Guía práctica para la realización de medidas y el cálculo de errores

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1 Laboratoro de Físca Prmer curso de Químca Guía práctca para la realzacó de meddas y el cálculo de errores Medda y Error Aquellas propedades de la matera que so susceptbles de ser meddas se llama magtudes; so las propedades que estuda la Físca medate el método cetífco. Medr ua magtud físca es compararla co u valor de la msma que, por coveo, tomamos como patró o udad. Como resultado obteemos el úmero de veces que esta udad está coteda e uestra magtud, así que sempre teemos que referros a esa udad empleada, de lo cotraro la medda o tee setdo. Ejemplo: ua masa puede ser.3 g, pero o.3. Qué clase de úmeros debería ser los resultates de la operacó de medr?. Evdetemete debería de ser úmeros reales, es decr, úmeros co ftos dígtos decmales. Cuátos de esos dígtos coseguremos coocer del valor de la magtud? Podríamos obteer tatas cómo quséramos? Detro de la Físca Clásca, es teórcamete posble obteer tatas cfras como uestra habldad y la perfeccó de los aparatos os permta. La realdad es que estas lmtacoes mpde coocer más allá de las prmeras cfras del verdadero valor de la magtud. Qué podemos etoces obteer e u proceso de medda? Sólo podemos determar u tervalo e que es probable que esté el verdadero valor de la magtud. Por ejemplo: S decmos que ua masa es de.3 g., queremos decr realmete que es probable que esté etre. g. y.4 g. Este tervalo de valores o tee por qué ser sempre gual, lo epresaremos e geeral como:

2 Guía práctca para la realzacó de meddas y el cálculo de errores [] (Valor del cetro del tervalo ± la mtad del tervalo) udad Cuato más estrecho es el tervalo, mejor coocemos el verdadero valor de la magtud que medmos. Sguedo co el ejemplo de la masa escrbríamos (Los parétess so ecesaros ya que la udad multplca a los dos úmeros): m = (.3 ± 0.) g. La forma de calcular ese tervalo de valores se deoma cálculo de errores. Formas de epresar los errores: Absoluta y Relatva. Auque aú o sabemos calcularlo, adelataremos que ese tervalo se epresa matemátcamete de dos formas que recbe ombres dsttos: ERROR ABSOLUTO ( ): El error absoluto del resultado de uas meddas es la mtad del tervalo de valores e que, segú las meddas, estará el verdadero valor de la magtud físca. []. = Los errores absolutos se escrbe preceddos por el sgo ± y segudos de sus udades. Así, e el ejemplo del apartado ateror, el error absoluto sería: ± 0. g. El error absoluto dca cómo es de bueo uestro coocmeto de ua magtud físca, pero es poco útl para comparar el coocmeto que teemos sobre dos o más magtudes. Así, s medmos dos masas de kg. y de g. co el msmo error absoluto de 0. g, es evdete que coocemos co más precsó la prmera, y el error absoluto o srve para epresarlo. Para evtar esta lmtacó del error absoluto, defmos: ERROR RELATIVO ( / ): El error relatvo es el cocete etre el error absoluto y el valor del cetro del tervalo []. Al error relatvo se le deoma també precsó de la medda. El error relatvo carece de udades y suele epresarse e %: 00 Coocemos ahora como se represeta matemátcamete los errores. Ates de tratar el problema de calcularlos, estudaremos cuáles so las causas más comues de error y cómo subsaarlas.

3 Guía práctca para la realzacó de meddas y el cálculo de errores 3 DE DONDE PROVIENEN LOS ERRORES? E ua medcó tervee el epermetador, el patró de medda (o u aparato calbrado) y el sstema físco del que se desea medr algua magtud. Las causas de error e las meddas so el epermetador y los aparatos de medda. ERRORES DEL EXPERIMENTADOR. Supogamos que el epermetador tee sufcete habldad para, ates de ada, que el epermeto permta obteer la formacó que se busca y para preparar el dspostvo epermetal correctamete. Además supodremos que sabe maejar correctamete los aparatos y leer sus escalas s equvocarse e los valores e las udades. E ese caso, los errores suele prover de las hpótess que el epermetador hace, muchas veces coscetemete sobre:. Cómo es el sstema físco que estuda: por ejemplo, supoer que u alambre es u cldro perfecto.. Cómo afecta el aparato de medda al sstema físco: por ejemplo, supoer que al medr la temperatura de u pequeño recpete de agua co u termómetro, aquella o resultaría afectada por la temperatura cal de éste. No hay ua regla geeral para detectar y corregr estos tpos de errores. Como so más dfícles de detectar que de corregr, el epermetador deberá aalzar e cada epermeto las hpótess mplíctas e el método de medda que utlza y verfcar s so certas. ERRORES DE LOS APARATOS DE MEDIDA. CUALIDADES DE LOS APARATOS Los aparatos de medda se caracterza por las sguetes cualdades: RESOLUCIÓN: Es la míma dvsó de la escala del aparato. Por ej.: L= mm. e ua regla mlmetrada. I=0.0 A e certo amperímetro... SENSIBILIDAD: Es el úmero de dvsoes de la escala que recorre el dcador del aparato cuado la magtud a medr varía e ua udad. Por ejemplo.: mm e la regla mlmetrada. 00 A e el amperímetro. E todos los aparatos este ua varacó míma de la magtud que o es aprecada por el aparato y se deoma umbral de sesbldad. Obvamete es meor que la resolucó.

