Matemáticas Empresariales I. Extensiones de la Integral

Transcripción

1 Mtemátics Empresriles I Lección 9 Extensiones de l Integrl Mnuel León Nvrro Colegio Universitrio Crdenl Cisneros M. León Mtemátics Empresriles I 1 / 19

2 Integrles impropis - Definición Definición Integrl (Riemnn) = funciones cotds en intervlos cerrdos Integrles impropis = Generlizción del concepto cundo lgún supuesto no se d Ls integrles impropis de primer especie = No es intervlo cerrdo Ls integrles impropis de segund especie = No es función cotd M. León Mtemátics Empresriles I 2 / 19

3 Integrles impropis de primer especie Definición Se f : [, + ) R un función integrble en culquier intervlo cerrdo [, u] con u. Denominmos integrl generlizd o impropi de f en el intervlo [, + ) l ĺımite, si existe: y se represent por u ĺım u + f + Si existe = + f = l Si no existe = integrl impropi es divergente f M. León Mtemátics Empresriles I 3 / 19

4 Integrles impropis de primer especie - (Cont.) De form nálog: Integrl impropi del tipo f M. León Mtemátics Empresriles I 4 / 19

5 Integrles impropis de primer especie - Criterios de convergenci Si f posee primitiv (F ) = l integrl se reduce : + f = ĺım (F (u) F ()) u + y por lo tnto, l convergenci de + f se drá cundo se finito el ĺımite: Cundo no exist, será divergente. ĺım F (u) u + M. León Mtemátics Empresriles I 5 / 19

6 Integrles impropis de primer especie - Criterios de convergenci - Ejemplo Se l función f (x) = e x. Si queremos clculr l + e x dx, en primer lugr clculmos un primitiv. Es clro que F (x) = e x es un primitiv de l función f (x) = e x (sólo hy que clculr l derivd) y por lo tnto: y que + e x = ] u ( ĺım u + ex = ĺım e u + e ) = 1 u + 1 ĺım u + e u = ĺım u + e u = 1 = Se puede segurr que l integrl impropi + e x dx es convergente y su vlor es 1. M. León Mtemátics Empresriles I 6 / 19

7 Integrles impropis de primer especie - Criterios de convergenci - Ejercicio Rzone de que tipo de integrl es l siguiente y clcule: dx 1 + x 2 M. León Mtemátics Empresriles I 7 / 19

8 Integrles impropis de segund especie Definición Se f : [, b) R un función integrble en culquier intervlo cerrdo [, u] con u [, b). Denominmos integrl generlizd o impropi de f en el intervlo [, b) l ĺımite, si existe: ĺım u b b u Si existe = b f = l Si no existe, se dice que l integrl impropi es divergente. f f M. León Mtemátics Empresriles I 8 / 19

9 Integrles impropis de segund especie Análogmente se define l integrl impropi del tipo b + f M. León Mtemátics Empresriles I 9 / 19

10 Integrles impropis de segund especie - Criterios de convergenci Si l función f posee primitiv (F ) = l integrl se reduce b f = ĺım (F (u) F ()) u b y por lo tnto, l convergenci de b f se drá cundo se finito el ĺımite: Cundo no exist, será divergente. ĺım F (u) u b M. León Mtemátics Empresriles I 1 / 19

11 Integrles impropis de segund especie - Criterios de convergenci - Ejemplo Se l función f (x) = 1 2 x. Estudie si l integrl int4 f (x) es convergente y clcule el vlor en su cso. Como l función no est cotd en x = 2 entonces debemos ver si son convergentes ls integrles impropis x y x. En primer lugr clculmos: u ] 1 u dx = Ln(2 x) = Ln(2 u) + Ln2 2 x Pr ver si es convergente debemos clculr el ĺımite cundo u tiend 2 ĺım u 2 u 1 2 x dx = ĺım ( Ln(2 u) + Ln2) = u b = Ln() + Ln2 = ( ) + Ln2 = Por lo tnto l integrl impropi es divergente. M. León Mtemátics Empresriles I 11 / 19

12 Integrles impropis de segund especie - Criterios de convergenci - Ejercicio Rzone que tipo de integrl impropi es l siguiente y clcule: 6 PISTA: Cmbio de vrible u = x 2 4 2xdx 3 (x 2 4) 2 M. León Mtemátics Empresriles I 12 / 19

13 Integrles Eurelins - l función Gmm Ddo un número p >, llmremos Γ(p) (y se dirá gmm de p) l vlor de l siguiente integrl: Γ(p) = + e x x p 1 dx El dominio de l función v de, por lo tnto Γ(p) : (, ) R L integrl gmm es impropi y por lo tnto, pr que esté bien definid l función gmm, dich integrl debe ser convergente. M. León Mtemátics Empresriles I 13 / 19

14 Integrles Eurelins - l función Gmm - Proposición Pr todo p > l integrl + e x x p 1 dx es convergente. Propieddes de l función Gmm 1 (ley de recurrenci de l gmm) Pr todo p > 1 se cumple Γ(p) = (p 1)Γ(p 1) 2 Pr p = 1 se cumple Γ(1) = 1 3 Pr cd n entero no negtivo se cumple Γ(n) = (n 1)! 4 Pr p = 1 2 se cumple Γ( 1 2 ) = π M. León Mtemátics Empresriles I 14 / 19

15 Integrles Eurelins - l función Bet Ddo un número p > y otro q >, llmremos β(p, q) (y se dirá bet de p,q) l vlor de l siguiente integrl: β(p, q) = 1 x p 1 (1 x) q 1 dx M. León Mtemátics Empresriles I 15 / 19

16 Integrles Eurelins - l función Bet - Proposición Pr todo p > y q > l integrl β(p, q) está perfectmente definid. Propieddes de l función Bet 1 Es simétric respecto l bisectriz, es decir, β(p, q) = β(q, p) p, q > 2 β(p, 1) = 1 p p > y β(1, q) = 1 q q >. M. León Mtemátics Empresriles I 16 / 19

17 Integrles Eurelins - Relción entre ls funciones Gmm y Bet Ls funciones de Euler están relcionds de l siguiente form: β(p, q) = Γ(p)Γ(q) Γ(p + q) M. León Mtemátics Empresriles I 17 / 19

18 Integrles Eurelins - Ejemplos Clculr los vlores de Γ(3), β( 2, 1) y de β(2, 4). En primer lugr, pr clculr Γ(3) utilizmos l tercer propiedd de l función Gmm que dice Γ(p) = (p 1)! = Γ(3) = (3 1)! = 2! = 2 1 = 2 En segundo lugr, pr clculr β( 2, 1) utilizmos l segund propiedd de l función bet que dice β(p, 1) = 1 p = β( 2, 1) = 1 2 M. León Mtemátics Empresriles I 18 / 19

19 Integrles Eurelins - Ejemplos (Cont.) Por último, pr clculr β(2, 4) utilizmos l relción que hy entre l función bet y l Gmm según l expresión β(p, q) = Γ(p)Γ(q) Γ(p+q) y por lo tnto β(2, 4) = Γ(2)Γ(4) Γ(2 + 4) y hor, utilizndo ls propieddes de l función Gmm se obtiene que β(2, 4) = 1! 3! 5! = = = 1 2 M. León Mtemátics Empresriles I 19 / 19