Práctica de Diseños Factoriales a dos niveles

Transcripción

1 Práctica de Diseños Factoriales a dos niveles Fichero de datos: antenas.sfx El tratamiento de un diseño factorial a dos niveles con Statgraphics tiene dos fases: 1. Diseñar el experimento: seleccionar el número de experimentos, confusiones posibles entre efectos, etc. 2. Analizar los resultados: contrastar efectos significativos, estimar la recta de regresión, diagnosis, etc. Utilizaremos el diseño factorial fraccional 2 k distancia. El problema es el siguiente. p para diseñar el montaje de un enlace wireless de larga Se quiere conectar dos ordenadores separados varios kilómetros mediante tecnología wireless. Estos ordenadores son a su vez los servidores de sendas redes, por lo que su conexión garantizaría la conectividad de ambas redes. La empresa encargada de diseñar y montar este sistema debe elegir entre varias opciones que debe optimizar para cada cliente en función de pruebas realizadas in situ, al depender el rendimiento de la topología de la situación. Los factores y sus niveles (- ó +) son: Potencia de transmisión: P1=15 db (nivel - ) ó P2=20 db (Nivel + ) Antena: de polarización circular (AC) (nivel - ) o multipolarización (AM) (nivel + ) Dos localizaciones alternativas de la antena en la cubierta del edificio: L1 (nivel - ) y L2 (nivel + ) Frecuencia: F1=2.4 ghz (tarjeta b) (nivel - ), o F2=5.8 ghz (tarjeta a) (nivel + ) La variable respuesta es la calidad de la transmisión en relación señal ruido S/R (signal to noise) medida en db. A mayor S/R mayor calidad. Si algún factor no resultase significativo en el emplazamiento analizado, se empleará la opción más económica. No esperamos que haya interacciones significativas de orden superior a dos. Por tanto, si diseñamos un experimento en el que los factores principales estén confundidos con las interacciones de orden 3, podremos identificar factores significativos y ahorrar experimentos. Pensamos 4 1 entonces que puede ser suficiente un diseño de Resolución IV, como es el caso del diseño 2. Realizaremos 4 entonces 8 experimentos elementales en lugar de los 16 de un diseño 2 completo. 1. Diseño del experimento Para realizar el diseño de un experimento factorial a dos niveles hemos de ir a Special... Experimental Design. Para hacer un diseño nuevo seleccionamos Create Design. A continuación aparece la siguiente pantalla de opciones:

2 El diseño de experimentos factorial a dos niveles corresponde a la primera opción: Screening. En la parte inferior de esta pantalla hay que poner el número de variables respuesta que se analizan y el número de factores. Por ejemplo, en nuestro ejemplo queremos analizar 4 factores con una variable respuesta. Escribimos 1 y 4 respectivamente en los campos correspondientes. A continuación aparece una ventana que permite cambiar el nombre de los factores así como los valores del factor. También podemos especificar si el factor es o no continuo ('Continuous'). Si marcamos la casilla 'Continuous' el factor deberá ser cuantitativo. La opción 'Continuous' no nos interesa en este momento, pues es para permitir ampliar el análisis añadiendo valores adicionales del factor. Por tanto en este ejercicio podemos prescindir de esa opción. En la parte derecha de la ventana se indica el factor que estamos definiendo. Si vamos pulsando cada factor y pulsando OK vamos definiendo los 4 factores.

3 Finalmente etiquetamos la variable respuesta A continuación aparece una ventana que nos pregunta por el diseño que deseamos En nuestro caso buscamos el diseño donde el programa nos informa que tiene resolución IV y consta de 8 experimentos elementales (Runs). También nos avisa de que la estimación de todos los efectos nos dejará sin grados de libertad para estimar el error experimental (Error d.f.) y hacer contrastes. Por tanto, una vez que se tengan los datos habrá que analizar qué efectos estimar y cuáles no, y así disponer de grados de libertad. A continuación aparece la siguiente pantalla, donde nos preguntan si vamos a replicar el experimento o no.