4 Guía práctca para la realzacó de meddas y el cálculo de errores 4 FIDELIDAD: Es la cualdad del aparato de dar el msmo resultado sempre que se mde la msma magtud físca e las msmas codcoes epermetales y dsttas codcoes ambetales del aparato (temperatura, tesó de almetacó,...). PRECISIÓN: Es la característca que os dca globalmete el error debdo al umbral de sesbldad y la falta de fdeldad del aparato. Se suele dar como u tato por ceto del fodo de escala (F.E.). Por ejemplo: u amperímetro de precsó % del F.E. De todas estas característcas, la precsó es la que más completamete os dca el error de la medda debdo tríscamete al aparato, es decr, que o puede rebajarse salvo que mdamos co u aparato más precso. Hay otros errores que afecta crcustacalmete a u aparato, pero que puede corregrse medate calbrado, es decr, ajustádolos para que de meddas correctas o corrgedo sus escalas tras ua cofrotacó co u patró o u aparato más precso. Debdo a esta crcustaca, es ecesaro defr otra cualdad. EXACTITUD: Es la cualdad de u aparato que dca que es precso y está be calbrado. Sólo u aparato eacto permte meddas eactas, pero la eacttud de ambos está lmtada por la precsó del aparato. El error más típco que afecta a la eacttud de los aparatos es el error de cero. Causado por u defecto de ajuste del aparato, este da ua lectura dstta de cero cuado lo que mde vale cero. Es fáclmete corregble reajustado el aparato o corrgedo umércamete las lecturas e la catdad e que dfere el cero real y el de la escala.

5 Guía práctca para la realzacó de meddas y el cálculo de errores 5 El Cálculo de Errores La maera de calcular los errores depede del tpo de medda. Dstguremos: MEDIDAS DIRECTAS: Las que se obtee comparado la magtud co el patró drectamete o medate u aparato calbrado. Así se suele medr la logtud, la masa, el tempo, el voltaje... MEDIDAS INDIRECTAS: Las que se calcula medate ua fórmula a partr de magtudes meddas drectamete. Así suele obteerse la velocdad, la superfce,... El que ua medda sea drecta o drecta o depede de la magtud e sí, so del epermeto que empleamos para determarla. Lo que e u epermeto se mde de maera drecta, e otro puede determarse de maera drecta. Tpos de Errores e Meddas Drectas Clasfcaremos los errores segú su comportameto, depedetemete de dode provega, e errores sstemátcos y errores accdetales. ERRORES SISTEMÁTICOS: Se debe a causas que fluye sempre e la msma forma e las meddas. Geeralmete se debe a falta de calbracó de los aparatos o a u mal hábto del epermetador. Su característca es que se puede calcular y su efecto sobre los resultados se puede corregr umércamete Ejemplo: Ua lectura de +05V., realzada co u voltímetro que marca 5 V. cuado sus etremos está cortocrcutados (y debería por tato marcar 0), dca que la tesó es de 0 V. ERRORES ACCIDENTALES: S medmos dos veces cosecutva la msma catdad y e las msmas codcoes, es probable que o cocda todos los dígtos de la medda. Esto se debe a causas que actúa de forma mprevsble, aleatora, uas veces aumetado, otras dsmuyedo la medda, y e catdades dferetes e cada teto de medr. Puede deberse a pequeñas varacoes e la magtud a medr, a la lmtada fdeldad de los aparatos y a u epermetador poco hábl. Su característca prcpal es que o podemos hacer más que acotarlos e valor absoluto utlzado la teoría estadístca de errores. Veamos segudamete que aporta la estadístca al tratameto de los errores accdetales. Llamemos A a la magtud Físca a medr cuyo verdadero valor, descoocdo, es. Sea los valores epermetales obtedos e tetos de medda supogamos que los

