Guía Nº 2 Álgebra. 3. En la ecuación en x, 5x - (2 - k)x = 3, cuál debe ser el valor de k para que la solución sea x = -3?

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1 Guía Nº Álgebra. Si x - 5 = x + 8, entonces x = (x 5) (x 4), x = En la ecuación en x, 5x - ( - k)x =, cuál debe ser el valor de k para que la solución sea x = -? Si el número 86 se divide en dos partes tales que, si la mayor se divide entre 4 y la menor se disminuye en 6, los resultados son iguales, entonces la mayor de las partes es

2 5. Si 5, entonces x 6 = x x La tercera parte de un número q resulta ser igual a la mitad de su cuadrado. Este enunciado se traduce como q = q q q q q q q q q 7. Pedro tiene b + bolitas, si Antonio tiene 8 bolitas menos que Pedro, cuántas tiene Antonio? b + b + 5 b - 5 b 5 - b 8. La tabla de la figura, muestra el número de monedas extranjeras y el valor correspondiente en pesos, (A + (B + = $ $ 0.00 $.700 $ $ Nº de monedas Dólar Euro $ 600 D 5 C $ $ B 50 $ A fig.

3 9. Una señora va a la feria con $ 0.000, en el primer local compra kilos de papas a $ 00 cada kilo, en el segundo local un paquete de cebollas a $ 00, compra mas allá media docena de huevos a $ 800 la docena, si la señora hasta aquí quiere saber cuánto ha gastado debe hacer la siguiente secuencia de operaciones(s: suma, R: resta, M: multiplicación y D: división) M $00 S $00 S $800 D S $00 S $00 S $800 R $00 D S $00 S $800 M M $00 S $00 S $800 M Ninguna de las anteriores 0. Cuál es al valor de x en la ecuación x x? Al despejar n en la ecuación 5(S ) (n ) S, se obtiene 5 5S 5S S 5 5S. Al dividir el número 576 en dos partes tales que el triple de la menor exceda en 0 unidades a la cuarta parte del mayor. Cuál es la parte menor? ninguna de las anteriores

4 . Si 0,x - = 5, entonces el valor de x es 0 0 5, 4. Si a(+x) = a, entonces x = a a -a 5. Si al triple de un número x se le suma 0 resulta ser igual al exceso del número sobre 5, entonces la ecuación que resuelve el problema es x + 0 = x 5 x + 0 = 5 x + x + 0 = x 5 (x + 0) = x 5 x x = 5 6. Para diluir una solución de sal al 5% se deben agregar x litros de agua, a los 0 litros originales de solución. Cuál es la ecuación que permite obtener x si se quiere una solución al % de sal? x x x 00 0 x (0 x) otra ecuación 4

5 7. El perímetro de un cuadrado es 64 cm, si cada lado mide (x ) cm, entonces la ecuación que permite encontrar x es (x ) = 64 x 64 4 x = 4 64 x 8 = 64 x Si 5 (r + 4) = -(r ), entonces,5r = La solución de la ecuación 6x 8 x 6, es 0 Todos los reales positivos Todos los reales 0. La expresión que permite saber a cuentos grados Celsius equivalen los grados Fahrenheit 5 es; C (F ), donde C son grados Celsius y F es grados Fahrenheit. Cuál sería la 9 expresión para obtener los grados Fahrenheit equivalentes a grados Celsius? F = 9 C 5 F = 9 C 5 + F = 9 (C ) 5 F = 5 (C ) 9 F = 5C La crema contiene, aproximadamente, % de grasa. Cuántos litros de crema se deben mezclar con leche al % de grasa, para obtener 0 litros de leche con 4% de grasa?

6 . Un alumno tenía el 70% de puntos en un examen de 0 preguntas. Para mejorar su calificación, el profesor estuvo de acuerdo con poner 5 preguntas más. Cuántas preguntas de las 5 adicionales debe contestar correctamente para elevar su calificación a un 80%? 5 0 Todas. Un árabe que tenía tres hijos dispuso en su testamento que el hijo mayor heredara la mitad de la herencia, al del medio la tercera parte y al menor la novena parte. Cuando el árabe murió dejo de herencia 7 camellos. Los hijos no podían repartirse los camellos, ya que el mayor le correspondía 8,5 camellos, al del medio 5 y al tercero 8 9, por tanto decidieron llevar el caso a un juez. El juez que sabía matemáticas decidió regalarle un camello, ante los cual el mayor recibió 9 camellos (medió más de la repartición inicial), el del medio recibió 6 camellos y el tercero camellos, ante lo cual todos los hermanos quedaron felices ya que recibieron más. Ante esto el juez sumó los camellos repartidos; = 7, ante lo cual el juez tomó su camello y todos quedaron satisfechos. De qué se dio cuenta el juez para donar su camello y saber que no lo perdería? Que los camellos iniciales a repartir no era múltiplo de. Que los camellos iniciales a repartir no era múltiplo de. Que los camellos iniciales a repartir no era múltiplo de 9. Que los camellos iniciales a repartir no era múltiplo de 8. Que el árabe que murió, solo repartió 7 8 de su herencia quedando 8 sin repartir. 4. Sea m E la parte entera de la fracción impropia m, luego es siempre verdadero que n n m n E E n m m E + n E = 0 n m m E - n E = 0 n m m E + n E = m n E n m n m m n E E 0 n m 6

