"Riesgo de crédito: El enfoque actuarial"

Transcripción

1 Tras7th IC Javier Gutiérrez García, Jesús la Elizodo Flores (México) "Riesgo de crédito: El efoque actuarial" Javier Gutiérrez García, Jesús la Elizodo Flores México Resume Por la aturaleza de su operació, las istitucioes de crédito se ve comúmete expuestas a riesgos de diversa aturaleza. te esta realidad dichas istitucioes debe cotar co la solvecia ecesaria para hacer frete a sus obligacioes a la vez de obteer u redimieto sobre su capital. Se ha observado e esta idustria que alguas prácticas comues tales como excesiva cocetració e alguos ramos o sectores de la actividad ecoómica o mala asigació de precios sobre los riesgos asumidos ha resultado e pérdidas que poe e riesgo la solvecia de las mismas e detrimeto del público e geeral. U pricipio básico de la admiistració de riesgos señala que a mayor riesgo debe teerse u mayor moto de recursos reservados para hacer frete al elevado moto de pérdidas que pudiere suscitarse. Pricipalmete e el ámbito regulatorio se ha realizado esfuerzos para establecer ua relació directa etre el riesgo asumido por la istitució y los recursos regulatorios ecesarios para garatizar la solvecia de la misma. Estos regímees regulatorios ha atravesado por periodos difíciles, e los cuales se observaro evetos adversos tato e el desarrollo ecoómico del país como e la suerte de alguos sectores específicos de la ecoomía. Estos evetos, así como el desarrollo de metodologías sofisticadas de medició de riesgos, tato e el ámbito acioal como iteracioal, ha favorecido la evolució del marco regulatorio hacia u marco orietado a la creació de recursos regulatorios para hacer frete a evetos extremos. Es detro de este marco que se preseta el siguiete documeto, e el cual se propoe colaborar co ua aplicació de la teoría del riesgo para la cuatificació de las pérdidas de las istitucioes de crédito. El objetivo del presete documeto es costruir u marco teórico que permita mostrar las diversas dificultades que se preseta e la medició del riesgo de crédito de las istitucioes bacarias y como puede ser resueltas co la aplicació de diversas herramietas de la teoría de riesgo. Se hace particular éfasis e los problemas que efreta las istitucioes cuyo etoro es volátil. Como primera referecia se señala los modelos más básicos para la medició del riesgo de crédito de u portafolio bacario, señalado e todo mometo los supuestos realizados y el porqué resulta restrictivos. El documeto procede relajado gradualmete cada uo de los supuestos mecioados hasta alcazar u modelo apegado a la realidad observada e países emergetes.

2 Tras7th IC Javier Gutiérrez García, Jesús la Elizodo Flores (México) E el desarrollo del documeto o se propoe reducir la icertidumbre, ya que esta es ivariable desde el puto de vista de la istitució bacaria. E cotraposició se declara como u resultado importate el hecho de que, si bie la icertidumbre es ievitable, el moto de pérdidas de la istitució puede ser cotrolado mediate u diseño cuidadoso de su portafolio. Mediate la aplicació de las metodologías presetadas a ua cartera de créditos relacioada co el ámbito hipotecario, se ilustra la capacidad de la teoría de riesgo para modelar este problema. Palabras clave: Riesgo de crédito o crediticio, portafolio, teoría de riesgo, distribució de pérdida.

3 Tras7th IC Javier Gutiérrez García, Jesús la Elizodo Flores (México) "Credit Risk: The ctuarial Visio" Javier Gutiérrez García, Jesús la Elizodo Flores México Summary Because of their operatio ature, credit istitutios are commoly expose to differet kids of risks. Uder this reality the istitutios eed to have the ecessary solvecy to afford their obligatios while obtaiig some iterest from their capital. It has bee otice i this idustry that some commo practices like the excessive cocetratio i some braches or activity sectors of the ecoomy or the poor assigatio of prices upo the acquired risks result i losses which put i risk the solvecy of this oes i detrimet of the geeral public. basic priciple of risk maagemet idicates that for more risk it is ecessary to hold a bigger amout of resources to afford the high amout of losses that could happeed. Maily i the regulatory circuit efforts had bee realised to establish a direct relatio betwee the acquired risk of a istitutio ad the ecessary regulatory resources to guaratee the solvecy of it. This regulatory practices have pass throw difficult periods, i which was observed some adverse evets i the ecoomic developmet of the coutry ad i some specific sectors of it. Such evets, as well as the developmet of sophisticated methodologies of risk measure o the atioal ad iteratioal scope, have favour the evolutio of a regulatory framework toward the creatio of regulatory sources to afford extreme evets. Is ito this cotext that the ext documet is preseted with the purpose to collaborate with a applicatio of the risk theory for the measure of the losses of the credit istitutios. The objective of the preset documet is to build a theory framework that allows to show the difficulties which arrive from the credit risk measure of the bak istitutios ad how ca they be solve with the use of several risk theory istrumets. Particular emphasis is made o the problems that afford the istitutios ivolved i a volatile eviromet. s a first referece it is poited out the most basic models for the credit risk measure of a bak portfolio, idicatig at every momet the assumptios made ad why they are restrictive. The documet proceeds to relax gradually each of the assumptios metio util a model close to the reality of emergig coutries is reached. The documet does ot propose a way to reduce the ucertaity, sice this is ivariable from the poit of view of a bak istitutio. I cotra-positio it is declare as a importat result the statemet that, if 3

4 Tras7th IC Javier Gutiérrez García, Jesús la Elizodo Flores (México) well the ucertaity is ievitable, the amout of losses of the istitutio ca be cotrol by a careful portfolio desig. The capacity of risk theory to model this problem is illustrated by the applicatio of the preseted models to a credit portfolio related to the mortgage eviromet. 4

