El par (3, 1) es solución de un sistema si al sustituir x por 3 e y por 1, se verifican ambas igualdades: = 6 1 = ( 1) = = 11

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1 PÁGINA 10 Pág. 1 Practica Sistemas lineales 1 Comprueba si el par (3, 1) es solución de alguno de los siguientes sistemas: x + y = 5 b) x y = 5 3x y = 11 4x + y = El par (3, 1) es solución de un sistema si al sustituir x por 3 e y por 1, se verifican ambas igualdades: x + y = 5 3x y = = 6 1 = ( 1) = 9 + = 11 (3, 1) es solución del sistema. b) x y = 5 4x + y = 3 ( 1) = 3 + = = 1 1 = 11? La segunda ecuación no se cumple. (3, 1) no es solución del sistema. Completa en tu cuaderno para que los siguientes sistemas tengan como solución x = 1, y = : x 3y = x + y = x 3y = x + y = Así, x 3y = x + y = 0 b) y x = y + x = b) y x = y + x = Si x = 1, y = es el sistema buscado. Si x = 1, y = c) 3x + y = + y/ = = 1 6 = ( 1) + = + = 0 ( 1) = + 1 = 3 1 = 4 1 = 3 El sistema que tiene como solución x = 1, y = es: y x = 3 y + x = 3 3x + y = c) + y = 0 El sistema buscado es: d) x = 4 3y + = 1 Si x = 1, y = 3x + y = 1 x + y = 0 d) x = 4 3y + = 1 3 ( 1) + = 3 + = 1 + = 0 = 1 luego es x Si x = 1, y = ( 1) = 4 + = 4 = = y 3 + = 1 = 5 luego es 5x El sistema buscado es: y x = 4 3y + 5x = 1

2 3 Busca dos soluciones para cada una de estas ecuaciones y representa las rectas correspondientes: 3x + y = 5 b) x y = 4 Soluciones de esta ecuación son, b) Soluciones de esta ecuación son, por ejemplo: (1, ) y (3, 4) por ejemplo: (0, 4) y (, 0) Pág. (1, ) (, 0) 4 (3, 4) (0, 4) 4 Resuelve gráficamente cada uno de los siguientes sistemas: 3x + y = 5 x + y = 1 b) 4x y = y 1 = 0 c) x + y = 5 x y = 4 Buscamos dos soluciones para cada una de las ecuaciones: 3x + y = 5 x + y = Las rectas se cortan en el punto (, 1) La solución del sistema es x =, y = 1. d) x + y = 1 x + 3 = 0 x + y = 1 (0, 1) 3x + y = 5 (1, 0) (, 1) b) La segunda ecuación representa a una recta paralela al eje X, y = 1. 4x y = La primera ecuación tiene como soluciones, por ejemplo, los puntos (1, 3) y (, 1). La solución del sistema es x =, y = 1, punto de intersección de ambas rectas. (, 1) y 1 = 0 (1, 3) c) Buscamos dos soluciones para cada una de las ecuaciones: x + y = 5 x y = Las dos rectas se cortan en el punto (3, ), luego x = 3, y = es la solución del sistema. d) La primera ecuación tiene como soluciones, por ejemplo, los puntos (1, 0) y (3, 1). La segunda ecuación es la de una recta paralela al eje Y, x = 3. Las dos rectas se cortan en el punto ( 3, ) La solución del sistema es x = 3, y =. x y = 4 4 (3, ) (5, 0) (, 0) 4 x + y = 5 x + 3 = 0 (1, 0) (3, 1) x + y = 1

