El Problema de la Programación del Lote Económico (ELSP): Una revisión de la literatura

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1 X Congreso de Ingenería de Organzacón Valenca, 7 y 8 de septembre de 2006 El Problema de la Programacón del Lote Económco (ELSP): Una revsón de la lteratura Plar Isabel Vdal Carreras 1, José Pedro García Sabater 1 1 Dpto. de Organzacón de Empresas. Unversdad Poltécnca de Valenca. Camno de Vera s/n, Valenca pvcar@omp.upv.es, jpgarca@omp.upv.es Resumen En este trabajo se pretende realzar una revsón de la extensa lteratura exstente en torno al problema de programacón del lote económco (ELSP) que consste báscamente en el problema de acomodar patrones de produccón cíclca cuando varos productos se han de realzar en una únca máquna (multproducto y unmáquna). De este modo se consdera adecuado realzar ncalmente una descrpcón básca del problema. A contnuacón y como resultado del análss de la ardua lteratura exstente, se propone una clasfcacón que pretende consderar nuevos factores que afectan a la complejdad del problema y que ntentar aproxmarse más a la realdad ndustral. Palabras clave: ELSP, Tamaño de Lote, Secuenca, Factores 1. Descrpcón del problema El problema de acuerdo con la descrpcón que aparece en Bomberger (1966) consste en la programacón de la produccón de varos productos dferentes en una únca máquna. Esto mplca que los ítems = 1, 2,..., N se produzcan en lotes que se repten cada certo tempo. Las característcas relevantes del sstema son las sguentes: Los ratos de produccón son determnstas y constantes ( p ) Los costes y tempos de setup S, A son ndependentes de la secuenca de produccón La demanda debe ser satsfecha en el perodo en el que ocurre ( r ; p > r ) Los costes de nventaro h son drectamente proporconales a los nveles de stock La capacdad de produccón es sufcente para alcanzar la demanda total El programa factble que se obtene como solucón debe consegur que la suma de los setups y los costes de nventaro de todos los productos por undad de tempo sea la mínma posble. Se defne T como el tempo de cclo de cada producto. El tempo de cclo es el tempo que transcurre entre el comenzo de dos produccones sucesvas del ítem. El problema del ELSP es justamente encontrar cclos de tempo factbles para los cuales la meda de los costes por undad de tempo ( C ) de producr los N ítems sea mnmzada.el coste a mnmzar es gual a C donde C es el coste medo por undad de tempo para producr el producto y vene C = A T + h r 1 b T 2. dado por; ( )

2 2. Una Propuesta de clasfcacón A raíz del análss de los dversos artículos que se han poddo obtener de la extensa bblografía relaconada con el problema de Programacón del Lote Económco (ELSP), se han dentfcado los factores que resultan especalmente relevantes en el análss del problema. Así, tenendo en cuenta todos estos factores y los estados del arte prevos del problema publcados Elmaghraby (1978); Lopez y Kngsman (1991) para el ELSP, Karm et al. (2003) para el ELSP con restrccones de capacdad (CLSP) etc. se establece la sguente clasfcacón del problema ELSP (Fgura 1) : a. Según el modo de cálculo del lote: a.1. Solucón Independente (Independent Soluton) a.2. Método del Cclo Común (Common-Cycle-Approach) a.3. Método del Período Básco (Basc-Perod-Approach) a.4. Método del Perodo Básco Extenddo (Basc-Perod-Extended-Approach) a.5. Método de Modfcacón de los Tamaños de Lote (Varyng-Lot-Szes- Approach) b. Según la tpología del método de resolucón: b.1. Analítcos b.2. Heurístcos c. Según el objeto del problema: c.1. Determnar el Tempo de Cclo o Frecuenca (Tamaño de Lote) c.2. Determnar la Secuenca Productva c.3. Determnar el Tempo de Cclo y la Secuenca Productva d. Tpo de Estudo abordado en el problema: d.1. Complejdad del Problema d.2. Optmaldad del Problema d.3. Análss de Sensbldad e. Realzacón de aplcacones numércas en el desarrollo de la argumentacón. Empleo o creacón de Benchmark. f. Evaluacón de dversas heurístcas medante smulacón. g. Modfcacón de parámetros dados. g.1. Rato de Produccón g.2. Set-up Fgura 1. Propuesta de Clasfcacón del ELSP A contnuacón se desarrolla esta clasfcacón propuesta. 6. Según el modo de cálculo del lote El enfoque más elemental del ELSP es garantzar la factbldad del subconjunto mponendo varas restrccones en los tempos de cclo, para optmzar las duracones de los cclos ndvduales sujetos a restrccones mpuestas. La solucón obtenda de este modo es factble y óptma para este conjunto de solucones. Así es posble encontrar cnco métodos con dferentes suposcones restrctvas en la lteratura, que se descrben a contnuacón y cuyas prncpales referencas se muestran en la Tabla 1.

