Balanza de Corriente.

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1 Balanza de Corriente. A.M. Velasco (133384) J.P. Soler (133380) O.A. Botina (133268) Departamento de física, facultad de ciencias, Universidad Nacional de Colombia Resumen. En la presente práctica experimental, se pretende estudiar la fuerza que ejerce un campo magnético al interior de un solenoide por el que circula una corriente, sobre una espira por la cual se hace circular una corriente distinta, para esto se utiliza la espira como una balanza que se inclina debido a la fuerza ejercida por el campo magnético y se equilibra añadiendo masa al otro extremo. Teóricamente, se hace uso de la ley de Biot-Savart para encontrar una expresión que permita calcular el valor del campo magnético al interior del solenoide. Lo cual será útil durante el análisis de los datos que se toman experimentalmente. Se toman valores de la masa requerida para ejercer una fuerza (peso) sobre el otro extremo de la espira, en función de distintos valores tanto de la corriente que pasa por el solenoide como la que pasa a través de la espira. Y con estos valores se realiza un análisis que permite comprobar la expresión teórica que describe la Fuerza de Lorentz, encontrando una expresión experimental bastante acertada. Partiendo de ello, se predicen valores de la fuerza de Lorentz para corrientes que no han sido medidas en el laboratorio. Introducción. La ley de Biot-Savart indica el campo magnético creado por corrientes estacionarias. En el caso de corrientes que circulan por circuitos cerrados, la contribución de un elemento infinitesimal de longitud dl del circuito recorrido por una corriente I, crea una contribución elemental de campo magnético db en el punto situado en la posición que apunta el vector unitario U r a una distancia R respecto a dl que apunta en dirección a la corriente, esta dado por 1 : db = μ 0 Idl U r (1) 4π R 2 Donde μ 0 es la permeabilidad magnética del vacío cuyo valor es de 4π 10 7 N A 2. 2 Un solenoide, es un alambre enrollado en forma de hélice. Si las vueltas están muy próximas, esta configuración puede generar un campo magnético razonablemente uniforme en todo el volumen

2 delimitado por el solenoide, excepto cerca de los extremos. Cada una de las vueltas se puede considerar como una espira circular, y el campo magnético neto es la suma vectorial de los campos debidos a todas las espiras 3. La magnitud del campo magnético en el solenoide está dada por: B = μ 0 ni (2) Y la dirección va de acuerdo a la dirección resultante del producto vectorial de la ecuación (1) después de una integración. Aquí, n es la densidad lineal de espiras del solenoide. La fuerza ejercida por un campo magnético B sobre un alambre por el que circula una corriente I, se expresa como: L f = I dl B 0 (3) 4 Donde L es la longitud total del alambre. Por lo tanto, la fuerza producida por el campo magnético al interior de un solenoide sobre un conductor es: L f = I e dl μ 0 0 ni s (4) Donde I e es la corriente que circula por el conductor e I s la que circula por el solenoide. La fuerza descrita por (3) y (4) es conocida como Fuerza de Lorentz 5 Descripción del Equipo experimental. Los implementos utilizados en la presente práctica experimental, son: dos fuentes de voltaje, dos potenciómetros, una espira rectangular de (3.00 ± 0.05) cm de ancho, un solenoide con 5 capas de 92 vueltas cada una, distribuidas sobre un tubo de cartón de (14.00±0.05) cm de longitud, y dos amperímetros analógicos con precisiones distintas de 0.5 y 0.1 A respectivamente. Siendo el objetivo de esta práctica, estudiar la fuerza que experimenta la espira por la que circula una corriente I e determinada, al ser colocada en el interior del solenoide por el cual circula otra corriente I s generando un campo magnético B, se arma un circuito que permita variar la corriente que se hace pasar por la espira y uno análogo para la corriente que circula a través del solenoide. Los circuitos son los mostrados en las Figuras 1 y 2 respectivamente. Posteriormente se explicará el porqué del subíndice.

3 R e e I e A Figura 1, Muestra el circuito utilizado para hacer circular la corriente I e a través de la espira. R s s I s A Figura 2, Muestra el circuito utilizado para hacer circular la corriente I s a través del solenoide. El potenciómetro colocado en cada uno de los circuitos, tiene como función permitir variar la corriente que pasa por la espira y el solenoide respectivamente, corriente que será medida con cada uno de los amperímetros colocados en el circuito, por tal razón, los valores de R e y R s no necesitan ser medidos. La forma de conectar la espira es a través de dos soportes conductores que hacen las veces de pivote de una balanza al momento de colocar la espira sobre ellos con la mitad de su longitud al interior del solenoide, de tal forma que quede en equilibrio cuando las corrientes I e e I s sean cero. Lo anterior es mostrado en la Figura 3.