5 Tras7th IC Javier Gutiérrez García, Jesús la Elizodo Flores (México) "Riesgo de crédito: El efoque actuarial" Javier Gutiérrez García, Jesús la Elizodo Flores México INTRODUCCIÓN La icertidumbre es ua de las características pricipales co las cuales debe vivir ua istitució fiaciera. Ua amplia serie de feómeos, cuyo comportamieto es impredecible, tiee u impacto directo e el desempeño de dichas istitucioes. E el caso de las istitucioes de seguros, éstas tiee que realizar erogacioes por cocepto de accidetes u otros evetos asegurados. E el caso de istitucioes bacarias, éstas tiee que crear reservas prevetivas y capital para hacer frete a pérdidas origiadas tato por la calidad crediticia de sus acreditados como por los cambios e los factores de mercado que afecta sus portafolios. El aálisis de las variacioes de factores cuyo comportamieto es impredecible puede ser realizado por medio de diversas herramietas estadísticas, lo cual, e el caso particular de las compañías de seguros, ha dado lugar a la teoría del riesgo. Ua de las aplicacioes tradicioales de la teoría de riesgo es ecotrar la distribució de probabilidad de pérdida origiada por los istrumetos fiacieros adquiridos por u cojuto de idividuos. El desarrollo de la teoría de riesgos ha permitido a las compañías de seguros coocer mejor la exposició de sus portafolios y establecer las pérdidas a las cuales se expoe. Sólo recietemete es que se ha explotado esta herramieta e el ámbito bacario debido a la similitud existete co el pricipal riesgo que las istitucioes bacarias efreta, el riesgo de crédito. La similitud e la exposició de las compañías aseguradoras e istitucioes bacarias El problema de estimar las pérdidas por riesgo de crédito de ua cartera preseta ciertas similitudes co los portafolios de asegurados. El icumplimieto de u crédito es u eveto icierto al igual que el siiestro de u asegurado. Existe u moto asegurado, así como u moto total de crédito otorgado. E seguros se prevé u porcetaje de siiestralidad esperado para el cual puede costruirse reservas de la misma forma que debe costituirse reservas prevetivas para el riesgo crediticio. Dicho porcetaje de siiestralidad está comúmete sujeto a variacioes debido a codicioes que afecta la aturaleza del siiestro, por lo que puede presetarse años co altos ídices de siiestralidad. De la misma forma, existe factores de riesgo que motiva icumplimietos crediticios mayores co respecto a los años ateriores geerado pérdidas o esperadas para la istitució. 5

6 Tras7th IC Javier Gutiérrez García, Jesús la Elizodo Flores (México) E resume, ambos problemas puede ser modelados por ua distribució de pérdidas que lleve a cuatificar el feómeo, para lo cual, la teoría de riesgo ha resultado ua herramieta de gra utilidad e el ámbito de los seguros. Distribució de pérdida Ua distribució de pérdida proveiete del aálisis de u portafolio idica las posibles pérdidas e u periodo determiado y permite tomar e cueta diversas características colectivas del grupo de idividuos que lo coforma, tales como efectos de cocetració y graularidad. Este tipo de distribucioes da orige a medidas que se cooce e el ámbito de las fiazas co el ombre de Valor e Riesgo (VaR) i, mismas que ha sido promovidas y avaladas por orgaismos iteracioales regulatorios, tales como el Comité de Basilea, para medir el riesgo de mercado. Recietemete el uso de la teoría de riesgo ha sido explotada exitosamete e el ámbito bacario para costruir la distribució de pérdidas de portafolios crediticios. E 1997 Credit Suisse Fiacial Products (CSFP) publicó el modelo CreditRisk + para la medició del riesgo de crédito. El modelo CreditRisk + resuelve muchas de las críticas que se ha hecho a los esquemas regulatorios vigetes para cuatificar las pérdidas por riesgo de crédito. El presete documeto elabora u esquema de aálisis del riesgo de crédito basado e la teoría de riesgo. El objetivo es partir de los modelos más secillos de la teoría de riesgo y derivar los modelos actuariales utilizados actualmete para costruir las distribucioes de pérdidas por riesgo de crédito. Gradualmete, los supuestos de los primeros modelos so aalizados señalado, e su caso, su icompatibilidad co la realidad y añadiedo mejoras al mismo. Este proceso se sigue hasta alcazar el modelo CreditRisk, +. De esta forma, e la siguiete secció, se modela el riesgo de crédito a través de la teoría de riesgo idividual. Las siguietes seccioes prosigue co el aálisis haciedo uso de la teoría de riesgo colectiva y llegado gradualmete al modelo CreditRisk +. E la última secció se preseta ua ilustració de los diversos modelos de riesgo presetados a lo largo del documeto. L TEORÍ DE RIESGO INDIVIDUL Y EL RIESGO DE CRÉDITO Las matemáticas actuariales surge de la ecesidad de las empresas aseguradoras de elaborar ua serie de cálculos (de primas, reservas, etc.) para realizar su egocio. teriormete estos cálculos se basaba e aproximacioes determiistas, por ejemplo, tasas de iterés fijas, o bie, tablas de decremeto que expresa las probabilidades de muerte o de sobreviviecia. E realidad estos y otros datos so variables que ateriormete sólo su valor esperado era cosiderado. sí, co la fialidad de tomar e cueta las fluctuacioes que afecta a las empresas aseguradoras, surgió ua gra catidad de estudios cuya agrupació se deomia teoría de riesgo (Beard 1984, Gerber 1979, Bühlma 1970).

7 Tras7th IC Javier Gutiérrez García, Jesús la Elizodo Flores (México) l igual que ocurrió co la medició de los compoetes aleatorios de ua aseguradora, la medició del riesgo de crédito tuvo como primer efoque u modelo basado e los datos promedio. Mediate la obteció de la probabilidad de icumplimieto y del moto esperado se obtiee la pérdida esperada de u crédito, la cual bastaba para clasificar los créditos e ''bueos'' o ''malos''. Pero al igual que e las empresas aseguradoras, dichos datos so variables. U crédito ''bueo'' puede volverse ''malo'' si las codicioes que lo afecta da u giro desfavorable. sí, dada la importacia que tiee el riesgo de crédito e los sistemas bacarios, es sumamete importate cosiderar las fluctuacioes competetes para preveir pérdidas (o esperadas). Fudametos La teoría de riesgo idividual modela a cada idividuo como ua etidad idepediete. Esta asiga u patró de comportamieto idividual y agrega a los itegrates del grupo para obteer resultados cojutos. De esta forma, e u primer mometo, se procederá a explicar el modelo de comportamieto idividual e u cotexto de riesgo de crédito. E térmios geerales, el resultado de u crédito otorgado puede maifestarse de dos formas: 1. La cotraparte liquida el moto pactado origialmete.. La cotraparte se declara isolvete y o paga la totalidad del préstamo otorgado. La istitució bacaria o sufre igua pérdida co la primera alterativa, mietras que sufre ua pérdida co la seguda. uque la istitució o puede saber de atemao el resultado, el aálisis de los aspectos apropiados del acreditado resulta ser u bue idicador de cuál podría ser la resolució del crédito. Co ello, el baco puede asigar ua probabilidad al eveto de que el acreditado liquide el moto detro del plazo pactado. Las istitucioes que otorga créditos busca hacerlo a persoas solvetes que pague sus créditos. Por ello, la probabilidad de que u acreditado icumpla suele ser pequeña. Desde luego esta probabilidad es diferete para cada acreditado dado que depede de las características distitivas de cada uo. Existe ua diversidad de estudios dedicados a resolver este problema, si embargo, e este documeto o se pretede estudiar los procesos para determiar la probabilidad de icumplimieto de los acreditados (pérdida esperada) por ser u feómeo ampliamete aalizado (ltma 1977, 1989, Chorafas 1991, Trippi 1996). De esta forma, e lo sucesivo se dará por coocida la probabilidad de icumplimieto p. Co ello, la pérdida que u baco o cualquier istitució crediticia puede sufrir por el otorgamieto de u crédito se puede modelar por medio de ua variable aleatoria X. Misma que se compoe de dos variables aleatorias: ua que modela el eveto de la resolució del crédito y otra que modela el moto de la pérdida. 3

