Regresión con variable dependiente binaria (SW Capítulo 9)

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1 Regresó co varable deedete bara (SW Caítulo 9) Hasta ahora hemos cosderado que la varable deedete (Y) es cotua: utuacoes e los tests e las escuelas tasa de mortaldad e accdetes de tráfco Pero odemos estar teresados e eteder el efecto de X sobre ua varable bara Y: Y = r a la uversdad o o Y = ser fumador o o Y = coceder ua hoteca o o 9-

2 Ejemlo: Deegacó de ua hoteca y raza Datos: The Bosto Fed HMDA Solctudes dvduales de hoteca ara famlas uersoales e 990 e el área de Bosto 380 observacoes, recogdas bajo Home Mortgage Dsclosure Act (HMDA) Varables Varable deedete: ococesó o deegacó de la hoteca Varables deedetes: oreta, rqueza, stuacó laboral ootros réstamos, característcas de la casa oraza del solctate 9-

3 El modelo de robabldad leal (SW Seccó 9.) U uto de artda atural es el modelo de regresó leal co u úco regresor: Pero: Y = β 0 + β X + u Qué sgfca β cuado Y es bara? Es β = Y X? Qué sgfca la recta β 0 + β X cuado Y es bara? Qué sgfca el valor estmado ˆ Y cuado Y es bara? Por ejemlo, qué sgfca ˆ Y = 0.6? 9-3

4 El modelo de robabldad leal (cot.) Y = β 0 + β X + u Recordemos la hótess #: E(u X ) = 0, or tato: E(Y X ) = E(β 0 + β X + u X ) = β 0 + β X Cuado Y es bara, E(Y) = Pr(Y=) + 0 Pr(Y=0) = Pr(Y=) así que se tee, E(Y X) = Pr(Y= X) 9-4

5 El modelo de robabldad leal (cot.) Cuado Y es bara, el modelo de regresó leal Y = β 0 + β X + u recbe el ombre de modelo de robabldad leal. El valor estmado es ua robabldad: oe(y X=x) = Pr(Y= X=x) = rob. de Y = dado x oy ˆ = la robabldad estmada de que Y =, dado X β = cambo e la robabldad de que Y = ara u x dado: Pr( ) Pr( ) β = Y = X = x + x Y = X = x x Ejemlo: modelo de robabldad leal, datoshmda 9-5

6 Deegacó de hotecas vs. rato réstamos a agar/reta (P/I rato) e el cojuto de datos HMDA (subcojuto de dchos datos) 9-6

7 9-7

8 Modelo de robabldad leal: datos HMDA deeg = P/I rato ( = 380) (.03) (.098) Cuál es el valor estmado ara P/I rato =.3? Pr(deeg= P/I rato=.3) = =.5 Calculado efectos: crem. de P/I rato de.3 a.4: Pr(deeg= P/I rato=.4) = =. El efecto sobre la robabldad de deegacó de la hoteca de u cremeto e el P/I rato de.3 to.4 es que se cremeta dcha robabldad e.06, es decr, e 6. utos orcetuales. 9-8

9 Icluyamos ahora la varable egro como u regresor (egro vale ara dvduos de raza egra): deeg = P/I rato +.77 black (.03) (.098) (.05) Probabldad estmada de deegacó de la hoteca: ara u solctate egro co P/I rato =.3: Pr(deeg=) = =.54 ara u solctate blaco co P/I rato =.3: Pr(deeg=) = =.077 dfereca =.77 = 7.7 utos orcetuales El coefcete de egro es sgfcatvo al 5% Todavía habrá muchas varables omtdas (sesgo) 9-9

10 El modelo de robabldad leal: Resume Modelza la robabldad como ua fucó leal de X Vetajas: oestmacó e terretacó secllas ola fereca es la msma que e el modelo de regresó múltle (ecestamos errores estádar robustos a heterocedastcdad) Desvetajas: o Tee setdo que la robabldad sea leal e X? olas robabldades estmadas uede ser <0 ó >! Este roblema uede resolverse utlzado u modelo de robabldad o leal: regresó robt y logt 9-0

11 Probt ad Logt Regresso (SW Secto 9.) El roblema co el modelo de robabldad leal es que modelza la robabldad de Y= co ua fucó leal: Pr(Y = X) = β 0 + β X S embargo, queremos que: 0 Pr(Y = X) ara todo X Pr(Y = X) crecete e X (ara β >0) Esto requere ua forma fuctoal o leal ara la robabldad. Qué tal ua curva e forma de S? 9-

