1 Integrales impropias

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Silvia Soler Quintero
hace 5 años
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1 Integrles impropis Eliseo Mrtínez Herrer 3 de mrzo del 4 Abstrct Se estudin ls integrles impropis sobre l bse del cálculo de integrles definids y el límite de funciones Integrles impropis b Un integrl f(x) se dice impropi cundo su límite de integrción es infinito o cundo el integrndo f(x) es singulr en el rngo x b. Ls integrles e x y x 3/ son ejemplos de este peltivo de impropis en ls dos situciones descrits, y como lo muestr l Figur, ests integrles impropis representn áres no cotds. Se entenderá que un punto es singulr cundo no está definido en l función. Por ejemplo x =es un punto singulr pr l función /x

2 No es obvio que, ún siendo áres no cotds, el vlor numérico del áre se finit o no. Y est dificultd se resuelve simplemente clculndo el áre bjo l curv de l mner trdicionl pero con l plicción de límites, esto es, considerndo l integrl impropi como el límite de un integrl propi. Vemos el cálculo de los dos ejemplos expuestos, e x = lim b b e x ; lim x 3 / Si el límite existe se dice que l integrl impropi es convergente, siporel contrrio el límite no existe, se dice que l integrl impropi es divergente. El vlor de ls dos integrles citds nteriormente se determinn fácilmente, en efecto b e x = e x b b = e y en consecuenci L otr integrl b lim e x = lim b b e b = x 3 / = = + x

3 de modo que lim x 3 / = lim + = En el primer cso el áre es cotd y en consecuenci l integrl es convergente; en el segundo cso el áre no es cotd y en consecuenci l integrl es divergente.. Evlur x α ; α > Se y puesto que ε x α = I =lim x α ε ε x α = ε α α ε ; α = α [ln(x)] ε = ln(ε); α = y puesto que si hcemos ε entonces el límite solo será finito pr el cso en que α <. Yenestecso ε α I =lim ε α = α Un punto singulr x de un función f(x) se dice integrble si l integrl impropi b f(x) es convergente. L conclusión obtenid de este último ejemplo es que x =es integrble cundo < α <. Evlur x ln x Se s I =lim s x ln x L Gráfic muestr el áre representd por l integrl. L integrción se puede hcer medinte un cmbio de vrible decudo. Se u =lnx,dondel 3

4 Figure : función ln x es un función creciente en el intervlo x>, y en consecuenci existe l derivd no nul en dicho intervlo, esto es du/ =/x, demodo que = xdu; y demás si x =entonces u =lnysix = s se tiene que u =lns. Y qued l integrl como de modo que s x ln x = ln s ln s I =lim s xdu xu = ln s ln du u x ln x = I =lim s ln s ln s = [ln u]ln ln =ln ln ln s = ln Y l integrl es divergente. Esto es, el áre bjo l curv pr x> es infinit..3 Evlur x ln x En este cso, y provechndo el cálculo de l primitiv nterior, tenemos que de modo que =ln[ln ln ] x ln x lim x ln x =lim ln [ln ln ] = 4

5 Y l integrl es divergente. Criterios de convergenci Deberímos sber cundo un integrl impropi es convergente o no, sin necesidd de relizr el cálculo de l integrl (que veces no será posible en términos de un función nlític), o de otr form l integrl no está en form explícit en términos de un función conocid (en mtemátic esto ocurre con much frecuenci). Un método de estudir l convergenci de un integrl es comprrl con otr integrl impropi que se más sencill su cálculo o que simplemente y sepmos su resultdo. Supongmos que tenemos f(x) y queremos estudir l convergenci de f(x). Y supongmos que sbemos que l integrl g(x) es convergente, entonces si f(x) g(x) pr x se tiene obvimente que f(x) g(x) < Inversmente, si tenemos que f(x) r(x) y divergente, entonces r(x) es un integrl f(x) tmbién será divergente puesto que f(x). L integrl (fundmentl) Escribmos e x = r(x) e x + e x es convergente e x 5

6 donde l integrl entre y es un integrl propi y tiene un vlos finito cosntnte, digmos M. Ahor bien, puesto que se sigue que 3 Además e x Yporlotntolintegrl e x <e x pr x> e x e x + e x = e e x es convergente. e x M + e < Dremos un cot pr est integrl. Puesto que e x <, entonces M = e x < = Yporlotnto 4 e x < + e.36 En efecto pr x>, setienequex >x, y en consecuenci x < x, yporlo tnto e x <e x 3 Recuerde que e x = e x 4 Se lo diremos de un vez por tods e x = π.886 6

7 . El uso de ls desigulddes pr nálisis de l convergenci Queremos estudir l convergenci de (x + x 3 ) / Est integrl es doblemente impropi. En primer lugr x =es un punto singulr; y en segundo, lugr el rngo de integrción es infinito. Por ests rzones tquemos l singulridd y el rngo infinito hciendo l siguiente descomposición (x + x 3 ) = / (x + x 3 ) + / (x + x 3 ) / y hgmos u nálisis pr cd integrl del miembro derecho. Pr l primer integrl 5 (x + x 3 ) = / x / ( + x ) / L segund integrl l trtmos en form similr, En efecto, puesto que (x + x 3 ) < = / x3/ (x + x 3 ) / >x 3/ pr x> 6 Entonces < +=4 (x + x 3 ) / Y en consecuenci l integrl es convergente. 5 En efecto, utilizmos el hecho siguiente ( + x ) / > x x = 6 No lo ve? Mire: x3 + x> x 3 si x > 7

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