8 Tras7th IC Javier Gutiérrez García, Jesús la Elizodo Flores (México) La resolució del crédito se modela a través de ua fució idicadora I. Esta toma el valor de uo cuado el crédito icumple y cero e el caso cotrario 1 = 0 p. 1 p I (1) su vez el moto de la pérdida se modela a través de ua variable aleatoria M. Co lo cual la variable aleatoria X queda defiida como X = M I. () Co esto se puede obteer tato el valor esperado de la pérdida de u crédito, como la variaza E [ X ] µ V ( X ) = µ p( 1 p) + σ p = (3) dode µ = E[ X I = 1] y = V ( X I = 1) σ so la media y la variaza de la pérdida dado el icumplimieto del crédito. De esta maera, queda defiida la esperaza y la variaza de la pérdida de u crédito e lo idividual. Riesgo de crédito de ua cartera de idividuos E el aálisis de riesgo de crédito propuesto e el presete documeto lo que iteresa, más que el estudio idividual de cada crédito, es el comportamieto de ua cartera e su cojuto co la fialidad de estudiar el riesgo al que esta sujeta la istitució prestadora de créditos tato por efectos de graularidad así como por el comportamieto cojuto de los créditos. Por ello el propósito del siguiete aálisis es ecotrar ua distribució probabilística que idique las pérdidas poteciales a las que esta sujeta la cartera de créditos. El primer paso es asigarle a cada crédito su correspodiete variable aleatoria X y defiir i S = X1 + X + Κ + X como la variable aleatoria que represeta la pérdida por riesgo de crédito e la cartera. E este caso, es ua costate que represeta el úmero de créditos que coforma la cartera. Por el mometo se hace el supuesto de que las pérdidas idividuales de cada crédito so idepedietes uas de otras. Es decir, el que u acreditado icumpla o implica que otro tambié lo hará. simismo e este modelo se cosidera imposible la alteració del úmero de créditos e la cartera durate el periodo aalizado. Esto impide la itegració de más créditos a la cartera así como la salida de los mismos. El problema ahora cosiste e ecotrar la distribució de pérdida de la cartera dode cada crédito tiee su propio moto y probabilidad de icumplimieto, los cuales o so ecesariamete iguales. Para 4

9 Tras7th IC Javier Gutiérrez García, Jesús la Elizodo Flores (México) ello existe varios métodos como covolució, geeradora de mometos y aproximació Normal que permite coocer la distribució de ua variable compuesta por la suma de variables aleatorias idividuales (Bowers 1986). Uo de los métodos más utilizado para obteer la distribució de pérdida de ua cartera cosiste e aproximar ésta por medio de ua distribució de probabilidad Normal. Esta aproximació requiere que los créditos que compoe la cartera tega ua probabilidad de icumplimieto comú. Las variables de cada crédito queda defiidas de la siguiete maera X i M = 0 i p 1 p. (4) Bajo el supuesto de idepedecia se tiee que el valor esperado y la variaza de pérdida de la cartera so E[ S ] = E X i = pm i = pv (5) i= 1 i= 1 V ( S) = V Xi = V ( Xi ) = p(1 p) M i (6) i= 1 i= 1 dode V = M i i= 1 es el moto total de la cartera. pesar de que los motos so distitos, la distribució puede aproximarse por medio de la distribució Normal (DeGroot 1988) S N Vp, p(1 p) M i. (7) i= 1 El Modelo de Riesgo Idividual: Graularidad y Capital Ecoómico. Como se mecioó e la secció aterior, la razó por la cual se trata de obteer ua distribució de pérdida por riesgo de crédito es que esta idica la catidad moetaria que ua istitució poe e riesgo por la posesió de ua cartera crediticia. Co la ayuda de la distribució de pérdidas, el Valor e Riesgo (VaR α ) represeta la catidad moetaria ecesaria para afrotar las pérdidas de la cartera co u ivel de cofiaza α, comúmete bajo y, por tato, represetado u esceario grave y poco probable ii. cotiuació, co el fi de asociar el modelo aterior (7) y el problema de graularidad, se determiará el VaR de ua cartera de créditos co el método de aproximació Normal. 5

10 Tras7th IC Javier Gutiérrez García, Jesús la Elizodo Flores (México) Haciedo uso de los coceptos mecioados ateriormete se tiee que el Valor e Riesgo es VaR α = pv + zα V ( S ) = pv + zα p(1 p) M i, (8) i= 1 dode zα es el percetil correspodiete al ivel de cofiaza α de ua variable Normal estádar. hora bie, al dividirse la ecuació sobre el moto total de la cartera se tiee ua relació (ver Márquez 1999) etre el Valor e Riesgo y la graularidad de la cartera medida a través de ídice Hirschma -Herfidahl (Shy 1995, Tirole 1995) VaR V α = p + zα p( 1 p) H ( M ) (9) dode Mi H( M) es el ídice Hirschma-Herfidahl. i= 1 Mi i= 1 Cuado se asocia esta relació al capital bacario C buscado que sea mayor al Valor e Riesgo se obtiee la ecuació propuesta por Márquez (1999) C VaR C Ψ p + z p( 1 p) H( M), α α (10) V la cual relacioa el capital bacario co la probabilidad de icumplimieto, el ivel de cofiaza del Valor e Riesgo z α y la graularidad de la cartera. Co lo cual se muestra que la graularidad de la cartera es ua fuete importate de riesgo para los bacos. La cocetració e la distribució de motos o graularidad se da cuado ua gra catidad del moto total de la cartera esta agrupada e pocos créditos. Por ejemplo, ua cartera co u moto total de $1,000,000 compuesta por mil créditos, uo de los cuales tiee u moto de $900,000, suele corre mayor riesgo de perder dicha catidad que ua cartera cuyo moto total se reparte uiformemete. E la primera ta sólo es ecesario el icumplimieto del crédito grade, mietras que e la seguda se ecesita el icumplimieto de por lo meos ovecietos de los créditos. Esto se ve al ser ecesario más capital o meos probabilidad de icumplimieto e la ecuació aterior aplicada a ua cartera co dichas características. Por ejemplo, si la probabilidad de icumplimieto es de 1.06% y el ivel de cofiaza es 0.01 el capital bacario ecesario para las carteras ateriores es: Tabla 1-Ejemplo de graularidad. Cartera H(M) Capital bacario 1.81 $4,

