Álgebra de Boole y circuitos con puertas lógicas

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1 Tem 3 Álger de Boole y circuitos con puerts lógics Los circuitos que componen un computdor son muy diversos: los hy destindos portr l energí necesri pr ls distints prtes que componen l máquin y los hy dedicdos generr, procesr y propgr señles que contienen informción. Dentro de este segundo grupo se distinguen su vez circuitos que trjn con informción nlógic y los que trtn con vlores digitles. Este cpítulo se centr en el estudio de estos últimos, los circuitos digitles y se present l se o fundmento teórico de los mismos, que es el álger de Boole. Ls puerts lógics son un mner muy conveniente de relizr circuitos lógicos por lo que son usds en ls computdors digitles. No hy espcio pr descriirls en detlle, por lo que se explicn los diversos tipos mostrndo como se pueden relizr cierts funciones con ells. 3. Álger de Boole En 854 George Boole pulicó un liro tituldo Investigción sore ls leyes del pensmiento, formulndo un método simólico pr el estudio de ls relciones lógics. Sus ides tuvieron lrgo tiempo después un repercusión muy importnte en diverss áres. En el esquem idedo por Boole, ls proposiciones o sentencis sólo pueden clsificrse en dos grupos: ls verdders y ls flss. El resultdo de cominr cierto número de sentencis es fácilmente deducile usndo ls propieddes de ls operciones en el álger. En 938 Shnnon encontró un plicción: los circuitos eléctricos con interruptores. Éstos pueden ser nlizdos y diseñdos emplendo el álger de Boole y hn hlldo plicción en diversos cmpos como l utomtizción. Ls computdors digitles usn codificción inri, por lo que un unidd elementl de informción puede tomr sólo dos vlores: cero o uno, lo cul dej iert l puert l uso de ls técnics de Shnnon. En efecto, l se de ls computdors son circuitos lógicos como el de l figur 3., los cules son nlizdos medinte el álger de Boole. En dich figur el circuito se puede considerr como un máquin que trnsform señles de entrd ( l posición de los interruptores,, y c) en señles de slid (el estdo de l lámpr L). 23

2 24 TEMA 3. ÁLGEBRA DE BOOLE Y CIRCUITOS CON PUERTAS LÓGICAS c L terí interruptor lámpr c L Figur 3.: Ejemplo de circuito lógico con un terí, tres interruptores,, y c y un lámpr L. 3.. Elementos ásicos Desde un punto de vist forml, el álger de Boole se compone de dos elementos: vriles y operciones, que se comentn continución. Vriles lógics. sólo pueden tomr un vlor entre dos opciones excluyentes y. En los circuitos con interruptores un interruptor puede estr ierto () o cerrdo (). Un lámpr puede estr encendid () o pgd (). De este modo, el estdo de los distintos elementos del circuito, se descrie usndo vriles lógics. Operciones. Ls operciones permiten cominr vriles lógics pr otener como resultdo otrs vriles. Ls operciones ásics del álger de Boole se descrien continución. Sum lógic. Se simoliz como +. El vlor de l sum es si y sólo si lguno o vrios de los sumndos vle. El circuito de l figur 3.2 es un ejemplo que reliz l sum lógic. El vlor de l vrile f socid l estdo de l lámpr se puede otener como sum lógic de ls vriles y correspondientes los interruptores. A l izquierd en l figur se indic l tl de sumr. f = + Figur 3.2: Tl de verdd y circuito de l sum lógic de ls vriles y. L sum lógic equivle l operción O puesto que + produce un vlor cierto () si y sólo si se cumple que es cierto o es cierto. En el circuito de l figur 3.2 se comprue que l lámpr luce si y sólo si está pulsdo o está pulsdo. Producto lógico. Se simoliz como. El producto dos vriles es sólo si ms vlen ; en culquier otro cso vle. El circuito de l figur 3.3 reliz l función f =. El producto lógico equivle l operción Y puesto que produce un vlor cierto () si y sólo si se cumple que es cierto y es cierto. En el circuito de l figur 3.2 se comprue que l lámpr luce si y sólo si está pulsdo y está pulsdo. Negción. Est operción ctú sore un sol vrile y se simoliz como. L negción produce como resultdo el vlor contrrio l ddo; es decir, si un vrile