3 Tabla 1. Prncpales referencas según el tpo de método Solucón Independente Elon (1957), Rogers (1958), Mallya (1992) Solucón Independente + Cclo Común Madgan (1968), Gallego (1990) Cclo Común Hanssmann, F. 1962, Jones y Inman (1989), Hwang et al. (1993), Ben- Daya y Harga (2000), Khoury et al. (2001), Eynan (2003) Stankard y Gupta (1969), Doll y Whybark (1973), Haessler y Hogue S.L Perodo Básco (1976), Schwetzer y Slver (1983), Hsu (1983) Leachman y Gascon (1988), Davs (1990), Hahm y Yano (1995), Tunasar y Rajgopal (1996), Goyal (1997), Khouja et al. (1998), Soman et al. (2004b) Perodo Básco Extenddo Elmaghraby (1978b), Haessler (1979) Cclo Común + Varacón del Moon et al. (1998), Moon et al. (2002a), Gr et al. (2003) Tamaño de Lote Perodo Básco + Varacón del Tamaño de lote Varacón del Tamaño de lote Carstensen (1999) Maxwell (1964), Delporte y Thomas (1977), Zpkn (1991) Gallego y Roundy (1992), Gallego y Shaw (1997), Moon et al. (2002b) 6.1. Solucón Independente (Independent Soluton) Este procedmento consste en el cálculo del tamaño de lote de cada producto de manera aslada a partr de la fórmula del tamaño de lote económco (EOQ). Se denomna ndependente ya que gnora la casuístca de que varos productos puedan ser producdos en la msma máquna, algo que mplcaría compartr la capacdad de esta. De esta forma el valor obtendo con este método es sempre una cota nferor en el cálculo del coste mínmo del problema. Sn embargo, esta solucón es raramente factble por el hecho de consderar cada producto de manera aslada. Consderando el ítem de modo aslado, el valor de C se mnmza cuando el tamaño de lote es T que aparece en la sguente fórmula (1): ( ) T = 2A h r 1 b * 6.2. Método del Cclo Común (Common-Cycle-Approach) Este método fue propuesto por Hanssmann (1962) y se basa en asumr una longtud de cclo sufcente para acomodar la produccón de cada producto exactamente una vez en cada cclo, * T sendo el tamaño de cclo de todos los productos guales por lo que 1 = T2 =... = TN = T. De * este modo el objetvo es determnar el valor óptmo de T Método del Período Básco (Basc-Perod-Approach) El método consste en admtr dferentes cclos para cada uno de los productos pero nsstendo en que cada T t, debe de ser un múltplo entero del perodo básco que se denomna W y es la longtud sufcente para acomodar la produccón de todos los productos. Este método fue propuesto por Bomberger (1966), y redescuberta por Dobson (1987) y Gallego y Moon (1992). En el método del período básco (BP), se permte varacón de cclos Tt = nw, donde n es un multplcador entero. (1)

4 6.4. Método del perodo básco extenddo (Basc-Perod-Extended-Approach) Elmaghraby (1978) propone este método que es una extensón del método de Bomberger. Se asume un perodo básco W y se representa el tempo de cclo medante múltplos enteros de W. La dferenca es que se consderan dos perodos báscos consecutvos cada uno de duracón W y se carga los ítems en esos dos perodos báscos. Hacendo esto, la restrccón de factbldad del PB se relaja. El método del PBE domna claramente al método del PB en la caldad de la solucón pero requere un mayor esfuerzo en el desarrollo de la msma Método de modfcacón de los tamaños de lote (Varyng-Lot-Szes-Approach) Permte dstntos tamaños de lote para cualquer producto durante un programa cíclco. Consdera explíctamente los tempos de setup y sempre da una solucón factble, tal y como se demuestra en Dobson (1987). Normalmente da mejores solucones que los anterores. 