7 5. La solución de la ecuación x x 4 es 0 - no tiene solución 6. Uno de los factores del polinomio x +(b a)x ab es x + a x b x ab x + ab x + b 7. Para que el polinomio a x + x sea igual a cero, x debe ser igual a a a + a a 8. Cuál de las siguientes funciones no representa a cantidades directamente proporcionales? f(x) = x f(x) = x 4 f(x) = 0,04 x f(x) = x + f(x) = 7x 9. Si a c, entonces cuál(es) de las siguientes igualdades es(son) verdadera(s)? b d I) a + b = c + d II) ad = bc III) bc bd ab d Sólo I Sólo II Sólo III Sólo II y III I, II y III 7

8 0. Dado el siguiente sistema x y 55 x y 5, y = Si x y 8 x y 00, entonces y x = Dos números suman 50 y uno de ellos excede al otro en 6 unidades, luego el menor de ellos es En el sistema de ecuaciones? nx y 0, cuál debe ser el valor de n para que x sea igual a x y Un par de zapatos y un pantalón cuestan $ , si el par de zapatos cuesta $ más que el pantalón, cuánto cuesta el pantalón? $ $ $ $ $

9 5. Si x y xy 9, entonces x + y = 6 9 otro valor 6. Un avión pequeño puede cargar 950 kilos de equipaje en dos compartimientos de carga. En un vuelo, el avión va totalmente cargado con 50 kilos más en un compartimiento que en el otro. Cuánto equipaje hay en cada compartimiento? 475 k. y 475 k. 400 k. y 550 k. 450 k. y 600 k. 50 k. y 600 k. 405 k. y 555 k. 7. En el sistema x y 4 x y 0 9 y = En un triángulo rectángulo, uno de sus ángulos agudos mide 6º más que el otro ángulo agudo, luego la mayor diferencia entre dos ángulos interiores del triángulo es 6º 9º 7º 5º 6º 9

10 9. En el sistema x y 5 x y 8 x = No tiene solución 40. Un automóvil y un camión salen de Santiago al mismo tiempo en direcciones opuestas. Al cabo de dos horas están a 50 km. de distancia y el automóvil ha recorrido 70 km. más que el camión, cuál es la rapidez del automóvil? 70 K/h 80 K/h 90 K/h 05 K/h 0 K/h 4. Se tienen dos soluciones de alcohol una al 8% y la otra al 5%, cuántos litros de cada una se deben considerar para obtener 00 litros de una solución al,%? 8% 5% Ninguna de las anteriores 4. Dado el siguiente sistema de ecuaciones x 4y 9 x y 8 luego 6x + y =

11 Dada la tabla siguiente referida a la producción de pinturas mediante dos procesos. Si la pintura se venderá a $.800 el galón, entonces responde las siguientes dos preguntas. Proceso Costos fijos Costo por galón A $ $.00 B $ $ Cuántos galones debe producir solo mediante el procesa A, para no perder ni ganar dinero? Si se producen.000 galones mediante el proceso A, entonces, cuánto galones se deberán producir mediante el proceso B para igualar los costos de ambos procesos? ninguna de las anteriores 45. Un vendedor puede elegir entre dos opciones de salario; ) sólo comisión del 7% de las ventas, ) un sueldo fijo de $ más una comisión por las ventas del %. Desde qué monto total de las ventas es más conveniente el plan )? $ $ $ $ $ Si x = y +, y = z +, z = u + y u = x + y + z, entonces y + z = -9 9 u u - 9 u + 9

12 47. Dado 0 x y 0 x y, luego x = En el sistema de ecuaciones a -b, a b a + b ab a b ax by 0 bx ay, luego (x + y) - = 49. Maritza (M) tiene 4 años más que el 75% de la edad de Carlos (. Si hace 5 años Carlos tenía 5 años, cuál de las siguientes alternativas representan correctamente las ecuaciones que permiten obtener las edades de Maritza y Carlos? M + 4 = 4 M + 4 = C 4 M - 4 = C 4 M - 4 = 4 M - 5 = 4 y C - 5 = 5 y C - 5 = 5 y C - 5 = 5 y C - 5 = 5 y C - 4 = Si x y 8 4 y x, entonces x y = 6 4

