AA = Eje menor La elipse.

Transcripción

1 3.. L elipse L elipse omo lugr geométrio. L elipse es el lugr geométrio del onjunto de puntos P(, ) u sum de ls distnis dos puntos fijos llmdos foos equivlen l dole de un onstnte (), l ul represent l distni entre sus vérties, omo se muestr en l siguiente figur. Elementos de l elipse. Eje norml A B V V C Eje fol B A, = oos. V,V = Vérties. B, B = Longitud del ldo reto. C = Centro. VV = Eje mor. AA = Eje menor. CA = C = CV = A = El triángulo, es un triángulo retángulo se pli el Teorem de Pitágors, por lo que = + 44

2 3... Euión ordinri de l elipse on entro en el origen. Prtimos de l definiión de elipse, l ul estlee que est óni es el lugr geométrio del onjunto de puntos P(, ) u sum de ls distnis dos puntos fijos llmdos foos equivlen l dole de un onstnte (), omo se muestr en l siguiente figur. Eje norml P(,) V V (,0) (,0) Eje fol Aplindo l definiión de l elipse se tiene que: P+ P = ( ) = Despejmos l primer ríz. ) 0 = 0 iguldd. Elevmos l udrdo mos miemros de l (+) + = () + Eliminndo términos semejntes grupndo. (+) () + = 4 4 (+) () = 4 4 Resolviendo los inomios l udrdo. ++ ( + )= = 4 4 4= = 4 = Eliminndo términos semejntes. Dejmos solito l término que ontiene l ríz. Dividiendo entre 4. Aplimos inverso ditivo tenemos: 45

3 = + Elevndo l udrdo mos miemros tenemos: ( ) ( ) [() + ]= ( ) Desrrollndo: ( + + )= 4 + Eliminndo préntesis: + + = 4 + Agrupndo términos semejntes: = = 4 torizndo on respeto : ( ) + = ( ) si = + entones = Sustituéndol tenemos: ( ) + = ( ) Dividiéndol entre : Nos qued: Euión ordinri de l elipse on entro en el origen. Eentriidd (e). L eentriidd nos indi que tn lrgd o htd está un elipse, tl grdo de que sus foos están tn juntos que formrín el entro de un irunfereni. L eentriidd se define omo el oiente de entre. e = Como siempre es mor que el oiente que result siempre es mor que ero pero menor uno. Cundo el vlor de l eentriidd se proim ero, l elipse se semej un irunfereni si se proim uno, l elipse se lrg. 46

4 L siguiente tl muestr lgunos puntos importntes de l elipse, sí omo su euión ordinri. igur. Euión. órmuls. C(0, 0) (, 0) (, 0) V (, 0) V V > = + V(, 0) LLR= e= V V > = + C(0, 0) (0, ) (0, ) V(0, ) V (0, ) LLR= e= Ejemplos resueltos. Ejemplo. Hllr ls oordends de los vérties, foos, l longitud de d ldo reto, el vlor de l eentriidd l gráfi de l elipse u euión es 9 4 Como siempre es mor que tenemos que l euión es: 9 4 de donde: =9 = 9 =3 =4 = 4 = Pr onoer el vlor de se pli el Teorem de Pitágors. C(0,0) C(0, 0) (, 0) (.3, 0) (, 0) (.3, 0) V (, 0) V (3, 0) V(, 0) V(3, 0) LLR= = (4) 8 = = e= = = = = + = = 9 4 = 5 =

5 Ejemplo. Hllr ls oordends de los vérties, foos, l longitud de d ldo reto, el vlor de l eentriidd l gráfi de l elipse u euión es. 6 5 Como siempre es mor que entones C(0, 0) C(0, 0) su euión es: (0, ) (0, 3) (0, ) (0, 3) V(0, ) V(0, 5) V (0, ) V (0, 5) 6 5 (6) 3 LLR= = = De donde: =5 = 5 =5 =6 = 6 =4 Pr onoer el vlor de, se pli el Teorem de Pitágors: = + e= 5 3 = 0.6 = = 6 5 = 9 =3 Ejemplo 3. Hllr l euión ordinri de l elipse, si se se que su C(0, 0), su (6, 0) su V(6, 0). Pr enontrr semos que: Después de grfir los dtos se dedue que su euión es de l form: Por lo que deemos onoer el vlor de de : Pr onoerlos semos que: (, 0) (6, 0) por lo que = 6 V (, 0) V(6, 0) por lo que =6 = + = = = = = 0 = 0 Por lo tnto su euión es:

6 Ejeriios pr resolver en lse. Ejeriio. Hllr ls oordends de los vérties, foos, l longitud de d ldo reto, el vlor de l eentriidd l gráfi de l elipse u euión es. 9 Ejeriio. Hllr ls oordends de los vérties, foos, l longitud de d ldo reto, el vlor de l eentriidd l gráfi de l elipse u euión es. 4 6 Ejeriio 3. Hllr ls oordends de los vérties, foos, l longitud de d ldo reto, el vlor de l eentriidd l gráfi de l elipse u euión es