Estructuras de datos tipo Grafo en los algoritmos de Refinamiento y Desrefinamiento basados en la bisección n por el lado mayor. Aplicaciones.

Transcripción

1 Universidad de Las Palmas de Gran Canaria Departamento de Matemáticas Estructuras de datos tipo Grafo en los algoritmos de Refinamiento y Desrefinamiento basados en la bisección n por el lado mayor. Aplicaciones. Doctorando José Pablo Suárez Rivero 15 Febrero, 2001

2 Contenidos 1. Introducción y planteamiento del problema 2. Estructuras de Datos en los algoritmos de generación de mallas 3. Estructuras de Datos tipo Grafo 4. Los algoritmos basados en el esqueleto 5. Aplicaciones 6. Conclusiones y Trabajo futuro

3 1 Introducción y Planteamiento del problema

4 Precedentes! Trabajos en el Dto. de Matemáticas G. Winter R. Montenegro L. Ferragut J. M. Escobar A. Plaza M.A. Padrón...

5 Problemas adaptativos (2D) u t + v u ( k u) = f Solución Inicial: t=0, nodos=234 t= , nodos=864 t= , nodos= 919 L. Ferragut et al. Comm. Num. Meth. 1994

6 Problemas adaptativos (3D) Error( P) = ε + 1 d ( P, r) E( t) = vol( t) Error( B t 2 ) demo A. Plaza et al. App. Num. Math. 2000

7 2 Estructuras de Datos en los algoritmos de Generación de Mallas

8 Estructuras de Datos simples 1) Lista de polígonos 1.v 1,v 3,v 2 2.v 2,v 3,v 4 3.v 3,v 5,v 4 4.v 3,v 1,v 6,v 5 v 2 v 4 2) Lista de Aristas 1.v 1,v 2 2.v 2,v 4 3.v 4,v 3 4.v 4,v 5 5.v 3,v 5 6.v 3,v 1 7.v 1,v 6 8.v 6,v 5 9.v 3,v 2 v 1 v 3 v 6 v 5

9 Estructuras de Datos simples (cont cont.) 3) Lista de Vértices + Índice de Caras Vértices: 1.(-1, -1, -1) 2.(-1, -1, 1) 3.(-1, 1, -1) 4.(-1, 1, 1) 5.(1, -1, -1) 6.(1, -1, 1) 7.(1, 1, -1) 8.(1, 1, 1) Caras: DESVENTAJAS No existe Información de Adyacencia Tiempo de búsqueda lineal

10 Estructuras de Datos avanzadas Mantener Relaciones de Adyacencia completas (vértices,aristas,caras) Vértice Arista Cara

11 Estructuras de Datos avanzadas (cont cont.) Winged-Edge Baumgart, 1975

12 Estructuras de Datos avanzadas (cont cont.) Half-Edge Eastman, 1982

13 Estructuras de Datos avanzadas (cont cont.) Quad-Edge Guibas and Stolfi, 1985

14 4 Estructuras de Datos tipo Grafo

15 Particiones en 2D Regular G.F. Carey, 1976 Bisección Simple Rosenberg, T-LE Rivara, 1984 Baricéntrica

16 Particiones en 3D Partición Estándar J. Bey, 1995

17 Particiones en 3D (cont cont.) Partición Baricéntrica

18 Particiones en 3D (cont cont.) Partición 8T-LE A. Plaza, 2000

19 Bisección de símplices m-símplice S=<X 0,X 1,,X m > R n arista <X k, X j > punto medio A = (X k + X j )/2 S=S 1 S 2 S 1 =<X 0,X 1,,X k-1, A, X k+1,,x j X n > S 2 =<X 0, X k,,x j-1, A,X j+1, X n > A A

20 Esqueleto de una triangulación Definición (n-1) - skt (τ ) = {(n-1)-faces (τ ) } Propiedad 1 skt (skt (τ)) = {(n-2)-faces (τ) } Propiedad 2 1-skt (τ ) 2-skt (τ ) (n-1)-skt (τ ) Tetraedro Caras Aristas Nodos

