CAPÍTULO 3 METODOLOGÍA. En este capítulo se describe la obtención y el funcionamiento del modelo de

Transcripción

1 CAPÍTULO 3 METODOLOGÍA En ese capíulo se describe la obención y el funcionamieno del modelo de Nelson y Siegel, el cual es fundamenal para obener las esrucuras emporales que servirán para comprender la efecividad de la políica monearia. 3. Meodología Ese rabajo iene dos objeivos principales. El primer objeivo consise en conocer el impaco del coro sobre la esrucura emporal de las asas de inerés, eso con el fin de evaluar la efecividad de las decisiones de políica monearia del Banco de México. Como segundo objeivo se busca averiguar si los facores que componen la ETTI se ven afecados y en qué magniud por las variaciones en el régimen de saldos diarios. Para lograr cumplir con los objeivos de ese rabajo es necesario consruir las esrucuras emporales mensuales con información hisórica de las asas de inerés de los bonos gubernamenales cupón cero. De enre odos los modelos, mencionados en el primer capíulo, para obener la ETTI, se hará uso del modelo paramérico de Nelson y Siegel (987) ya que ha demosrado ener un gran poder de ajuse sobre la curva de rendimieno. En ese modelo se incluirá una variable que capará cambios en el insrumeno de políica monearia conocido como coro, eso para omar en cuena el efeco de variaciones en el régimen de saldos diarios sobre las asas de inerés. 3.. Modelo de Nelson y Siegel

2 El rabajo de Charles Nelson y Andrew Siegel desarrollado en 987 ofrece un modelo simple que es capaz de represenar la curva de rendimieno con un alo nivel de confiabilidad. Ese modelo ha sido uilizado con gran éxio en diversos países debido a que presena numerosas e imporanes venajas sobre oros, como son: mínima discrecionalidad en su esimación, buen ajuse, reducida flucuación, parsimonia, bajos requerimienos de información además de que esima asas de coro y largo plazo incluso fuera de la muesra con gran precisión (Nelson y Siegel, 987). Algunos rabajos que han hecho uso de esa meodología son: los realizados por Svensson (994) para Suecia;, Meier (999) para Suiza; Schich (999) para Alemania; Arango, Melo y Vásquez (22) para el caso de Colombia; Herrera y Magendzo (997), Zúñiga y Soria (999) y Lefor y Walker (2) para Chile. En México son escasos los esudios que han aplicado la meodología de Nelson y Siegel. Uno de esos rabajos ha sido el desarrollado por Herrera (23), quien eniendo como base ese modelo, incluye la exensión propuesa por Svensson (995) con el fin de obener esimaciones de la ETTI e uilizarlas como herramiena para la exracción de expecaivas. Como primer paso para derivar el modelo de Nelson y Siegel es necesario comprender la relación que exise enre la curva de descueno, la curva forward y la curva de rendimieno o ETTI. Tomando en consideración un horizone de iempo coninuo, la asa spo es insanánea, por lo que se puede represenar el valor presene en el momeno de un bono cupón cero que vence en T pagando $ de la siguiene manera: P ( ) = e, R ( ) (3.) Donde:

3 P ( ) Precio del bono desconado al periodo = T Tiempo al vencimieno R ( ) Rendimieno al vencimieno La ecuación 3. es uilizada para la valoración de bonos cupón cero, con lo cual obenemos la curva de descueno. A parir de esa expresión podemos obener la curva de rendimieno o ETTI spo despejando el érmino R(): R ( ) = logp ( ) (3.2) De la misma manera, si la asa forward se define por cambios insanáneos en la asa spo, la ETTI puede ser represenada como el promedio de asas forward sobre un periodo: R ( ) = f ( u) du T (3.3) Donde: f ( ) = P ( ) / P ( ) Curva forward (3.4) A parir de esas relaciones, Nelson y Siegel, siguiendo la eoría de las expecaivas de la ETTI proponen que si las asas spo son generadas por ecuaciones diferenciales, enonces las soluciones a ésas serán las asas forward. La esrucura emporal de asas de inerés generalmene se encuenran asociadas a formas: monóonas, Comúnmene conocido por su expresión en inglés yield o mauriy.

4 jorobadas o en S. Una clase de funciones que recogen esas caracerísicas son las soluciones de las ecuaciones diferenciales. Por ano, los auores formulan un modelo a parir de la solución de una ecuación diferencial de segundo orden: r( m) = β + β ( ) e + β ( ) 2 2e (3.5) donde r(m) es la asa forward según el plazo al vencimieno m, y 2 son consanes de iempo asociadas a la ecuación, y β, β, y β 2 son deerminadas por las condiciones iniciales. De esa ecuación se obienen curvas forward. Después de una serie de experimenos ajusando ese modelo, Nelson y Siegel llegan a la conclusión que exisen parámeros que pueden ser eliminados sin alerar las propiedades del modelo. El modelo parsimonioso genera las formas de la ETTI, y esá dada por una solución de una ecuación de segundo grado con raíces iguales: r ( m) = β + β e m + β 2 e ( m ) ( m ) (3.6) Los res componenes de la ecuación 3.6 denoan las siguienes caracerísicas: el parámero β es una consane; el érmino exponencial β exp(-m/) es decreciene monoónicamene (creciene) con respeco al plazo al vencimieno m si β es posiiva (negaiva); β 2 [(m/)*exp(-m/)] produce forma de U (U inverida), si β 2 es negaivo (posiivo). Cuando el plazo al vencimieno m iende a infinio, ano el segundo como el ercer érmino de 3.6 endrán un valor de cero, por lo que el límie de la ecuación cuando m se aproxima a infinio es β. Asimismo, si el plazo al vencimieno m se aproxima a cero, r(m) será β +β.