12 El modelo robt satsface estas codcoes: 0 Pr(Y = X) ara todo X Pr(Y = X) es crecete e X (ara β >0) 9-

13 La regresó robt modelza la robabldad de que Y= usado la fucó de dstrbucó de la ormal estádar, evaluada e z = β 0 + β X: Pr(Y = X) = Φ(β 0 + β X) Φ es la fucó de dstrbucó ormal. z = β 0 + β X es el valor z ó ídce z del modelo robt Ejemlo: Suogamos que β 0 = -, β = 3, X =.4, or tato: Pr(Y = X=.4) = Φ( ) = Φ(-0.8) Pr(Y = X=.4) = área bajo la desdad de la ormal estádar que queda a la zquerda de z = -.8, que es 9-3

14 Pr(Z -0.8) =.9 9-4

15 Regresó robt (cot.) Por qué usar la dstrbucó de robabldad acumulada de la ormal? La curva e forma de S os da lo que queremos: o 0 Pr(Y = X) ara todo X o Pr(Y = X) crecete e X (ara β >0) Es fácl de usar las robabldades está tabuladas e las tablas de la ormal Tee ua terretacó relatvamete drecta: o valor z = β 0 + β X o ˆ β 0 + ˆ β X es el valor z estmado, dado X oβ es el cambo e el valor z ara u cambo utaro e X 9-5

16 Ejemlo de STATA: datos HMDA. robt dey _rat, r; Iterato 0: log lkelhood = We ll dscuss ths later Iterato : log lkelhood = Iterato : log lkelhood = Iterato 3: log lkelhood = Probt estmates Number of obs = 380 Wald ch() = Prob > ch = Log lkelhood = Pseudo R = Robust dey Coef. Std. Err. z P> z [95% Cof. Iterval] _rat _cos Pr(deeg= P/I rato) = Φ( P/I rato) (.6) (.47) 9-6

17 Ejemlo de STATA: datos HMDA (cot.) Pr(deeg= P/I rato) = Φ( P/I rato) (.6) (.47) Coefcete ostvo: tee setdo? Los errores estádar tee la terretacó habtual Probabldades estmadas: Pr(deeg= P/I rato=0.3) = Φ( ) = Φ(-.30) =.097 Efecto del cambo e P/I rato de.3 a.4: Pr(deeg= P/I rato=0.4) = Φ( ) =.59 La robabldad estmada de o cocesó de hoteca se cremeta, asado de.097 a

18 Regresó robt co varos regresores Pr(Y = X, X ) = Φ(β 0 + β X + β X ) Φ es la fucó de dstrbucó ormal acumulada. z = β 0 + β X + β X es el valor z ó ídce z del modelo robt β es el efecto e el valor z de u cambo utaro e X, mateedo costate X 9-8

19 Ejemlo de STATA: datos HMDA. robt dey _rat black, r; Iterato 0: log lkelhood = Iterato : log lkelhood = Iterato : log lkelhood = Iterato 3: log lkelhood = Probt estmates Number of obs = 380 Wald ch() = 8.8 Prob > ch = Log lkelhood = Pseudo R = Robust dey Coef. Std. Err. z P> z [95% Cof. Iterval] _rat black _cos Veremos desués los detalles de la estmacó 9-9

20 Ejemlo de STATA: robabldades robt estmadas. robt dey _rat black, r; Probt estmates Number of obs = 380 Wald ch() = 8.8 Prob > ch = Log lkelhood = Pseudo R = Robust dey Coef. Std. Err. z P> z [95% Cof. Iterval] _rat black _cos sca z = _b[_cos]+_b[_rat]*.3+_b[black]*0;. dslay "Pred rob, _rat=.3, whte: "ormrob(z); Pred rob, _rat=.3, whte: NOTE _b[_cos] s the estmated tercet ( ) _b[_rat] s the coeffcet o _rat (.74637) sca creates a ew scalar whch s the result of a calculato dslay rts the dcated formato to the scree 9-0

21 Ejemlo de STATA: datos HMDA (cot.) Pr(deeg= P/I, egro) = =Φ( P/I rato +.7 black) (.6) (.44) (.08) El coefcete de egro es estadístcamete sgfcatvo? Valor estmado de la raza ara P/I rato =.3: Pr(deeg=.3, ) = Φ( ) =.33 Pr(deeg=.3, 0) = Φ( ) =.075 Dfereca e las robabldad de o cocesó de la hoteca =.58 (5.8 utos orcetuales) Todavía habrá muchas varables omtdas (sesgos) 9-