4 En nuestro caso, sólo tomaremos una observación por cada cruce de factores, por lo que no es un experimento replicado (Number=0). Además, con la opción Randomize el Statgraphics nos ofrecerá posteriormente un orden aleatorio de los 8 experimentos para tomar los datos. Como vamos a tomar una media fracción, tenemos que elegir dónde colocar el cuarto factor. Con 8 experimentos, tenemos para realizar un experimento con 3 factores A,B,C completo. El cuarto factor D tendrá entonces que colocarse utilizando la columna de signos de alguna interacción. La opción Generator nos ofrece las opciones de interacciones de A, B, C que proporcionen resolución máxima (en nuestro caso IV). La ventana que aparece es I=ABCD donde vemos que el cuarto factor irá colocado necesariamente en la interacción de tercer orden. Podemos elegir si hacer el diseño D=ABC ó D=-ABC. Elegimos D=ABC, con lo que la ecuación generatriz es I=ABCD. Una vez completadas las opciones, aparecen los resultados de esta definición del experimento. En Tabular Options (icono ), seleccionamos Worksheet, que nos proporciona un listado de los experimentos en orden aleatorio (por haber seleccionado Randomize en una ventana anterior). La salida que obtenemos es Cada fila de esta plantilla corresponde con un experimento elemental. Podemos usar esta plantilla para la recogida de los datos del experimento. Si seleccionamos Alias Structure obtenemos

5 que nos proporciona la estructura de confusión del experimento. Vemos que los efectos principales están confundidos con las interacciones de tercer orden (que como hemos dicho antes suponemos que son nulos), y los efectos secundarios están confundidos entre si. En Pane Options podemos elegir hasta qué orden de confusión queremos ver En la hoja de datos del Statgraphics aparecerán los factores introducidos y podremos introducir nuestros datos en la última columna. En nuestro caso, el resultado del experimento es la variable SignaltoNoise Los resultados del experimento se muestran en la siguiente pantalla

6 Posteriormente podemos salvar este diseño y sus datos con el icono caso lo hemos salvado con el nombre antenas.sfx para su análisis posterior. En nuestro 2. Análisis de los resultados Analizar los resultados de un experimento factorial es igual que un análisis ANOVA multifactorial, por lo que podemos analizarlo como un ANOVA más. No obstante, el Stagraphics proporciona opciones adicionales para el análisis de diseños realizados según la sección anterior. Para abrir un diseño creado con anterioridad vamos a Special/Experimental Design/Open Design... y allí seleccionamos los datos del experimento de las antenas antenas.sfx Posteriormente elegimos la opción de analizar el diseño en Special/Experimental Design/Analyze Design

7 A continuación describiremos las opciones más importantes de este análisis. En primer lugar el Statgraphics nos proporciona las estimaciones de los efectos de cada factor en la siguiente pantalla donde, además, nos recuerda que en este experimento no hay datos suficientes para estimar todas las interacciones. Los efectos son el cambio en la media de la variable respuesta al pasar el factor (o inyeracción) de signo (-) a signo (+). Por ejemplo, al pasar de la Localización 1 (-) a la Localización 2 (+) se disminuye la relación señal ruido en unidades por término medio. En primer lugar, y puesto que no tenemos grados de libertad para hacer contrastes, tendremos que reducir el número de efectos significativos mediante un análisis gráfico. La opción gráfica (icono proporciona el gráfico de Pareto de estas estimaciones (en valor absoluto). ) Pareto Charts nos De este gráfico concluimos que los efectos que son mejores candidatos a ser eliminados son la Antena y las interacciones AB+CD y AD+BC. Puesto que la Antena no parece significativa, será razonable esperar que tampoco contribuya en las interacciones. Por tanto, el efecto AC+BD, que es tan importante, será en realidad AC al ser BD nulo.

