Aplicaciones de la integral.

Transcripción

1 Tem 10 Aplicciones de l integrl Áre de figurs plns Áre encerrd entre un curv y el eje de bsciss. Se f : [, b] R un función integrble, tl que f(x 0 x [, b]. El áre del recinto C = {(x, y R 2 : x b, 0 y f(x} viene dd por l integrl: Are(C = f(x dx. Est definición se puede extender otros recintos plnos. Se f : [, b] R un función integrble y se C = {(x, y R 2 : x b, f(x y 0}. Si f(x 0 x [, b], el áre del recinto C es Are(C = f(x dx. 1

2 Curso 2015/2016 Cálculo Infinitesiml En generl, si l función no tiene signo constnte, el áre del recinto C serí l sum de ls áres prciles de los recintos donde se conserv el signo, o equivlentemente, Are(C = f(x dx Áre encerrd entre dos curvs. Sen, hor, f, g : [, b] R integrbles, tles que f(x g(x. El áre del recinto C = {(x, y R 2 : x b, g(x y f(x} viene dd por l integrl: Are(C = (f(x g(x dx. En generl, si ls gráfics de mbs funciones se cortn entre sí vris veces, el áre del recinto C limitdo por ls verticles x =, x = b y ls curvs f(x y g(x será Are(C = f(x g(x dx. Not Es fácil escribir ls fórmuls nálogs pr áres de regiones del tipo {(x, y R 2 : c y d,, g(y x f(y} Áre encerrd por curvs en coordends polres. Se r : [t 0, t 1 ] R un curv continu en coordends polres, y se C = {(r, t : t 0 t t 1, 0 r r(t}, es decir, C es el recinto limitdo por el rco de curv r(t y los rdio vectores OA y OB, siendo A = (t 0, r(t 0 y B = (t 1, r(t 1. Entonces el áre de dicho recinto es Are(C = 1 2 t1 t 0 r(t 2 dt. 2

3 Grupo B Curso 2015/ Áre encerrd por curvs en prmétrics. Definición ( Un curv en el plno es un plicción continu γ : [, b] R 2. (b Si γ(t = (x(t, y(t, decimos que x = x(t, y = y(t son un ecuciones prmétrics de l curv. (c El punto A = γ( es el punto inicil u origen, mientrs que B = γ(b es el punto finl o extremo. Si γ( = γ(b, se dice que l curv es cerrd. (d Se dice que l curv es simple si no se cort sí mism (slvo, lo más, en los extremos. Es decir, un curv es simple si γ es inyectiv en (, b. Se C l región del plno roded por un curv cerrd simple γ(t = (x(t, y(t, t [, b] tl que ls funciones x(t, y(t son derivbles y con derivd continu. Supongmos que, medid que el prámetro t vnz desde hst b, l curv cerrd se recorre en sentido ntihorrio (es decir, l región del plno qued l izquierd. En ests condiciones Are(C = x(ty (t dt = x (ty(t dt = Longitud de rcos de curv. (x(ty (t x (ty(t dt Longitud de un curv en coordends crtesins. Definición Se f : [, b] R cotd. Pr cd P P[, b], definimos l(f, P := n k=1 (x k x k (f(x k f(x k 1 2, es decir, l longitud de l poligonl que une los puntos (x k, f(x k, k = 0,..., n. Not Si P, Q P[, b] y P Q, entonces l(f, P l(f, Q. 3

4 Curso 2015/2016 Cálculo Infinitesiml Definición Se dice que l curv y = f(x es rectificble si existe sup{l(f, P : P P[, b]}. En tl cso, se define l longitud del rco de curv como L(f = sup{l(f, P : P P[, b]}. Teorem Se f : [, b] R un función derivble con derivd cotd en [, b]. Entonces ( ( L 1 + (f 2, P l(f, P U ( 1 + (f 2, P, P P[, b]. { ( } (b sup L 1 + (f 2, P : P P[, b] sup {l(f, P : P P[, b]}. { ( } (c sup {l(f, P : P P[, b]} ínf U 1 + (f 2, P : P P[, b]. Corolrio Si 1 + (f 2 R[, b], entonces L(f = 1 + f (x 2 dx Longitud de un curv en coordends polres. Se r = r(t un función derivble con derivd cotd. L longitud del rco de curv polr comprendid entre los rdiovectores de ángulos t 0 y t 1 viene dd por L = t1 t 0 r(t2 + r (t 2 dt Longitud de un curv en prmétrics. Se γ(t = (x(t, y(t, t [, b] un curv prmétric tl que x(t e y(t son derivbles y con derivd continu. Entonces l longitud del rco de curv comprendido entre A = γ( y B = γ(b es L(f = x (t 2 + y (t 2 dt 4

5 Grupo B Curso 2015/ Volúmenes de sólidos Principio de Cvlieri. Se D un sólido tridimensionl y se S(x el áre de l sección del sólido D con el plno π x perpendiculr l eje OX en el punto de bscis x, es decir, S(x = Are(D π x. Supongmos que S(x 0 x [, b] y que S(x es un función continu en el intervlo [, b]. Entonces el volumen del sólido D viene ddo por Vol(D = S(x dx Sólidos de revolución. Coordends crtesins. En lo que sigue, se f : [, b] R un función continu (y positiv. Consideremos el recinto plno C ddo por C = {(x, y R 2 : x b, 0 y f(x}. Se D x el sólido obtenido l girr el recinto C lrededor del eje OX. Entonces Vol(D x = π f(x 2 dx. 5

6 Curso 2015/2016 Cálculo Infinitesiml Se D y el sólido obtenido l girr el recinto C lrededor del eje OY. Entonces Vol(D y = 2π Sólidos de revolución en prmétrics. xf(x dx. Se C l región del plno roded por un curv cerrd simple γ(t = (x(t, y(t, t [, b] tl que ls funciones x(t, y(t son derivbles y con derivd continu. Supongmos que, medid que el prámetro t vnz desde hst b, l curv cerrd se recorre en sentido nti-horrio (es decir, l región del plno qued l izquierd. Se D x el sólido obtenido l girr el recinto C lrededor del eje OX. Entonces Vol(D x = π y(t 2 x (t dt. Se D y el sólido obtenido l girr el recinto C lrededor del eje OY. Entonces Vol(D y = π x(t 2 y (t dt Áres de superficies de revolución. Coordends crtesins. Se f : [, b] R un función derivble con derivd continu. Se S l superficie revolución generd l hcer girr l curv y = f(x (entre x = y x = b lrededor del eje OX. Entonces el áre de l superficie (lterl generd es Are(S = 2π Coordends prmétrics. f(x 1 + f (x 2 dx. Se γ(t = (x(t, y(t, t [, b] un curv tl que ls funciones x(t, y(t son derivbles y con derivd continu. Entonces el áre de l superficie (lterl S generd l girr γ lrededor del eje OX es Are(S = 2π y(t x (t 2 + y (t 2 dt. 6