22 Regresó logt La regresó logt modelza la robabldad de Y= como la fucó de dstrbucó acumulada de la logístca estádar, evaluada e z = β 0 + β X: Pr(Y = X) = F(β 0 + β X) F es la fucó de dstrbucó logístca: F(β 0 + β X) = + ( 0 X ) e β + β 9-

23 Regresó logt (cot.) Pr(Y = X) = F(β 0 + β X) dode F(β 0 + β X) = + ( 0 X ) e β + β. Ejemlo: β 0 = -3, β =, X =.4, or tato, β 0 + β X = = -. Pr(Y = X=.4) = /(+e (.) ) =.0998 Por qué comlcarse co el logt s teemos el robt? Hstórcamete, ha tedo vetajas comutacoales E la ráctca, es muy smlar al robt 9-3

24 Ejemlo de STATA: datos HMDA. logt dey _rat black, r; Iterato 0: log lkelhood = Later Iterato : log lkelhood = Iterato : log lkelhood = Iterato 3: log lkelhood = Iterato 4: log lkelhood = Logt estmates Number of obs = 380 Wald ch() = 7.75 Prob > ch = Log lkelhood = Pseudo R = Robust dey Coef. Std. Err. z P> z [95% Cof. Iterval] _rat black _cos ds "Pred rob, _rat=.3, whte: " > /(+ex(-(_b[_cos]+_b[_rat]*.3+_b[black]*0))); Pred rob, _rat=.3, whte: NOTE: the robt redcted robablty s

25 Las robabldades estmadas de los modelos robt y logt so habtualmete muy arecdas. 9-5

26 Estmacó e Ifereca e Modelos Probt (y Logt) (SW Seccó 9.3) Modelo robt: Pr(Y = X) = Φ(β 0 + β X) Estmacó e fereca o Cómo estmar β 0 y β? o Cuál es la dstrbucó muestral de los estmadores? o Por qué odemos utlzar los métodos de fereca habtuales? Veamos rmero mímos cuadrados o leales (más fácl de exlcar) Desués veamos estmacó or máxma verosmltud (es lo que se hace e la ráctca e estos modelos) 9-6

27 Estmacó robt or mímos cuadrados o leales Recordemos MCO: m [ Y ( b + b X )] b0, b 0 = El resultado so los estmadores MCO ˆ β 0 y ˆ β E el robt, teemos ua fucó de regresó dferete, el modelo robt o leal. Etoces, odríamos estmar β 0 y β or mímos cuadrados o leales: m [ Y Φ ( b + b X )] b0, b 0 = La solucó de este roblema lleva al estmador de mímos cuadrados o leales de los coefcetes robt. 9-7

28 Mímos cuadrados o leales (cot.) m [ Y Φ ( b + b X )] b0, b 0 = Cómo resolver este roblema de mmzacó? No teemos ua solucó exlícta. Debe resolverse umércamete usado u ordeador, es decr, or u método de rueba y error, robado co u cojuto de valores ara (b 0,b ), luego robado otro, y otro... Ua dea mejor: usar algortmos esecífcos de mmzacó E la ráctca, o se utlza mímos cuadrados o leales orque o es efcete; u estmador co ua varaza meor es

29 Estmacó robt or máxma veosmltud La fucó de verosmltud es la desdad codcoal de Y,,Y dados X,,X, etedda como fucó de los arámetros descoocdos β 0 y β. El estmador de máxma verosmltud (EMV ó MLE e glés) es el valor de (β 0, β ) que maxmza la fucó de verosmltud. El EMV (MLE) es el valor de (β 0, β ) que mejor descrbe la dstrbucó de los datos. E muestras grades, el EMV (MLE) es: ocosstete ose dstrbuye como ua ormal oefcete (es el estmador de meor varaza) 9-9

30 Caso esecal: EMV (MLE) robt s X Y= (dstrbucó Beroull) 0 co co robabld ad robabld ad Datos: Y,,Y,..d. La obtecó de la verosmltud emeza co la desdad de Y : Pr(Y = ) = y Pr(Y = 0) = Por tato, y y Pr(Y = y ) = ( ) (comrobar ara y =0, ) 9-30

31 Desdad cojuta de (Y,Y ): Dado que Y y Y so deedetes, Pr(Y = y,y = y ) = Pr(Y = y ) Pr(Y = y ) y y = [ ( ) y y ] [ ( ) ] Desdad cojuta de (Y,..,Y ): Pr(Y = y,y = y,,y = y ) y y = [ ( ) y y ] [ ( ) ] [ = = y ( ) ( ) y = y ( ) y ] La verosmltud es la desdad cojuta, etedda como fucó de los arámetros descoocdos, que está e : 9-3

