ). Luego A = A o F r(a) = (  c ) c ) = (A c ) c = A. o Recíprocamente si A = A entonces A c = (A) c = (  c ). es decir A c es abierto. Proposición 1.21 Para cada conjunto A de un espacio normado son equivalentes: 1) a A, 2) B(a, r) A, r > 0, 3) Existe una sucesión {x p } A tal que {x p } a. Demostración. a A significa que ninguna bola centrada en a puede estar contenida en A c o sea que cada bola de centro en a debe tener intersección no vacía con A. Luego 1) y 2) son equivalentes. Si suponemos cierto ahora 2) entonces para cada p N existe un punto x p A que pertenece a la bola B(a, 1 p ) y por tanto la sucesión {x p} converge a a, es decir se satisface 3). Por último, dándole la vuelta al argumento anterior si una sucesión {x p } A converge a a, entonces cada bola centrada en a contiene puntos de A (todos los de la sucesión a partir de uno en adelante), luego es cierto 2). Un punto a A se dirá que es de acumulación de A si cada bola centrada en a contiene algún punto de A distinto de a. En caso contrario el punto a se dirá aislado de A. Al conjunto A de los puntos de acumulación de A se le llama conjunto derivado de A. o

14 14 El Espacio Normado R n 1.22 Ejercicio. Probar que en espacios normados un punto a es de acumulación de A si y sólo si cada entorno de A contiene infinitos puntos de A. Dar un ejemplo que pruebe que a puede ser de acumulación de A sin necesidad de pertenecer a A. Probar también que si un punto a es interior a A o más generalmente si existe una B(a, r) A {a} entonces a A. 4. Límites de funciones. Funciones continuas sobre compactos Definición 1.22 Sea f : A E F y a un punto de acumulación de A. Diremos que el punto l F es límite de la función en el punto a, lo que denotaremos como lím f(x) = l, x a si para ε > 0, existe δ > 0 tal que si x A, x a y x a < δ entonces f(x) l < ε. Consecuencias directas de la definición son: a) Una función no puede tener dos límites diferentes en el mismo punto. Como antes con las sucesiones, la demostración de la unicidad del límite se basa en que puntos distintos admiten entornos disjuntos. b) Sea f : A E F y a A. Se tiene: Si a no es de acumulación de A (en ese caso se dice que a es un punto aislado de A) entonces f es continua en a. Si a A entonces f es continua en a si y sólo si lím x a f(x) = f(a). Si a es aislado de A entonces existe δ tal que el único x de A con la propiedad x a < δ es justamente el punto a. Por lo tanto es obvio que f es continua en a. Si a A A, entonces: (f continua en a) significa: ε > 0, δ x a < δ, x A f(x) f(a) < ε (lím x a f(x) = f(a)) significa: ε > 0, δ x a < δ, x A, x a f(x) f(a) < ε Obviamente los dos enunciados coinciden pues para x = a, f(a) f(a) = 0 < ε.

15 1.26 El Espacio Normado R n 15 d) Análogamente a como vimos en la Proposición 1.13, la existencia y el valor del límite de una función en un punto o la continuidad se mantienen, si se cambian las normas de E y F por otro par de normas equivalentes. En particular, si los espacios E y F son de dimensión finita, para estudiar la existencia de límite de una función en un punto o la continuidad, podemos utilizar las normas que queramos Reglas de cálculo para límites 1.23 Sean E, F 1,..., F p espacios normado f : A E F donde F = F 1 F 2 F p con la norma producto. Sea a A y denotemos por f i, i = 1, 2,..., p a las funciones coordenadas de f, entonces lím f(x) = l = (l 1,..., l p ) lím f i (x) = l i. x a x a Demostración. Teniendo en cuenta que f(x) l = (f 1 (x) l 1,..., f p (x) l p ) = máx 1 i p f i(x) l i, es obvio que f(x) l 0 sii f i (x) l i 0, i Sea f : A E F tal que en el punto a A, lím x a f(x) = b y supongamos que g es una función definida en un subconjunto B de F que contiene a f(a) {b} y que es continua en b. Entonces, Demostración. Trivial. lím g(f(x)) = g(lím f(x)) = g(b). x a x a 1.25 Sea f : A E F, a A. Si lím x a f(x) = b y b 0, entonces existe un entorno U de a y α > 0 tal que f(x) α para cada x U A. En particular, f(x) 0 para cada x U A. Demostración. Como consecuencia de lo anterior y de la aplicación norma es continua en todo punto se tiene que lím x a f(x) = lím x a f(x) = b. Por tanto, tomando ε = b /2, existirá δ > 0 tal que si x a < δ, x A, x a entonces f(x) b b /2 b /2 f(x) 3 2 b. Luego tomando U = B(a, δ) se tiene que f(x) α = b /2 para todo x U A.

