Ondas Guíadas. Prof. A. J. Zozaya. 07 de abril de 2014

Transcripción

1 Onds Guíds Prof. A. J. Zozy 07 de bril de 014 Índice 1. Introducción Plntemiento del problem idel, 3.. Clsificción de ls soluciones 7.1. Onds TEM, Solución, 8... Onds TE o H, Solución, Onds TM o E, Solución, Estimción de l solución del problem rel, Atenución, Cálculo de l tenución α C por pérdids en el conductor, Cálculo de l tenución α D por pérdids en el dieléctrico, Resumen de fórmuls Cble coxil Ond de voltje, Ond de corriente, Impednci crcterístic, Atenución del cble coxil, Atenución debido l conductor, Atenución debido l dieléctrico, Atenución resultnte, Guí de ond rectngulr Condición de propgción, Frecuenci de corte, Modo dominnte, Guí de ond circulr Onds TE, Onds TM, Modo dominnte, 3. A. Relción entre l densidd de corriente superficil J s de un conductor perfecto y l densidd de corriente J en un conductor rel Introducción Un guí de ond está hech de uno o más mteriles de propieddes electromgnétics intrínsecs diferentes y consiste, en generl, en un estructur con grn desrrollo longitudinl y un sección trnsversl uniforme. En l Figur 1 se muestrn lgunos tipos de guís de onds. Un guí de ond puede tener l form de un cñerí, hech de mteril conductor, rellen de ire, o vcí, como es el cso de un guí de ond rectngulr ver Fig. 1), o de un guí de ond circulr; o podrí consistir en dos regiones cilíndrics concéntrics hechs de mteriles dieléctricos con distintos índices de refrcción, como es el cso de 1

2 ) Guí de ond rectngulr tomdo de b) Cble coxil tomdo de c) Microcint tomdo de d) Fibr óptic tomdo de Figur 1: Ejemplos de guís de ond. l fibr óptic ver Fig. 1d) ; o de un pr de conductores cilíndricos formndo lo que se conoce como un líne bifilr. Existen otrs estructurs de guído, como el cble coxil Fig. 1b), l microcint Fig. 1c), etc. Normlmente se puede sumir que los cmpos se propgn en el interior de l guí 1 en l dirección longitudinl, medinte múltiples reflexiones en l superficie de seprción de los mteriles que conformn l estructur. Esto es intuitivmente cierto cundo uno culquier de los cmpos present un componente longitudinl modos TE y TM), pero result muy difícil dmitirlo cunto los cmpos son completmente trnsversles modo TEM). Si hcemos cso omiso de ls fuentes impress que pudiern excitr los cmpos dentro de l guí, lo cul se logr imponiendo l inexistenci de tles fuentes, los cmpos en 1 Se entiende por interior de l guí l región ocupd por el mteril interno

3 l guí se pueden considerr libres, pero confindos, y su estructur estrí determind por l solución de tnts ecuciones homogénes de Helmholtz como mteriles distintos formen prte de l guí y de l concilición de tles soluciones con ls condiciones de borde que ls Ecuciones de Mxwell imponen en tods ls interfces entre dichos mteriles dentro de l guí. En este documento nos ocupremos del estudio de ls guís de ond constituids por uno o dos conductores y rellens de un dieléctrico homogéneo. Cudro 1: Clsificcin de ls onds guids TEM TE TM e z, h z = 0 h z = 0 e z = 0 En un guí de ond rbitrri, todos los cmpos que tienen lgun posibilidd de propgrse en l dirección longitudinl) presentn, en generl, un estructur que result de ciert combinción linel de tres fmilis distints de estructurs posibles. Ests estructurs se denominn ver Cudro 1 : TEM: onds trnsverse electromgnetic: los cmpos eléctrico y mgnético son mbos trnsversles l dirección de propgción. TE o H: onds modos) trnsverse electric: el cmpo eléctrico es trnsversl l dirección de propgción. TM o E: onds modos) trnsverse mgnetic: el cmpo mgnético es trnsversl l dirección de propgción. Pr nlizr ests soluciones estructurs) prtiremos de un guí de ond idel, esto es: hech con conductores ideles σ ) y rellen con un dieléctrico perfecto ε = 0). El problem que sí result se reduce resolver un problem con vlores en l fronter en un sol región: en el dieléctrico, el cul se sume delimitdo, como se h indicdo nteriormente, por uno o más conductores perfectos Plntemiento del problem idel Dds l ecuciones de Helmholtz pr los cmpos E y H en el dieléctrico que rellen l guí: Pondremos el operdor de Helmholtz en l form: E + κ E = 0 1) H + κ H = 0 ) + κ 3) 4) x + + y z + κ 5) } {{ } T 6) T + z + κ 7) 3

4 Descompondremos el cmpo eléctrico en sus componentes trnsversles y longitudinles, y sumiremos que l dependenci de ests componentes respecto de ls coordends trnsversles x y y) y longitudinl z) es seprble: Hremos lo propio con el cmpo mgnético: E = E T x, y, z) + E z x, y, z) z 8) } {{ } } {{ } e T x,y)gz) e zx,y)gz) 9) E = e T x, y)gz) + e z x, y)gz) z 10) H = H T x, y, z) + H z x, y, z) z 11) } {{ } } {{ } h T x,y)gz) h zx,y)gz) 1) H = h T x, y)gz) + h z x, y)gz) z 13) Al plicr el operdor 7 los cmpos 10 y 13, ls ecuciones vectoriles 1 y dn lugr ls ecuciones del cudro. Cudro : Ecuciones de Helmholtz. Cmpo eléctrico ) T + z + κ e T x, y)gz) = 0 ) T + z + κ e z x, y)gz) = 0 Cmpo mgnético ) T + z + κ h T x, y)gz) = 0 ) T + z + κ h z x, y)gz) = 0 L ecución ) T + z + κ fx, y)gz) = 0 14) 4