3 5 Dos de los siguientes sistemas tienen solución única; uno de ellos es incompatible (no tiene solución) y otro es indeterminado (tiene infinitas soluciones). Intenta averiguar de qué tipo es cada uno, simplemente observando las ecuaciones. Después, resuélvelos gráficamente para comprobarlo: x + y = 5 y x = 4 b) x + y = 3 4x + y = c) x + y = 3x + 3y = 6 d) 3x + y = x y = El sistema c) tiene infinitas soluciones, pues la segunda ecuación es la primera multiplicada por. Por tanto, las dos ecuaciones dicen lo mismo. El sistema b) es incompatible, sin solución, ya que las ecuaciones son contradictorias: x + y = 3 4x + y = x + y = 3 x + y = 1 Imposible que se cumplan ambas a la vez. Los sistemas y d) tienen solución. Resolvemos gráficamente todos los sistemas para comprobarlo: x + y y = 5 y x = Las dos rectas se cortan en ( 1, 3). La solución del sistema es x = 1, y = 3. ( 1, 3) (, ) (0, 4) (1, ) Pág. 3 b) x + y = 3 4x + y y = Las rectas son paralelas El sistema no tiene solución. c) x + y = 3x + 3y y = Se trata de la misma recta El sistema tiene infinitas soluciones. (0, 3) (0, 1) (, 1) (1, 1) (0, ) (1, 1) (, 0) (3, 1) d) 3x + y = x y = ( 1, 5) (, 0) El sistema tiene solución única x = 0, y =, punto de corte de ambas rectas. x y = (1, 3) (0, ) 3x + y =

4 6 Dada la ecuación x + 3y = 1, busca otra ecuación que forme con ella un sistema cuya única solución sea x =, y = 1. Busca también otra ecuación que forme con ella un sistema incompatible y otra que forme con ella un sistema indeterminado. Pág. 4 x + 3y = 1 x + y = 3 Es un sistema que tiene como solución x =, y = 1. x + 3y = 1 x + 6y = 1 Es un sistema que no tiene solución, es incompatible. x 6y = x + 6y = 1 0 = 3 x + 3y = 1 x 3 + y = 1 3 Es un sistema que tiene infinitas soluciones, es indeterminado (la.ª ecuación es la tercera parte de la primer. Resuelve estos sistemas por el método de sustitución: 3x 5y = 5 4x + y = 1 b) x y = 15 x + 6y = 5 c) x + 5y = 1 3x y = d) 3x y = 5x + 4y = 3x 5y = 5 4x + y = 1 Despejamos y de la. a ecuación y sustituimos en la 1. a : y = 1 4x 3x 5( 1 4x) = 5 3x x = 5 3x = 0 x = 0 y = = 1 Solución: x = 0, y = 1 x y = 15 b) x + 6y = 5 Despejamos x de la. a ecuación y sustituimos en la 1. a : x = 5 6y ( 5 6y) y = 15 55y = 55 y = 1 x = 5 6 ( 1) = = 1 Solución: x = 1, y = 1 c) x + 5y = 1 3x y = Despejamos y de la. a ecuación y sustituimos en la 1. a : y = 3x x + 5(3x ) = 1 x + 15x 35 = 1 1x = 34 x = y = 3 = 6 = 1 Solución: x =, y = 1 3x y = d) 5x + 4y = Despejamos y de la 1. a ecuación y sustituimos en la. a : y = 3x 5x + 4 ( 3x ) = 5x + 6x 4 = x = 1 y = 3 1 = 1 Solución: x = 1, y = 1

5 Resuelve los siguientes sistemas por el método de igualación: y = x 3 y = x 3 b) 5x + y = x y = 1 c) x + 6y = x 3y = 1 d) 4x 5y = 3x + y = 10 Pág. 5 y = x 3 y = x 3 x 3 = x 3 4x 6 = x 3 3x = 3 x = 1 y = 1 3 = 1 Solución: x = 1, y = 1 b) Despejamos y de cada una de las ecuaciones e igualamos: y = 5x y = x + 1 Solución: x = 1, y = 3 5x = x + 1 = x x = 1 y = = 3 c) Despejamos x de cada ecuación e igualamos: x = 6y x = 1 + 3y 6y = 1 + 3y 3 = 9y y = 1/3 x = 6 ( 1/3) = + = 0 Solución: x = 0, y = 1 3 d) Despejamos x de cada ecuación e igualamos: x = 5y 4 10 y x = 3 Solución: x =, y = 5y 10 y = 3(5y ) = 4(10 y) 3y = 46 y = 4 3 x = 5 = 4 4 = 9 Resuelve los siguientes sistemas por el método de reducción: 3x + y = 4 5x y = 4 b) x + 5y = 11 4x 3y = 4 c) x + 6y = 4 3x 5y = 11 d) 5x y = 3 10x + 3y = 1 3x + y = 4 5x y = 4 Sumando ambas ecuaciones obtenemos x = x = y = 4 y = 1 y = 1/ Solución: x = 1, y = 1 x + 5y = 11 b) 4x 3y = 4 Ò( ) ÄÄ 4x 10y = 4x 3y = 4 x + 5 = 11 x = 1 x = 1 13y = 6 y = Solución: x = 1, y =

