TEORÍA TTC-004: FUNCIÓN DE TRANSFERENCIA DE UN CABLE

Transcripción

1 TEORÍA TTC-4: FUNCIÓN DE TRANSFERENCIA DE UN CABE.- Modlo con parámtros distribuidos Dada la longitud d los cabls utilizados habitualmnt n comunicacions, dbmos ralizar su studio mdiant modlos d parámtros distribuidos. Considrmos un cabl con pérdidas constituido por numrosos sgmntos d longitud infinitsimal, cada uno d los cuals stá formado por una rsistncia d valor R, una bobina d valor, un condnsador d valor C, y una conductancia d valor G. El modlo léctrico d cada sgmnto aparc rflado n la figura siguint. R C G Si l cabl s xtind a través d una dimnsión z y cada sgmnto infinitsimal tin una longitud dz, ntoncs s pud scribir qu R = R dz ; = dz ; C = C dz; G = G dz [] sindo R,, C y G la rsistncia, inductancia, capacidad y conductancia unitarias dl cabl. Si qurmos analizar l comportaminto dl cabl n régimn prmannt cuando la xcitación s snoidal pura podmos rcurrir al análisis fasorial. En st caso, cada sgmnto dl cabl podmos modlarlo, como s rfla n la figura siguint, mdiant una impdancia n sri y una admitancia Y n parallo. I I +di V Y V +dv El valor d cada uno d stos parámtros srá = R + ω ; Y =G + ωc [] = R dz + ω dz ; Y = G dz + ωc dz [3] ( ω ; Y ( ω = R + dz = G + C dz [4] lamando =R+ ω; Y=G+ ωc [5]

2 podmos finalmnt scribir = dz; Y =Y dz [6] Rsolvamos ahora l circuito. Para llo vmos qu la tnsión qu ca n la impdancia s V = I =I dz [7] y qu la intnsidad qu atravisa la admitancia val I = V + dv Y = V + dv Y dz [8] ( ( Y Apliqumos ahora la cuación d quilibrio d tnsions n mallas y la d suma d intnsidads n nudos, qudando lo siguint V = V + ( V + dv = I dz+ V + dv I = I Y + ( I + di = ( V + dv Y dz + I + di = I dz+ dv = ( V + dv Y dz + di Cuando l modlo qu utilizamos tin los sgmntos dl cabl d longitud infinitsimal, no podmos numrarlos mdiant númros ntros (,, 3,,,, n, sino qu tnmos qu rfrirnos a llos mdiant un númro ral, utilizando para llo prcisamnt l d la posición z qu ocupan n l cabl. Así, las tnsions V Ĩ s transforman n V (z Ĩ(z. Con stas considracions, la cuación [] pud scribirs como = I( z dz+ dv( z V ( z dv ( z Y dz di = + + ( z E E I( z dz =dv( z di E( z VE( z dve = ( z + Y dz E E dv( z I( z = dz di E( z =Y VE( z + dve( z =Y VE( z dz Drivando la primra cuación con rspcto a z y sustituyéndola n la sgunda tnmos di ( z d V ( z = dz dz [9] [] [] [] [3] [4]

3 dv ( z Y V( z dz [5] d VE ( z = Y VE ( z dz [6] lamando = Y [7] podmos scribir qu, finalmnt, la cuación qu rig l comportaminto dl cabl n régimn snoidal prmannt s d V ( z = V ( z [8] dz a solución d sta cuación s ( z z V z = A + B [9] xprsión n la qu A y B son dos constants qu s calculan n función d las condicions d contorno. Vamos qu, n fcto, [9] satisfac la cuación difrncial [8]. Para llo drivarmos dos vcs [9] con rspcto a z dv ( z z z = A + B [] dz d V ( z z z z z A = + B = ( A + B [] dz y, rcordando [9], podmos scribir d V ( z = V ( z [] dz qu, como quríamos dmostrar, coincid con la cuación difrncial [8] qu modla l cabl. Para l cálculo d la intnsidad sustituimos [9] n la primra part d [3] obtnindo dv( z z z I ( z = = ( A + B [3] dz Y = = [4] z z z z I ( z ( A B ( A B Y Y z z z z I ( z = ( A B = ( A B [5] Dnominando impdancia caractrística dl cabl a

