Número de personas que se forman en una fila en 1 hora Número de águilas que se obtienen al lanzar una moneda 5 veces.

Transcripción

1 Statistics Review Variable Aleatoria o Ua variable aleatoria es ua variable cuyo valor está sujeto a variacioes que depede de la aleatoriedad. o Debe tomar valores uméricos, que depede del resultado del experimeto o Puede ser cotiua o discreta Variable Aleatoria Discreta Número de persoas que se forma e ua fila e 1 hora Número de águilas que se obtiee al lazar ua moeda 5 veces. Variable Aleatoria Cotiua Tiempo etre dos llamadas de teléfoo Temperatura. Estatura Peso Distribucioes de Probabilidad La distribució de probabilidad de ua variable aleatoria describe cómo se distribuye las probabilidades etre los valores de la variable aleatoria. La distribució de probabilidad está defiida por ua fució de probabilidad, deotada por f(x) Distribució de Probabilidad Discreta Histograma Ua vez que se cooce la distribució de probabilidad, es relativamete fácil determiar la probabilidad de diversos evetos f(x) 0 f(x) = 1 Valor Esperado: E(x) = μ = f(x) x

2 Variaza: Ejemplos de Distribucioes Discretas Var(x) = σ 2 = f(x) (x μ) 2 Biomial: o etapas idéticas e idepedietes o Cada esayo tiee 2 posibles resultados, éxito o fracaso o Probabilidad de éxito para cada esayo es p, de fracaso es 1-p o x deota al úmero de éxitos que queremos obteer f(x) = ( x ) px (1 p) x ; ( x ) =! x! ( x)! f(x) = probabilidad de x éxitos e es ayos o Tiras ua moeda 5 veces Poisso: o Número de veces que u eveto sucede e u tiempo determiado. f(x) = μx e μ = probabilidad de x ocurrecias e u itervalo x! Distribució de Probabilidad Cotiua o Normal (campaa de gauss) o t-studet o χ² o F o Log-Normal o Logística o Expoecial f(x) 0 f(x) dx = 1 f(x) No es ua probabilidad, es ua desidad.

3 6 f(x) dx = Probabilidad de observar valores de x etre 5 y 6 = P(5 X 6) 5 x f(t) dt = F(x) = P(X x) = Fucio de Probabilidad Acumulada 6 F(6) F(5) = f(x) dx = Probabilidad de observar valores de x etre 5 y 6 5 Distribució de Probabilidad Normal o La distribució de probabilidad más usada para describir variables aleatorias cotiuas es la distribució de probabilidad ormal o Peso, estatura, putuacioes de exámees, etc. X~N(μ, σ 2 ) f(x) = 1 (x μ) 2 2πσ 2 e 2σ 2 o Dos parámetros: μ y σ 2. o Media=Moda=Mediaa o Simétrica (coeficiete de asimetría = 0) y Mesocrática (curtosis = 3) o Probabilidades: o Área debajo de media es 50% o 68.3% de los valores de ua variable aleatoria ormal se ecuetra más o meos ua desviació estádar de la media o 95.4% a dos desviacioes estádar o 99.7% a tres desviacioes estádar. Distribució de Probabilidad Normal Estádar o Ua variable aleatoria que tiee ua distribució ormal co media cero y desviació estádar de uo. o Se puede estadarizar cualquier variable aleatoria co distribució ormal y las áreas etre la media y la desviació estádar o cambia. z = x μ σ

4 Ejercicios X~N(5,4), cuál es la probabilidad de que X sea meor o igual a 7? 84.13% z = = 2 2 = 1 X~N(5,4), cuál es la probabilidad de que X sea mayor o igual a 7? 15.87% X~N(5,4), cuál es la probabilidad de que X sea se ubique etre 3 y 7? 68.27% z 1 = = 2 2 = 1 z 2 = = 2 2 = 1

5 Estimació Putual Parámetros Poblacioales Media Poblacioal = μ = E(x) Variaza Poblacioal = σ 2 = E[(x μ) 2 ] = E[x 2 ] 2μE[x] + μ 2 = E[x 2 ] μ 2 Desviació Estádar Poblacioal = σ Estadísticos Muestrales Media Muestral x = x i Variaza Muestral s 2 = (x i x ) 2 1 Desviació Estádar Muestral s = x i La media muestral x es el estimador putual de la media poblacioal μ La variaza muestral s 2 es el estimador putual de la variaza poblacioal σ 2 Si seleccioar ua muestra aleatoria es u experimeto, la media muestral x es u resultado de ese experimeto. Por lo tato, cualquier x puede ser cosiderado como ua variable aleatoria. Por lo tato, como cualquier otra variable aleatoria x tambié cueta co: o Valor esperado o Desviació estádar Error Estadar o Distribució de probablidad. Esto permite hacer iferecias acerca del valor de la media poblacioal μ, mismo que descoocemos E(x ) = E [ x i ] = 1 E[x i ] = 1 μ = 1 (μ ) = μ var(x ) = var [ x i ] = 1 2 var[x i ] = 1 2 σ2 = 1 (σ2 ) = σ2 sd(x ) = σ

6 Distribució de x o Cuado la població tiee distribució ormal, la distribució de x esta tambié distribuida ormalmete. o Cuado la població o tiee distribució ormal podemos usar el teorema del límite cetral y así deducir que x tambié se distribuye de forma ormal. o Teorema del Límite Cetral: Cuado se seleccioa muestras aleatorias simples de tamaño de ua població, la distribució muestral de la media muestral puede aproximarse mediate ua distribució ormal a medida que el tamaño de la muestra se hace grade. o Para que el Teorema del Límite Cetral sea válida se ecesita u tamaño de muestra igual o mayor a 30. Distribució de p p = x ; x es el umero de elemetos de la muestra que cumple co el criterio E[p ] = p p(1 p) sd(p ) = o La distribució muestral de se aproxima mediate ua distribució ormal siempre que p 5 y (1 p) 5. Ejercicio Se sabe que la media poblacioal de altura es de 1.75 y que la desviació estádar es de Se toma ua muestra de la altura de 225 persoas y se obtiee la altura de cada ua. a) Calcula el error estádar de x. σ x = σ = = 0.01 b) Cuál es la probabilidad de que la media muestral de mi ecuesta sea 1.7 o meos que 1.7?

7 % c) Cuál es la probabilidad de que la media muestral de mi ecuesta sea igual a 1.7 o meor que 1.8? % d) Cuál es la probabilidad de que la media muestral de mi ecuesta se ubique etre 1.70 y 1.80? % P(1.70 < x < 1.80) = P(x < 1.80) P(x < 1.70)