5 La curva de rendimieno o ETTI es el promedio de las curvas forward, susiuyendo la ecuación 3.6 en 3.3 se obiene: R( m) = / m m r( x) dx (3.7) Inegrando la ecuación anerior de cero a m y dividiendo por m, se obiene la ETTI en función del plazo al vencimieno: R( m) β β β e + ( + 2) m / β e = 2 (3.8) Sin embargo, Diebold y Li opinan que la facorización realizada por Nelson y Siegel presena dificulades al esimar e inerprear los coeficienes, eso debido a que definen a los coeficienes -β, β y β 2 - como facores. Las cargas [(-e -m/ )/(m/)] y e -m/ decrecen monoónicamene de manera similar por los que las cargas serían obligadas a ser muy similares, lo cual crea dos problemas: por un lado, concepualmene es complejo lograr una inerpreación inuiiva de los facores; y por el oro, operacionalmene es difícil esimar los facores con gran precisión dado que la ala relación enre los facores produce problemas de mulicolinealidad (Diebold y Li, 23). Para solucionar esa siuación, proponen la siguiene especificación: e R m) = β + β m / ( 2 e + β m / e (3.9) Los coeficienes pueden inerprearse como medida de la fuerza de los componenes de coro, mediano y largo plazo de la esrucura de la curva de

6 rendimieno (y ambién de la asa forward). Así, β, represena la conribución del componene de largo plazo sobre el rendimieno al momeno del vencimieno, β corresponde a la conribución del componene de coro plazo y β 2, la conribución del componene de mediano plazo. El parámero indica la velocidad de decaimieno de los componenes de coro y mediano plazo a cero. Cuando el valor de es pequeño, supone una rápida disminución en los regresores lo que permie mejor ajuse de curvaura en coro plazo. El componene de β es, una consane que no decrece a cero en el límie. El componene β es [(-e -m/ )/(m/)], una función que comienza en pero decae monoónicamene y rápidamene a cero. El componene de β 2 es [(-e -m/ )/(m/)]- e -m/, la cual comienza en cero (por ano, no es de coro plazo), se incremena y luego decae a cero (por ano, no es de largo plazo). En la figura 3. se muesra el comporamieno de esos componenes Días al vencimieno Componene B Componene B Componene B2 Figura 3. Comporamieno de los componenes

7 Los res elemenos que inegran la ecuación 3.9 generalmene son inerpreados en érminos de los componenes de largo, coro y mediano plazo respecivamene de la curva de rendimieno. Sin embargo, esa no es la única inerpreación que exise en la lieraura, alernaivamene, se pueden enender en érminos del nivel, la pendiene y la curvarura. De forma concrea el parámero β deermina el nivel de la esrucura, cualquier cambio en ése, caeeirs paribus los demás parámeros, implica un cambio en el nivel oal de la curva. En el caso de β, puede ser inerpreado como el diferencial enre rendimieno de largo plazo y el rendimieno insanánea de coro plazo 2, lo cual lo hace esar esrechamene relacionado con la pendiene de la curva. Un aumeno β incremena los rendimienos de coro plazo más que los rendimienos a largo plazo cambiando así la pendiene de la curva. β 2 se relaciona principalmene con la curvaura de la ETTI, un incremeno de ése endrá un efeco mínimo en los rendimienos de muy coro o muy largo plazo, sin embargo, aumenará los rendimienos de mediano plazo aumenando la curvaura de la esrucura. Las caracerísicas de la curva de rendimieno con respeco al plazo al vencimieno m, son necesariamene las mismas que las de la asa forward, ya que R(m) es sólo el promedio de r(m).. lím m R( m) = β lím m R m) ( = β + β 2 R ( ) R() = β, es la definición formal de la obención de la pendiene

8 Para poder obener los coeficienes β, β, y β 2 se requiere únicamene conocer el rendimieno y la madurez de bonos cupón cero de la misma calidad crediicia (generalmene se oma como referencia bonos gubernamenales que se encuenran libres de riesgo). Es posible uilizar bonos con cupones para calcular esos coeficienes, pero requieren de un proceso algebraico para eliminar el efeco cupón 3 El méodo de mínimos cuadrados no lineales es apropiado para poder esimar el modelo de Nelson y Siegel, aunque es posible hacerlo mediane el procedimieno de mínimos cuadrados ordinarios, siempre y cuando se fije un valor al parámero. 3 El efeco cupón se presena cuando dos bonos con el mismo vencimieno ienen, generalmene, diferene rendimieno a la maduración si el cupón es diferene. En Shiller, Campbell y Schoenholz (983) se uiliza una meodología ad hoc para corregir el efeco cupón aunque, como los propios auores demuesran, al aumenar los plazos hasa el vencimieno su aproximación pierde la bondad requerida.