5 se sepr en dos ecuciones: L solución de l ecución 3 es: gz) T fx, y) + fx, y) d dz gz) + κ fx, y)gz) = 0 15) 16) T fx, y) = κ T fx, y) 17) 1 d gz) dz gz) = κ l 18) 19) κ T + κ l = κ 0) 1) T fx, y) + κ T fx, y) = 0 ) d dz gz) + κ lgz) = 0 3) gz) = Ae jκ lz + Be jκ lz 4) con A y B constntes complejs indeterminds. L solución 4 está compuest por dos onds vijers: un en el sentido de crecimiento de l coordend longitudinl z, Ae jκ lz, y l otr en sentido contrrio, Be jκ lz. Nos quedremos con l ond vijer progresiv e jκ lz e incluiremos l constnte indetermind A en l función fx, y), por lo que escribiremos gz) = e jκ lz. De est form ls ecuciones del cudro dn lugr ls ecuciones del cudro 3. Dds ls ecuciones de Mxwell, pr un medio simple libre de fuentes: Descomponemos los operdores y de l form: E = jωµh 5) H = jωεe 6) D = 0 7) B = 0 8) T + z z T + z z ) ) donde T x x + ) y y 5

6 Cudro 3: Resumen de ls Ecuciones resultntes Cmpo eléctrico ) T + z + κ e T x, y)e jκlz = 0 ) T + z + κ e z x, y)e jκlz = 0 Cmpo mgnético ) T + z + κ h T x, y)e jκlz = 0 ) T + z + κ h z x, y)e jκlz = 0 z jκ l) ; κ κ l = κ T T e T x, y) + κ T e T x, y) = 0 T h T x, y) + κ T h T x, y) = 0 T e z x, y) + κ T e z x, y) = 0 T h z x, y) + κ T h z x, y) = 0 Sustituyendo ls expresiones de los cmpos E y H de ls ecuciones 10 y 13, respectivmente, y poniendo gz) = e jκ lz obtenemos: T + z z ) [ e T x, y)e jκ lz + e z x, y)e jκ lz z ] = jωµ [ h T x, y)e jκ lz + h z x, y)e jκ lz z ] T + ) z z [ ] h T x, y)e jκlz + h z x, y)e jκlz z = jωε [ ] e T x, y)e jκlz + e z x, y)e jκlz z T + ) z z [e ] T x, y)e jκlz + e z x, y)e jκlz z = 0 9) T + ) z z [h ] T x, y)e jκlz + h z x, y)e jκlz z = 0 30) 6

7 Pr el cmpo eléctrico escribiremos: T e T x, y) = jωµh z x, y) z 31) T e z x, y) z jκ l z e T x, y) = jωµh T x, y) 3) T e T x, y) = jκ l e z x, y) 33) Usndo l identidd vectoril: ψa) = ψ) A + ψ A se podrá escribir: T e z x, y) z = T e z x, y) z y que T z = 0. Reescribiremos l ecución 3 de l form: z T e z x, y) + jκ l z e T x, y) = jωµh T x, y) 34) Y pr el cmpo mgnético: T h T x, y) = jωεe z x, y) z 35) z T h z x, y) + jκ l z h T x, y) = jωεe T x, y) 36) T h T x, y) = jκ l h z x, y) 37). Clsificción de ls soluciones.1. Onds TEM Pr ls onds TEM se cumple que e z = 0 y h z = 0. Al sustituir en ls ecuciones de Mxwell estos vlores se obtiene: Ecuciones pr el cmpo eléctrico: T e T x, y) = 0 38) κ l z e T x, y) = ωµh T x, y) 39) T e T x, y) = 0 40) Ecuciones pr el cmpo mgnético: T h T x, y) = 0 41) κ l z h T x, y) = ωεe T x, y) 4) T h T x, y) = 0 43) 7

8 .1.1. Solución T e T x, y) = 0 e T x, y) = Φx, y) 44) 45) } T Φx, y) = 0 46) Φ S1,S κ l = κ 47) 48) E = T Φx, y)e jκz 49) H = ± κ ωµ z e T x, y)e jκz 50) κ l = κ y que E = e T e jκ lz debe stisfcer l ecución 1): e T e jκ lz + κ e T e jκ lz = 0 [ T κ l ] et e jκ lz + κ e T e jκ lz = 0.. Onds TE o H Pr ls onds TE o H se cumple que e z Mxwell este vlor se obtiene: = 0. Al sustituir en ls ecuciones de Ecuciones pr el cmpo eléctrico: Ecuciones pr el cmpo mgnético:..1. Solución T e T x, y) = jωµh z x, y) z 51) κ l z e T x, y) = ωµh T x, y) 5) T e T x, y) = 0 53) T h T x, y) = 0 54) z T h z x, y) + jκ l z h T x, y) = jωεe T x, y) 55) 1. Se resuelve l ecución de Helmholtz: T h T x, y) = jκ l h z x, y) 56) T h z x, y) + κ T h z x, y) = 0 57) que junto con l condiciones E t = 0 y H n = 0 sobre l superficie conductor, con E t = e T t y H n = h t n, donde t y n son dos vectores unitrios, el 8

9 primero tngente l superficie conductor y contenido en el plno trnsversl, y el segundo norml l superficie conductor, tl que z t = n : z T h z + jκ l z h T = jωεe T ) t ecución 55 58) y que A B C = A B C 59) T h z z t + jκ l h T z t = 0 60) T h z z t + jκ l h T z t = 0 61) 6) T h z n + jκ l h T n = 0 63) 64) h z n = 0 65) d lugr l denomindo segundo problem de contorno pr l ecución de Helmholtz: T h z + κ T h z = 0 66) h z n = 0 en S T El problem de contorno 66 es un problem de utovlores, donde κ T, con κ T {κ T n }, es un utovlor del operdor T, {κ T n } es el espectro de T, y l solución h z es l utofunción socid, con h z {h zn }. Cd solución h z del conjunto {h zn } d lugr un estructur trnsversl de los cmpos E y H distint, denomind modo de propgción. El conjunto {h zn } contiene todos los modos de propgción: ls utofunciones.. Se clcul h t x, y) prtir de h z x, y): T h T x, y) = 0 ecución 54 67) 68) T T h T x, y) T [ T h T x, y) ] T h T x, y) = 0 69) } {{ } } {{ } de l ecución 56 del cudro 3 70) T [jκ l h z x, y)] + κ T h T x, y) = 0 71) 7) h T x, y) = jκ l κ T [h z x, y)] 73) T 3. Se clcul e T x, y) prtir de h T x, y), usndo l propiedd b c = 9

