Universidad de Buenos Aires. Instituto Libre de Segunda Enseñanza MATEMÁTICA GUÍA DE TRABAJOS PRÁCTICOS QUINTO AÑO

Transcripción

1 Universidad de Buenos Aires Instituto Libre de Segunda Enseñanza MATEMÁTICA GUÍA DE TRABAJOS PRÁCTICOS QUINTO AÑO Se agradece el aporte de los proesores María Inés Sáinz y Daniel Dacunti

2 TRABAJO PRÁCTICO Nº FUNCIONES DEFINIDAS POR PARTE ) Se deinen las unciones: ( ) si : D R / ( ) 6 8 si si D R log ( ) si : / ( ) si : D R / ( ) si log ( ) si y se pide: a) Dominio, conjunto de ceros, conjuntos de positividad y negatividad, ecuaciones de las asíntotas, conjunto imagen y gráico aproimado de las mismas. b) Intervalos de crecimiento y decrecimiento de las unciones y. ) Para cada una de las siguientes unciones deinidas de R en R, se pide: Deinir como unción partida, determinar conjunto imagen y representar gráicamente si 0 () (Función módulo) si 0 () - () - - () () ) Hallar el dominio de las siguientes unciones:

3 a) () b) g() c) h() ln( - ) ln( ) d) l() sen( ) e) k() ) m() ( ) g) p() h) q() ( ) i) ( ) j) ( ) k) ( ) log( ) ) Dadas (), g() ( ) y h() ( ) se pide: a) Indicar el dominio de cada una b) Representarlas gráicamente c) Contestar y justiicar: = g? = h?

4 RESPUESTAS: ) a) 0 D R C ;0;; C,0, C, 0,,, asíntotas no tiene 0 Im D R C C R C Im ; y = asíntotas horizontal. 0,, ;,, D C C C,,, Im R asíntotas verticales ;, asíntota horizontal: y b) crece: ; 0; ; decrece: ;0 crece: ; decrece: ; ; ) Im 0; ; Im 0; ; Im ; ; Im 0; ; Im,0 ) a) (-,-] U [, +) ; b)(-,-)u(,+ ) ; c)(-,) ; d)r-z ; e){-,} ; ){-,} ; g) [,+ ) ; h) ; k) ;i) ; ; ; ;j) ; 0; ;

5 TRABAJO PRÁCTICO Nº LÍMITES CONTINUIDAD ) A partir de los siguientes gráicos determinar si eiste, a) b) lím (), lím (), lím 0 ( ) c) d) e)

6 ) Dibujar una unción : R R que cumpla simultáneamente las siguientes condiciones: a) ( ;) ( ) ( ) es raiz y (0) ( ) b) (; ) ( ) ( ) es raiz y (0) () c) y sean las unicas raices ( ) ( ) ( ) d) y sean las unicas raices ( ) ( ) ( ) ) Calcular los siguientes límites: a) b) ln( ) c) d) 0 ( ).( ).cos e) ) 8 0 g) h) i) j) 9 k) l) m) n) 0 o) LIMITES INDETERMINADOS ) Cociente de polinomios a) b) 0 c) 0 d) e) 0 ) g) 6 h)

7 i) ( ).( ) j) 0 (a ) a k) ) Irracionales: a) c) e) g) i) b) d) 0 ) h) 0 j) 6) Ininito sobre ininito : a) c) e) 6 b) d) d) 9 7) Dados los siguientes gráicos, determinar los límites que se indican en cada caso: a) lím ( ) ; lím ( ) ; lím () ; lím () 6

8 b) lím ( ) 0 + ; lím ( ) 0 - ; lím () ; lím () c) lím h( ) - + lím h( ) 7

9 - 8) Límites laterales: a) 0 b) 0 c) d) e) ) g) 0 h) 0 i) l) 0 j) m) 0 0 k) n) 0 ñ) log o) log q) log t) 0 r) log p) log log s) 0 9) Hallar, si eisten, los límites laterales en los puntos indicados y graicar: 8