11 Tras7th IC Javier Gutiérrez García, Jesús la Elizodo Flores (México).001 $18,13.66 uque se suele pesar que el icumplimieto cojuta de varios créditos es poco probable, o lo es cuado el icumplimieto de u crédito desecadea el icumplimieto de otros, es decir, cuado existe correlacioes etre los créditos. Estas correlacioes se puede deber a que los acreditados forma parte de u mismo sector idustrial, regió geográfica y que por tato está sujetos a ua misma serie de factores exógeos que afecta su solvecia. La cocetració se da cuado ua gra parte del moto total de la cartera esta agrupada e acreditados cuya solvecia depede de uo o más factores exteros, e dode exteros se refiere a que está fuera del cotrol de la istitució prestadora. Ua maera de efretar la cocetració e este tipo de casos es estimar las correlacioes etre acreditados. Co éstas y por medio de ua aproximació Normal es posible obteer ua relació explícita, similar a la aterior, etre el Valor e Riesgo y la cocetració de u portafolio. Si embargo, la aproximació por este método efreta dos problemas importates. Primero, el uso de la distribució Normal supoe que la distribució de pérdidas es simétrica, cuado empíricamete ha mostrado ser sesgada hacia las pérdidas. E otras palabras, más de la mitad de las pérdidas que ocurre so meores a la pérdida esperada. Esto por la existecia de créditos co motos superiores al promedio que provoca evetuales pérdidas superiores a la esperada. Segudo, la estimació de correlacioes etre acreditados requiere de supuestos adicioales, así como de iformació detallada, mietras que existe otras herramietas de la teoría del riesgo que permite atacar el problema de forma alterativa. De esta forma, la teoría de riesgo idividual es ua herramieta útil para modelar el riesgo de crédito, si embargo, esto se cosigue a costa de varios supuestos. E particular queda por resolverse las siguietes pregutas: - Cómo obteer ua distribució de pérdidas co créditos o idepedietes? - Cómo estimar ua distribució de pérdidas cosistete co la observada e la realidad? E la siguiete secció se desarrolla u modelo de riesgo colectivo que pretede lograr ua mejor estimació del riesgo crediticio. L TEORÍ DE RIESGO COLECTIVO Y EL RIESGO DE CRÉDITO. Itroducció. Cotraria a la teoría del riesgo idividual, la colectiva usa u modelo probabilístico para estimar las pérdidas totales del grupo sumado exclusivamete los motos de los idividuos que observaro pérdidas. 7

12 Tras7th IC Javier Gutiérrez García, Jesús la Elizodo Flores (México) De esta forma, las pérdidas e u modelo de riesgo colectivo se modela co base e u proceso aleatorio úico. La formulació matemática del modelo parte de la suma aleatoria S = X + X + Κ X N 1 (11) dode, a diferecia del modelo de riesgo idividual, N es ua variable aleatoria que represeta el úmero de icumplimietos observados e la cartera para u periodo dado y X es el moto perdido i por el i -ésimo crédito icumplido. Este tipo de modelos se dice Procesos Compuestos ya que ivolucra dos procesos aleatorios: el proceso del úmero de icumplimietos y el proceso del moto de las pérdidas. La teoría colectiva de riesgo desarrolla primeramete u modelo para el úmero de siiestros (icumplimietos) y luego, a partir de éste, uo para las pérdidas agregadas del portafolio. E esta secció se aaliza el proceso Poisso Compuesto e u cotexto de riesgo de crédito. Posteriormete, e la siguiete secció, se itroduce el Proceso Pólya Compuesto, mismo que permite icorporar el efecto de o idepedecia etre los créditos y llegar al modelo CreditRisk +, actualmete utilizado por Credit Suisse. Fudametos El modelo Poisso Compuesto supoe que el úmero de icumplimieto de u portafolio se distribuye co ua fució de probabilidad Poisso. Lo cual implica ua serie de supuestos válidos e el campo de los seguros y cuya validez coviee aalizar e los portafolios de crédito. cotiuació se desarrolla este modelo e u cotexto de riesgo crediticio. E ua cartera de crédito, existe el iterés de coocer el úmero de icumplimietos e u periodo. Si embargo, los icumplimietos ocurre de tal maera que o es posible proosticar el úmero exacto de sucesos, i el mometo exacto de su acotecimieto. Por esto, ua de las mejores formas de describir el comportamieto del úmero de icumplimietos de ua cartera es defiiedo u modelo de distribució de probabilidades de la siguiete forma: Sea p [ N = ] = Pr la probabilidad de que ocurra exactamete icumplimietos e la cartera de créditos aalizada. E diversas aplicacioes probabilísticas (teoría de colas, cotrol de calidad) e las cuales se requiere modelar el úmero de ocurrecias e u periodo suele usarse la distribució Poisso, cuya forma es p e µ µ =. (1) La razó de utilizar la distribució Poisso es porque, como es sabido, bajo el supuesto de idepedecia etre acreditados el úmero de icumplimietos tiee ua distribució biomial, misma que puede aproximarse por ua distribució Poisso (aproximació Poisso) cuado los créditos 8