16 16 El Espacio Normado R n Si f : A E F y lím x a f(x) = l, entonces si B A y a B, lím x a f B (x) = l. Demostración. Trivial. Es claro que, contrariamente, la existencia de lím x a f B (x) no implica la del lím x a f(x). Sin embargo en el caso particular en el que B = B(a, r) A, entonces a B a A y lím x a f(x) = l lím x a f B (x) = l 1.27 Para el cálculo de límites son aplicables las siguientes fórmulas: 1) lím(f + g)(x) = lím f(x) + lím g(x); lím(λf)(x) = λ lím f(x) x a x a x a x a x a 2) Si f, g son funciones escalares, entonces lím(fg)(x) = lím f(x) lím g(x) x a x a x a 3) Si f, g son escalares y lím x a g(x) 0, entonces lím x a (1/g)(x) = Por tanto lím x a (f/g)(x) = lím x a f(x) lím x a g(x). 1 lím x a g(x). Demostración. Las demostraciones son totalmente análogas a las correspondientes para funciones de 1-variable: 1) es inmediata. 2) Si lím x a f(x) = l; lím x a g(x) = r, entonces: (fg)(x) lr = f(x)(g(x) r) + r(f(x) l) f(x) g(x) r + r f(x) l f(x) l g(x) r + l g(x) r + r f(x) l. Puesto que cada uno de los tres sumandos anteriores tienden a 0 cuando x a, se deduce que lím x a (fg)(x) = lr. 3) Puesto que lím x a g(x) = r 0, de 1.25 se deduce que existe α > 0 y δ 1 > 0 tal que si x a < δ 1, x A, x a entonces g(x) > α. Por lo tanto, 1 g(x) = g(x) r g(x) r 0. r r g(x) r α

17 1.31 El Espacio Normado R n 17 Los resultados anteriores sobre límites se trasladan de forma automática a resultados análogos sobre continuidad: Corolario 1.28 La función f = (f 1,..., f p ) es continua en un punto a si y sólo si las funciones coordenadas f i son todas continuas en a. Si f continua en a, g continua en b = f(a), entonces g f es continua en a. Si f, g continuas en a, entonces f + g, λf, (y si f, g son escalares) fg y f/g(cuando g(a) 0), son continuas en a. Una función f : A E F se dirá continua en A, cuando sea continua en todos los puntos de A. Un conjunto U A se dirá abierto sobre A si para cada x U existe una bola, B(x, r x ), tal que B(x, r x ) A U. Proposición 1.29 La función f : A E F es continua en A si y sólo si para cada conjunto abierto V de F la antimagen f 1 (V ) es un abierto de A. Demostración. Supongamos f continua en A y sea V un abierto de F. Veamos f 1 (V ) abierto de A: si x f 1 (V ) se tiene f(x) V luego existe B(f(x), ε x ) V y por la continuidad de f en x debe existir δ x tal que f(b(x, δ x ) A) B(f(x), ε x ) V B(x, δ x ) A f 1 (V ). Reciprocamente, sea el abierto V = B(f(a), r). Luego f 1 (V ) es un abierto de A que contiene a a. Luego, existe δ tal que B(a, δ) A f 1 (V ) lo que implica que f(b(a, δ) A) V = B(f(a), r). Definiciones 1.30 La función f : A E F se dice: 1) uniformemente continua en A, si para cada ε > 0 existe un δ > 0 tal que si x y < δ (x, y A) entonces f(x) f(y) < ε. De la definición se deduce que si f es uniformemente continua en A entonces es continua en A, es decir continua en cada punto x A, pero con la particularidad de que el δ no depende más que de ε, es decir δ x puede tomarse el mismo para todo x. 2) lipschitziana, si existe una constante k > 0 tal que f(x) f(y) k x y. Obviamente cada función lipschitziana es uniformemente continua. Ejemplos Cada función constante es trivialmente continua. 2. En todo espacio normado (E, ) la aplicación norma, : E R, es continua.