10 a) 0 () en = 0 0 b) () en = c) () en = - en = 0 en = 0) Dada la unción ( ), se pide: a) Indicar su dominio b) Calcular 7 ( ), ( ) y ( ) ) Dada la unción ( ) log, se pide: a) Indicar su dominio b) Graicarla c) Calcular ( ), ( ) y ( ) ) a) Graicar las unciones siguientes: : R R / ( ) 8 9

11 g : R R / g( ) log b) Completar y responder: ( )... ( )... Eiste ( )? g( )... g( )... Eiste g ( )? ) a) Sea g R : R / g ( ) si < si log ( ), se pide: Calcular si eisten g( ) y g( ). b) Sea h R : R / 9, s i < h ( ), se pide: log si Calcular si eisten : h( ) ; h( ) ; h( ) ; h( ) ; g( ). ) Para () = se pide: a) Determinar Dominio b) Graicar c) Calcular límites cuando tiende a los valores prohibidos para el dominio ) Determinar en cada caso el valor de a para que 6 a) a 6 6 b) a 6 0

12 6) Para los posibles valores de a y b, calcular: a) a + b + b) a + b + 7) Analizar antes de graicar si las siguientes unciones son continuas. Luego graicar. a) ìï < < 0 ( ) = í ï ³ 0 ïî b) ìï ï - - ( ) = í - < < ïï ïî ³ c) ìï ïï - + < - ( ) = í + - ïï ï ïî + > d) () 0 0 e) () ) () g) () h) ()

13 i) () j) () ) Sabiendo que a) Determinar k y t. b) Es continua? c) Graicar. ( ) 7 y ( ) 6, se pide k t ( ) k t 9) Determinar en cada caso el valor de a para que sea continua. Graicar. a a a) :( a, ) R / ( ) 8 8 b) : / ( ) a 8 si si c) si : / ( ) a si d) 9 :( a, ) R / ( ) a 9 a 0) Rededinir, cuando sea posible, las siguientes unciones para que sean contínuas. Analizar si alguna de ellas presenta asíntotas horizontales o verticales.

14 a) ( ) = b) ( ) c) 7 () d) ( ) = ( + ).( - 6) - e) 6 () ) () ) a) Es posible redeinir () para que.( ) () sea continua en =? b) Deinir, si es posible, () para que () sea continua en = ) Propongan, en cada caso, la epresión de una epresión que cumpla simultáneamente las siguientes condiciones, luego graicar. a) Presente una discontinuidad en ; ( ) ( ) b) ( ) ( ) (0) y que presente una discontinuidad en. ) Proponga la epresión de una unción con dominio R e imagen R, y que cumpla ( ) ( ) 0 ) Hallar las ecuaciones de las asíntotas verticales, horizontales y oblicuas de cada una de las siguientes unciones () () () () () 6 ()

15 ) Dada a b c () y la tabla siguiente A B C a b c A B C Investigar la eistencia de asíntotas para los distintos valores de a, b, c, A, B y C. 6) Determinar dominio, asíntotas y graicar: 7 0 ( )

16 RESPUESTAS ) a)0 ; ; ; b) No eiste; ; 0 ; c) ; ; 0 ; d) 0 ;0 ; ; e) ; -; 0 ) a) ½ b) 0 c) / d) ½ e) / ) 0 g) h) i) j) k) l) 0 m) 0 n) o) ) a) ½ b) c) d) 9/7 e) / ) / g) /8 h) /6 i) 0 j) a k) ) a) ;b) - ;c) ;d) ; e) 0 ; ) 0 ;g) 6 ; h) ; i) 0 ; j) 6) a) / ; b) ;c) 0 ; d) 0 ; e) ; ) 7 7) a) ; ; ; ; b) ; ; 0 ; 0 c) lím h( ) =- - lím h( ) = + + 8) a) ; b) ; c) 0 ; d) + ; m) ; n) - ñ) ; e) + ;) 0 ;g) + ; h) 0 ; i) 0 ; j) + ; o)no eiste; p)no eiste; q) + ; r) ; k) + ; l) ; s) ; t) 0 9) a) ( ) 0 0 ( ) 0) a) ; 7 ;b) ( ) ; c) No eiste ( ) Dom ; b) lím ( ) 7 ; ( ) 0 0 ; ( ) 0 ; No eiste ; ( ) Dom c) ( ) ; ( ) ) a) ; ) b) ; ; Si ; - ;- ; No eiste ) a) lím g( ) lím g( ) b) h( ) ; 6 h( ) : no eiste ; h( ) 0 ; g( ) ; ( ) h( ) ; Dom c) ) a) R ; ( ) ; ( ) ) a) a ; b) a