13 Tras7th IC Javier Gutiérrez García, Jesús la Elizodo Flores (México) tiee probabilidades de icumplimieto uiformemete pequeñas y el úmero de créditos e la cartera es lo suficietemete grade (Dayki 1994). Otra razó es porque su ''forma expoecial es esecial para teer u modelo computacioalmete fácil de calcular'' (Gordy 1998). demás, la distribució sólo depede del parámetro µ y o del úmero de créditos i de las probabilidades de icumplimieto idividuales. Como se sabe, la media de ua distribució Poisso es el propio parámetro µ. E este caso µ represeta el úmero esperado de icumplimietos de la cartera e el periodo. De aquí que al úmero esperado de icumplimietos e la cartera a lo largo del tiempo se le deomie tasa de quiebra y se deote por λ. E la presete secció la tasa de quiebra es costate e igual a µ. Proceso Poisso Compuesto Hasta ahora se ha supuesto ua distribució de probabilidad para el úmero de icumplimietos de u portafolio de crédito, es decir, para la variable aleatoria N, pero el iterés es ecotrar ua distribució para las pérdidas de la cartera. Dichas distribucioes so diferetes porque ua determiada pérdida e u año puede obteerse por el icumplimieto de u sólo crédito co u moto grade, así como del icumplimieto de muchos créditos co motos pequeños. Por lo tato, la expresió del moto de pérdidas agregadas S depede o solamete de las probabilidades de icumplimieto p sio tambié de los motos. El eveto de sufrir ua pérdida meor a cierta catidad específica puede ocurrir de distitas maeras. La primera es que o ocurra igú icumplimieto. La seguda es que ocurra u icumplimieto cuyo moto sea meor a la catidad especificada. La tercera es que ocurra dos icumplimietos cuyos motos sume algo meor a la catidad determiada. Y así sucesivamete puede ocurrir u gra úmero de icumplimietos siempre y cuado la suma o sea mayor a la catidad especificada. sí, como el moto perdido de u crédito icumplido o depede del úmero de icumplimietos ocurridos, se puede aplicar las reglas de adició y multiplicació de probabilidad para expresar la distribució del portafolio como F S [ S s] = p Pr X i s (. (13) s) = Pr = 0 i= 1 te esta fórmula se observa la ecesidad de cotar co la covolució de las distribucioes idividuales de los motos, la cual o siempre se puede obteer de maera secilla iii. E pricipio podría parecer muy complicado el cálculo de la distribució de pérdidas utilizado la distribució empírica de los motos. Si embargo, existe fórmulas recursivas que facilita el cálculo. Para lo cual es ecesario que la distribució compuesta cumpla co las siguietes codicioes: 9

14 Tras7th IC Javier Gutiérrez García, Jesús la Elizodo Flores (México) 1. Las probabilidades de icumplimieto debe seguir la fórmula de recurrecia b p = a + p 1 para =1,,3... dode a y b so costates defiidas por la distribució de icumplimietos.. La probabilidad de que la pérdida de u crédito icumplido sea ua catidad específica debe ser la misma para todos los créditos de la cartera. Matemáticamete equivale a decir que las variables aleatorias del tamaño de los motos perdidos debe ser idepedietes e idéticamete distribuidas. 3. La distribució del tamaño de las pérdidas debe ser o egativa, discreta y equidistate, es decir, los motos de los créditos icumplidos debe poder ser expresados de la siguiete maera = L i para i=0,1,...,r dode L es u úmero positivo. iv M i Si la distribució compuesta cumple co estas tres codicioes, etoces la probabilidad de que ocurra ua pérdida de tamaño η L es 1 = a v s j v j vj a s η η 1 0 j: v η η j + b η =1,,... = = p 0 * p s0 s0 0 dode [ X = L ] 0 s 0 = 0 > 0 * = Pr, [ X + X + + X 0], s v j v j s0 = Pr 1 Κ = y v represeta el moto comú de la j j-ésima bada e uidades de L (ver Pajer 1980 y Dayki 1994). La distribució Poisso verifica la primera codició µ p = 0 + p. 1 simismo, para verificar la tercera codició, se agrupa los motos e badas, de tal maera que aquellos motos perteecietes a u mismo itervalo se redodea a ua misma cifra. l hacerse esta aproximació es fácil costruir la distribució del tamaño de los motos para que tambié se cumpla la seguda codició. El redodeo de los motos tiee como efecto ua reducció cosiderable de la catidad de iformació que se usa e el modelo. Y permite, juto co la aproximació Poisso, teer u método secillo y maejable para ua gra catidad de créditos. uque es verdad que el agrupamieto itroduce ua aproximació e los cálculos, ésta es isigificate si hay muchos créditos y el acho de (14) 10

15 Tras7th IC Javier Gutiérrez García, Jesús la Elizodo Flores (México) las badas es pequeño e comparació al moto promedio del portafolio. Ituitivamete esto correspode al hecho de que la precisió de los motos o es determiate e la totalidad del riesgo. De esta forma, aplicado la fórmula recursiva a la distribució Poisso Compuesta de la cartera de crédito se tiee que la probabilidad de sufrir ua pérdida de tamaño η L es η j j = η v j: v η η j v µ j η =1,,... µ 0 = e (15) e dode µ sigue represetado el úmero esperado de icumplimietos de la cartera, mietras que µ j represeta el úmero esperado de icumplimietos de la j-ésima bada. Como puede observarse, esta distribució o requiere de muchos datos, i de gra complejidad computacioal para su cálculo. demás, al cosiderar la distribució empírica de los motos, la distribució es cosistete co la realidad. Si embargo, para que la distribució Poisso esté aplicada correctamete es ecesario que se verifique las siguietes codicioes: 1. La probabilidad de que u icumplimieto suceda e u mometo específico es igual a cero.. La probabilidad de que dos o más icumplimietos ocurra al mismo tiempo es cero. 3. El úmero de icumplimietos e cualesquiera dos lapsos de tiempo disjutos so idepedietes uo del otro. Debido a que es imposible proosticar el mometo exacto de u icumplimieto, la primera codició se verifica e cualquier cartera de créditos. E cuato a la seguda codició, la úica maera de ivalidarla es supoiedo que el icumplimieto de varios créditos se debe a ua misma causa. Esto resulta muy difícil porque los acreditados so distitos, icluso si dos créditos estuviera a favor de u mismo acreditado se puede cosiderar como u sólo crédito co u moto mayor. Si embargo, la validez de la tercera codició preseta problemas e la mayoría de las carteras de crédito. Por ejemplo, si ua cartera preseta u alto úmero de icumplimietos e u determiado trimestre, esto puede deberse a que el país este pasado por ua recesió ecoómica, por lo tato, es de esperarse que e el próximo trimestre se presete tambié u alto úmero de icumplimietos. La presecia de factores de riesgo, como el del ejemplo aterior, que icide sobre los créditos provoca que estos o sea idepedietes uos de otros. 11