18 18 El Espacio Normado R n 1.33 En efecto, de hecho esta aplicación es lipschitziana, pues como es fácil de comprobar se tiene la siguiente desigualdad (ejercicio): x y x y 3. Sean (E i, ), i = 1, 2,..., p espacios normados. Consideremos sobre E = E 1 E 2 E p la norma producto (x 1,..., x p ) = máx x i 1 i p Entonces, cualquiera que sea j, la aplicación proyección π j π j (x 1,..., x p ) = x j es continua (lipschitziana), pues : E E j π j (x 1,..., x p ) π j (y 1,..., y p ) = x j y j (x 1 y 1,..., x p y p ) = (x 1,..., x p ) (y 1,..., y p ). Completaremos la serie de definiciones anteriores con la definición de límite. Para ello necesitaremos referirnos previamente a la noción de punto de acumulación: Otras consecuencias En espacios normados la suma y la multiplicación por escalares son aplicaciones continuas. Cada función polinómica definida en R n es continua en todo punto. Si f, g son funciones continuas sobre un subconjunto A de un espacio normado y toman sus valores en R, entonces {x A : f(x) < g(x)} es abierto de A y los conjuntos {x A : f(x) g(x)} y {x A : f(x) = g(x)} son cerrados de A Límites iterados y límites direccionales A continuación establecemos algunas condiciones necesarias para la existencia de límite de funciones (escalares, si se quiere) de varias variables reales. Definición 1.32 (Límites iterados) Sea f : A R 2 R y (x 0, y 0 ) A. A cada uno de los límites lím ( lím f(x, y)), x x 0 y y 0 se les denomina límites iterados. lím ( lím f(x, y)) y y 0 x x 0

19 1.35 El Espacio Normado R n 19 Proposición 1.33 Con las notaciones anteriores, si existe lím f(x, y) = l, (x,y) (x 0,y 0 ) y en algún entorno U de (x 0, y 0 ) existe el límite lím y y0 f U A(x, y) entonces también existen y es igual a l el límite iterado lím x x0 (lím y y0 f(x, y)). Mismo enunciado para el otro límite iterado. Demostración. Resulta directamente de aplicar la definición de límite. Definición 1.34 (Límites direccionales) Dada una recta r que pasa por el punto (x 0, y 0 ) Llamaremos límite de la función f en el punto (x 0, y 0 ) siguiendo esa recta al lím (x,y) (x0,y 0 ) f B (x, y), donde B = r A (supuesto que (x 0, y 0 ) B ). Por tanto, si r es la recta de pendiente m, y y 0 = m(x x 0 ), entonces el límite siguiendo esa recta será: lím x x 0 f(x, y 0 + m(x x 0 )). Los límites siguiendo rectas serán los límites direccionales.(análoga definición para límite siguiendo curvas que pasan por el punto). Nota. La definición 1.32 se generalizan de manera natural al caso de funciones de 3 o más variables. Para generalizar también la noción de límites direccionales de una función en un punto, deberemos escribir en forma paramétrica las ecuaciones de las rectas que pasan por el punto. Así si a = (a 1,..., a n ), entonces x 1 = a 1 + th 1, x 2 = a 2 + th 2,..., x n = a n + th n es la ecuación de la recta que tiene como vector director h = (h 1,..., h n ) y que pasa por a. El límite siguiendo esta recta será entonces lím f(a 1 + th 1,..., a n + th n ). t 0 Para n = 2 el límite anterior coincide con el límite direccional en el sentido de la definición 1.34, siguiendo la recta de pendiente m = h 2 /h 1. Como en el caso de los límites iterados, es evidente que la existencia de límite implica la de los límites direccionales y siguiendo curvas. Se deduce, pues, que la existencia de los límites iterados, direccionales y siguiendo curvas son condiciones necesarias para la existencia del límite. Por lo tanto: NO existe límite cuando