6 c) x + 6y = 4 3x 5y = 11 Ò( 3) ÄÄ 3x 1y = 1 3x 5y = 11 x + 6 ( 1) = 4 x = 3y = 3 y = 1 Solución: x =, y = 1 5x y = 3 d) 10x + 3y = 1 Multiplicamos la primera ecuación por y sumamos: 10x + 4y = 6 10x + 3y = 1 y = y = 1 5x ( 1) = 3 5x + = 3 x = 1/5 Solución: x = 1 5, y = 1 10 Resuelve por el método que consideres más adecuado: x + 6y = y + 5 = 3 x d) 3 + y = 3 (x + y) = 16 x + 6y = y + 5 = 3 b) 5x 3y = 1 4x + y = 14 4x 3 = y 1 e) 3y = 15 x c) 3(x + ) = y + x + (y + 1) = 0 x + = y + 4 f ) 3y 10 x = 5 Despejamos y de la. a ecuación y la sustituimos en la 1. a : y = x + 6 ( ) = x 1 = x = 14 x = Solución: x =, y = 5x 3y = 1 b) 4x + y = 14 Pág. 6 Ò ÄÄ Ò 3 ÄÄ 10x 6y = 1x + 6y = 4 x = 44 x = 5 3y = 1 9 = 3y y = 3 Solución: x =, y = 3 3(x + ) = y + c) x + (y + 1) = 0 3x + 6 = y + x + y + = 0 3x y = 1 x + y = Despejamos y de la primera ecuación y sustituimos en la segunda: y = 3x 1 x + (3x 1) = x + 6x = x = 0 x = 0 y = = 1 x d) 3 + y = 3 (x + y) = 16 x + 3y = 1 x + y = Solución: x = 0, y = 1 Despejamos x de la segunda ecuación y sustituimos en la primera: x = y ( y) + 3y = 1 16 y + 3y = 1 y = x = = 6 Solución: x = 6, y =

7 e) 4x 3 = y 1 3y = 15 x 4x y = 1 x + 6y = 15 Despejamos x de la segunda ecuación y sustituimos en la primera: x = 15 6y 4(15 6y) y = y y = 1 = 6y y = 3 x = = 15 1 = 3 x + = y + 4 f ) 3y 10 x = 5 x + = (y + 4) 10x = 3y 10 x y = 1 10x 3y = 10 Solución: x = 3, y = 3 Aplicamos el método de reducción: multiplicamos la primera ecuación por 10 y sumamos ambas ecuaciones: 10x 0y = 10 10x 3y = 10 3y = 0 y = 0 x 0 = 1 x = 1 x = 1 Solución: x = 1, y = 0 Pág. 11 Resuelve los sistemas de ecuaciones siguientes por el método que consideres oportuno y comprueba la solución que obtengas: x y = 4 4x + 3y = b) x + y = 1 3x y = 1,5 c) 3x y = x + 4y = 5/3 Por reducción. Multiplicamos la 1. a ecuación por y sumamos: 4x + y = 4x + 3y = x = 4 + y 5y = 15 y = 3 x = 1 Comprobación: Solución: x = 1, y = 3 1 ( 3) = = ( 3) = 9 = b) Por reducción. Multiplicamos la.ª ecuación por y sumamos: x + y = 1 6x y =,5 x = 3,5 x = 0,5 y = 1 x y = 0,5 Comprobación: 0,5 + ( 0,5) = 1 3( 0,5) ( 0,5) = 1,5 Solución: x = 0,5, y = 0,5 x y = 1 d) x 3 + y = 1 4

8 c) Por reducción. Multiplicamos la.ª ecuación por 3 y sumamos: 3x y = 3x 1y = 5 14y = y = 1 Solución: x = 1 3, y = 1 x = 5 3 4y x = 1 3 Comprobación: ( 1 ) = ( 1 ) = 5 3 d) x y = 3 x 3 + y = 4 Pág. x + 3y = x + y = x = 3y x = y 3y = y y = 1 x = 1 x = 1 Solución: x = 1, y = 1 Comprobación: = = = 1 + = 1