16 Tras7th IC Javier Gutiérrez García, Jesús la Elizodo Flores (México) E la siguiete secció se aalizará la maera de solucioar el problema que preseta la distribució Poisso al o verificarse la tercera. MODELO DE RIESGO DE CRÉDITO PR PORTFOLIOS CON INDIVIDUOS NO INDEPENDIENTES Itroducció Estadísticas publicadas (Stadard & Poor's 1997) sobre los créditos muestra que hay ua gra variabilidad e el úmero de icumplimietos que sucede año tras año. De acuerdo al modelo Poisso Compuesto, que supoe ua tasa de quiebra fija λ=µ, la desviació estádar del úmero de icumplimietos sucedidos año tras año debería ser µ. Si embargo, la desviació estádar observada suele ser mucho mayor. Esto se debe a que las probabilidades de icumplimieto o so costates periodo a periodo, porque está sujetas a factores de riesgo como la situació ecoómica del país. Por lo tato, es ecesario dejar de lado el supuesto de que las probabilidades de icumplimieto so costates y emplear probabilidades variables sujetas a diversos factores. El resto de la secció cosiste e aalizar los cambios del modelo Poisso Compuesto al supoer que las probabilid ades de icumplimieto y, por tato, la tasa de quiebra, so variables aleatorias sujetas a u sólo factor y que, por lo mismo, puede tomar distitos valores e cada periodo. Posteriormete se geeraliza el modelo supoiedo varios factores, se aaliza su efecto sobre las probabilidades de icumplimieto y la forma de icluirlo e el modelo. Co esta geeralizació se obtiee el modelo CreditRisk + (Credit Suisse 1997). Volatilidad de las probabilidades de icumplimieto. uque existe factores que icide e las probabilidades de icumplimieto, es muy difícil determiar ua relació que idique cómo el icumplimieto de u crédito predispoe el icumplimieto de otro. Volviedo al ejemplo de la situació ecoómica, ua recesió probablemete provocará u aumeto e las probabilidades de icumplimieto, pero el hecho de que cierto crédito icumpla o implica que otro tambié lo hará. Por eso, e lugar de estimar las correlacioes existetes etre todos los créditos, lo cual preseta varias desvetajas, se propoe supoer que las probabilidades de icumplimieto so variables aleatorias sujetas a distitos factores de riesgo. De esta maera, cada crédito de la cartera tiee ua probabilidad de icumplimieto λ co u valor esperado p y ua desviació estádar σ que mide el grado de volatilidad de la probabilidad de icumplimieto. Bajo el supuesto de que sólo u factor de riesgo afecta las probabilidades de icumplimieto, los cambios de éstas se describe por medio de u factor multiplicativo Q de acuerdo a la siguiete fórmula 1

17 Tras7th IC Javier Gutiérrez García, Jesús la Elizodo Flores (México) λ = Q. (16) p Este multiplicador Q pretede describir los cambios de las probabilidades de icumplimieto provocados por el factor al que está sujetas. sí, al descoocerse el estado futuro del factor de riesgo, el factor multiplicativo Q es ua variable aleatoria coocida como la variable mixta. Por comodidad, la relació de las probabilidades de icumplimieto co la variable mixta esta defiida de tal maera que las probabilidades so las esperadas siempre y cuado la variable mixta tome el valor de uo; más altas que las esperadas siempre que tome u valor mayor a uo y meor siempre que tome u valor etre cero y uo. Esta variable aleatoria, por costrucció, o toma valores egativos. demás, la variable mixta debe teer media uo, co la fialidad de que el valor esperado de las probabilidades de icumplimieto sea efectivamete p. Co esto se tiee que [ λ ] p y V ( λ ) = p V( Q) E = σ. (17) Co lo cual resta determiar la variaza de la variable mixta y su efecto sobre el modelo Poisso Compuesto. Cabe resaltar que por ser u solo factor, las probabilidades de icumplimieto cambia simultáeamete y e el mismo setido, por lo que o se toma e cueta la posible diversificació de la cartera. Volatilidad de la tasa de quiebra Ua de las vetajas de utilizar la distribució Poisso para el úmero de icumplimietos de la cartera es que úicamete requiere del parámetro µ, mismo que represeta el úmero esperado de icumplimietos. Esto bajo el supuesto de que las probabilidades de icumplimieto so costates e el tiempo y que, por tato, la tasa de quiebra λ λ = p = µ tambié lo es. hora, bajo el supuesto de que las probabilidades de icumplimieto está sujetas a u factor de riesgo, la tasa de quiebra es ua variable aleatoria co la forma λ λ = p Q = µ Q. (18) Se observa que co esta relació el úmero de icumplimietos esperados sigue siedo el mismo [ ] = E λ µ, = p (19) pero ahora co ua desviació estádar σ V ( λ) tal que 13

18 Tras7th IC Javier Gutiérrez García, Jesús la Elizodo Flores (México) λ ( λ) = µ V( ) = p V( Q) = σ V µ σ. (0) Es decir, la desviació estádar de la tasa de quiebra es igual a la suma de las desviacioes estádar de las probabilidades de icumplimieto. demás se tiee que la variaza de la variable mixta matiee la relació σ ( Q) = h V. (1) µ De esta maera, bajo este modelo los datos estadísticos observados periodo tras periodo se iterpreta como muestras de la variable aleatoria l cuyo valor esperado m represeta la tasa esperada de icumplimietos. Y cuya desviació estádar s mide la icertidumbre de que el úmero esperado de icumplimietos suceda. Por ejemplo, si la media de la tasa de quiebra es de 4% co ua desviació estádar del 5%, existe ua gra probabilidad de que se experimete ua tasa de quiebra del 10% e lugar de la esperada de 4%, co lo cual es muy probable observar el icumplimieto de 11% de los créditos. E cambio co u modelo de tasa de quiebra fija igual al 4%, u eveto e el que 11% de los créditos icumpla es mucho meos probable. E otras palabras, el valor de la tasa de quiebra e u periodo está dado por el estado del factor de riesgo, el cual se trasmite a través de u valor q de la variable mixta Q, de tal forma que la tasa de quiebra para u determiado periodo es λ =µ q. Utilizado el modelo Poisso se tiee que la distribució codicioal del úmero de icumplimietos dado el valor la variable mixta p µ q Pr N = Q = q es Poisso co parámetro µ q. ( ) [ ] E caso de o coocerse el valor de la variable mixta coviee defiir su fució de distribució F(Q) para determiar las probabilidades del úmero de icumplimietos como el promedio de las probabilidades codicioales Poisso p (m q) sobre todos los posibles valores de la variable mixta Q p = E 0 µ q µ q [ p ( µ q) ] = e F( )! q. () Distribució Pólya Para obteer ua fórmula explícita de las probabilidades de icumplimieto es ecesario escoger ua distribució apropiada para la variable mixta. Dicha distribució debe modelar los distitos estados de la tasa de quiebra de acuerdo a los posibles escearios del factor de riesgo. Si embargo, la escasa iformació estadística del comportamieto de los factores de riesgo o permite ecotrar ua distribució óptima, i siquiera ua que pudiera cosiderarse ''real''. 14