7. Según la tpología del método de resolucón Es posble clasfcar los métodos en dos grandes categorías, cuyas prncpales referencas encontradas en la lteratura se muestran en la Tabla 2. I. Métodos analítcos que consguen el óptmo de una versón lmtada del problema orgnal. II. Métodos que alcanzan buenas (algunas veces muy buenas ) solucones del problema orgnal. Analítcos Puros Heurístcos Puros Planteamento y resolucón de un método analítco y comparacón con una heurístca Planteamento de un método analítco pero resolucón con una heurístca Tabla 2. Según la tpología del método de resolucón Bomberger, E. E. (1966), Dobson, G. (1987), Jones, P. C. et al. (1989), Roundy (1989), Slver (1990), Gallego, G. (1990), Davs, S. G. (1990), Hwang, H. et al. (1993), Hahm, J. et al. (1995), Gallego, G. et al. (1997), Eamkanchanala y Banerjee (1999), Ben-Daya, M. et al. (2000), Khoury, B. N. et al. (2001), Moon, I. et al. (2002a), Gr, B. C. et al. (2003), Eynan, A. (2003), Larsen (2005) Maxwell, W. L. (1964), Madgan, J. G. (1968), Stankard, M. F. et al. (1969), Doll, C. L. et al. (1973), Haessler, R. W. et al. (1976), Haessler, R. W. (1979), Tunasar, Rajgopal, J. (1996), Goyal, S. K. (1997) Karmarkar y Schrage (1985) Zpkn, P. H. (1991) Carstensen, P. (1999) Kmms (1999) Moon, I. et al. (2002a) Sarker y Newton (2002) Rogers, J. (1958) Delporte, C. M. et al. (1977) Elmaghraby (1978c) Dobson, G. (1987) Campbell y Mabert (1991) Moon, I. K. et al. (1998) Khouja (2000) Cooke et al. (2004) Yao y Elmaghraby (2001) Moon, I. et al. (2002b) Yao y Huang (2005) 7. Según el Objeto del Problema. Secuenca y/o Tempo de Cclo. El problema completo del ELSP ncluye el establecmento de la secuenca de fabrcacón de los dstntos ítems (schedulng) y la determnacón de la cantdad a producr de cada uno de ellos, es decr el cálculo del tamaño de lote (lot szng). Tal y como se ha señalado en el apartado de conceptos báscos del problema ELSP, el tamaño de lote del producto se puede expresar del sguente modo (2):

5 q = rt = pt (2) Sendo, r, el rato de demanda en undades por undad de tempo y T, el tempo de cclo. De esto modo, sabendo que la demanda en el problema clásco es conocda y determnsta, es posble afrmar que resulta equvalente el cálculo del tamaño de lote y el cálculo del tempo de cclo T, o la frecuenca de produccón del producto η ( η = 1 T ). Sn embargo, en la lteratura el número de referencas relaconadas con el problema de la búsqueda de nuevos métodos para el cálculo del tamaño de cclo óptmo es consderablemente superor al número de referencas cuyo objetvo es mostrar nuevos modos de establecer la secuenca productva. Así una de las prmeras reglas de secuencacón se atrbuye a Delporte, C. M. et al. (1977) que establece una sere de heurístcas para el establecmento del orden de fabrcacón de los dstntos tems. Dobson (1987) ncluye en su estudo otra heurístca de secuencacón empleada por dversos autores Gallego et al. (1992), Zpkn (1991). Sn embargo, una de las regla de secuencacón más sencllas y más empleada por dversos autores lo largo del tempo Brander et al. (2005), Brander y Forsberg (2004), Gascon et al. (1994), Leachman et al. (1988), Soman et al. (2004a), Soman et al. (2004b), Vergn y Lee (1978) es la planteada por Segerstedt (1999) que se basa en el Run Out ( RO = I r, con I el nventaro del producto ). 