6 Guía práctca para la realzacó de meddas y el cálculo de errores 6 está lbres de errores sstemátcos. E este caso la teoría estadístca aporta los sguetes parámetros: Valor medo: la meda artmétca de los valores recogdos = = [] Desvacó típca: σ = = ( ) Desvacó típca de la meda ó error cuadrátco medo de la meda: [3] σ = σ ( ) = = ( ) El valor medo de es el valor más probable de la magtud A. Por tato, es la mejor estmacó que podemos hacer del valor del cetro del tervalo de la epresó []. La desvacó típca σ srve para decdr s alguas de las meddas de es rechazable: el crtero habtual es que s dfere de e meos que σ cosderamos la medda correcta; y s dfere e más que 3 σ es mala. El error cuadrátco medo σ os permte asegurar que el verdadero valor tee ua probabldad del: 68.7 % de estar etre - σ y + σ % de estar etre. σ y +. σ % de estar etre 3. σ y + 3. σ Por tato σ os permte calcular la achura del tervalo de la epresó []. Se observa e la Naturaleza que la dstrbucó de valores de ua magtud medda ( ) e toro al valor 'real' es ua curva que se llama dstrbucó gaussaa (ver fgura). La probabldad de que el valor de ua magtud esté etre dos valores cocretos y es gual al área bajo esa curva etre los valores ctados. Esta dstrbucó tede astótcamete a cero e fto, co lo que e prcpo cualquer valor de la magtud es posble (auque sea poco probable). Por esta razó por grade que pogamos el [4]

7 Guía práctca para la realzacó de meddas y el cálculo de errores 7 tervalo de cofaza, uca tedremos la segurdad al 00% de que el valor real de la magtud está detro del tervalo. Cuál es el error de las magtudes que se mde drectamete? Auque hemos estudado cada tpo de error por separado, el error total está costtudo por los errores sstemátcos, los errores accdetales y el grado de precsó del aparato de medda. Se calculará de la sguete forma: Prmero: Se corrge las meddas, lbrádolas de los errores sstemátcos Segudo: Se calcula y σ de las meddas corregdas. Tercero: Se determa el error absoluto de las meddas debdo a la precsó del aparato. Frecuetemete se toma la resolucó del aparato como valor de este error, auque e ocasoes la medda puede fluctuar rápdamete mpdedo ua lectura precsa del valor de la magtud co la precsó que da el aparato. Por ejemplo la lectura de u amperímetro puede osclar apromadamete etre.034 ma y.05 ma, co lo que tomaríamos como error 0.0 ma para clur todo este rago de varacó. Queda a crtero del epermetador aumetar el error por ecma de la resolucó del aparato s lo cosdera oportuo e cada caso. Cuarto: El error total es el mayor valor etre el error cuadrátco de la meda ( σ ) y del error absoluto debdo a la precsó del aparato. o Ej. X =.3 u, resoluco=0.u, σ = 0. u = (.3± 0.) u El error total se puede epresar e forma absoluta o relatva, segú terese. X Cálculo de Errores e Meddas Idrectas S Q = Q (, y, z), e que, y, z so magtudes que se mde drectamete, y Q es ua magtud que se calcula a partr de ellas. Cuál es Qs coocemos, y, z? Para obteer Q se utlza el cálculo dferecal, be drectamete o tomado prevamete logartmos eperaos: DIFERENCIACIÓN DIRECTA Dferecado e Q = Q (, y, z) se obtee: Q dq = d + Q dy+ Q dz y z

8 Guía práctca para la realzacó de meddas y el cálculo de errores 8 S terpretamos los dferecales como los errores cometdos e las medcoes de las respectvas varables se trasforma e: Q = Q + Q y y+ Q z z ; Q 0 0 ó y 0 ó z 0 Se ha tomado valores absolutos para evtar la stuacó admsble e que Q pudera resultar ulo, sedo calculado co valores eactos)., y ó z o ulos (o se puede coocer co eacttud algo Ejemplo: Supogamos que se ha meddo drectamete el valor del dámetro de ua esfera co ua precsó de cm: D=(50±) cm. Calcular el área (A) y el volume (V) de la esfera. Es coocdo que la superfce y el volume de ua esfera vee dados por 4 A= 4 π R V = π R 3 3 El rado será R=D/=75cm y su error R= D/=0.5cm. Por tato R=(75.0±0.5) cm y Los resultados fales será: A = (70700±900) cm V = (770000±40000) cm 3 A= 4π R = cm A A= Abs R= 8 π R R= 94.5cm R V = π R = cm 3 V V = Abs R= 4π R R= cm R DIFERENCIACIÓN LOGARÍTMICA 3 E ocasoes el proceso de dferecacó parcal es más secllo s prevamete se toma logartmos eperaos. Luego se dfereca y, falmete, se susttuye los dferecales por errores. Por gual motvo que e la dferecacó drecta, cada sumado se toma e valor absoluto. Ejemplo: S Q= A y B Se toma logartmos l Q= A l + B l y