20 20 El Espacio Normado R n No existe alguno de los límites iterados o existen pero son distintos. Ejemplo 1.35 Consideremos la función f(x, y) = x2 + y x 2 + y 2 si (x, y) (0, 0); f(0, 0) = 0. Esta función no es continua en (0, 0) ya que uno de los límites iterados no existe: lím (lím x 2 + y y 0 x 0 x 2 + y ) = lím y 2 y 0 y = ±1. Ejemplo 1.36 Este es un ejemplo de una función para la que los límites iterados existen pero son diferentes (luego el límite no existe) Se tiene que f(x, y) = (x + y 1) ln(x2 + 2y 2 ) (x 1) 2 + y 2, si (x, y) (1, 0). lím (lím 2(x 1) ln x f(x, y)) = lím x 1 y 0 x 1 (x 1) 2 = 2 lím (lím y ln(1 + 2y 2 ) 4y f(x, y)) = lím y 0 x 1 y 0 y 2 = lím y y 2 = No existe alguno de los límites direccionales o existen, pero no son iguales. Ejemplo 1.37 Sea f(x, y) = xy x 2 + y 2 si (x, y) (0, 0). Los límites direccionales de esta función no son todos iguales. En efecto: mx 2 lím f(x, mx) = lím x 0 x 0 (m 2 + 1)x 2 = m m que depende de m. Se deduce pues que el límite no existe.

21 1.40 El Espacio Normado R n 21 Ejemplo 1.38 Sea f(x, y) = x 2 y x 4 + (y x) 2 si (x, y) (0, 0); f(0, 0) = 0. Es inmediato comprobar que lím x 0 f(x, mx) = 0 para m 1. En cambio para m = 1 el límite anterior no existe, es decir la función no tiene límite en (0,0) siguiendo la recta y = x y por lo tanto no admite límite en ese punto (no es continua en (0,0)). 3. No existe el límite siguiendo alguna curva que pasa por el punto o el límite varía dependiendo de la curva que se tome. Ejemplo 1.39 Consideremos la función f(x, y) = xy2 x 2 + y 4 si (x, y) (0, 0). Tanto los límite iterados como los límites direccionales en el punto (0,0) existen y valen 0, sin embargo esta función no tiene límite en ese punto, ya que si tomamos las curvas y = m x, se tiene: lím f(x, m m 2 x 2 x) = lím x 0 x 0 x 2 + m 4 x 2 = m2 m Es decir los límites siguiendo esa familia de curvas existen todos pero son diferentes entre sí, luego el límite no existe. Ejemplo 1.40 Sea f(x, y) = x 2 ln y x 4 + (x 2, si (x, y) (0, 1); f(0, 1) = 0. + ln y) 2 Es inmediato comprobar que también en este caso los límites iterados en (0,1) valen 0. En cuanto a los límites direccionales lím x 0 x 2 ln(1 + mx) x 4 + (x + ln(1 + mx)) 2 = lím x 0 ln(1 + mx) x 2 + (x + 1/x ln(1 + mx)) 2 = ln 1 m 2 = 0. Sin embargo tampoco existe el límite ya que si consideramos la curva y = e x2, que obviamente pasa por (0,1), la función admite límite siguiendo esta curva, pero es diferente de 0.