3 c MRA & JAAR 29 DISA. ESI. US. 25 f = Figur 3.3: El circuito mostrdo ilustr l operción producto lógico. vle su negdo es y si vle su negdo es. Esto puede ser ilustrdo medinte l figur 3.4. Si l vrile ps vler, el interruptor se cierr, por lo que l intensidd eléctric dej de psr por l lámpr por tener el interruptor un resistenci mucho menor. L lámpr se pg por lo que f =. Es fácil ver que si = l lámpr vuelve lucir f =. f= Figur 3.4: El circuito ilustr l operción de negción. L negción equivle l operción NO puesto que tom el vlor cierto si y sólo si no es cierto Representción de circuitos En los digrms de los circuitos con interruptores se indicn los distintos elementos (terí, interruptores y lámpr) medinte símolos convencionles. El estdo en que se diuj el símolo no indic l situción del componente. Es decir, un interruptor ierto y uno cerrdo se representn del mismo modo. Es el vlor de l vrile socid quien indic el estdo del elemento. De este modo, si l vrile socid un interruptor vle indic que el circuito está cerrdo, pero el diujo no se modific. Est situción se complic veces en digrms en los que intervienen interruptores normlmente cerrdos. Estos interruptores se diujn en posición cerrd porque ese es su estdo cundo l vrile socid tom el vlor cero. Afortundmente est clse de interruptores pueden ovirse en nuestr descripción de circuitos lógicos. Los circuitos con interruptores hn sido usdos en l utomtizción de tres como el encendido grdul de motores, el movimiento de scensores, el ciclo de luces en semáforos, lrms, etc. por lo que es hitul toprse con ls representciones esquemátics correspondientes en áres diverss.

4 26 TEMA 3. ÁLGEBRA DE BOOLE Y CIRCUITOS CON PUERTAS LÓGICAS 3..3 Propieddes Ls operciones definids en el álger presentn un serie de propieddes que se indicn continución: Existenci de elementos neutros. Pr l sum el elemento neutro es el cero, pues + =. Pr el producto el elemento neutro es el uno, pues =. Conmuttividd. Est propiedd expres que + = + pr l sum y que = pr el producto. Asocitividd. Los préntesis indicn como es hitul el orden en el que se hn de relizr ls operciones. Est propiedd indic que ( + ) + c = + ( + c) y ()c = (c). Distriutividd. Est propiedd involucr dos operciones, l sum lógic y el producto lógico y puede expresrse como ( + )c = c + c y + (c) = ( + )( + c). Leyes de De Morgn. Finlmente, est propiedd permite relizr trnsformciones de sums y productos con vriles normles y negds. Se pueden expresr del siguiente modo: + =, y = + Existe dulidd entre l sum y el producto, de tl form que, si un propiedd es ciert, l que result de cmir l sum por el producto y por tmién es ciert Funciones oolens Ls operciones con vriles oolens se pueden componer pr formr funciones. Un función es por tnto un expresión que contiene operciones oolens. Pr unos vlores ddos de ls vriles oolens l expresión se puede evlur oteniéndose el resultdo. Un ejemplo de función oolen de tres vriles es: f : (,, c) f(,, c) = c( + ) L función puede definirse de form explícit dndo los vlores que tom pr cd posile cominción de entrds. Est representción se llm tl de verdd. Pr el ejemplo nterior l tl de verdd se muestr en l figur 3.5. Además, se h diujdo un circuito con interruptores que reliz l mism función. Puede comprorse que el estdo de l lámpr L viene determindo completmente por el vlor de ls vriles y trvés de l tl de verdd. Es interesnte oservr que L tl de verdd, el circuito lógico y l expresión nlític f(,, c) = c( + ) proporcionn l mism informción; es decir, son tres representciones de un mism cos. De este modo es posile psr de culquier de ells ls demás como se muestr continución.