17 a 6) a) ; a 0; b 0 b ; b) 0; a R; b 0 8) a) k ; t 8 ; 9) a) a b) a = c) a = d) a ) a) () b) () g : R R / si < g( ) si si log ( ) ) : AV..: ; AO..: y : AV..: 0 : AV..: ; A. H. y : AV..: ; ; AO.. y : A. H.: y 6 : AV..: ; ; AO..: y 9 ; AV..: ; ; A. H.: y ; AV..: ; A. H.: y ; AV..: ; AO..: y ) ; AV..: ; ; A. H. y 0 0 6) R ; Dom ; Discontinuidadese en y en ; No tiene asíntotas. 6

18 TRABAJO PRÁCTICO Nº DERIVADAS ) Encontrar, aplicando la deinición de derivada, la unción derivada de () () con 0 () con 0 () ) Determinar si los siguientes enunciados son verdaderos o alsos. Justiicar los que son alsos: a) Si una unción es continua en un punto, entonces es derivable en este punto b) Si una unción es derivable en un punto, entonces es continua en él. ) Es derivable la unción porqué. () en = 0? Es continua en todo el dominio? Eplicar ) a) Qué tipo de unción es la unción derivada de una unción lineal? b) Qué tipo de unción es la unción derivada de una unción cuadrática? REGLAS DE DERIVACIÓN ) Utilizando las reglas de derivación, obtener la unción derivada de: 6 () () ln () e sen 7 ().e ().e () 6 () 8() 9 () ( )sen 7

19 DERIVADA DE LA FUNCIÓN COMPUESTA (REGLA DE LA CADENA) 6) Derivar las siguientes unciones compuestas: () sen () cos (ln ) () () ( ) e () e 7 () sen cos 6 () cos( ) () cos 8 () 9 0 () e () e (). 6 sen ( ) ln e ln cos RECTA TANGENTE Y RECTA NORMAL 7) Determinar la recta tangente y la recta normal a cada una de las siguientes unciones en los puntos indicados: a) (), en 0 b) (), en 0 c) (), en 0 0 e d) (), en 0 8) De una unción real se sabe que su unción derivada es ': R R / '(). Determinar la pendiente de la recta tangente a la curva que representa en los puntos de abscisa y. 8

20 9) Las pendientes de dos tangentes a una parábola son '() y '() a) A cuál de los siguientes intervalos pertenece v? (;) (; ) ( ; ) b) Puede hallar v? Cuál es? 0) El vértice de una parábola es (-;). La pendiente de la recta tangente a la parábola en el punto de abscisa es. En qué punto de la parábola, la pendiente de la recta tangente a ella es?. Halle la ecuación de dicha recta ) Indique en qué punto o puntos del gráico de () 6, la recta tangente es horizontal. ) Indique en qué punto o puntos del gráico de () 7 7 la recta tangente orma un ángulo de º con el semieje positivo de las abscisas. ) Demuestre que la recta de ecuación () 6 8. Halle el punto de tangencia. y - es tangente a la gráica de la unción ) Cuál es la ecuación de la recta normal a () en el punto (; )? ) En qué punto del gráico de () la tangente al mismo corta al eje en? 6) Determine el valor de a, tal que los puntos sobre la parábola y de abscisas a y -a tengan tangentes perpendiculares entre si. Dar la ecuación de cada recta. Graique la parábola y las rectas tangentes 7 7) Sea () 7. En qué puntos la recta tangente tiene pendiente?. Escribir la unción de cada recta. 8) La unción ( ) en el punto (;-) tiene por recta tangente una recta tal que corta a () en otro punto. Determinar las coordenadas de dicho punto. 9) Determinar la ecuación de la recta tangente y la ecuación de la recta normal al gráico de ( ) ln en el punto de abscisa. 0) Determinar en qué punto o puntos de ( ) la recta tangente es vertical. 9