10 c)b b)c: κ l z e T x, y) = ωµh T x, y) ecución 5 74) 75) κ l z z e T x, y) = ωµ z h T x, y) 76) Se define l impednci de ond pr el modo TE: η T E = e T = ωµ = κ η h T κ l κ l 77) e T x, y) = ωµ κ l z h T x, y) 78) Cudro 4: Resumen del procedimiento de cálculo de los cmpos pr ls onds TE. T h z + κ T h z = 0 h z n = 0 en S T h z = h z x, y), h z {h zn }, κ T {κ T n } h T = jκ l κ T h z T e T = η T E z h T.3. Onds TM o E Pr ls onds TM o E se cumple que h z = 0. Al sustituir en ls ecuciones de Mxwell este vlor se obtiene: Ecuciones pr el cmpo eléctrico: T e T x, y) = 0 79) z T e z x, y) + jκ l z e T x, y) = jωµh T x, y) 80) T e T x, y) = jκ l e z x, y) 81) Ecuciones pr el cmpo mgnético: T h T x, y) = jωεe z x, y) z 8) κ l z h T x, y) = ωεe T x, y) 83) T h T x, y) = 0 84) 10

11 .4. Solución 1. Se resuelve l ecución de Helmholtz: T e z x, y) + κ T e z x, y) = 0 85) que junto con l condición e z = 0 sobre l superficie conductor, d lugr l denomindo primer problem de contorno pr l ecución de Helmholtz:. Se clcul e t x, y) prtir de e z x, y): T e z + κ T e z = 0 e z = 0 en S T 86) T e T x, y) = 0 ecución 79 87) 88) T T e T x, y) T [ T e T x, y) ] T e T x, y) = 0 89) } {{ } } {{ } de l ecución 81 del cudro 3 90) T [jκ l e z x, y)] + κ T e T x, y) = 0 91) 9) e T x, y) = jκ l κ T [e z x, y)] 93) T 3. Se clcul h T x, y) prtir de e T x, y): Usndo l propiedd b c = c)b b)c: κ l z h T x, y) = ωεe T x, y) ecución 83 94) 95) κ l z z h T x, y) = ωε z e T x, y) 96) Se define l impednci de ond pr el modo TM: 97) h T x, y) = ωε κ l z e T x, y) 98) η T M = e T h T = κ l ωε = κ l κ η.5. Estimción de l solución del problem rel En un situción rel, ni el dieléctrico ni el conductor son perfectos. El dieléctrico presentrá pérdids por polrizción ε 0), por lo que prte de l energí trnsportd por los cmpos se disiprá en form de clor en el propio dieléctrico. Además, 11

12 Cudro 5: Resumen del procedimiento de cálculo de los cmpos pr ls onds TM. T e z + κ T e z = 0 e z = 0 en S T e z = e z x, y), e z {e zn }, κ T {κ T n } e T = jκ l κ T e z T h T = 1 η T M z e T otr frcción de l menciond energí trnsportd por los cmpos, ún cundo muy pequeñ, se refrctrá en el conductor disipándose en él medinte el efecto Joule. Si ests pérdids se mntienen pequeñs, es posible estimr l solución del problem rel medinte un pequeñ perturbción de l solución del problem idel: E = e T + e z z ) e jκ lz } {{ } solución idel Ẽ = e T + e z z ) e jκ lz+ αz) } {{ } solución idel perturbd 99) H = h T + h z z ) e jκ lz } {{ } solución idel H = h T + h z z ) e jκ lz+ αz) } {{ } solución idel perturbd 100) donde α es l perturbción, l cul se reflej en form de un tenución en l expresión de los cmpos. El clculo de α, curiosmente, se puede relizr utilizndo ls soluciones de los cmpos del problem idel bjo l premis, y menciond, de que ls imperfecciones en los mteriles cusen pérdids muy pequeñs. Este método es referido en l litertur científic como el método de ls perturbciones [1]..6. Atenución Aplicremos el método de ls perturbciones pr clculr l tenución l perturbción) hciendo uso de l solución del problem idel 3. Pr ello observmos que l Vle l redundnci? 3 Esto es: en ls ecuciones utilizds tods ls expresiones de los cmpos eléctrico y mgnético se refieren l solución idel, menos que se indique explícitmente lo contrrio. 1

13 potenci que se propg los lrgo de l guí responde un ley del tipo: { } E H P = R ds S T e T + e z z ) e jκlz+αz) h T = R + ) h z z e jκ l z αz S T ds { et h } T = R ds e αz S T } {{ } P 0 =P 0 e αz 101) donde S T es l superficie trnsversl del dieléctrico y P 0 es l potenci que serí trnsportd por los cmpos en el cso idel usenci de pérdids) y que equivle, en el cso rel, l potenci trnsportd por los cmpos en z = 0. Ddo que l ond electromgnétic progresiv h de experimentr un vrición de potenci P en un longitud Z de l guí que se debe corresponder con l mism cntidd de potenci disipd tnto en el dieléctrico como en el conductor por unidd de longitud, P l, tomndo en cuent l ecución 101), se podrá escribir: P P l = lím z 0 z = dp dz = αp 10) l cul implic que ls pérdids por unidd de longitud en un plno trnsversl ddo de l guí es directmente proporcionl l potenci trnsportd por los cmpos en el mismo plno. De l ecución 114) es posible despejr α: α = P l P 103) Por rzones de linelidd, α se puede descomponer en un sum de dos prtes: un, α D, que model ls pérdids en el dieléctrico y otr, α C, que model ls pérdids en el conductor: α = α D + α C. Pr el cálculo de ests tenuciones prtiremos de l prte rel de l ecución de blnce energético complejo: { } E H R ds = ω µ H H + ε E E ) dν S V S) 1 σe E dν 104) V S) l cul plicremos un región volumétric de l guí definid por S T y un longitud incrementl z ver figur ), suponiendo que el dieléctrico no exhibe pérdids ni mgnétics ni óhmics: { } E H R ds = ω ε E E dν 105) S V S) 13