7. Tpo de Estudo abordado en el problema En la lteratura se han encontrado dos artículos que se dedcan al estudo de la complejdad del problema. En prmer lugar Hsu (1983) muestra que ncluso una versón muy restrctva del problema orgnal ELSP se converte en NP-hard. En su estudo tambén aparece un procedmento de enumeracón mplícta para testear la factbldad. En segundo lugar Gallego et al. (1997) muestran como el ELSP es NP-duro en sentdo estrcto bajo programas generales cíclcos, programas cíclcos con cero nventaros, programas cíclcos con tempos nvarantes y programas cíclcos con perodos báscos. Por otro lado, en los dstntos algortmos tanto analítcos como heurístcos propuestos por dversos autores, se plantea en algunos casos una condcón de optmaldad AlFawzan y AlSultan (1997), Bourland y Yano (1997), Carstensen, P. (1999), Cooke et al. (2004), Eynan (2003), Gallego et al. (1992), Hahm et al. (1995), Jones et al. (1989), Khoury et al. (2001), Kmms (1999), Larsen (2005), Sarker et al. (2002), Schwetzer et al. (1983)de la solucón mentras que en otros se plantea una condcón de factbldad Bomberger (1966), Davs (1990), Dobson, (1987), Doll et al. (1973), Elmaghraby (1978), Goyal (1997), Haessler et al. (1976), Hanssmann (1962), Hsu (1983), Madgan (1968), Tunasar, Rajgopal (1996), Vemugant (1978), Yao et al. (2005). 7. Realzacón de aplcacones numércas en el desarrollo de la argumentacón. Empleo o creacón de Benchmark. La mayor parte de las propuestas tanto analítcas como heurístcas relaconadas con el problema de programacón del lote económco son evaluadas medante datos expermentales. En algunos de estos artículos se proponen conjuntos de datos establecendo lo que comúnmente se denomna benchmarks Ben-Daya et al. (2000), Bomberger (1966), Elon, S. (1957), Johson y Montgomery (1974), Mallya (1992), Rogers (1958), Slver (1990), Slver, Pyke y Peterson (1998), Yao et al. (2001). De esta forma se permte que otros autores hagan

6 referencas a estos juegos de datos o benchmarks durante el desarrollo de sus chequeos. Realmente esta es la stuacón más habtual, estos benchmarks, en su estado puro o lgeramente modfcados, son empleados por los dversos autores como punto de referenca en la comparacón de los resultados de sus algortmos. 7. Evaluacón de dversas heurístcas medante smulacón. Se puede dstngur una tpologa de artículo que consste en la evaluacón de dversas heurístcas conocdas a través de smulacón, modfcando alguna característca básca del problema ELSP. En algunos casos se repten las heurístcas testeadas en los dferentes artículos Bomberger (1966), Doll et al. (1973), Fransoo et al. (1995), Segerstedt (1999), Vergn et al. (1978). En la sguente Tabla 3 se muestra una clasfcacón de las smulacones de heurístcas encontradas en la lteratura, se puede observar como en todas se ha modfcado la característca clásca de la demanda determnsta. Tabla 3. Evaluacón de Heurístcas medante Smulacón Vergn, R. C. et al. (1978) Make to stock Leachman, R. C. et al. (1988) PB, Make to stock Demanda Estocástca Gascon, A. et al. (1994) Make to stock Brander, P. et al. (2004) MTL, Tempo ocoso Soman, C. A. et al. (2004a) Make to stock Make to order Demanda Estocástca estaconara Brander, P. et al. (2005) MTL, Tempo Ocoso, Back Orders, 4 productos 6. Modfcacón de parámetros dados. Se plantea una clasfcacón general de las aportacones que se han poddo encontrar en la revsón de la lteratura, que se apoya de la varable prncpal que puede ser modfcada. Aparecen dos grandes grupos: aquellos en los que el rato de produccón se puede modfcar y aquellos en los que se modfcan conceptos relaconados con el setup, ver Tabla 4. Modfcacones Parámetros Dados Tabla 4. Modfcacones de parámetros dados - Allen (1990) Rato de Produccón Set up Instalacones con baja utlzacón Shelf Lfe Costes de Setup e Inventaro Tempos de Setup Setup y Caldad Establzacón del perodo Slver, E. A. (1990) Moon et al. (1991) Gallego (1993) Khouja (1997) Moon y Chrsty (1998) Vswanathan y Goyal (1997), Slver (1995) Vswanathan y Goyal (2002) Gallego, G. et al. (1992) Gallego y Moon (1995) Hwang, H. et al. (1993) Moon (1994) Moon, I. K. et al. (1998)