8 Otro gráfico que nos ayuda a discriminar entre efectos significativos y no significativos cuando no hay grados de libertad para hacer un test ANOVA es el gráfico probabilístico normal Este gráfico está diseñado para que los efectos no significativos aparezcan alineados alrededor del 0 (cada efecto estimado está dividido por su desviación típica). En nuestro caso el gráfico es donde los puntos más a la izquierda son los que tienen efectos (en valor absoluto) más bajos. En este gráfico se ha usado la opción de etiquetar los puntos, a la que se accede a través de Pane Options (botón derecho del ratón) Según este gráfico, los efectos más distanciados de la recta que pasa por el 0, son los que pueden ser significativos. Según el gráfico, los efectos que parecen ser los significativos, son el A, D, C, y la interacción AC. Y los menos relevantes, de nuevo, la antena y las interacciones AB+CD y AD+BC. Por tanto, lo primero que haremos será eliminar algún efecto del análisis y así empezar a tener grados de libertad para hacer el test de la tabla ANOVA. En las opciones tabulares seleccionamos ANOVA Table para ver cómo al eliminar efectos, ya podemos realizar el test de la F

9 La tabla que tenemos inicialmente es Eliminaremos en primer lugar el efecto menos importante, que es la Antena. Entonces la Variabilidad no Explicada (VNE) será , con 1 grado de libertad, y la varianza residual será El F ratio será entonces la varianza de cada efecto (Mean Square) dividido por esta cantidad. También eliminaremos las interacciones donde participe la antena. Esta eliminación no tendrá repercusiones en la tabla ANOVA, pues las interacciones de B están confundidas con las interacciones de otros pares de factores. Será sólo un cambio en el etiquetado de la tabla. Para que esta eliminación la haga el Statgraphics seleccionamos Analysis Options donde obtenemos la siguiente ventana En esta ventana seleccionamos Exclude, y allí seleccionamos (haciendo doble-click con el ratón) los efectos que queremos que pasen a formar parte de la Variabilidad no Explicada. Eliminamos Antena, y las interacciones en las que participa.

10 y obtenemos la tabla ANOVA siguiente donde vemos que los efectos de interacción CD y AD tampoco son significativos al 5% por tener un p-valor mayor que Repetimos la operación anterior para eliminar primero el CD y ver cómo queda la tabla (es aconsejable ir haciendo la eliminación efecto a efecto). Pasaremos su suma de cuadrados y sus grados de libertad a la Variabilidad no Explicada. Y obtenemos la nueva tabla ANOVA siguiente. En esta tabla, que tiene una mejor estimación de la varianza del error experimental que la anterior, el efecto AD ya resulta significativo. Esta tabla será entonces la que nos proporcione el modelo definitivo, a falta de realizar la diagnosis. Para validar el modelo miraremos los residuos, que se obtienen en El gráfico de residuos es el siguiente

11 Como se trata de sólo 8 residuos es muy difícil ver patrones anómalos en el gráfico. En cualquier caso, no se aprecia ninguna anomalía clara que nos haga dudar de que las condiciones del modelo no se cumplan. Podemos pasar entonces a interpretar los resultados. La interpretación de los factores ha de hacerse de forma conjunta, ya que existe interacción entre ellos. Las opciones gráficas nos dan los dos gráficos siguientes que nos ayudarán en la interpretación: En la realización del gráfico de interacciones se ha usado la opción del Pane Optoins, que permite cambiar las variables representadas, de forma que se consiga un gráfico que sea más fácil de interpretar. En Pane Options se accede al menú siguiente.