21 Grafo del Esqueleto Definición G k (P,L), Grafo k-skt de una triangulación n-dimensional P={p 0,p 1,...,p r } / p i es una k-face L={l 0,l 1...,l s }, l i (p r,p s ) sii p r Rp s n-símplice G k 1 G k 2... (k-faces)... G k-1 1 G k ((k-1)-faces) G 1 1 G (aristas) G 0 (nodos)

22 Grafo del Esqueleto (cont cont.) Relaciones de adyacencia en G k (P,L) Entre los elementos del k-esqueleto Entre los elementos del (k+1)-esqueleto Incorporación de etiquetas a G k (P,L), k=n-1 Proposición G K (P,L), (k=n-1), permite obtener el dual de la triangulación

23 Ejemplos: G 1 y G 2 para símplices G 1 Triángulo G 2 Tetraedro

24 G 1. Refinamiento 4T-LE en 2D G 1 (P,L) (Basado en aristas) P={p 0,p 1,...,p r } / p i es una arista de la triangulación L={l 0,l 1...,l s }, l i (p r,p s ) sii p r Rp s. R= longitud p r menor que longitud de p s

25 G 1. Refinamiento 4T-LE en 2D (cont cont.) Proposición G 1, el grafo dirigido del 1-skt, no contiene bucles. Proposición El costo de mantenimiento del grafo dirigido del 1-skt para la partición 4T-LE afecta a lo más a tres nodos en cada paso del refinamiento.

26 G 1. Refinamiento 8T-LE en 3D

27 G 1. Refinamiento 8T-LE en 3D (cont Tipos de Aristas en la Partición 8T-LE Aristas tipo 1: arista mayor del tetraedro Aristas tipo 2: arista mayor de caras no compartidas por arista tipo 1 Aristas tipo 3: restantes cont.)

28 G 1. Refinamiento 8T-LE en 3D (cont cont.) Propiedades: G 1 tiene exactamente 4 nodos y 8 enlaces El grado del nodo de la arista mayor es 4 G 1 es un grafo no conexo G 1 un grafo planar

29 G 2. Refinamiento 8T-LE en 3D G 2 (P,L) (Basado en caras) P={p 0,p 1,...,p r } / p i es una cara de la triangulación L={l 0,l 1...,l s }, l i (p r,p s ) sii p r Rp s. R= Adyacente a la cara de referencia Proposición G 2 es un grafo no dirigido, planar y conexo

30 5 Los Algoritmos basados en el Esqueleto

31 Refinamiento basado en el Esqueleto Refinamiento Basado en el Esqueleto (malla,n-símplice,partición) */ Algoritmo SBR Para cada n-símplice en el refinamiento hacer 1) División del 1-esqueleto 2) División del 2-esqueleto... n) Reconstruir interior del n-símplice End Propiedades 1. 2D-SBR 3D-SBR (pasos 1 y 2) 2. Complejidad Lineal de los algoritmos 2D-SBR y 3D-SBR

32 El algoritmo 2D-SBR Algoritmo 2D-SBR(τ, t 0 ) /* Entrada: τ malla, t 0 triángulo /* Salida: τ malla 1.L=1-esqueleto(t 0 ) Para cada arista e i L hacer Subdivision(e i ) End 2.Para cada arista e i L hacer S i =LEPP(e i,g 1 (τ)) Para cada triángulo t i S i hacer Sea e i la arista mayor de t i Subdivision(e i ) End End 3.Para cada triángulo t j τ(dual G 1 (τ) ) a ser subdividido hacer Subdivision(t j ) End

33 Estudio del LEPP (2D) Definición LEPP (Longest Edge Propagation Path) de un triángulo t 0. Lista ordenada de triángulos adyacentes {t 0,t 1,..., t n } tal que t i es vecino de t i-1 por el lado mayor de t i-1 Triángulo LEPP t { t,t a } t a {t a } t b { t b,t e } t c { t c,t d } Rivara, 1997