14 ) Corte en perspectiv. b) Corte trnsversl. Figur : Trmo de guí de ond de longitud z. L integrl del miembro de l derech se divide en dos prtes l considerr que l superficie de integrción está compuest por un superficie S T trnsversl, trvés de l cul fluye l energí trnsportd por los cmpos lo lrgo de l guí, y un superficie lterl S lt ver figur ), l cul coincide con l superficie interior de los conductores, trvés de l cul fluye l energí que se refrct en estos y que se disip por efecto Joule: S { } E H R ds = S T z)+s T z+ z) { } E H R ds+ S lt { } E H R ds 106) que l sustituir en l ecución 105), y luego de despejr propidmente, nos permite obtener: { } E H { } E H R ds = R ds ω ε E E dν S T z)+s T z+ z) S lt { } E H P = R ds ω S lt } {{ } P C V S T +S lt ) V S T +S lt ) ε E E dν } {{ } P D 107) donde P es l vrición de l potenci electromgnétic trnsportd por los cmpos en Z metros de longitud, P C es l potenci refrctd hci los conductores que fluye desde el volumen considerdo trvés de l superficie lterl, y P D es l potenci disipd en el interior del volumen considerdo debido ls pérdids de polrizción del dieléctrico. Pr l plicción de l fórmul 103) tl que: α C = P lc P α D = P ld P es necesrio definir P lc y P ld en función de P C y P D, respectivmente. 108) 14

15 .7. Cálculo de l tenución α C por pérdids en el conductor P C P lc = lím z 0 z = lím z 0 R { E H S lt } ds z R { } E H dldzn z L = lím lt z 0 z { } E H = R dl n L lt 109) donde n es un vector unitrio norml l superficie lterl de l guí que punt hci el interior del conductor y L lt es el contorno lterl de los conductores en el plno trnsversl ver figur b). En virtud de que el cmpo eléctrico idel es nulo en el contorno lterl L lt l integrl nterior ecución 109) no nos sirve directmente pr clculr P lc. En un conductor rel, el cmpo eléctrico tngencil l superficie, ún cundo muy pequeño, no es nulo. Tendremos que clculr P lc utilizndo los vlores de los cmpos en el conductor cómo?): { EC H } C P lc = R dl n 110) L lt Aplicndo ls condiciones límites de Leontóvich, podemos expresr el vector de Poynting complejo en el conductor como un vector en l dirección de n, de tl form que: S 0 n = 1 E C H C donde E C = E + 0)e jκ Cn y H C = H + 0)e jκ Cn son el cmpo eléctrico y mgnético, respectivmente, en el conductor. Como E C = η C H C n, sigue que: E C H C = η CH C n ) H C ) 111) =η C HC H C n sustituyendo l ecución 111) en l ecución 110), se obtiene: P lc = L lt = R {η C} η C HC HC) n R dl n L lt H C H C dl 11) 15

16 y como H C 0) = H0), o se: l componente tngencil del cmpo mgnético en l superficie de seprción entre un dieléctrico y un conductor rel es continu: Tomndo en cuent que P lc = R {η C} L lt H H dl 113) será: P = 1 R {E H } ds S T { 1 } = R η D H z ) H ds z S T = η D H H ds S T α C = R {η C} L lt H H dl η D S T H H ds 114) 115).8. Cálculo de l tenución α D por pérdids en el dieléctrico L potenci disipd en el dieléctrico por unidd de longitud vle: de modo que: P D P ld = lím z 0 z = lím z 0 = lím z 0 = ωε S T ω ω V S T +S lt ) z ε E E dν z S T ε E E dsdz z E E ds α D = ωε S T E E ds η D S T H H ds 116) 117) 16

17 3. Resumen de fórmuls Cudro 6: Resumen del procedimiento de cálculo de los cmpos pr culquier modo. TEM TE TM T Φ = 0 T h z + κ T h z = 0 T e z + κ T e z = 0 Φ ST 1,S T h z n = 0 en S T e z = 0 en S T κ l = κ η T E = κ κ l η η T M = κ l κ η e T = T Φ h T = jκ l κ T h z T e T = jκ l κ T e z T h T = z e T η e T = η T E z h T h T = 1 η T M z e T Solución idel E = e T + e z z ) e jκ lz H = h T + h z z ) e jκ lz Solución rel E = e T + e z z ) e jκ l+α)z H = h T + h z z ) e jκ l+α)z α = α D + α C α D = ωɛ S T E E ds S T R {E H } ds α C = R {η C} Γ T H H dl S T R {E H } ds 4. Cble coxil Ddo el cble coxil que se ilustr en l figur 3, interiormente relleno de un dieléctrico idel y hecho con conductores ideles, tmbién, l estructur de los cmpos se puede obtener prtir de l solución del problem de contorno: ) 1 d dφ ρ dρ ρ = 0 dρ Φ) = V 0, Φb) = )

18 b y ρ z ) Sección trnsversl. ϕ x b) Perspectiv. Figur 3: Cble coxil. : conductor; : dieléctrico. L solución de l ecución 118) es: evlundo l solución 119) en los bordes se obtiene: Φρ) = A ln ρ + B 119) A ln + B = V 0 A ln b + B = 0 10) de donde de est form: y V 0 A = ln /b) B = V 0 ln b ln /b) 11) Φρ) = V 0 ln b ln ρ) 1) ln b/) e T = T Φ = dφ dρ ρ = V 0 ln b/) ρ ρ 13) sustituyendo est solución en ls ecuciones 49) y 50) se obtiene: E = V 0 ρ ln b/) ρ e jκz 14) H = V 0 1 ϕ ln b/) η ρ e jκz 15) 18

