Definición Diremos que el cardinal de un conjunto A es n si se puede establecer una

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1 Tema 2 Combiatoria 2.1 Pricipios básicos de recueto Cardial de u cojuto Defiició Diremos que el cardial de u cojuto A es si se puede establecer ua biyecció f : {1,..., } A. Se deota A. Se defie 0. Se dice que A es ifiito si o existe igua biyecció f : {1,..., } A para igú N Pricipio de la uió Si se puede escoger u elemeto de u cojuto A de m formas distitas, y u elemeto de u cojuto B de formas distitas, etoces es posible escoger u elemeto de A o de B de m + formas distitas (si A y B so disjutos). Teorema (Pricipio de la uió). Si A 1, A 2,..., A so cojutos fiitos disjutos dos a dos se tiee que A 1 A 2 A A 1 + A A. Ejemplo El úmero de palabras del diccioario es igual al úmero de palabras que empieza por a más el úmero de palabras que empieza por b más... más el úmero de palabras que empieza por z Pricipio del complemetario Si se puede escoger u elemeto de u cojuto B de m formas distitas, y u elemeto de u subcojuto A de B de formas distitas, etoces es posible escoger u elemeto de B que o esté e A de m formas distitas. Teorema (Pricipio del complemetario). Si B es u cojuto fiito y A es u subcojuto de B se tiee que B \ A B A. 13

2 14 Combiatoria Pricipio del producto Si se puede escoger u elemeto de u cojuto A de m formas distitas, y u elemeto de u cojuto B de formas distitas, etoces es posible escoger u elemeto de A y otro de B de m formas distitas. Teorema (Pricipio del producto). Si A 1, A 2,..., A so cojutos fiitos o vacíos se tiee que A 1 A 2 A A 1 A 2 A. Ejemplo El úmero de palabras posibles de cuatro letras formadas solo por vocales es Pricipio de iclusió-exclusió E el caso de cojutos o disjutos, al aplicar el pricipio de la uió para dos cojutos se preseta el problema de que los elemetos de la itersecció so cotados dos veces. Por lo tato habrá que descotarlos al cotar los elemetos de la uió. Teorema (Pricipio de iclusió-exclusió). Si A 1, A 2,..., A so cojutos fiitos se tiee que i) A 1 A 2 A 1 + A 2 A 1 A 2, ii) A 1 A 2 A 3 iii) A i i1 3 A i A i A j + A 1 A 2 A 3, i j i1 A i A i A j + + ( i) 1 A 1 A 2 A. i j i1 Ejemplo El úmero de palabras del diccioario que empieza o termia por a es igual al úmero de palabras que empieza por a más el úmero de palabras que termia por a meos el úmero de palabras que empieza y termia por a. Ejemplo Calcular φ(30). Como etoces φ(30) 30 ( ) ( ) ( ) + ( ) (1) ( ) ( 1 1 ) ( 1 1 ) Pricipio de las cajas Supogamos que teemos u cojuto X cuyos elemetos llamaremos objetos, y u cojuto Y a cuyos elemetos llamaremos cajas. Ua distribució de los objetos e las cajas es simplemete ua aplicació f : X Y. El pricipio de las cajas establece que si hay más objetos que cajas, algua caja habrá de coteer más de u elemeto.

3 Combiatoria 15 Teorema (Pricipio de las cajas o de distribució). Si se reparte m objetos e cajas y m >, etoces algua caja recibe más de u elemeto. Teorema Si m objetos se distribuye e cajas y m > p, etoces algua caja recibe más de p elemetos. Ejemplo Dadas 28 palabras, habrá dos que empiece por la misma letra. Teorema (Pricipio de las cajas geeralizado). Si m objetos se distribuye e m cajas, etoces algua caja recibe al meos elemetos y algua caja recibe a lo sumo m elemetos, dode x es el meor etero mayor o igual que x y x es el mayor etero meor o igual que x. 2.2 Seleccioes de elemetos Variacioes Defiició Llamaremos variació de m elemetos tomados de e ( < m) a cada ua de las seleccioes ordeadas de objetos distitos, tomados de u cojuto de m objetos. Observació Ua variació de m elemetos tomados de e ( < m) es ua aplicació iyectiva f : {1, 2,..., } {a 1, a 2,..., a m }. Teorema El úmero de variacioes si repetició de m elemetos tomados de e es V m, m(m 1)(m 2) (m + 1). Ejemplo El úmero de palabras distitas de cuatro letras, todas ellas distitas, que puede formarse co las letras del abecedario es Permutacioes Defiició Llamaremos permutació de elemetos a cada ua de las variacioes de elemetos tomados de e. Observació Ua permutació de {a 1, a 2,..., a } es ua aplicació biyectiva σ : {1, 2,..., } {a 1, a 2,..., a }. Teorema El úmero de permutacioes de elemetos es P!. Ejemplo El úmero de palabras distitas que puede formarse co las letras de ALTO es 4!. Defiició Cuado se ordea elemetos formado u ciclo, se obtiee las permutacioes circulares. Dos permutacioes circulares será equivaletes si se puede obteer ua de la otra por ua rotació del ciclo. Teorema El úmero de permutacioes circulares de elemetos es 1!.