5 c MRA & JAAR 29 DISA. ESI. US. 27 c L c L = f(,,c) = c (+) Figur 3.5: Ejemplo de función oolen, tl de verdd y circuito con interruptores Otención de funciones oolens prtir de tls de verdd Existen vrios métodos pr descriir un función oolen. Uno de ellos es medinte l tl de verdd, que proporcion los vlores de l slid pr tods ls cominciones de ls entrds. Alterntivmente se puede expresr l función oolen usndo el producto lógico y l sum lógic. En este prtdo se indic el método pr otener tles expresiones prtir de l tl de verdd. L justificción del método no se proporcion pero puede hllrse en l iliogrfí recomendd. Dd un tl de verdd como s estmos interesdos en hllr un expresión s = f(, ). Esto se v conseguir se de sums de productos lógicos de ls vriles y y los negdos de ésts. Pr ello se hn de señlr ls fils de l tl de verdd en ls que l slid es uno. s cd un de ests fils representrá como veremos un sumndo en un sum de productos. El producto se form tomndo ls vriles y o sus negdos en función de que el vlor de l mism en l fil señld se cero o uno. Tomemos por ejemplo l fil 2: l vrile vle cero en dich fil, por lo que se tomrá negd, l vrile vle uno, por lo que se tomrá sin negr. El producto correspondiente est fil es. Este término h de sumrse l correspondiente ls demás fils señlds.

6 28 TEMA 3. ÁLGEBRA DE BOOLE Y CIRCUITOS CON PUERTAS LÓGICAS c s f(,,c) = c + c + c Figur 3.6: Otención de un función oolen como sum de productos prtir de l tl de verdd. Psmos l siguiente fil con slid uno, que es l curt. L vrile vle uno, por lo que se tomrá sin negr, l vrile vle uno, por lo que se tomrá sin negr. El producto correspondiente est fil es. De este modo se otiene que l función oolen es f(, ) = +. Es posile compror l equivlenci entre s y f oteniendo todos los posiles vlores de f y comprndo con l tl de verdd. El método explicdo proporcion funciones oolens que son menudo simplificles; por ejemplo, l función nterior puede expresrse como f(, ) = + = ( + ) =. Est últim form de expresr f contiene menos términos y por tnto se dice que está simplificd. El prolem de l simplificción no será trtdo quí. En l figur 3.6 se ilustr otro ejemplo, oteniéndose un función oolen f(,, c) prtir de l tl de verdd. Se h indicdo medinte línes el origen de cd uno de los sumndos. 3.2 Puerts lógics Los circuitos con interruptores mecánicos podrín usrse pr construir computdors, pero tienen cierts desventjs, como son su lto consumo, dificultd de miniturizción y j velocidd deido l existenci de piezs móviles. Ls puerts lógics son dispositivos electrónicos que relizn funciones oolens y no contienen contctos móviles. Los elementos ásicos con los que se construyen ls puerts lógics son componentes semiconductores como son el diodo y el trnsistor. Ls puerts lógics son usds en muchs plicciones eléctrics o electrónics. Cd puert lógic tiene su símolo tl y como se muestr en l figur 3.7. Se descrie continución cd un de ells.

7 c MRA & JAAR 29 DISA. ESI. US. 29 c + + c O + NO-O NO Y c c NO-Y O exclusivo Figur 3.7: Símolos pr ls puerts lógics. Sum lógic. Simolizd normlmente como puert O puesto que l operción que reliz es el O lógico. L tl de verdd de un puert O de dos entrds y es: s Producto lógico. L puert que reliz el producto lógico es tmién llmd puert Y. L tl de verdd pr dos entrds qued como sigue: s Complementción. : L puert complementdor es tmién llmd puert NO. L tl de verdd es: s que coincide con l de l negción, como se esper. Sum lógic exclusiv. L función sum lógic exclusiv 2 se represent medinte el símolo. L tl de verdd es: s = Est función puede otenerse como cominción de ls funciones conocids del siguiente modo: = +, por lo que es posile construir un puert O-exclusivo prtir de puerts sum, producto y negción. En inglés puert OR. 2 Llmd en inglés función XOR