32 f(;y,,y ) = = Y ( ) ( ) Y = El EMV (MLE) maxmza la verosmltud. Se suele trabajar co el logartmo de la verosmltud, l[f(;y,,y )]: l[f(;y,,y )] = ( ) ( ) Y l( ) + Y l( ) = = dl f( ; Y,..., Y ) d + = ( ) ( Y ) Y = 0 = = Resolvedo ara se obtee el EMV (MLE); es decr, ˆ MLE, satsface, 9-3

33 ó + MLE ˆ ˆ ( ) ( Y ) Y = MLE = = 0 ˆ ˆ ( ) ( Y ) = Y = MLE = MLE ó (dvdedo or y reordeado térmos), ó Y ˆ = Y ˆ MLE MLE ˆ MLE = Y = roorcó de s 9-33

34 El estmador EMV (MLE) e el caso s X (dstrbucó Beroull): ˆ MLE = Y = roorcó de s Para Y..d. Beroull, el EMV (MLE) es el estmador atural de, la roorcó de s, que es Y Ya coocemos los asectos báscos de la fereca: opara grade, la dstrbucó muestral de ˆ MLE = Y es ua dstrbucó ormal opor tato, la fereca es la habtual : cotrastes de hótess medate el estadístco t, tervalos de cofaza basados e ±.96SE Nota de STATA: ara destacar que se requere grade, la salda de STATA se refere al estadístco z e lugar de al estadístco t ; estadístco ch-cuadrado (= q F) e lugar de estadístco F. 9-34

35 La verosmltud robt co u regresor X Su obtecó emeza co la desdad de Y, dado X : Pr(Y = X ) = Φ(β 0 + β X ) Pr(Y = 0 X ) = Φ(β 0 + β X ) Por tato, y Pr(Y = y X ) = ( ) [ ( )] y Φ β + β X Φ β + β X 0 0 La fucó de verosmltud robt es la desdad cojuta de Y,,Y dados X,,X, etedda como fucó de β 0, β : f(β 0,β ; Y,,Y X,,X ) Y = { ( ) [ ( )] Y Φ β + β X Φ β + β X } 0 0 Y Y { Φ ( β + β X ) [ Φ ( β + β X )] }

36 La fucó de verosmltud robt: f(β 0,β ; Y,,Y X,,X ) Y = { ( ) [ ( )] Y Φ β + β X Φ β + β X } 0 0 Y Y { Φ ( β + β X ) [ Φ ( β + β X )] } 0 0 No se uede obteer el máxmo de forma exlícta Hay que maxmzar utlzado métodos umércos Como e el caso s X, e muestras grades: o ˆ β MLE 0, ˆ β MLE so cosstetes o ˆ β MLE 0, ˆ β MLE sgue dstrbucó ormal olos errores estádar uede comutarse ocotrastes e tervalos de cofaza: los usuales Para varos X s, ver SW Aédce

37 La verosmltud logt co u X La úca dfereca etre el robt y el logt es la forma fuctoal que se utlza ara la robabldad: e el logt, Φ se reemlaza or la dstrbucó logístca. Por lo demás, la verosmltud es smlar; ver los detalles e SW Aédce. 9. Al gual que e el robt, o ˆ β MLE 0, ˆ β MLE so cosstetes o ˆ β MLE 0, ˆ β MLE tee dstrbucó ormal osus errores estádar uede comutarse ocotrastes e tervalos de cofaza: los usuales 9-37

38 Meddas de bodad de ajuste R y R o tee setdo e este cotexto (or qué?). Dos meddas de ajuste e este cotexto so:. La roorcó de redccoes correctas = roorcó de Y s ara las que la robabldad estmada es >50% (s Y =) ó es <50% (s Y =0).. El seudo-r mde el ajuste usado la fucó de verosmltud: mde la mejora e el valor del log de la verosmltud relatvo al caso s X (ver SW Aédce. 9.). Esto se reduce al R e el modelo leal co errores ormalmete dstrbudos. 9-38