4 y sustituyndo n [5] nos quda qu = [6] Y = [7] z z I ( z ( A B Si l cabl no tuvis pérdidas (R=G=, ntoncs la impdancia caractrística sría R+ ω ω = = = = Y G+ ωc ωc C [8] qu coincid con l valor qu dfinimos para l cabl sin pérdidas con cualquir tipo d xcitación..- Cabl con gnrador y carga Para calcular los constants qu nos han aparcido n la rsolución d la cuación [8] dbmos rcurrir a las condicions d contorno, n st caso a lo qu ocurr n los dos xtrmos dl cabl. Supondrmos qu s xcita l cabl n un xtrmo (inicio con una tnsión snoidal prmannt y n l otro xtrmo (final s carga con una impdancia. Vamos n primr lugar lo qu ocurr n l xtrmo final dl cabl. Si l cabl s cargado n un xtrmo con una impdancia d valor, n dicho punto s cumplirán simultánamnt las cuacions dl cabl y las d la carga. Dnominmos V I rspctivamnt a la tnsión y a la intnsidad n la carga. Obviamnt s cumplirá, aplicando la ly d Ohm a la carga, qu V = I [9] Por otra part s claro qu la tnsión y la intnsidad dl cabl n l xtrmo d conxión d la carga coincidirán con los d ésta. Si dnominamos z a la coordnada z dl xtrmo n l qu s concta la carga tndrmos qu z V V ( A = = + B I = I ( = ( A B [3] Sustituyndo stas xprsions n la cuación d la carga [9] obtnmos z ( A + B = A B [3] Oprando tnmos A + B = A B [3] z z z z y dspando los términos con la misma constant B + = A [33] ( ( B = + A [34]

5 Si dnominamos coficint d rflxión (ρ a ρ = + [35] la cuación [34] la podmos scribir como B = ρ A [36] B A A = ρ = ρ [37] Sustituyndo sta cuación n [9] y n [7] tnmos qu las cuacions qu rign la tnsión y la intnsidad n l cabl son z z z z V ( z = A + B = A + ρ A z z z z I ( z = ( A B = ( A ρ A [38] a sgunda condición d contorno qu podmos aplicar s la rfrida al xtrmo orign dl cabl. Si n s xtrmo s coloca un gnrador d tnsión snoidal prmannt d valor V g, n dicho punto s cumplirán simultánamnt las cuacions dl cabl y las dl gnrador. Para l gnrador s cumpl qu V = V = V [39] g g Por otra part s claro qu la tnsión y la intnsidad dl cabl n l xtrmo d conxión dl gnrador coincidirán con los d ést. Sabindo qu la coordnada z dl xtrmo n l qu s concta l gnrador s cro tndrmos qu ( V = V = A + ρa = A + ρ [4] g ( Sustituyndo [4] n la cuación dl gnrador [39] obtnmos z V = A + ρ g ( g d dond V A = + ρ g Sustituyndo sta xprsión n [38] nos quda, finalmnt, qu las cuacions d la tnsión intnsidad n l cabl son z z ρ z V( z = Vg + z + ρ + ρ Vg z ρ z I ( z = z + ρ + ρ [4]

6 E Vg z z V( z = ( + ρ z + ρ E Vg z I ( z = ρ z ρ + ( ( z [4] 3.- Función d transfrncia dl cabl Con st rsultado stamos n condicions d calcular la función d transfrncia dl cabl. En fcto, sta función srá l cocint ntr los fasors d tnsión a la salida y a la ntrada dl cabl. Vg ( + ρ z V( + ρ + ρ = = = z ( V ( V g z + ρ + ρ z + ρ ( ρ + + ρ = = + ρ + = ( ρ + ρ + ρ [43] [44] [45] Estudiarmos trs casos particulars. a Circuito abirto. Si l cabl s halla n circuito abirto (impdancia d carga infinita tnmos qu ρ = lim = + [46] y sustituyndo n [45] tnmos = + [47] El spctro d amplitud corrspondint sría = + [48] lo qu s pud rprsntar gráficamnt n la siguint figura

7 Si admás l cabl no tin pérdidas tnmos qu ( ( ( ( = Y = R+ ω G+ ωc = + ω + ωc [49] ω ω ω ω = C = C = C [5] Si rcordamos qu la vlocidad d propagación s dfin como v = [5] C y sustituimos n [5] nos quda ω = [5] v Sustituyndo n [47] Si dnominamos = = ω ω ω + + z z v v v v ω [53] z δ = [54] v qu s una constant qu sólo dpnd d las caractrísticas dl cabl, y sustituimos n [53] nos quda = δω δω δω δω + = + [55] = [56] cos ( δω b Cortocircuito. Si l cabl s halla n cortocircuito (impdancia d carga cro tnmos qu ρ = = = + + [57]

8 y sustituyndo n [45] tnmos + ρ = = + ρ [58] H ( ω = [59] c Sin rflxions. Si, por último, l cabl s halla cargado con una impdancia igual a la impdancia caractrística dl cabl tnmos qu ρ = = = + + y sustituyndo n [45] tnmos + ρ + = = + ρ + [6] [6] a rprsntación gráfica d su spctro d amplitud s la siguint H ( ω = [6] z Si admás l cabl no tin pérdidas, rcordando [5] y [54] tnmos qu H ( ω = = = ω δω v [63] H( ω = δω [64] 4.- Impdancia d ntrada dl cabl a impdancia d ntrada dl cabl pud calculars como l cocint ntr la tnsión y la intnsidad a la ntrada dl cabl. Así dfinida, y rcordando [4], tnmos qu