21 ) Determinar las ecuaciones de las rectas tangente y normal a a) ; b) 0. ( ) e en : ) Determinar a y b sabiendo que la recta tangente al gráico de ( ) a sen - b cos en el punto (0;) es y. ) En qué punto la recta tangente al gráico de ( ) ln es y 6. ) Dada ( ) k. Determinar el valor real de k para el cual la recta tangente al gráico en el punto de abscisa P 0; 6 0 pase por el punto APLICACIONES DE LA DERIVADA ) Mostrar en qué subconjuntos del dominio, las siguientes unciones son estrictamente crecientes. Determinar puntos críticos: a) () b) ().( ) c) () d) () e) () ) ( ) ( ) 6) Hallar los etremos de las siguientes unciones: a) c) () () b) () d) () ln( ) 7) Encontrar los ceros de. Graicar y y determinar a partir de estos gráico crecimiento, decrecimiento y concavidad de. Dónde están los puntos máimos, mínimos y de inleión? a) ()= ; b) () - ; c) 6 () = - 0

22 8) a) Para las siguientes unciones, se pide estudiar: dominio; intersección con los ejes; intervalos de positividad y negatividad; intervalos de crecimiento y decrecimiento y etremos relativos. b)para las unciones,,,,, 6 y 7 analizar concavidad y puntos de inleión; asíntotas. Hacer para cada una un gráico aproimado. () 6 () () () - () 6 () () 8() e () 9 0 () e e e PROBLEMAS DE OPTIMIZACIÓN 9) a) Entre todos los rectángulos de área 6, encontrar el que tiene perímetro mínimo. b) Entre todos los rectángulos de área 0, encontrar al que diagonal mas corta. c) Con metros de alambre se construyen rectángulos. Hallar las dimensiones del que tiene área máima. d) Con 00 m de baldosas se quiere cubrir una supericie rectangular. Hallar las dimensiones de la que tiene mínimo perímetro. e) Dividir al número 00 en dos partes cuya suma de cubos sea mínima. ) Encontrar un número real, tal que la suma del número y el inverso de su cuadrado, tenga un valor mínimo. g) Se tiene una cartulina cuadrada de dm de lado, y se quiere hacer una caja recortando cuadraditos de los etremos, para luego levantar las aletas. Cuál debe ser la medida

23 del lado del cuadrado que se quiere recortar (en la igura ) para que el volumen de la caja resulte máimo? h) Entre todos los triángulos isósceles de perímetro 0 cm., cuál es el de área máima? i) Determina el punto de la gráica de la unción () = en el que la pendiente de la recta tangente es máima. Cuál es la ecuación de la recta tangente en ese punto? j) En qué punto del primer cuadrante de la parábola y = - determina la tangente, junto con los ejes coordenados, un triángulo de área mínima. k) Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto (;) y orma en el primer cuadrante un triángulo de área máima.

24 RESPUESTAS: ) a) F b) V ) No. Sí ) a) Constante b) Lineal ' ) () 6 ' () ' () e cos ' () e ' ( ) () ( ) ' 6 () ' 7 () e ( ) sen cos ' 9 ' 8() 6) ' () cos() ' () cos(ln ). sen(ln ) ' () ' () 0( ) ' e e e ( ) e ( e ) ' 6 8 ().sen( 6cos ( ) ) () ' 7 '.sen cos (sen cos ) 8().sen( ) 9() ' ' 0 () e ' () e ( ) ' ().ln 6. 6, sen cos, e cos ln cos 7) a) y T, yn, P ; sen