9 Guía práctca para la realzacó de meddas y el cálculo de errores 9 Luego dferecales Q Q = y A + B y Y e térmos de errores Q = A Q y + B y E ocasoes, cuado la fucó Q (...) es complcada, puede ser ecesaro utlzar los dos procedmetos. Presetacó Numérca de Resultados Ua vez calculado el error total como se dcó segú se trate de meddas drectas o drectas, se procede como sgue: Prmero: Se redodea el error total de maera que tega ua sola cfra sgfcatva. Ejemplo: se redodea a se redodea a % se redodea a %.35 % se redodea a % Para efectuar este redodeo hay que fjarse e la prmera cfra que se elmará, s es mayor o gual a 5 se aumeta la que queda e ua udad. Sólo e el caso de que la cfra sgfcatva que queda sea u, se permte dejar dos cfras sgfcatvas. Ejemplo: = Me fjo e el 7, como es >5 aumeto el que queda e ua udad: (los dígtos que sgue al 7 so dferetes e este proceso de redodeo) se redodea a se redodea a se redodea a se redodea a se redodea a Segudo: El valor de la magtud o puede ser más precso que el error. Por ello, el valor medo de las meddas ó el valor calculado Q (, y, z) =, segú se trate de meddas drectas o drectas, se redodea de forma que su últma

10 Guía práctca para la realzacó de meddas y el cálculo de errores 0 cfra sgfcatva sea de la msma precsó que la cfra sgfcatva del error absoluto total. Ejemplo: S el error total es 0.005,.3834 se redodea a se redodea a se redodea a.300 Tercero: El resultado de uestras meddas se escrbe como: ( ± ) udades o como: udad ± 00,% teedo, y 00 segú lo dcho ates e este apartado. las cfras sgfcatvas que les correspoda Ejemplos (o clumos las udades e este caso por secllez): Error Error redodeado Medda Resultado fal ± ± ± ± ± ± ± ± ±400

11 Guía práctca para la realzacó de meddas y el cálculo de errores Ajuste a ua recta por mímos cuadrados E u epermeto es muy frecuete el caso e que ua catdad y es fucó de otra catdad, y se haga medcoes de pares de valores (,y). Etoces estos se represeta e ua gráfca y se trata de ecotrar ua curva que correspoda a algua fucó algebraca y= f ( ) que pase ta cerca de los putos como sea posble. Nosotros vamos a cosderar el caso e que la fucó es ua líea recta, que es la fucó más seclla: y = m + c [5] Para defr la recta ecestamos poder calcular los valores de los parámetros m y c e fucó de los putos (,y ). Método de los mímos cuadrados Supogamos que hay pares de medcoes (, y ),(, y ),... (, y ) y que los errores está e su totaldad cosderados e los valores de y. Para valores dados de m y de c, la desvacó del puto ésmo respecto a la recta es y m c, y vamos a mpoer Magtud Y que la suma de estas dstacas para todos los putos epermetales sea míma. Para evtar que uas dferecas postvas (putos por ecma de la recta) se cacele co otras egatvas (putos por debajo), se suma los cuadrados de estas dferecas Magtud X Por tato, los mejores valores de m y c so aquellos para los cuales: S = ( ) = y m c es u mímo. Dervado obteemos δs δs = = δm δc ( y m c) ( ) ( ) ( y m c ) = =

12 Guía práctca para la realzacó de meddas y el cálculo de errores Las codcoes de mímo de S para m y c so: δs δm + c = = = = = 0 m y [7] δs = 0 m δc = + c = = tomado los valores medos (, y) de los putos ( ) = = ; y y = y =, : que se correspode co el cálculo del cetro de gravedad de u cojuto de putos, las epresoes [7] y [8 ] se trasforma e: = = m + c = y ; m + c = y y y resolvedo como u sstema de ecuacoes e m y c obteemos: m y = = = = = y ; c= y m [9] por lo que la recta de ecuacó [5] pasa por el cetro de gravedad (, y), de todos los putos (, y ). Para el cálculo del error estadístco de la pedete y la ordeada de esta recta usaremos las sguetes epresoes: [8] m= Σ( y m b) ( Σ ( Σ ) ) ( ) ( Σ ) ( ) y m b b= + Σ Σ Σ( ) ( ) Ejemplo de aplcacó: Deseamos medr la ressteca de ua rama de u crcuto, para lo cual se toma dsttos pares de valores de la dfereca de potecal etre los etremos de la rama, y la correte que la atravesa. Se obtee los sguetes valores:

13 Guía práctca para la realzacó de meddas y el cálculo de errores 3 V (V) I (A) Voltaje (V) Sabemos por la ley de Ohm que V=R I, pero e lugar de obteer u valor de R para cada par de valores ajustamos R por el método de mímos cuadrados. Esto puede hacerse co Y = A + B * X Parameter Value Error A B algú ordeador o calculadora, o drectamete evaluado las epresoes aterores. El resultado es R= (0.95±0.09) Ω Itesdad (A)

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