9 i Vg V ( + ρ = = I ( Vg + ρ ( + ρ ( ( z ρ [65] i + ρ = z [66] ρ Estudiarmos trs casos particulars. a Circuito abirto. Si l cabl s halla n circuito abirto (impdancia d carga infinita tnmos qu ρ = lim = + [67] y sustituyndo n [66] tnmos i + = z [68] a rprsntación gráfica dl módulo d la impdancia d ntrada s la siguint Si admás l cabl no tin pérdidas, rcordando [5] y [54], tnmos qu δω δω ( i = = = δω δω δω δω δω ( δω δω δω δω δω + cos i = = δω δω sn ( δω ( δω [69] [7] i = [7] tg δω ( b Cortocircuito. Si l cabl s halla n cortocircuito (impdancia d carga cro tnmos qu

10 ρ + + = = = [7] y sustituyndo n [66] tnmos i = z [73] + a rprsntación gráfica dl módulo d la impdancia d ntrada s la siguint Si admás l cabl no tin pérdidas, rcordando [5] y [54], tnmos qu δω δω ( i = = = δω δω δω δω δω ( δω δω δω δω δω = = + i δω δω sn cos ( δω ( δω [74] [75] i ( = tg δω [76] c Sin rflxión. Si, por último, l cabl s halla cargado con una impdancia igual a la impdancia caractrística dl cabl tnmos qu ρ = = = + + [77] y sustituyndo n [66] tnmos + ρ z i = = = ρ [78] a rprsntación gráfica dl módulo d la impdancia d ntrada s la siguint

11 Validz dl análisis d circuitos El análisis dl cabl qu figura n las páginas prcdnts s basa n la toría d circuitos convncional. No obstant, dicha toría no s más qu una simplificación d la toría d campos, cuya validz s circunscrib al caso n l qu la longitud d onda dl campo lctromagnético s mucho mnor qu las dimnsions físicas dl circuito. Rcordarmos qu la longitud d onda d una sñal stá ligada con su frcuncia mdiant la xprsión c λ = [79] f sindo c la vlocidad d la luz. Como l valor d c s muy grand, para baas frcuncias la longitud d onda s mucho mayor qu la mayoría d los circuitos. Sin mbargo a mdida qu la frcuncia aumnta la longitud d onda dl campo pud llgar a tnr las dimnsions dl circuito. a tabla siguint rprsnta los valors d longitud d onda para distintas frcuncias. Frcuncia ongitud d onda Khz 3 Km Khz 3 Km Khz 3 Km Mhz 3 m Mhz 3 m Mhz 3 m Ghz 3 cm Ghz 3 cm Vmos como ya n l rango d unos pocos mgahrcios l campo lctromagnético tin una longitud d onda similar a la longitud d un sgmnto d cabl. Por llo a partir d sas frcuncias, l análisis dl cabl no pud hacrs mdiant la toría d circuitos. No obstant l studio mdiant toría d campos d las línas d transmisión introduc complidads qu, n lo posibl, convin vitar. Es por llo qu, como solución intrmdia para frcuncias no xcsivamnt altas, s sul sguir utilizando la toría d circuitos, modificando los parámtros mdiant dtrminadas corrccions. Estas corrccions suln afctar a la rsistncia, la inductancia y la conductancia dl cabl. En primr lugar, s pud dmostrar qu la pntración d un campo lctromagnético n un matrial conductor disminuy con la frcuncia. A baa frcuncia, l campo lctromagnético qu impulsa los lctrons n l cabl lo pntra compltamnt. Si

12 mbargo a alta frcuncia sta pntración no s total, qudándos l campo n la zona xtrior dl conductor. Ello hac qu l ára fctiva d conducción sa mnor qu l ára total y, por tanto, la rsistncia al paso d la corrint sa mayor. Est fnómno s dnomina fcto plícula. a xprsión analítica qu rig st comportaminto s considrablmnt compla, por lo qu, con frcuncia s rcurr a aproximacions d la misma. En concrto, la rsistncia d un cabl d pars a baa frcuncia s pud aproximar mdiant la xprsión f R= R + [8] 48 f s n la qu R rprsnta l valor d la rsistncia ant una tnsión d continua y f s rprsnta la frcuncia a la qu l fcto plícula mpiza a notars (frcuncia plicular. Para alta frcuncia s pud utilizar la xprsión aproximada R f R = [8] f s En la zona intrmdia d frcuncias s sul utilizar una intrpolación ntr ambas. El fcto conunto dl funcionaminto aproximado n stas 3 zonas s l qu aparc rflado n la figura siguint Admás d la rsistncia, también la inductancia dl cabl rsulta altrada con la frcuncia. Aquí s pud suponr qu l valor s constant igual para baas frcuncias y, postriormnt, mpiza a dcrcr sgún la xprsión K = K + [8] f Est comportaminto aparc rflado n la figura siguint

13 Por último, también la conductancia crc con la frcuncia, sindo nula para valors d continua. Aproximadamnt podmos rprsntar su comportaminto mdiant la xprsión G = KG f [83] qu s rfla gráficamnt n la figura siguint