8 3 TEMA 3. ÁLGEBRA DE BOOLE Y CIRCUITOS CON PUERTAS LÓGICAS O negdo e Y negdo. El complementrio de l operción sum lógic recie el nomre de función NO-O y es l función +. Similrmente, l función NO-Y es el negdo de l operción producto lógico. Pr relizr ms funciones st con conectr en serie un puert O (o Y) con un negdor. En l práctic existen circuitos que relizn directmente ls funciones NO-O y NO-Y. El símolo de ests puerts consiste en ñdir un círculo en l slid como se puede ver en l figur 3.7. En l figur 3.7 puede verse que lguns puerts lógics tienen más de dos entrds. No se trt de un error, existen circuitos que relizn el producto o l sum lógic de más de dos vriles y su representción es l indicd en l figur. 3.3 Ejemplos de circuitos lógicos Los circuitos lógicos permiten relizr muchs funciones diferentes; por ello hn encontrdo plicción en l utomtizción de tres. Equipos tles como: semáforos, lrms, interruptores utomáticos, etc. funcionn grcis circuitos que contienen puerts lógics. En el ámito de l informátic estos circuitos son l se pr memoris, uniddes de cálculo, etc. A modo de ejemplo se vn descriir lgunos circuitos que tienen utilidd en máquins de cálculo utomático. En un cpítulo posterior se mostrrán otros circuitos que formn prte de l unidd ritmético-lógic Pridd Este circuito proporcion un vlor uno si el número de entrds con vlor uno es pr. A modo de ejemplo consideremos un circuito de dos entrds y. L slid p h de vler uno cundo mos y vlen cero o cundo mos vlen. Aplicndo est regl l tl de verdd result: p de donde se deduce que p = +. L pridd de tres its, y c puede clculrse de form precid, resultndo l función q = c + c + c + c como es fácil compror.

9 c MRA & JAAR 29 DISA. ESI. US. 3 S S2 S3 Figur 3.8: Circuito comprdor relizdo con puerts lógics Comprdor Un dispositivo comprdor permite verigur l relción entre dos its y. Ls situciones que pueden drse son: >, = o <, por tnto, el dispositivo comprdor h de proporcionr uno de tres vlores posiles. Considérese el circuito de l figur 3.8 se oserv que tiene tres slids s, s2 y s3. El significdo es el siguiente: si > = s =, s 2 = s 3 = si = = s 2 =, s = s 3 = si < = s 3 =, s = s 2 = Es decir, l slid s se ctiv cundo el primer it es myor que el segundo. L segund se ctiv cundo son igules y l tercer cundo el segundo it es myor que el primero. L tl de verdd pr ls distints slids es fácil de otener: s s 2 s 3 Por plicción de l regl de sums de productos l tl nterior se otiene que s = s 2 = + s 3 = Con ests expresiones es fácil componer el digrm mostrdo en l figur 3.8.

10 32 TEMA 3. ÁLGEBRA DE BOOLE Y CIRCUITOS CON PUERTAS LÓGICAS Myorí Un circuito myorí dmite un número N de entrds que pueden vler o. L slid del circuito es uno si y sólo si l myorí de ls señles de entrd vlen. Es decir, el vlor de l slid es el indicdo por el de l myorí de ls entrds, por lo que este dispositivo puede usrse pr clculr el gndor de un votción en l que hy dos propuests. Pr concretr considérese l figur 3.9 donde el loque simoliz el circuito myorí. Se hn tomdo tres entrds que son ls señles e, e 2 y e 3. Por definición, l slid s h de vler uno si existen dos o más entrds que vlen uno; en cso contrrio l slid vle cero. L tl de verdd es: e e 2 e 3 s e e 2 e 3 e e 2 e 3 s s Figur 3.9: Circuito pr clculr l myorí. De est tl se otiene l función oolen que verific el circuito myorí. s = e e 2 e 3 + e e 2 e 3 + e e 2 e 3 + e e 2 e 3 L relizción del circuito con puerts lógics no present ningun dificultd, como puede verse en l menciond figur 3.9. Nuevmente se h ovido l posile simplificción de l función otenid.

11 c MRA & JAAR 29 DISA. ESI. US Ejercicios propuestos Los siguientes ejercicios sirven pr consolidr ls ides más importntes de este tem. simplificr ls funciones lógics pr el diseño de los circuitos con puerts lógics. No. Se dese construir un circuito con puerts lógics. Ls entrds, y c representn los its de un número inrio entero no negtivo, y l slid f vle si el número es un potenci exct de 2 y cero en cso contrrio. 2. Se dese diseñr un circuito con puerts lógics pr convertir un número inrio, de tres its, codificdo en complemento 2 l formto signo-vlor soluto. 3. Se dese diseñr un circuito con puerts lógics que duplique un número inrio entero de 3 its no negtivo.

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