22 22 El Espacio Normado R n 1.40 Ejercicios. 1. Sea f la función definida en A = {(x, y) R 2 : x 0; y 0; xy 1} por f(x, y) = x3 y 3 x 2 y 2 xy. a) Probar que f es continua ens cada punto de A. b) Estudiar la existencia de límite de f en los puntos (a, 0), (0, b), (c, 1/c) siendo a 0, b 0 y c 1. c) Obtener los límites iterados de f en los puntos (1, 1) y ( 1, 1) para estudiar si existe límite de f en esos puntos. d) Comprobar que los límites iterados de de f en (0, 0) no están definidos; que los límites direccionales en ese punto son todos iguales, pero que la función f no tiene límite en (0, 0). e) Considerar la función g definida en A por g(x, y) = (x + y) sen x3 y 3 x 2 y 2 xy, y demostrar que tiene límite en (0, 0) a pesar de que los límites iterados no están definidos en (0, 0). 2. Considerar las funciones definidas en A = R 2 \ {(0, 0)}: f 1 (x, y) = (x + y)2 (e y 1) x 2 + y 2 ; f 2 (x, y) = (x + y)2 (e y 1) x 4 + y 2 f 3 (x, y) = xy(ey 1) x 4 + y 2. a) Probar que f 1 tiene límite en (0, 0). b) Probar que los límites iterados y direccionales de f 2 en (0, 0) existen, pero f 2 no tiene límite en (0, 0). c) Probar que la función f 3 tiene límite en (0, 0). 3. a) Probar que la función de 1-variable g(t) = sen t t es continua en todo punto t R. si t 0; g(0) = 1,

23 1.42 El Espacio Normado R n 23 b) Utilizar el apartado anterior para probar que la función f(x, y) = sen xy y es continua en todo punto de R 2. si y 0; f(x, 0) = 1, c) Utilizar de nuevo el apartado a) para obtener lím (x,y) (a,a) f(x, y), a R, siendo f la función definida en el conjunto A = {(x, y) R 2 : x y } por f(x, y) = cos x cos y x 2 y Funciones continuas sobre compactos De nuevo nos referiremos a la topología de un espacio normado para enunciar, sin demostración, algunos resultados de las funciones continuas, por otra parte ya conocidos para las funciones de una variable. Las demostraciones de estos resultados se verán en la asignatura de Topología del segundo semestre de este curso o bien pueden encontrarse en los apuntes de esta misma asignatura del curso 2011/12 (Compacidad). Definición 1.41 Un conjunto K de un espacio normado se dice compacto si de cada recubrimiento de K por conjuntos abiertos se puede extraer un subrecubrimiento finito. Abreviadamente si K i I U i entonces existe un subconjunto finito J I tal que K i J U i. Puesto que la definición de compacto se hace exclusivamente en términos de los abiertos, es claro que que si dos normas sobre el mismo espacio vectorial E son equivalente, un conjunto K E es compacto respecto a una de la normas si y sólo si lo es respecto a la otra. En particular en R n la compacidad de un conjunto no depende de la norma que se tome. Es cierto, aunque no lo demostraremos, que todo compacto de un espacio normado es un conjunto cerrado y acotado. Ya sabemos que en R el recíproco también se satisface: los conjuntos compactos son justamente los que son cerrados y acotados. Esto también es cierto en R n, es decir en los espacios normados de dimensión finita y, según un teorema de F. Riesz (Ver Manual, Teorema 2.9), sólo en ellos (Funciones continuas sobre compactos). Sean E, F espacios normados y f : A E F una aplicación continua, entonces:

24 24 El Espacio Normado R n 1C i) La imagen por f de cada compacto K A, f(k), es un conjunto compacto de F y por tanto cerrado y acotado. ii) f es uniformemente continua sobre cada compacto K A. iii) Si F = R entonces f alcanza un valor máximo y un valor mínimo sobre cada compacto K A. Ejercicios 1A Sean p, q números reales positivos tales 1/p + 1/q = 1 (observar que en estas condiciones p y q deben ser mayores que 1). (a) Demostrar la desigualdad: xy 1 p xp + 1 q yq, x, y 0. Indicación. Escribir xy = e 1 p ln xp + 1 q ln yq y tener en cuenta que la función e x es convexa. (b) (Desigualdad de Hölder) Utilizar el apartado anterior para demostrar que ( n n ) 1/p ( n ) 1/q x i y i x i p y i q. i=1 i=1 En otros términos, x, y x p y q, x = (x 1,..., x n ); y = (y 1,..., y n ). Indicación. Suponer en una primera etapa que x p = 1, y q = 1 y demostrar que entonces x, y 1. (c) Demostrar que x p = ( n i=1 x i p ) 1/p es una norma sobre R n. 1B Sea p un número real mayor o igual que 1 y denotemos por l p al conjunto de sucesiones de números reales (x n ) tales que n=1 x n p <. Definamos también l como el conjunto de las sucesiones acotadas de números reales. (a) Probar que l p y l son espacios vectoriales y que la expresiones x p = ( n=1 definen sendas normas sobre l p y l i=1 x n p ) 1/p ; x = sup x n n N (b) Demostrar que la adherencia en l del conjunto de sucesiones que tienen todos sus términos nulos, salvo un número finito de ellos, es c 0 : el espacio vectorial de sucesiones reales que convergen a 0.