19 4.1. Ond de voltje Podemos clculr l diferenci de potencil entre los conductores en el plno trnsversl z = ctte. S T z) : + V = E dl [ V 0 = lnb/) = V 0 e jκz b ] ρ ρ dρ ρ e jκz 16) y vemos como, existiendo un relción unívoc entre E y V, es posible hblr de un ond de voltje. 4.. Ond de corriente Podemos clculr l corriente enlzd por el cmpo mgnético en el conductor interior o exterior) en el plno trnsversl S T z). Se Γ un cmino cerrdo lrededor del conductor interno del cble coxil: I = H dl donde = Γ [ V 0 lnb/)η = I 0 e jκz π o I 0 = πv 0 lnb/)η ] ϕ ρ ρdϕ ϕ e jκz 17) Como l relción entre H e I es unívoc, tmbién podemos hblr de un ond de corriente Impednci crcterístic L relción entre l ond de voltje ecución 16) y l ond de corriente ecución 17) tiene uniddes de Ohmios y es un función de l geometrí trnsversl de l líne y de ls propieddes intrínsecs del dieléctrico: V I = Z c = lnb/) π η 18) Z c se conoce como impednci crcterístic del cble coxil Atenución del cble coxil L tenución α = α C + α D del cble coxil se puede clculr hciendo uso de ls fórmuls 115) y 117), respectivmente, sustituyendo en ells ls expresiones de los cmpos 14) y 15). 19

20 Atenución debido l conductor A prtir de l ecución 115): α C = R {η C} L lt H H dl η D S T H H ds [ ] = R{η V 0 π C} lnb/)η D 0 [ η D = R{η C} η D + b b dϕ ] V 0 b lnb/)η D 1 lnb/) π 0 + π 0 dϕdρ ρ ) dϕ b y tomndo en cuent que pr un buen conductor R{η C } = ωµ 0 σ un un buen dieléctrico η D = µ 0, result: ε πfε σ α C = 1 lnb/) Atenución debido l dieléctrico A prtir de l ecución 117): + b b = πfµ0 σ 19) y que pr 130) Atenución resultnte α D = ωε S T E E ds η D S T H H ds [ = ωε η D [ =πfε µ0 ε V 0 lnb/)] b V 0 lnb/)η D ] b π 0 π 0 dϕdρ ρ dϕdρ ρ Finlmente podemos escribir: πfε α = πfε µ0 1 σ + b + } {{ ε } lnb/) b } {{ } α D α C 5. Guí de ond rectngulr 131) 13) L geometrí de un guí de ond rectngulr se muestr en l figur 4. L ecución de Helmholtz en este cso sume l form: u x + u y + κ T u = 0 133) 0

21 ) Sección trnsversl. b z b) by Perspectiv. x Figur 4: Guí de Ond rectngulr. Pr ls onds TE: h z x + h z y + κ T h z = 0 h z x = 0 pr { x = 0 x = 134) Pr ls onds TM: h z y = 0 pr e z x e z = 0 pr { y = 0 y = b + e z y + κ T e z = 0 { x = 0 y = 0 x = y = b 135) L ecución 133 se resuelve sumiendo un solución producto: ux, y) = Xx)Y y), donde ls funciones X y Y dependen exclusivmente de ls vribles x y y, respectivmente: u x + u y + κ T u = 0 136) Y d X dx 1 X + X d Y dy + κ T XY = 0 137) + 1 d Y Y dy + κ T = 0 138) d X dx L ecución 138 se sepr en dos ecuciones: 1 d X X dx + 1 Y d Y dy + κ T = 0 1 d X dx + κ xx = 0 d Y dy + κ yy = 0 139)

22 donde κ x + κ y = κ T. Ls soluciones de ls ecuciones 139 son: Y por tnto: Xx) = A cosκ x x) + B sinκ x x) Y y) = C cosκ y y) + D sinκ y y) ux, y) = [A cosκ x x) + B sinκ x x)][c cosκ y y) + D sinκ y y)] 140) Pr ls onds TE, l plicción de ls condiciones de borde especificds en l ecución 134 permite obtener l solución pr h z : h z x h z x h z y h z y = 0 κ x [A sinκ x 0) B cosκ x 0)]Y = 0 B = 0 x=0 = 0 κ x A sinκ x )Y = 0 κ x = mπ, m = 0, 1,... x= = 0 Xκ y [C sinκ y 0) D cosκ y 0)] = 0 D = 0 y=0 = 0 Xκ y C sinκ y b) = 0 κ y = nπ, n = 0, 1,... y=b b Y ) ) mπ nπ h z x, y) = H mn cos x cos b y 141) donde H mn = AC. L ecución 141) represent l fmili de modos de propgción T E o H. Pr ls onds TM, l plicción de ls condiciones de borde especificds en l ecución 135 permite obtener l solución pr e z : e z x=0 = 0 [A cosκ x 0) + B sinκ x 0)]Y = 0 A = 0 e z x= = 0 B sinκ x )Y = 0 κ x = mπ, m = 1,, 3... e z y=0 = 0 X[C cosκ y 0) + D sinκ y 0)] = 0 C = 0 e z y=b = 0 XD sinκ y b) = 0 κ y = nπ b, n = 1,, 3... Y ) ) mπ nπ e z x, y) = E mn sin x sin b y 14) donde E mn = BD. L ecución 14) represent l fmili de modos de propgción T M o E. A prtir de ls soluciones 141 y 14, y utilizndo ls ecuciones de los cudros 4 y 5, se pueden determinr ls componentes restntes de los cmpos. En el cudro 7 se resumen estos resultdos junto con otros prámetros de interés.