39 Dstrbucó del EMV (MLE) ara grade (o está e SW) La calcularemos ara el caso esecal s X, ara el que es el úco arámetro descoocdo. Pasos a segur:. Obteer el log de la verosmltud ( Λ() ) (hecho).. Ecotrar el EMV (MLE) gualado a cero la dervada del log-verosmltud; esto requere resolver ua ecuacó o leal 3. Para grade, ˆ MLE estará cerca del verdadero ( true ), así que la ecuacó o leal uede aroxmarse (localmete) or ua ecuacó leal (exasó de Taylor alrededor de true ). 4. Dcha ecuacó uede resolverse ara ˆ MLE true. 5. Por la LGN y el TCL, ara grade, ( ˆ MLE true ) sgue dstrbucó ormal. 9-39

40 . Obteer el log de la verosmltud: Recuerda que: la desdad ara la observacó # es: y y Pr(Y = y ) = ( ) (desdad) Por tato, Y Y f(;y ) = ( ) (verosmltud) La verosmltud ara Y,,Y es, f(;y,,y ) = f(;y ) f(;y ) or tato el log de la verosmltud es, Λ() = lf(;y,,y ) = l[f(;y ) f(;y )] = = l f ( Y ; ) 9-40

41 . Igualar a cero la dervada de Λ() ara obteer el EMV (MLE): L( ) ˆ MLE = l f( ; Y ) = 0 MLE = ˆ 3. Utlzar ua exasó de Taylor alrededor de true ara aroxmar la ecuacó o leal como ua ecuacó leal de ˆ MLE : 0 = L( ) ˆ MLE L( ) true + L( ) true ( ˆ MLE true ) 9-4

42 4. Resolver esta aroxmacó leal ara ( ˆ MLE true ): L( ) Por tato, ó true L( ) + true L( ) ( ˆ MLE true ) true ( ˆ MLE true ) ( ˆ MLE true ) 0 L( ) L ( ) L( ) true true true 9-4

43 Susttur y alcar la LGN y el TCL. Λ() = l ( ; ) f Y = ( ) true L = l ( ; ) true f Y = ( ) true L = l ( ; ) true f Y = Por tato, ( ˆ MLE true ) ( ) true L ( ) true L = l ( ; ) true f Y = l ( ; ) true f Y =

44 Multlcar ambos membros or : ( ˆ MLE true ) l f( ; Y ) = true l f( ; Y ) = true Dado que Y es..d., los termus -ésmos e los sumados també so..d. Etoces, s esos térmos tee sufcetes mometos (e cocreto ), bajo codcoes geerales (o sólo bajo dstrbucó Beroull): 9-44

45 9-45 l ( ; ) true f Y = a ( costate) (LDGN) l ( ; ) true f Y = d N(0, l f σ ) (TCL) ( Por qué?) Poedo todo juto, ( ˆ MLE true ) l ( ; ) true f Y = l ( ; ) true f Y =

46 a (costate) (LDGN) true l f( ; Y ) = l f( ; Y ) d N(0, σ = true l f ) (TCL) ( Por qué?) Por tato, ( ˆ MLE true ) d N(0, σ /a ) l f Desarrollo de los detalles ara el caso robt/s X (Beroull): 9-46

47 Recuerda que: f(;y ) = Y ( ) Y Por tato, l f(;y ) = Y l + ( Y )l( ) y l f ( Y, ) = Y Y = Y ( ) y l f ( Y, ) Y Y ( ) = Y Y ( ) =

48 Deomador: Por tato, l f ( Y, ) l f( ; Y ) = Y Y ( ) = + Y Y = true + = ( ) Y Y ( ) = + + (LGN) ( ) = + = ( ) 9-48

49 Numerador: so l f ( Y, ) = Y ( ) l f( ; Y ) = = true = Y ( ) = ( ) = ( Y ) d σy N(0, [ ( )] ) 9-49

50 Poedo todo juto: ( ˆ MLE true ) dode l f( ; Y ) = l f( ; Y ) = true true l f( ; Y ) = ( ) l f( ; Y ) d σy N(0, = true [ ( )] De dode, ( ˆ MLE true ) d N(0, σ ) Y ) true 9-50

51 Resume: EMV (MLE) robt, caso s X El EMV (MLE): ˆ MLE = Y Trabajado sobre la teoría de la dstrbucó del EMV (MLE), llegamos a que: ( ˆ MLE true ) d N(0, σ ) Y Pero dado que true = Pr(Y = ) = E(Y) = µ Y, teemos que: (Y µ Y ) d N(0, σ ) Y U resultado vsto e las rmeras clases de Ecoometría! 9-5