19 Tras7th IC Javier Gutiérrez García, Jesús la Elizodo Flores (México) Por ejemplo, el modelo CreditRisk + supoe ua distribució Gamma, auque o exista pruebas de que el factor de riesgo tega ua icidecia de este tipo sobre las probabilidades de icumplimieto y solamete se utiliza porque permite la aplicació del método de recurrecia. E cambio el modelo CreditMetrics supoe que la icidecia de los factores sobre las probabilidades de icumplimieto tiee u comportamieto gaussiao (Gordy 000). E la presete secció se aaliza el caso e que la variable mixta tiee ua distribució Gamma. Cuado se utiliza ua distribució Gamma para la variable mixta, la distribució del úmero de icumplimietos deja de ser Poisso y se trasforma e ua distribució biomial egativa. El primer paso para obteerla es determiar los parámetros de la distribució Gamma. Ésta tiee dos, los cuales se puede determiar de maera que la tasa de quiebra tega la media µ y la desviació estádar σ defiidas e la secció aterior (19 y 0). De esta maera, la distribució de la variable mixta Q, que correspode a los efectos del factor de riesgo sobre la tasa de quiebra, es Γ ( h 1, h), dode Γ deota ua distribució Gamma y el parámetro h es el mismo que se defiió e la secció aterior y que represeta la variaza de la variable mixta (1). demás, al asigarle dicha distribució Gamma a la variable mixta, la tasa de quiebra λ =µ Q sigue a su vez la distribució Gamma Γ ( h 1, µh). Co lo cual las uevas probabilidades del úmero de icumplimietos e la cartera so p + h = ( 1 θ ) h θ (3) dode µ σ θ =. = 1 µ + h µ + σ Esta distribució correspode a ua distribució biomial egativa y se le cooce co el ombre de Pólya. Mietras que la distribució Poisso depede úicamete de la media de la tasa de quiebra, la Pólya depede tato de la media como de la volatilidad, de tal maera que icorpora la volatilidad de la cartera utilizado u míimo de parámetros. demás, de acuerdo a los mometos de la distribució biomial egativa, el úmero esperado de icumplimietos e u periodo cotiua siedo µ, mietras que la variaza es ahora σ + µ. (4) El parámetro q es ua especie de ueva ''tasa de quiebra'' ya que mietras mayor es su valor las probabilidades de que ocurra más icumplimietos aumeta. Esto ocurre, por ejemplo, cuado la desviació estádar de la cartera aumeta. Por el cotrario, se puede demostrar que, e el límite, cuado la variaza de la tasa de quiebra tiede a cero, la distribució del úmero de icumplimietos es Poisso, lo que es cosistete co la obteida ateriormete. 15

20 Tras7th IC Javier Gutiérrez García, Jesús la Elizodo Flores (México) Proceso Pólya Compuesto La distribució biomial egativa, al igual que la Poisso, cumple co la codició uo del método de recurrecia, lo que permite obteer la distribució de pérdidas de la cartera de maera secilla. v b La distribució del úmero de icumplimietos sigue la fórmula recursiva = ( a + ) p 1 1 µ y ( h 1) p para =1,,3,..., dode µ a = 1 b =, por lo tato, la fórmula recursiva de las probabilidades 1 µ + h µ + h de sufrir ua pérdida e la cartera de tamaño η L es µ σ ( 1 ) = j j η + µ j v j + η : η µ σ µ 1 1+ ε µ σ v j ( 1+ ) η para η = 1,,... σ = (5) 0 σ µ µ dode ε represeta la pérdida esperada de la j j-ésima bada e uidades de L, matemáticamete ε = µ v. j j j E térmios de la variaza de la variable mixta la fórmula recursiva es j µ ( 1 h) ε j v j ( 1+ µ h) η = j η + 1 j v + h η : η µ para η =1,, = 1+ µ h 1 h (6) Esta distribució de pérdida, obteida co la icorporació de la volatilidad de la tasa de quiebra, posee la misma pérdida esperada que la distribució obteida bajo el supuesto de que la tasa de quiebra es costate, pero co ua cola mucho más pesada. Es decir, los percetiles más elevados so mucho más grades cuado se modela el impacto de la volatilidad de la tasa de quiebra. Co esto las probabilidades de teer pérdidas extremas so mayores. Cabe destacar que el parámetro h o sólo cotrola la variaza sio tambié la curtosis de la variable mixta. Debido a que las probabilidades está e fució de ésta (16), la curtosis se trasmite a la distribució de pérdidas. sí, cuado el parámetro h es demasiado grade, la curtosis de la distribució de pérdidas resulta ser demasiado grade, iduciedo a errores e el cálculo de percetiles de alto grado, etre ellos VaR. Esto porque ua curtosis muy elevada e la variable mixta sigifica que las probabilidades de icumplimieto puede ser muy grades, magificádose el error iducido por la aproximació Poisso. (Gordy 000.) 16

21 Tras7th IC Javier Gutiérrez García, Jesús la Elizodo Flores (México) Ya que la pérdida esperada es la misma y la cola es mucho más pesada, se cocluye que la variaza de la distribució de pérdidas es mayor. Esto se debe a la correlació implícita que guarda los créditos debido que está sujetos a u factor que altera la tasa de quiebra. E la realidad es comú observar que existe varios factores de riesgo que icide e la tasa de quiebra y o sólo uo. E la siguiete secció se aaliza ua solució que geeraliza el modelo e este setido y que lleva al modelo CreditRisk +. CREDITRISK + La diversificació del riesgo e u portafolio se da de maera atural al teer u gra úmero de idividuos. u así, esta diversificació puede ser isuficiete si varios de los elemetos de la cartera está correlacioados o, lo que es lo mismo, está fuertemete sujetos a los mismo factores de riesgo, como por ejemplo, aquellos que perteece al mismo sector idustrial o a la misma zoa geográfica. simismo cada crédito puede ser afectado por factores exclusivos del propio crédito. Por esta razó se clasifica los factores e: 1. Sistemáticos- quellos que afecta a u grupo de créditos de la cartera.. Específicos o Idiosicrásicos- quello factores que sólo afecta a u crédito de la cartera. Cuado u factor sistemático afecta a u gra úmero de créditos, etoces la cartera tiee ua alta cocetració de riesgo, porque u cambio o deseado e el factor puede provocar el icumplimieto de varios créditos y collevar a pérdidas extremas. El modelo Poisso supoe que las probabilidades de icumplimieto so costates y por tato o cosidera cambios e la calidad de los créditos. E cambio, el modelo Pólya supoe que las probabilidades de icumplimieto está sujetas a u sólo factor, de maera que todos los créditos cambia de calidad cojutamete. Esto excluye los beeficios de la diversificació que pudiera teer ua cartera si los créditos está sujetos a factores mutuamete idepedietes. Ua solució a este problema es segmetar la cartera e sectores mutuamete idepedietes y asigar cada crédito a u sector. De esta maera se obtiee varias carteras, cada ua co ua tasa de quiebra distita que depede de sólo u factor. Esta o es la mejor solució ya que la probabilidad de icumplimieto de cada crédito depede de más de u factor. Por ello, ua mejor solució cosiste e asigar ua proporció de cada crédito (segú la ifluecia de cada factor sobre el crédito) a segmetos mutuamete idepedietes, cada uo sujeto a u factor. cotiuació se aaliza la icorporació de los factores de riesgo al modelo. 17