23 ) Modo T M1,1 b) Modo T M1, c) Modo T M, d) Modo T M3, Figur 5: Estructur trnsversl de ez m,n x, y) en un guí de ond rectngulr de dimensiones b, con = b. En l Figur 5 se muestr l estructur trnsversl de ez m,n correspondiente los modos T M1,1 Fig. 5), T M1, Fig. 5b), T M, Fig. 5c) y T M3, Fig. 5d). Tles gráfics fueron elbords usndo MATLAB, medinte el siguiente código: =1; b=0.5; x=linspce0,,50); y=linspce0,b,30); [X,Y]=meshgridx,y); ez=sinm*pi*x./).*sinn*pi*y./b); surfx,y,ez); shding interp ); xis[0 0 b]) setgc, PlotBoxAspectRtio, [ 1 1]); view0,90),xis equl, grid off, box off, xis off 3

24 Cudro 7: Estructur de los cmpos y otrs propieddes en un guí de ond rectngulr. modos TE modos TM Hz Hmn cos mπ x) cos nπ b y) e jκ l,mnz 0 Ez 0 Emn sin mπ x) sin nπ b y) e jκ l,mnz Ex ηt E,mnHmnj κ l,mn κ T,mn Ey ηt E,mnHmnj κ l,mn Hx Hmnj κ l,mn κ T,mn Hy Hmnj κ l,mn κ T,mn ηt E,mn ηt M,mn κt,mn κl,mn fc,mn λc,mn κ T,mn mπ nπ cos mπ b x) sin nπ b y) e jκ l,mnz jemn κ l,mn κ T,mn mπ sin mπ x) cos nπ b y) e jκ l,mnz jemn κ l,mn sin mπ x) cos nπ b y) e jκ l,mnz j Emn ηt M,mn nπ cos mπ b x) sin nπ b y) e jκ l,mnz j Emn ηt M,mn κ η κl,mn mπ κ 1 µε [ mπ m ) + nπ b ) ) + nπ ) + n m ) + n b ) b b ) ) ] κ T,mn κl,mn κ T,mn κl,mn κ T,mn mπ cos mπ x) sin nπ b y) e jκ l,mnz nπ sin mπ b x) cos nπ b y) e jκ l,mnz nπ sin mπ b x) cos nπ b y) e jκ l,mnz mπ cos mπ x) sin nπ b y) e jκ l,mnz κl,mn η κ 4

25 5.1. Condición de propgción Pr que un determindo modo se propgue en l guí es necesrio que el coeficiente de propgción κ l,mn : κ l,mn = κ κ T [ mπ ) ) ] nπ = ω µε + b se rel, circunstnci que se conoce como condición de propgción: ) mπ ) nπ πf) µε > + b mπ ) 1 nπ f > π + µε b ) 143) 5.. Frecuenci de corte L frecuenci límite prtir de l cul un determindo modo m, n puede propgrse se conoce como frecuenci de corte de dicho modo: mπ ) 1 ) nπ f c,mn = π + 144) µε b 5.3. Modo dominnte El modo que present l frecuenci de corte menor se conoce como modo dominnte. Con l yud de l Ec. 144) y poniendo = b, se h llendo el Cudro 8. Cudro 8: Frecuencis de corte de los primeros modos. modo m,n 1 π µε frecuenci de corte ) mπ + nπ b 1,0 1 µε 0,1 1 µε 1,1 5 µε,1 µε 1, 17 µε A prtir del Cudro 8 se observ que: f c,10 < f c,01 < f c,11 < f c,1 < f c,1 < f c, < ) 5

26 El rngo [f c,10, f c,01 ] es el rngo de frecuencis en el que se suele usr l guí, ddo que en dicho rngo solo se propg el modo dominnte. De l solución de e z ecución 14) vemos que los modos T M requieren que m y n sen mbos distintos de cero, por lo que el modo más bjo que puede propgrse es el modo T M 11. Tl restricción no existe pr los modos T E ver ecución 141), siendo el modo T E 10 el modo dominnte. Problem 1. Diseñe un guí de ond rectngulr pr que opere en l bnd K 18 : 6.5 GHz). ) Determine los vlores de y b de l guí. b) Determine un vlor de frecuenci que permit l propgción del modo T M 11 en l guí diseñd. c) Se dese excitr dicho modo medinte onds plns. Dig sobre que ldos de l guí deberín) incidir ls) onds) plns) pr excitr el modo T M 11. d) Dig que polrizción deberín) tener ls) onds) incidentes) pr excitr el modo T M 11 l frecuenci clculd en el literl b). e) Determine ellos) ángulos) de incidenci correspondientes) de ls) onds) plns) del punto nterior. 6. Guí de ond circulr y ρ z ϕ x ) Sección trnsversl. b) Perspectiv. Figur 6: Guí de Ond circulr. L geometrí de un guí de ond circulr se muestr en l figur 7. L ecución de Helmholtz en este cso sume l form: Pr ls onds TE: u ρ + 1 u ρ ρ + 1 u ρ ϕ + κ T u = 0 145) 6

27 Pr ls onds TM: h z ρ e z ρ + 1 h z ρ ρ + 1 h z ρ ϕ + κ T h z = 0 h z ρ = 0, pr ρ = + 1 e z ρ ρ + 1 e z ρ ϕ + κ T e z = 0 e z = 0, pr ρ = 146) 147) L ecución 145 se resuelve sumiendo un solución producto: uρ, ϕ) = P ρ)φϕ), donde ls funciones P y Φ dependen exclusivmente de ls vribles ρ y ϕ, respectivmente: Φ d P dρ + Φ ρ 1 d P P dρ + 1 P ρ dp dρ + P d Φ ρ multiplicndo este resultdo por ρ se obtiene: dϕ + κ T P Φ = 0 dp dρ + 1 d Φ Φρ dϕ + κ T = 0 ρ P d P dρ + ρ dp P dρ + 1 d Φ Φ dϕ + ρ κ T = 0 148) ρ P d P dρ + ρ P dp dρ + ρ κ T = 1 Φ L ecución 149 se sepr en dos ecuciones: d Φ dϕ 149) o ρ P d P dρ + ρ dp P dρ + ρ κ T = 1 d Φ Φ dϕ ρ P d P dρ + ρ dp P dρ + ρ κ T = ν 1 d Φ Φ dϕ = ν d P dρ + 1 ) dp ρ dρ + κ T ν P = 0 ρ 150) d Φ dϕ + ν Φ = 0 151) donde ν es ciert constnte de seprción. 7