4 Figura 3, Esquema que describe un corte longitudinal en el solenoide. Partiendo de la Figura 3, en los puntos a y d están los soportes conductores que en este caso son también el pivote de la balanza, la distancia del punto a al punto b es la mitad de la longitud total de la espira, y la distancia entre los puntos b y c es el ancho l de la espira que como se había dicho es de (3.00 ± 0.05) cm. El solenoide es conectado de tal manera que según las ecuaciones (1) y (2), la dirección del campo magnético sea la mostrada en la Figura 3; de esta forma, al realizar el producto vectorial indicado en la ecuación (3), entre la corriente que va desde los puntos a y b y entre los puntos c y d la fuerza es nula y la única fuerza que ejerce el campo magnético sobre la espira es en la región de ésta en que la corriente no es paralela a las líneas de campo magnético; es decir la corriente entre los puntos b y c. Por lo tanto, la ecuación (4) queda: f = lμ 0 ni e I s (5) Fuerza cuya dirección como se dijo anteriormente, está de acuerdo al producto vectorial de la ecuación (3), es decir, hacia abajo, por lo que la balanza conformada por la espira presentará un desnivel inclinándose hacia la parte que se encuentra al interior del solenoide. Con el fin de medir esta fuerza, se varían las corrientes I e e I s y posteriormente se colocan trozos de hilo de masa m = (3.0 ± 1.5) 10 6 kg, cuyo peso equilibre de nuevo la espira. Finalmente, se tienen tres variables, I e, I s y m aquí, con el fin de comprobar (5) se estudiará primero la relación entre las tres variables, (I e e I s en función de m) teniendo que comprobar primero: Donde: m = ki e I s (6) k = lμ 0n g (7)

5 Aquí, se hizo uso de f = mg. Análisis de resultados. Los datos experimentales son los mostrados en la Tabla 1. Con el fin de encontrar la relación entre estos datos experimentales, se hace la gráfica de m en función de I s para los distintos valores de I e (Figura 4) Figura 4, Muestra la gráfica de de m en función de I s para los distintos valores de I e. Puede verse de la Figura 4 que efectivamente se trata de una dependencia lineal y directamente proporcional, al realizar un ajuste lineal para cada uno de los valores de I e se obtienen distintos valores para le intercepto y para la pendiente, los cuales son consignados en la Tabla 2. También se muestra en la Tabla 2 que el ajuste tiene una confiabilidad de aproximadamente un 90% lo cual es bastante bueno. A pesar de que el intercepto de cada una de las líneas no es cero, se necesita un análisis posterior para encontrar el verdadero intercepto de la ecuación final, y otro procedimiento para encontrar el valor unificado de las pendientes de cada una de estas líneas; lo cual se hará después de analizar el comportamiento de m en función de I e para distintos valores de I s esto es graficado en la Figura 5. g = ( ± ) m s 2 en Bogotá

6 Figura 5, Muestra la gráfica de de m en función de I e para los distintos valores de I s. Nuevamente se trata de una dependencia lineal y directamente proporcional, por lo que se procede a realizar un ajuste lineal para cada uno de los conjuntos de datos de I s, los datos del intercepto y la pendiente de cada una de estas líneas son mostrados en la Tabla 3, como también la confiabilidad del ajuste realizado. Ahora, es posible, con los datos encontrados de los puntos de corte para cada una de las líneas, encontrar el valor global del intercepto para esto se promedian los valores de cada uno de los datos del intercepto tanto en la Tabla 2 como en la Tabla 3, y se encuentra la incertidumbre por medio del factor de corrección de t-student 6 ; obteniendo: Para un porcentaje de confiabilidad de 90%. b = (3.00 ± 17.13) 10 7 kg (8) De (8) se puede ver que un intercepto en el origen está incluido dentro del rango de incertidumbre del intercepto encontrado analíticamente de los datos experimentales. Sin embargo, la incertidumbre es muy grande comparada con el valor del intercepto, lo cual se intentará explicar posteriormente, después de haber unificado las pendientes obtenidas gráficamente. Para obtener el valor de la pendiente global a partir de los datos experimentales, se hace uso de la ecuación (6), y al despejar se obtiene: k = m I e I s (9) Donde m es el promedio de las masas experimentales, y I e e I s el promedio de cada una de las corrientes que circularon por la espira y el solenoide respectivamente. Finalmente, se obtiene:

7 k = (1.11 ± 0.67) 10 5 kg (10) Puede ahora compararse, el valor de k dado por (10) con un valor teórico calculado a partir de (7) y comparar los resultados, lo cual sirve para comprobar (5). Dicha comparación es la mostrada en la Tabla 4. Puede verse en la Tabla 4 que además de que el porcentaje de error es pequeño, el valor teórico se encuentra dentro del rango de incertidumbre del dato experimental; puede decirse entonces a partir de los valores mostrados en (8) y en (10) que se ha comprobado la veracidad de la ecuación (5), encontrándose una ecuación experimental de la forma: m = I s I e 1.11 ± (3.00 ± 17.13) 10 7 kg (11) Que permite ahora analizar el fenómeno estudiado en valores para I e e I s que no fueron medidos, experimentalmente. Si se toman valores extremos de I e e I s (por ejemplo ausencia de alguna de las dos corrientes) y se tiene en cuenta que el valor de la incertidumbre del intercepto permite que este sea cero, puede verse que cuando no circula corriente alguna por el solenoide o por la espira (o por ambas), la masa que se requiere para ejercer una fuerza que equilibre la espira es también cero. Lo anterior puede dar una explicación de la magnitud de la incertidumbre en el intercepto, posiblemente, en ausencia de corrientes eléctricas, la espira no estaba totalmente balanceada y los valores negativos que puede tomar el intercepto corresponderían a un desnivel en el que la parte de la espira que se halla fuera del solenoide estuviera a menor altura que la que se encuentra al interior de éste. Respecto al valor de k experimental, ya que se ha comprobado (Tabla 4) que corresponde al valor teórico de la ecuación (7), puede estudiarse el efecto que tendría en la fuerza necesaria para nivelar la espira o en su defecto, en la masa necesaria para ejercer dicha fuerza bajo la influencia de la gravedad en el laboratorio. En el caso de aumentar la densidad lineal de espiras del solenoide, y manteniendo constante la corriente tanto en la espira como en el solenoide, puede verse claramente que aumentaría el valor del campo magnético, lo cual se vería reflejado en un aumento en la fuerza necesaria para equilibrar la espira; análogamente, en caso de aumentar el ancho de la espira, también se tendrá que recurrir a una masa mayor que la equilibre. Si se invierte la dirección de una sola de las corrientes I e ó I s, cualquiera de ellas; la dirección de la fuerza para equilibrar la espira, también cambiará de signo, es decir, habrá que ejercer una fuerza hacia arriba para establecer de nuevo el equilibrio; pero si se invierte la dirección de las dos corrientes, tanto la que circula por la espira como la que circula por el solenoide, la fuerza tendrá la misma dirección que tiene en el montaje utilizado para esta práctica, y nuevamente será posible equilibrar la espira añadiendo masa sobre su otro extremo.

8 Por último, como un punto adicional al análisis, se puede utilizar el valor mostrado en (10) y la similitud con el encontrado teóricamente de (7) para encontrar un valor experimental de la permeabilidad magnética del vacío, el cual es mostrado como anexo comparado en con el dado en la literatura en la Tabla 5. Conclusiones. 1. Aumentar la corriente que circula por el solenoide, aumenta la magnitud del campo magnético generado y por ende la fuerza que éste ejerce sobre la espira, y al aumentar la corriente que circula por la espira, aumenta la fuerza que experimenta debido al campo magnético. 2. En ausencia de la corriente que circula a través de la espira o el solenoide la fuerza ejercida sobre la espira es cero. 3. Un solenoide con una mayor densidad lineal de espiras genera un campo magnético mayor. 4. Cuanto más ancha sea la espira, mayor será la fuerza que experimenta debido al campo magnético. 5. Invertir la dirección de alguna de las corrientes invierte la dirección de la fuerza generada por el campo magnético, pero invertir la dirección de ambas, no influye en la dirección de la fuerza. Bibliografía [1] [2] /Pg 2. [3] Física: texto basado en cálculo, Volumen 2. Raymond A. Serway, John W. Jewett. Campo magnético de un solenoide/ pg [4] [5] [6] Ardila A. M., Física experimental, Segunda edición, Departamento de Física, Universidad Nacional de Colombia, 2007./ Pg 245.

9 Anexos. Masa resultante al variar I s e I e (± Kg) I s (±0.1 A) I e (±0,05 A) Tabla 1, Muestra los datos tomados experimentalmente de m en función de I s e I e Ajuste R- cuadrado I e (±0,05 A) Valor Error Estandar 1.50 Intercepto Pendiente Intercepto Pendiente Intercepto Pendiente Intercepto Pendiente Intercepto Pendiente Tabla 2, Muestra los datos obtenidos a partir de un ajuste lineal en cada uno de los valores de I e mostrados en la Figura 4. Ajuste. R- Cuadrado I s (±0.1 A) Valor Error Estándar 1.0 Intercepto Pendiente Intercepto Pendiente Intercepto Pendiente Intercepto Pendiente Tabla 3 Muestra los datos obtenidos a partir de un ajuste lineal en cada uno de los valores de I s mostrados en la Figura 5. Teórico Experimental % Error (1.11±0.67) Tabla 4, Muestra la comparación entre el resultado experimental, con el valor teórico calculado con la ecuación (7).

10 μ 0 Teórico μ 0 Experimental % de Error Tabla 5, muestra el valor experimental encontrado de la permeabilidad magnética del vacío comparado con el publicado en la literatura 2.

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