7 7. Conclusones En este trabajo se ha propuesto una clasfcacón que consdera factores nuevos que no aparecían en los estados del arte de los que se dsponía. Se han encontrado multtud de referencas que no consderan las condcones cláscas del ELSP, ya que se ntentan aproxmar más a la realdad ndustral y que ofrecen nteresantes líneas de nvestgacón. Referencas AlFawzan, M. A.; AlSultan, K. S. (1997). Economc producton quantty for a manufacturng system wth a controllable producton rate. Producton Plannng & Control, Vol. 8, No. 7, pp Allen, S. J. (1990). Producton rate plannng for two products sharng a sngle process faclty: a real world case study. Producton and Inventory Management, Vol. 31, pp Ben-Daya, M.; Harga, M. (2000). Economc lot schedulng problem wth mperfect producton processes. Journal of the Operatonal Research Socety, Vol. 51, No. 7, pp Bomberger, E. E. (1966). A dynamc programmng approach to a lot sze schedulng problem. Management Scence (Pre-1986), Vol. 12, No. 11, pp Bourland, K. E.; Yano, C. A. (1997). A comparson of soluton approaches for the fxedsequence economc lot schedulng problem. IIE Transactons, Vol. 29, No. 2, pp Brander, P.; Forsberg, R. (2004). Determnaton of safety stocks for cyclc schedules wth stochastc demands. Internatonal Journal of Producton Economcs, Vol. In Press, Corrected Proof. Brander, P.; Leven, E.; Segerstedt, A. (2005). Lot szes n a capacty constraned faclty - a smulaton study of statonary stochastc demand. Internatonal Journal of Producton Economcs, Vol , pp Campbell, G. M.; Mabert, V. A. (1991). Cyclcal Schedules for capacted lot szng wth dynamc demands. Management Scence, Vol. 37, No. 4, pp Carstensen, P. (1999). The economc lot schedulng problem - survey and LP-based method. Or Spektrum, Vol. 21, No. 4, pp Cooke, D. L.; Rohleder, T. R.; Slver, E. A. (2004). Fndng effectve schedules for the economc lot schedulng problem: A smple mxed nteger programmng approach. Internatonal Journal of Producton Research, Vol. 42, No. 1, pp Davs, S. G. (1990). Schedulng Economc Lot Sze Producton-Runs. Management Scence, Vol. 36, No. 8, pp Delporte, C. M.; Thomas, L. J. (1977). Lot Szng and Sequencng for N-Products on One Faclty. Management Scence, Vol. 23, No. 10, pp Dobson, G. (1987). The Economc Lot-Schedulng Problem - Achevng Feasblty Usng Tme-Varyng Lot Szes. Operatons Research, Vol. 35, No. 5, pp Doll, C. L.; Whybark, D. C. (1973). An teratve procedure for the sngle-machne multproduct lot schedulng problem. Management Scence, Vol. 20, No. 1, pp Eamkanchanala, S.; Banerjee, A. (1999). Producton lot szng wth varable producton rate and explct dle capacty cost. Internatonal Journal of Producton Economcs, Vol. 59, No. 1-3, pp Elon, S. (1957). Schedulng for batch producton. Journal of Insttute of Producton Engneerng, Vol. 36, pp Elmaghraby, S. E. (1978). The economc lot schedulng problem (ELSP): Revew and extensons. Management Scence, Vol. 24, No. 6, pp

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