52 La dervacó del EMV (MLE) utlza de forma geeral: ( ˆ MLE true ) d N(0, σ l f /a )) Los errores estádar se obtee ecotrado exresoes ara σ l f /a Extesó a varos arámetros (β 0, β ) medate cálculo matrcal Dado que la dstrbucó es ormal ara grade, la fereca se lleva a cabo de la forma habtual, or ejemlo, el tervalo de cofaza al 95% es MLE ±.96SE. La exresó de arrba utlza errores estádar robustos. Se uede smlfcar al caso de errores estádar o robustos s l f ( Y ; ) / es homocedástco. 9-5

53 Resume: dstrbuto del EMV (MLE) El EMV (MLE) sgue dstrbucó ormal ara grade Hemos trabajado este resultado e detalle ara el modelo robt s X (dstrbucó Beroull) Para grade, los tervalos de cofaza y los cotrastes de hótess se costruye de la forma usual. S el modelo está correctamete esecfcado, el EMV (MLE) es efcete, es dcer, tee meor varaza que cualquer otro estmador (esto o lo hemos desarrollado). Estos métodos se extede a otros modelos co varables deedetes dscretas, or ejemlo, datos de recueto (# deltos/día) ver SW Aédce

54 Alcacó a los datos de Bosto HMDA (SW Seccó 9.4) Las hotecas so ua arte esecal e la comra de ua casa. Hay dferecas e el acceso a ua hoteca e fucó de la raza? S dos dvduos, uo blaco y otro egro, que e lo demás so guales, solcta ua hoteca, hay dferecas e la robabldad de que la hoteca sea deegada? 9-54

55 El cojuto de datos HMDA Datos sobre característcas dvduales, característcas de la casa y cocesó o deegacó del réstamo El roceso de solctud de hoteca e Bosto : oir a ua etdad facera orellear ua solctud (formacó ersoal y ecoómca) oetrevsta co el agete del baco El baco decde e fucó de la ley (s restar atecó a la raza). Presumblemete, el baco quere otorgar réstamos beefcos ara él y el agete quere evtar otecales roblemas or falta de ago. 9-55

56 La decsó del baco: El baco utlza formacó sobre varables faceras: oratop/i o rato gastos de la casa/reta del dvduo o rato cuatía del réstamo/valor de la casa o hstoral credtco ersoal La regla de decsó o es leal: orato réstamo/valor > 80% orato réstamo/valor > 95% oputuacó e otros crédtos (e fucó de retrasos e el ago, etc) 9-56

57 Esecfcacoes ara la regresó Pr(deeg= egro, otras X s) = modelo de robabldad leal robt, logt Prcal roblema e todas las esecfcacoes: otecal sesgo de omsó de varables. Todas esas varables: () etra e la fucó de decsó del baco, () está o odría estar correlacoadas co la raza: rqueza, to de trabajo hstoral credtco estatus famlar Varables e los datos HMDA 9-57

58 9-58

59 9-59

60 9-60

61 9-6

62 9-6

63 Resume de los resultados emírcos Los coefcetes de las varables faceras tee setdo. Negro (black) es estadístcamete sgfcatva e todas las esecfcacoes Las teraccó de la raza co varables faceras o so sgfcatvas. La clusó de otros regresores reduce sesblemete el efecto de la reza sobre la robabldad de deegacó del réstamo. MPL, robt, logt: estmacoes smlares del efecto de la raza sobre la robabldad de deegacó del réstamo. Los efectos estmados so bastate grades. 9-63

64 Ameazas a la valdez tera y extera Valdez tera. sesgo de varables omtdas qué formacó adcoal obtee el baco e la etrevsta ersoal?. forma fucoal correcta (o ) 3. errores de meddad (orgalmete, sí; ahora, o ) 4. seleccó muestra aleatora de solctudes de réstamos defr la oblacó de solctates de réstamos 5. causaldad smultáea (o) Valdez extera Aálss ara Bosto Qué asaría hoy? 9-64

65 Resume (SW Seccó 9.5) S Y es bara, etoces E(Y X) = Pr(Y= X) Tres modelos: omodelo de robabldad leal (regresó leal múltle) orobt (dstrbucó ormal estádar) ologt (dstrbucó logístca estádar) MPL, robt, logt roduce robabldades estmadas El efecto de X es el cambo e la robabldad codcoada de Y=. Para los modelos logt y robt, esto deede del valor cal de X Probt y logt se estma or máxma verosmltud 9-65

66 olos coefcetes sgue dstrbucó ormal ara grade. olos cotrastes de hótess e tervalos de cofaza ara grade so los habtuales. 9-66

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