34 Estudio del LEPP (2D) (cont cont.) Definición Bola de triángulos con centro en t 0 y distancia r : B τ (t 0,r) r LEPP(t i ) t i es vecino de t 0 Definición Función de Refinamiento en τ de parámetro I, R(τ,I) Proposición R es un refinamiento local sii existe un B τ (t 0,r) tal que R(τ,I)=R(B τ (t 0,r),I) para un r<<length(τ) Métricas a estudiar " M=elementos en R(B τ (t 0,r),I) " r Resultados presentados en CEDYA-2001

35 El Algoritmo 3D-SBR Algoritmo 3D-SBR(τ,t 0 ) /* Entrada: τ malla, t 0 tetraedro /* Salida: τ malla 1. L=1-esqueleto(t 0 ) Para cada arista e j L hacer Subdivision(e j ) End 2.Mientras L<> hacer Sea e k L Para cada tetraedro t i hull(e k ) hacer Para cada cara no conforme f i G 2 (t i ) hacer Sea e p el lado mayor de f i Subdivision(e p ) L=L e p End End L=L-e k End 3.Para cada cara f i G 2 (τ) a ser subdividida hacer Subdivision(f i ) End 4.Para cada tetraedro t i τ(dual G 2 (τ) ) a ser subdividido hacer Subdivision(t i ) End

36 5 Aplicaciones 1. Ejemplos numéricos en 2D 2. Modelos Multirresolución en Visualización 3. Aproximación de superficies

37 Ejemplos numéricos en 2D Test de las estructuras de datos tipo Grafo en 2D MÉTRICAS M y r 1) Refinamiento Global: M se aproxima a 5 y r a 2 2) Refinamiento Local: M se aproxima a 6 y r a 3

38 Ejemplos numéricos en 2D (cont cont.) Malla N 0 N L L Ref. Media Std Max M r M r M r EXP Global Local EXP Global Local EXP Global Local EXP Global Local EXP Global Local EXP Global Local

39 Ejemplos numéricos en 2D (cont cont.) M r M r

40 Modelos Multirresolución en Visualización LOD 1 LOD 2 LOD 3

41 Aproximación de Superficies Malla de Entrada Refinamiento Aproximación demo

42 Conclusiones!Las Estructuras de Datos tipo Grafo ofrecen: Flexibilidad: Algoritmos basados en la Bisección (2-SBR y 3D-SBR) Algoritmos Delaunay-Bisección (Rivara, 1997) Algoritmos basados en Octree (Shephard, 1988) Facilidad de uso: Orientación a Objetos + Programación Genérica Tiempo y almacenamiento reducido (en 2D-3D SBR) Demostración de la localidad de los algoritmos Complejidad lineal en 2D y 3D

43 Trabajo Futuro! Extensión de la idea del Grafo del Esqueleto a otros elementos y particiones! Extensión de las ideas del Refinamiento a: Minería de Datos (Data Mining) Visualización en Industria Gráfica! La versión actual de los algoritmos SBR se usan en: Universidad Austin, Texas. TICAM. (Prof. G.F. Carey) Universidad de Santiago, Chile. DCC. (Prof. M.C. Rivara)

44 Trabajos presentados (se destacan) 7 th Meshing Roundtable. USA 1998 Congresos 9 th Meshing Roundtable. USA 2000 Publicaciones Sandia Report SAND , 1998 TICAM Report (Submitted) En Preparación Propiedades LEPP 3D-SBR y partición de dominios

45 Estancias de investigación CENTRO: Universidad Oscar Lucero Moya. Centro de Estudios CAD-CAM. CENTRO: Universidad Autónoma del Estado de Hidalgo. Instituto de Ciencias Exactas. CENTRO: Texas Institut for Computational and Applied Mathematics. University of Texas at Austin.