4 16 Combiatoria Combiacioes Defiició Llamaremos combiació de m elemetos tomados de e a cada ua de las seleccioes, o ordeadas y si repeticioes, de objetos, tomados de u cojuto de m objetos. Teorema El úmero de combiacioes de m elemetos tomados de e es igual a C m, V m, P m!!(m )!. Ejemplo El úmero de subcojutos de 4 elemetos de u cojuto de 27 elemetos es C 27,4. 4! Números combiatorios Defiició Se llama úmero combiatorio sobre k al úmero ( de ) combiacioes de! m elemetos tomados de e. Se deota. Se defie 1. Obsérvese k k!( k)! 0 que 1. Propiedades i), k k 1 1 ii) +, k k 1 k iii) (a + b) a + a 1 b iv) , v) ( 1) Variacioes co repetició a 2 b ab b, Defiició Llamaremos variació co repetició de m elemetos tomados de e a cada ua de las seleccioes ordeadas de objetos, tomados de u cojuto de m objetos. Observació Ua variació co repetició de m elemetos tomados de e es ua aplicació f : {1, 2,..., } {a 1, a 2,..., a m }. Teorema El úmero de variacioes co repetició de m elemetos tomados de e es V R m, m. Ejemplo El úmero de palabras distitas de cuatro letras que puede formarse co las letras del abecedario es

5 Combiatoria Permutacioes co repetició Defiició Llamaremos permutació co repetició de k elemetos e la que cada elemeto a i se repite i veces, a cada uo de los distitos grupos ordeados que co ellos se puede formar. Teorema El úmero de permutacioes co repetició de k elemetos es P R 1,..., k! 1! k!. Ejemplo El úmero de palabras distitas que puede formarse co las letras de la palabra ABECEDARIO es 4! 2 2.! Observació A los úmeros se les llama úmeros multiómicos. Se tiee que 1,..., k 1! k! 1 k i), 1,..., k 1 2 k ii) (a 1 + a a k ) a 1 1 1,..., a 2 2 a k k. k k Combiacioes co repetició Defiició Llamaremos combiació co repetició de m elemetos tomados de e a cada ua de las seleccioes, o ordeadas, de objetos, tomados de u cojuto de m objetos. Observació El úmero de combiacioes co repetició de m elemetos tomados de es CR m, C m+ 1, m + 1!!(m 1)!. Si ecesariamete se elige al meos u elemeto de cada tipo el resultado es CR m, m C 1, m 1! ( m)!(m 1)!. Ejemplo El úmero de solucioes eteras o egativas de la ecuació x 1 + x 2 + x 3 + x 4 32 es CR 4,32. El úmero de solucioes eteras mayores o iguales que uo es CR 4,28. El úmero de solucioes eteras o egativas meores o iguales que 9 es CR 4,32 4CR 4, CR 4, CR 4, Cuadro resume Seleccioes Ordeadas No ordeadas m Si repetició m(m 1)(m 2) (m + 1) ( ) m 1 + Co repetició m

6 18 Combiatoria Desórdees Defiició Llamaremos desorde o desarreglo a ua permutació σ S tal que σ(i) i para todo i {1, 2,..., }. Teorema El úmero de desórdees de elemetos es d! ( 1)! + ( 2)! ( 3)! + + ( 1) ( )! 1 2 3!! +! 2! (! + + ( 1) 3!!! 1 1 1! + 1 2! 1 3! ) ( 1).! Particioes Defiició Llamaremos úmero de Stirlig de seguda clase S(m, N) al úmero de particioes de u cojuto X co m elemetos, e subcojutos o vacíos. Observació El úmero de aplicacioes suprayectivas de u cojuto de m elemetos e u cojuto de elemetos es T (m, ) m ( 1) m + ( 2 ) ( 2) m ( 3) m + + ( 1) 1 1 m. 3 1 Teorema S(m, ) T (m, ).! Cuadro resume: Seleccioes y distribucioes Seleccioes de m elemetos tomados de e Seleccioes ordeadas si repetició Seleccioes o ordeadas si repetició Seleccioes ordeadas co repetició Seleccioes o ordeadas co repetició m(m 1)(m 2) (m + 1) m m m 1 + T (, m) 1 m Distribucioes de objetos e m cajas objetos distitos (máx. 1 por caja ) objetos idéticos (máx. 1 por caja ) objetos distitos objetos idéticos objetos distitos (cajas o vacías) objetos idéticos (cajas o vacías)