12 Los gráficos permiten sacar las siguientes conclusiones: La interacción Potencia-Frecuencia (AD) es muy pequeña, por lo que la interpretación de los factores separados es suficiente para entender su influencia. La Potencia es el factor más importante, la mayor potencia produce, como era de esperar, una mejor relación señal/ruido Una mayor frecuencia también mejora la calidad de la señal recibida en ambas potencias. La interacción AD indica que en la frecuencia alta, lo que se gana al aumentar la potencia es ligeramente menor que en frecuencia baja. Usaríamos por tanto Potencia alta y Frecuencia Alta. El efecto de la Localización depende mucho de la Potencia. Por alguna razón que nos tendrían que explicar los técnicos, en la Localización 1, el cambio de potencia mejora poco. Sin embargo, en la localización 2, el aumento de potencia sí mejora la señal. El gráfico de interacciones nos muestra que la mejor combinación es Localización 2 y Potencia alta. Estas conclusiones pueden verse numéricamente en la opción de Valores Previstos, que se consiguen en el menú Los valores previstos por las estimaciones de los parámetros son (Fitted Value): donde se observa que la mejor relación señal/ruido se consigue en el experimento elemental 2, que es cuando se tiene: Potenca alta, Localización 2, y Frecuencia alta (la antena no contribuye!). En esas condiciones la relación señal ruido será una variable aleatoria normal de media estimada 113,128. Un intervalo de confianza del 95% para esa media es (112,046;114,20). La varianza estimada para la distribución de la relación señal ruido es (ver tabla ANOVA definitiva)

13 Ejercicios sobre Diseños Factoriales a dos niveles Ficheros de datos: soldaduraola.sfx, noiseolico.sfx 1. La empresa ALCATEL tiene una factoría en el municipio de Leganés donde produce equipos de conmutación para telecomunicaciones. En esta planta existe una sección de soldadura por ola para el ensamblaje de placas de circuitos impresos (PCB). Las inspecciones efectuadas en condiciones normales de funcionamiento señalan que el número de soldaduras defectuosas es del 0.35 % (350 ppm). Se desea realizar un experimento para mejorar su funcionamiento. Para ello se decide controlar los siguientes factores: o o o o Factor A: Velocidad de la cinta: 1.6/1.8 (m/min) Factor B: Temperatura de la placa: 30/50ºC Factor C: Temperatura del estaño líquido: 210/260ºC Factor D: Densidad del estaño: 0.83/0.86 (gr/cm³) Para cada combinación de factores se utilizan 30 PCBs iguales, con 998 uniones cada una. Después de la soldadura se inspecciona cada placa y se contabiliza el número de defectos de soldadura en las 30 placas. El resultado del experimento se encuentra en el fichero soldaduraola.sfx. Después de analizar los datos se concluye que los efectos significativos son A, B, C, D, y la interacción BC. Se pide: Confirma este resultado utilizando el Statgraphics Cuáles son las condiciones óptimas de funcionamiento? 2. Se desea realizar un diseño para determinar la significatividad de 6 factores que afectan a las propiedades del ruido (mecánico y aerodinámico) producido por un molino de energía eólica. Los factores son: A: Perforaciones en la góndola que alberga el rotor para asegurar que la estructura no vibrará de forma síncrona con el resto de componentes de la turbina (no/si) B: Aleación del acero de las ruedas de acero del multiplicador (sin/con núcleo blando) C: Superficie del filo de la pala (lisa/rugosa) D: Composición en la punta de la pala (extremo con más/menos carbono) E: Distancia de las palas al suelo (50m/75m) F: Velocidad de giro (fija/variable con el viento) Debido al coste de experimentación por la construcción de prototipos, se desea hacer un primer análisis con sólo 8 experimentos. No se espera que exista interacción entre los dos primeros factores (relacionados con la parte mecánica) y los restantes (relacionados con la hélice). Selecciona, usando el Statgraphics, un diseño que tenga resolución máxima. Cómo es la asignación de factores a cada columna Cuál es la estructura de confusión (o de alias) de los factores principales con las interacciones de orden 2? 3. El fichero noiseolico.sfx contiene el resultado de los experimentos del diseño del punto anterior. Suponiendo que las interacciones de orden 3 y superior son nulas se pide: Utilizando el Diagrama de Pareto y el Gráfico probabilístico-normal de las estimaciones de los efectos haz una primera selección de los efectos que no son significativos Elimina estos efectos y contrasta la significatividad de los restantes efectos Elimina todos los efectos que no son significativos hasta que obtengas una tabla ANOVA sólo con efectos significativos. Qué se concluye?