22 Tras7th IC Javier Gutiérrez García, Jesús la Elizodo Flores (México) Número de icumplimietos l supoer que se tiee segmetos mutuamete idepedietes, se hace ecesario itroducir la siguiete otació para cada uo: Tabla -Notació por segmeto o sector. Tasa de quiebra sectorial. Segmeto o Sector Media de la tasa de quiebra sectorial. Sk:1 k K λ k µ k Desviació estádar de la tasa de quiebra sectorial σ k demás se defie a w, k como el poderador que represeta el grado de ifluecia del factor k sobre el crédito, de tal maera que para todos los créditos se verifica la ecuació K k= 1 w 1. (7), k = El paso clave es supoer que las probabilidades de icumplimieto λ (y por tato la tasa de quiebra) depede de los factores de la siguiete maera K = p w k= 1 λk, k µ k λ (8) dode, bajo el modelo CreditRisk +, las tasas de quiebra sectorial λk se distribuye de acuerdo a ua distribució Gamma co media µ k = w, k p y desviació estádar σ k = w kσ., l igual que ates, la tasa de quiebra es la suma de las probabilidades de icumplimieto y además se verifica que es igual a la suma de las tasas de quiebra sectorial K λ λ = λ. (9) k = 1 k cotiuació se determia las fucioes de probabilidad del úmero de icumplimietos y de pérdidas. Para obteerlas se utiliza la fució geeradora de probabilidad (fgp). Utilizado la aproximació Poisso, se demuestra que el úmero de icumplimietos de cada sector sigue u proceso Pólya co su respectiva tasa de quiebra sectorial. Por lo tato, como 18

23 Tras7th IC Javier Gutiérrez García, Jesús la Elizodo Flores (México) los segmetos so idepedietes, se tiee que la fució geeradora de probabilidad del úmero de icumplimietos de la cartera es (ver Credit Suisse 1997) F K ( z ) = F ( z) = K k k= 1 k= θ k θk z 1 h k dode θ k µ k σ k = = (30) 1 µ k + hk µ k + σ k La cual correspode al producto de las fucioes geeradoras de probabilidad de K biomiales egativas. Esto demuestra que la distribució del úmero de icumplimietos de la cartera es equivalete a la suma de procesos Pólya idepedietes. sí, mietras que el úmero esperado de icumplimietos es el mismo que el de los modelos ateriores, la desviació estádar es diferete. Los resultados se muestra e la siguiete tabla: Tabla 3-Comparativo del úmero de icumplimietos de los tres modelos. Poisso Pólya CreditRisk + Número esperado de icumplimietos. µ µ µ Variaza de la tasa de quiebra. 0 σ σ K k= 1 k Variaza de la distribució del úmero de icumplimietos. µ µ+σ µ+ σ K k = 1 k K demás la relació µ µ + σ µ + σ muestra que la variaza e el modelo CreditRisk + esta k= 1 k acotada por la variaza de los modelos Poisso y Pólya. Este resultado es atural, ya que el modelo Poisso cosidera ua tasa de quiebra fija, mietras que el modelo Pólya supoe que todos los créditos está sujetos a u sólo factor, por lo cual, cuado el CreditRisk + icorpora varios factores se toma e cueta la diversificació de la cartera y por ello la desviació estádar del úmero de icumplimietos es meor que la del Pólya. E otras palabras, mietras mayor sea el úmero de factores etre los que se puede descompoer la variabilidad de las probabilidades de icumplimieto, mayor diversificació se puede obteer. Icluso si el úmero de factores tiede a ifiito, el modelo CreditRisk + tiede al modelo Poisso Compuesto (diversificació), y por el cotrario, si sólo se cosidera u factor se covierte e u Pólya Compuesto (cocetració). hora bie, para cosiderar el hecho de que existe factores específicos propios de cada crédito que o depede de los factores sistemáticos, basta icluir u sector extra, el cuál, al o depeder de u 19

24 Tras7th IC Javier Gutiérrez García, Jesús la Elizodo Flores (México) factor e particular, se modela co u proceso Poisso Compuesto o, equivaletemete, u Pólya co tasa de quiebra sectorial fija. Distribució de pérdidas El siguiete paso cosiste e obteer la fució geeradora de probabilidad de las pérdidas de la cartera G, a partir de la del úmero de icumplimietos. E este caso tambié se utiliza la discretizació de la distribució de motos, de maera que u crédito puede perder v uidades. sí, la probabilidad de que ua cartera formada por u sólo crédito sufra ua pérdida de v uidades es igual a la probabilidad de que el crédito icumpla, por tato se verifica la siguiete relació etre la fució geeradora de probabilidad de pérdida y la de icumplimieto v v G ( z λ, λ,... λ ) = F ( z λ, λ,... λ ) exp( λ ( z 1) ). (31) 1 K 1 K la última relació se le deomia aproximació Poisso. Dadas las tasas de quiebra sectorial los créditos so idepedietes, por lo tato v v ( z 1, λ,... λk ) = G ( z λ1, λ,... λk ) exp λ( z ) G 1 λ. (3) Expresió que al itegrase sobre todos los posibles valores de las tasas de quiebra sectorial da la siguiete fució geeradora de probabilidad de las pérdidas de la cartera (ver Credit Suisse 1997). G K ( z ) = F ( P ( z ) = k k k= 1 k= 1 1 K 1 θ θ P k k k ( z) 1 h k dode 1 v ( ) P k z w k k pz µ, (33) partir de la cual se puede obteer la distribució de pérdidas mediate la fórmula de recurrecia que se muestra e el maual técico CreditRisk + (pédice.10). E coclusió, el modelo CreditRisk + cosiste e dividir los créditos de la cartera e proporcioes y asigarlas a segmetos mutuamete idepedietes, cada uo iflueciado por u factor de riesgo, para modelar cada segmeto co u proceso Pólya Compuesto. Co esto la distribució de pérdida del modelo CreditRisk + tiee la media y variaza (Credit Suisse 1997,.10) que se muestra e la siguiete tabla: Tabla 4-Comparativo de los tres modelos. Poisso Pólya CreditRisk+ Pérdida esperada. ε ε ε Variaza de la distribució de pérdidas. ε v ε h + ε v K ε h + k k k= 1 ε v 0