25 b) y T, c) y T, P ; y N, P 0; y N, d) y T, 0 P ;8 y N, 8) y ; 9) a) b) V 9 0) P, y ),, P P P ;7 ) P ; ) ) y N ) P, 6) a y y 8 7) P, y 6 P, y 8) P ; 9) ) y T ; 0) P ; yn

26 ) a) y T e Normal: ; b) yt y N ) a, b ) P ; ) k ) a) R ; b), (,), ; c) (, ) (, ) ; d) R-{} ; e) ) ; ;. Puntos Críticos: a) No tiene; b) 0; ; ; 7 c) 0; ; ; ;d) No tiene; e)no tiene ; ) ;0 ; C ; ; D ; B ;0 P 0; 6) a) Mínimo en Mínimo en 6 ; 7 7) a) C 0 0,, 6 A ; P 0;0 ; b) No hay etremos relativos ; c) Máimo Q ; d) Mínimo en P 0;0 8 8 ; Máimo ; ; ; 9 b) C , ; Máimo ; ; Mínimo 0;0 ; Punto de inleión ; c) C 0 6 6,, ; Máimo ; ; Mínimo ; ; Punto de inleión ;0 8) ) Máimos A ; ; Crece : ; 0; Decrece : ;0 ; 0;0 Mínimo ;Punto de inleión B ; Mínimo P 0;0 ; Puntos de inleión C ; ; D ; Cóncava hacia abajo: ; ; ; Cóncava hacia arriba ; Dom R ; ; Máimo 0; ;Crece ; ;0 0; ;0 ; A. V : ; A. H. y 0. No tiene puntos de inleión. Cóncava hacia abajo : ; ; ; ) Cóncava hacia arriba : ) Dom R ; ; Máimo en ; Decrece ; Mínimo en ; Crece ; ; ; Decrece ; ; ; Punto de Inleión P 0;0 Cóncava hacia arriba ;0 ; ; Cóncava hacia abajo : ; 0;

27 ) A. V.: ; ; AO..: y ; Mínimo: B ; ; Crece: Decrece: ; ; ; Crece: Decrece: Dom ; Mínimos: A ;; Crece: ;Decrece: A ; Dom R ; Máimo: B ; Dom R ; Mínimo: ) 6) R 0; 6 hacia arriba en todo su dominio 7) 8) Dom R ; ; Crece: A. H. y 0 ; Máimo ; P ; ; Decrece ; ; A 0;0 Puntos de inleión ; 0; B ; ; Cóncava hacia arriba : ;0 ; Cóncava hacia arriba : ; 0; Dom R ; Máimo: Punto de Inleión : ; ; P ; e ; e ; ; Crece ; Mínimo ; C ; ;0 Q ; ; ; Decrece ; Q ; Cóncava hacia arriba : ; Cóncava ; Cóncava hacia abajo : 9) Dom ; asíntotas: AV =, AO y = - Mínimo relativo Máimo relativo (;0); Crece ; ; ; Decrece : ; ; Cóncava hacia abajo: ; Cóncava hacia arriba: ; 0) Dom R ; Máimo P 0; ; Crece : ;0 ; Decrece : 0 ; ; Puntos de inleión : Cóncava hacia arriba Dom ; Mínimo: ) R A ; e B ; e P ; ; ; ; Cóncava hacia abajo : ; 0;0 ; e ; A ; Máimo : 0; B ; Crece : Decrece : ; 0; ; Puntos de inleión en ; Cóncava hacia arriba : ; ; Cóncava hacia abajo : ; ) R Dom ; Máimo : A 0; ; Crece: ;0 ; Decrece : ; de inleión : P 6 ; e 6 Q ; e ; 0 ; Puntos Cóncava hacia arriba: ; ; ;Cóncava hacia abajo: ; 6 6

28 9) a) Cuadrado de lado igual a ;b) ; c) Cuadrado de, metros ; d) Cuadrado de 0 metros de lado ; e) 0 y 0 ; ) ; g) dm h) Equilátero con lados de 0 cm i) y j) æ 8 ; ö ç çè ø k) y=