28 Ls solución de l ecución 151 es: Φϕ) = A cosνϕ) + B sinνϕ) donde A y B son dos constntes indeterminds. Como l función Φϕ) h de ser unievlud: Φ[να + π)] = Φνα), ν h de ser un número entero: L solución de l ecución 150 es: Φϕ) = A cosnϕ) + B sinnϕ) CJ n κ T ρ) + DY n κ T ρ) donde C y D son dos constnte indeterminds, J n es l función de Bessel de orden n ver l Fig. 7), y Y n es l función de Neumn de orden n ver l Fig. 7b). 1 J 0 x) 1 J 1 x) 0.5 J x) J 3 x) J 4 x) 0.5 Y 0 x) Y 1 x) Y x) Y 3 x) Y 4 x) J n x) Y n x) x ) Del primer tipo o de Bessel x b) Del segundo tipo o de Neumn. Figur 7: Funciones de Bessel. L función de Bessel J n x) se define como: J n x) = m=0 1) m x/) n+m m!n + m)! Ls funciones J n y Y n se conocen tmbién como funciones de Bessel de primer y segundo tipo, respectivmente, de orden n. L función de Bessel de segundo tipo se le suele denominr tmbién de Newmn, y en lgunos textos se le design con letr N: N n x). L ecución 150 se denomin ecución de ls funciones cilíndrics o ecución de Bessel. Sus soluciones, ls funciones J n y Y n, se denominn funciones cilíndrics. Ls funciones J n y Y n no son periódics, pero l crecer ρ, osciln cerc de cero, decrecen monótonmente, y se proximn ls funciones trigonométrics pr ρ ver figurs 7) y 7b)). Es cómodo comprr l ecución de funciones cilíndrics con l ecución de funciones trigonométrics y exponenciles, sí como ls soluciones respectivs: 8

29 Cudro 9: Comprción entre ls ecuciones diferenciles de ls funciones cilíndrics y de ls funciones trigonométrics. Ec. dif. de ls funciones cilíndrics Ec. dif. de ls funciones trigonométrics y + 1 x y + ) 1 n x y = 0 y + y = 0 { Jn x), Y n x), H n 1 x), H n x) } {cosx), sinx), e jx, e jx } J n x) cosx) Y n x) sinx) H n 1 x) e jx H n x) e jx donde H n 1 x) = J n x) + jy n x) y H n x) = J n x) jy n x) son ls funciones de Hnkel de primero y segundo tipo, o especie, respectivmente. Asi como ls funciones exponenciles son ideles pr representr procesos propgntes, de l mism mner lo son ls funciones de Hnkel. Por otro ldo, ls funciones de Bessel y de Newmn nturlmente representn procesos estcionrios. L función de Neumn Y n κ T ρ) pr ρ 0 ver Fig. 7b). Por est rzón l solución de l ecución 145 sume definitivmente l form: 6.1. Onds TE uρ, ϕ) = [A cosnϕ) + B sinnϕ)]j n κ T ρ) Pr ls onds TE, l plicción de ls condiciones de borde, especificds en l ecución 146, permite obtener los utovlores {κ T,nm } prtir de ls ríces de ls ecuciones 4 : J nκ T ) = 0 15) de donde κ T,nm = p nm siendo p nm l ríz m-ésim de l ecución 15 5 ver Cudro 10), n = 0, 1,..., y m = 1,, Cudro 10: Ríces p nm y p nm. ) Alguns ríces p nm. n p n1 p n p n b) Alguns ríces p nm. n p n1 p n p n Se comprueb que J nx) = n x J nx) J n+1 x). 5 L ecución 15 se obtiene l igulr l derivd de l función de Bessel de orden n evlud en ρ = cero. 9

30 Ls soluciones pr h z modos o utofunciones) tienen l form: h z ρ, ϕ) = [A cosnϕ) + B sinnϕ)]j n p nm ρ ) 153) 6.. Onds TM Pr ls onds TM, l plicción de ls condiciones de borde, especificds en l ecución 147 permite obtener los utovlores {κ T,nm } prtir de ls ríces de ls ecuciones: J n κ T ) = 0 154) de donde κ T,nm = p nm siendo p nm l ríz m-ésim de l ecución ver Cudro 10b), n = 0, 1,..., y m = 1,, Ls soluciones pr e z modos o utofunciones) tienen l form: e z ρ, ϕ) = [A cosnϕ) + B sinnϕ)]j n pnm ρ ) 155) 6 L ecución 154 se obtiene l igulr l función de Bessel de orden n evlud en ρ = cero. 30

31 Cudro 11: Estructur de los cmpos y otrs propieddes en un guí de ond circulr. p nm Hz Jn ρ) { modos TE modos TM } A cosnϕ) +B sinnϕ) e jκ l,nm 0 { Ez 0 Jn { } Eρ jηt E,nm κ l,nm κ Jn T,nm Eϕ jηt E,nm κ l,nm κt,nm Hρ j κ l,nm κt,nm Hϕ j κ l,nm κ Jn T,nm ηt E,mn ηt M,mn κt,mn κl,mn fc,mn λc,mn p nm J n p nm J n p nm ρ) n ρ p nm ρ) p nm ρ) p nm ρ) n ρ { { { κt,nm η κl,nm p nm κ p nm 1 π µε π p nm B cosnϕ) A sinnϕ) A cosnϕ) +B sinnϕ) A cosnϕ) +B sinnϕ) B cosnϕ) A sinnϕ) p nm } } } e jκ l,nm j κ l,nm κt,nm e jκ l,nm j nκ l,nm κ T,nm e jκ l,nm j 1 ηt M,nm e jκ l,nm j 1 ηt M,nm pnm ρ) p nm J n Jn κl,nm κ Jn T,nm κl,nm κt,nm pnm ρ) pnm ρ) n ρ A cosnϕ) +B sinnϕ) { { pnm ρ) n ρ p nm J n ) { pnm ρ) } A cosnϕ) +B sinnϕ) B cosnϕ) A sinnϕ) { κl,nm η κt,nm pnm κ pnm 1 π µε π pnm pnm e jκ l,nm } B cosnϕ) A sinnϕ) } A cosnϕ) +B sinnϕ) ) e jκ l,nm e jκ l,nm } e jκ l,nm } e jκ l,nm 31