25 1G El Espacio Normado R n 25 1C Demostrar que si es una norma sobre R n tal que (*) (u 1,..., u n ) 1 u i 1, entonces x i x, para cada x = (x 1,..., x n ) R n. Dar ejemplos de normas que no satisfagan la condición (*) para ningún i. 1D Estudiar si las expresiones siguientes definen una norma sobre R 2 : 1. (x, y) = 4x 2 + y (x, y) = x + y. 3. (x, y) = x + 3 x 3 + y (x, y) = (x y) 2 + y 2. 1E Sean (E i, i = 1, 2,..., n) una familia finita de espacios normados y empleemos la notación común para designar a las normas de E i. (a) Demostrar que (x 1,..., x n ) = n α i x i, α i 0, i=1 (x 1,..., x n ) = x x n 2 son normas sobre E = E 1... E n. (b) Utilizar lo anterior para demostrar que es una norma sobre R 3. 1F Demostrar que la expresión (x, y, z) = (2 x + y ) 2 + z 2 (x, y, z) = x 2 + (y x) 2 + (z y) 2 define una norma sobre R 3. Compararla con la norma euclídea. 1G Una norma sobre R n la llamaremos monótona si satisface la condición: x i y i, i = 1,..., n (x 1,..., x n ) (y 1,..., y n ). 1. Probar que las normas p y la norma producto son normas monótonas de R n. 2. Probar que la norma (x, y) = x + x y no es una norma monótona de R 2.

26 26 El Espacio Normado R n 1G 3. Si E i, i = 1,..., n son espacios normados y es una norma monótona de R n, entonces mediante la fórmula (x 1,..., x n ) = ( x 1,..., x n ) se define una norma en E = E 1 E 2 E n. 4. Si 1,..., n son normas sobre el mismo espacio vectorial E y es una norma monótona de R n, entonces mediante la fórmula se define una norma en E. x = ( x 1,..., x n ) 5. Utilizar uno de los dos apartados anteriores para justificar que las siguientes expresiones son normas en R 2 : (x, y) = x + y + x 2 + y 2 (x, y) = (máx{ x, y }) 2 + x 2 + y 2 + ( x + y ) 2 en R 3 : (x, y, z) = 2 x + 3 y + z (x, y, z) = máx{ x, 3 y 3 + z 3 } (x, y, z) = x 2 + y 2 + z 2 + ( x + y + z ) 2 6. Procediendo de la misma forma, construir más normas. 1H Sea (E, ) un espacio normado. Estudiar si la aplicación de E en sí mismo, f(x) = x x, es continua, uniformemente continua o lipschitziana. 1I Encontrar una norma sobre R 2 para la que la esfera unidad sea la elipse de ecuación x 2 + 4y 2 = 4. 1J Sea {x n } con x n 0 para todo n, una sucesión de Cauchy en un espacio normado. (a) Probar que la sucesión de números reales { x n } es convergente. Sea α su límite. (b) Probar que si α > 0 entonces la sucesión { xn x n } es de Cauchy. (c) Demostrar con un ejemplo que si α = 0, la sucesión { xn x n } no es necesariamente de Cauchy.

27 1L El Espacio Normado R n 27 1K Sea {x n } una sucesión convergente a 0 en un espacio normado. Probar que también converge a 0 la sucesión: y n = x 1 + x x n n 1L Sea E el espacio vectorial de las funciones polinómicas sobre el intervalo [0, 1]. Consideremos sobre él las normas: a 0 + a 1 x a n x n = máx( a 0,..., a n ) a 0 + a 1 x a n x n 1 = a a n a 0 + a 1 x a n x n = máx x [0,1] a 0 + a 1 x a n x n. Establecer las comparaciones posibles entre ellas, probando, en particular, que la primera y la tercera no son comparables.