29 TRABAJO PRÁCTICO Nº INTEGRALES Dada una unción (), diremos que otra, F() es primitiva de () cuando F () = () F() es primitiva de () F () = () Ejemplo: F() es una primitiva de () = porque F () = () Observar que F() también es una primitiva de por qué? cuántas primitivas tiene? por qué? La operación que permite calcular la unción primitiva recibe el nombre de Integración. Así como cuando vemos el símbolo + o - entendemos que debemos eectuar la operación suma o la operación resta, la operación integrar también tiene su símbolo y este es que se interpreta como buscar la primitiva de. a) g g Propiedades de la integración b) k. k. b a Regla de Barrow ()d F(b) F(a) Tabla de Primitivas () F() +C k k.+c n n C n n ln +C e e +C sen - cos +C cos sen +C ) Calcular las siguientes primitivas: 8

30 a) d) g) 8 d 6 d 7 d b) ( ) d c) e).( ) d ) h) 7 d i) d d 7 d j) ( 6. e 9 ) d k) (sen ) d l) d m) ( cos 6 ) d n) ( ) d o) d p) d r) ).( q).( ) d d MÉTODO DE SUSTITUCIÓN ) Calcular las siguientes primitivas: a) sen ().cos() d b).e d sen() c) d cos() cos() d) d sen () e).sen( ) d ( ) ) d g) d h) d ( ln ) i) d j) ( ) d k) d ( ) l) cos d sen INTEGRACIÓN POR PARTES 9

31 ) Calcular las siguientes primitivas:.e a) d b).cos() d c).sen() d d).cos() d e).sen() d ).e d g).ln( ) d h) ln( ) d i) e.sen() d j) e.cos() d k).e d l) ln d ) Calcular las siguientes integrales deinidas: a) 0 d b) d c) sen 0 d d) e d e) d ) Calcular el área determinada por cada una de las siguientes curvas con el eje de las abscisas y los límites dados en cada caso, graicar esquemáticamente cada situación. a) () = + 6 para a = y b = 6 b) () = + para a = 0 y b = c) () = para a = y b = d) () = + - con el eje de las e) () = - 6 con el eje de las ) () = + para a = y b = g) () = ( - ).( - ) con el eje de las 6) Graicar y calcular el área de la región itada por: a) () = - y g() = b) () = + y g() = c) () = + y g() = d) ( ) ; g ( ) 7 ; el eje e) ( ) g ( ) 0 0

32 ) ( ) ; g( ) 9 ; g) ( ) e, g( ) e,, h) ( ) g( ) h( ) i) ( ) g ( ) h ( ) eje j) ( ) sen, g( ) cos, 0, k) ( ) y g( ) 7) Determinar la primitiva F() de, que veriique ( ) e F. 8) Sabiendo que ( ) d 0, obtener 0 ( ) d. 9) Sea F ( ) ( t ) dt se pide hallar los intervalos de crecimiento y decrecimiento y los puntos etremos de F().

33 RESPUESTAS ) a) k b) 6 k c) k d) k e) 0 k ).ln k g) k 6 h) 7 k i) k 7 9 j) 6e k k) cos k l) k m).sen 6 k n) k 6 o) k 7 p) 6 k q) k 6 6 r) k 0 ) a) sen k b) e k c) ln(cos ) k d) k e) cos( ) k ) ln k sen g) k h) ln k i) ( ln ) k j) ( ) k k) ( ) k ( ) l) k sen ) a) e ( ) k b).sen cos k c).cos sen k d).sen cos sen k e) cos ( 6) sen( 6) k

34 ) e ( ) k g) (ln ) k h) (ln ) k i) e (sen cos ) k j) e (sen cos ) k k) e (9 6 ) k l) ln k 7 9 ) a) b) 6 c) d) e e e) ) a) b) c) d) e) 6 ) g) 7 6) a) ) k) ; b) ; c) ; d) ; e) A A 0 ln ; g) A e ; h) A ; i) A= ; j) A 6 e 6 7 A 7 7) F( ) e 8) A 9) Crece: (- ;0) Decrece: Máimo: A= Mínimos: B= C=