32 A prtir de ls soluciones 153 y 155, y utilizndo ls ecuciones de los cudros 4 y 5, se pueden determinr ls componentes restntes de los cmpos. En el cudro 11 se resumen estos resultdos junto con otros prámetros de interés. ) Modo T E1,1 b) Modo T E1, c) Modo T E, d) Modo T E,3 Figur 8: Estructur trnsversl de hz m,n x, y) en un guí de ond circulr. En l Figur 8 se muestr l estructur trnsversl de hz m,n correspondiente los modos T E1,1 Fig. 8), T E1, Fig. 8b), T E, Fig. 8c) y T E,3 Fig. 8d). Tles gráfics fueron elbords usndo MATLAB, medinte el siguiente código: A=0,5 B=0,5 phi=linspce0,*pi),00); r=linspce0,1,00); [Phi,R]=meshgridphi,r); [X,Y]=polcrtPhi,R); p=[3.83,7.016,10.174;1.841,5.331,8.536;3.054,6.706,9.970] Hz=besseljn,pn+1,m)*R).*A*cosn*Phi)+B*sinn*Phi)); surfx,y,hz); shding interp ); view0,90),xis equl, grid off, box off, xis off 6.3. Modo dominnte Inspecciondo ls tbls 10b) y 10) se observ que el modo T E11 ver Fig. 8) es el modo dominnte. Pr este modo tenemos: ver cudro 1. 3

33 Cudro 1: Cmpos del modo T E 11 E ρ = j E ρ,11 ρ J 1 p 11 E ϕ = je ϕ,11 J 1 p 11 ρ) E H { } { } B cosϕ) ρ) e A sinϕ) jκ l,11 H ρ = jh ρ,11 J 1 p 11 A cosϕ) ρ) +B sinϕ) { } { } A cosϕ) e +B sinϕ) jκ l,11 H ϕ = j H ρ,11 p J 11 B cosϕ) ρ 1 ρ) A sinϕ) { } p E z = 0 H z = J 11 A cosϕ) 1 ρ) +B sinϕ) e jκ l,11 e jκ l,11 e jκ l,11 Con l yud de l gráfic 9 podemos trzr ls línes de fuerz de E y de H mno lzd. Inténtlo! 0.5 J 1 x) J 1 x) Figur 9: J 1 y J 1. 33

34 A. Relción entre l densidd de corriente superficil J s de un conductor perfecto y l densidd de corriente J en un conductor rel En un conductor idel los cmpos eléctrico y mgnético son nulos, y l corriente es superficil ver figur 10). De tl suerte que si se tom un contorno Γ cerrdo, como se ilustr en l figur 10), y se clcul l circulción de H, se obtiene: H dl = J s ds Γ SΓ) 156) = J s dy x J S H y S) 0 x y S Γ L z H y S ) = 0 y y J0 H y x, y,0) 0 x y S J L z H y x, y, L) 0 Γ y ) Conductor idel b) Conductor rel Figur 10: Relción entre J s y J. En un conductor rel los cmpos eléctrico y mgnético no son nulos, y l corriente, unque se tenú fuertemente rzón de 1/δ nepers por metro de longitud, se distribuye volumétricmente ver figur 10b). Si tommos un contorno Γ, similr como se procedió en el cso del conductor rel y como se indic en l figur 10b), l clculr l circulción de H se obtiene: H dl = J ds Γ = = = SΓ) L y 0 L y y 0 } {{ } J s J s dy x J dzdy x Jdz dy x 157) donde se h definido de mner nturl l densidd superficil de corriente J s del conductor idel en términos de l densidd de corriente J del conductor rel:. J s = L 0 34 Jdz 158)

35 Referencis [1] Robert E. Collin. Foundtions for microwve engineering. McGrw-Hill Book Compny, USA, [] V. V. Nikolski. Electrodinámic y propgción de onds de rdio. MIR, Moscú, [3] Dvid Cheng. Fundmentos de electromgnetismo pr ingenierí. Addison-Wesley Iberomericn, USA, [4] Hermnn A. Hus nd Jmes R. Melcher. Electromgnetic Fields nd Energy. Prentice Hll, USA, [5] Stnley V. Mrshll, Richrd E. DuBroff, nd Gbriel G. SkiteK. Electromgnetismo, conceptos y plicciones. Prentice Hll Hipnomericn, México,

36 Índice lfbético Atenución, 1 Atenución del cble coxil, 19 utofunción, 9 utovlor, 9 cálculo de l tenución, 15 Cble coxil, 17 condición de propgción, 5 condiciones límites de Leontóvich, 15 ecución de Bessel, 8 ecución de ls funciones cilíndrics, 8 espectro, 9 Frecuenci de corte, 5 función de Bessel, 8 función de Neumn, 8, 9 funciones cilíndrics, 8 funciones de Bessel del primer y segundo tipo, 8 funciones exponenciles, 8 funciones trigonométrics, 8 Guí de ond circulr, 6 Guí de ond rectngulr, 0 Impednci crcterístic del cble coxil, 19 impednci de ond TE, 10 impednci de ond TM, 11 método de ls perturbciones, 1 modo de propgción, 9 Modo dominnte, 5 Ond de corriente, 19 Ond de voltje, 19 onds TE o H, 3, 8 onds TEM, 3, 7 onds TM o E, 3, 10 onds vijers, 5 primer problem de contorno, 11 problem de utovlores, 9 segundo problem de contorno, 9 36