13 5. Un señor tiene cuarenta y dos años y su hijo diez. Dentro de cuántos años más la edad del padre será el triple que la de su hijo? Dos enteros positivos son pares consecutivos, si el cuociente entre el mayor y el menor es,090909, entonces el menor de ellos es La sexta parte de la suma de dos números es 6, y la cuarta parte de su diferencia es 0. Cuáles son los números? 8 y y y 6 40 y 68 8 y En un corral hay 07 animales entre gallinas y conejos, cuántos animales de cada especie hay sabiendo que en total hay 78 patas y que ninguno es cojo? 64 gallinas y 4 conejos 75 gallinas y conejos 50 gallinas y 57 conejos gallinas y 75 conejos 4 gallinas y 64 conejos 55. De una botella llena de litros, se han sacado vasos llenos de litro, para cuántos 8 vasos de igual capacidad alcanza lo que queda si todos se sacan llenos?

14 56. En una fila de pago de cada 5 personas son hombres, la última persona tiene el número 96 y la primera el 4, si todas las personas tienen un número correlativo, entonces cuántas mujeres hay en la fila? La última vez que Antonia y Andrés se encontraron en Santiago fue este lunes. Si Andrés viaja cada 8 días a Santiago y Antonia cada 5 días, cuál será el día en que ambos estén en Santiago? Lunes Martes Miércoles Jueves Viernes 58. Si tuviera $ 80 más de los que tengo podría comprar exactamente 4 bebidas de $ 40 cada una. Cuánto dinero me falta si quiero comprar 6 pasteles de $ 80 cada uno? $ 00 $ 0 $ 00 $ 80 $ Se espera que un automóvil que se compró en US $ se deprecie siguiendo la siguiente fórmula y = -60x , donde x es la cantidad de años e y es al valor del auto al cabo de x años. En cuántos años el vehículo no valdrá nada? 0 años años años,5 años años 60. Si un número aumentado en se multiplica por sí mismo, se obtiene el cuadrado de dicho número, luego qué número es?

15 6. Si al triple de un número se le resta su mitad más uno, resulta 9, luego el número es (x ) (x x ) (x ) (x x ) (x ) (x ) 4 (x ) 4 (x ) (x )(x ) 4 (x ) 6. A tiene 5 años más que B. Dentro de 4 años más sus edades sumarán 57 años, cuál es la edad del mayor? 49 años años 7 años 5 años 8 años 64. Si un bus viajara a 80 km/hrs llegaría con horas de adelanto. Si fuera a 60 km/hrs llegaría con dos horas de retraso. Cuál es la distancia del recorrido del bus? 960 km 900 km 840 km 70 km no se puede determinar 65. Una botella y su corcho pesan 00 gramos. La botella pesa 95 gr. más que el corcho, luego la botella pesa 97,5 gr. 95 gr. 9,5 gr. 90 gr.,5 gr. 5

16 66. Si A es un número de tres cifras diferentes y B es otro número de tres cifras formado por las mismas de A pero en orden inverso, luego A B puede ser personas deben ser transportados al aeropuerto, solo se disponen de minibuses con capacidad para 7 personas, cuál es el menor número de viajes que deben hacerse para llevarlas a todas? Cuántos números de dos cifras son tales que al sumar el número con otro formado por las mismas cifras, pero invertidas resulta un cuadrado perfecto? Se desea cercar una piscina de m por m, disponiendo un pasillo de ancho constante. Cuánto debe ser el ancho del pasillo si se dispone m de cerca? 4 m. m. m.,5 m. m. 70. Román, Fabiola, Luisa, Jenny y Adrián están colocados en una fila. Román esta después de Luisa. Fabiola está antes que Román y justo después de Jenny. Jenny está antes de Luisa, pero ella no es la primera. En qué lugar está Adrián? º º º 4º No se puede determinar 6

17 7. Un ciclista recorre una cierta distancia a 0 km/h, la vuelta la hace por el mismo camino a 40 km/h. Cuál es la rapidez promedio aproximada en la ida y vuelta? km/h 4 km/h 5 km/h 6 km/h 7 km/h 7. A una reunión asistieron n personas, si se detectó que hubo 8 saludos de manos y todos se saludaron, entonces cuántas personas asistieron a la reunión? Se tiene 9 monedas y una balanza, una de ellas es más pesada que las otras, que pesan lo mismo, cuál es el menor número de pesadas para encontrar la de mayor peso? pesadas pesadas 4 pesadas 5 pesadas 9 pesadas 74. En un campeonato de ajedrez participan 6 jugadores, un participante queda eliminado tan pronto pierde un juego. Cuántos partidos han de jugarse para determinar el campeón? partidos 0 partidos partidos partidos 6 partidos 75. El promedio de 5 pares consecutivos es 48, luego la diferencia entre el mayor y el menor es:

18 76. En una encuesta de mercado sobre el consumo de tres marcas A, B y C de un producto arrojó los siguientes resultados; A lo consumen el 48%, B el 45%, C el 50%, A y B el 8%, B y C el 5%, A y C el 5% y ninguno de los tres el 5%. Qué porcentaje de los encuestados consumen solo producto C? 0 % 0 % 0 % 8 % 5 % 77. Si un número es dividido por 0 da resto 9, por 9 da resto 8, por 8 da resto 7 y así hasta que se divide por dando resto, entonces el menor número que cumple con estas condiciones es Ninguna de las anteriores 78. El promedio de edad de un grupo compuesto por abogados y médicos es 40 años. Si el promedio de edad de los médicos es 5 años y el promedio de edad de los abogados es 50 años, entonces la razón entre el número de médicos y abogados es : : : : : 79. En qué cuadrante(s) queda el conjunto de todos los puntos que satisfacen las inecuaciones y > x e y > 4 x? 80. Si I y II II y III I y III III y IV I y IV 50 A, entonces A = B

19 8. Cuál es el valor de a en la ecuación 4a + 7 = 7(a + )? Al resolver el sistema de ecuaciones x y x 4y 5 el valor que se obtiene para x y es Si, a, entonces.00 = 0a 00a.000a 0 0 a ninguna de las anteriores 84. Si x + = y - 8 y x = y, entonces el valor de x + y es Cuál de las siguientes alternativas representa el enunciado El cuádruplo del sucesor de a 4 es igual al antecesor del cuadrado de a? 4(a 4 + ) = (a ) 4(a + ) = a 4a 4 + = a 4(a + ) 4 = (a - ) 4(a 4 + ) = a 86. ( + x )( x ) = x 5 x 6 + x x x 5 + x x x 6 x 9

20 87. Si xy = 6 y x y + xy +x + y = 6, entonces x + y = Si b y c son enteros y (x +)(x + b) = x + cx + 6, entonces c = Si b a = y c b =, entonces la razón entre (a + b) y (b + c) es Los números a, b, c y d son enteros positivos que satisfacen el sistema de ecuaciones; ab + cd = 8 ac + bd = 4 ad + bc = 4 entonces cuál es el valor de a + b + c + d?

21 9. Si x y z y 0, entonces el valor de x y z z es wxy yxw = 4 xyw 4 ywx -4 wxy -4-4x 4y 4w 9. Si = b c, entonces = b c Si x = a b, a b y b 0, entonces a b a b = x x x x x x x x 95. Al factorizar completamente 5t 6 0t 5t se obtiene 5(5t 4 t ) t (5t 4 t ) 5t (5t 4 t ) 5t 6 (5t 4 t ) 5t (5t t )

22 96. a 6 + a 6 + a 6 + a 6 + a 6 + a 6 = a 7 6a 7 (a 6 ) 6a 6 a 97. Si factorizamos el trinomio 5 x x, uno de sus factores es 6 x 4 x x x x Si (x 4y) = 4x 8xy c + 6y, entonces el valor de c es -8xy 8xy -xy -6xy -4xy ax by ay bx 99. a b x + y a + b x y a b x y a b x y a b

23 00. s = 4s s s s 4s s s s 0. m mn mn m n m = m n n m m n n m m n m m n m n n m 0. Si a = 7 y b =, entonces cuál de las siguientes expresiones es entero impar positivo menor que ab? ab (a )(b ) a b 5 ab ab

24 0. Si x e y son enteros positivos de dos cifras tal que xy = 555, entonces x + y = (a a ) a a a a a a a a a a 05. y x x y x y = x + y x y y x y x xy 06. Cuál es el coeficiente de la cantidad literal que se obtiene de multiplicar los polinomios (x x + x 5), (x + 5x 7x + ) y cuyo factor literal es x 4? ninguno de los anteriores 4

25 07. Si a es el doble de b y b es el doble de c, entonces la octava parte del producto a b c es c c 4 c c c Si z = 4, x + y = 7 y x + z = 8, entonces x + y + z = El número de soluciones reales distintas de la ecuación 4 No tiene soluciones reales 0. 0,5x 0,0y = x 4x 8, es (0,05x + 0,0y) (0,05x - 0,0y) (0,5x + 0,0y) (0,5x - 0,0y) (0,5 + 0,y) (0,5-0,y) (0,5x + 0,y) (0,5x - 0,y) (0,5x + 0,y) (0,5x + 0,y). x y (x y) = (x + y) xy x y y x x y 5

26 . Al desarrollar el siguiente producto (x + m)(x n) = x + (..)x mn, se borró el coeficiente de x, cuál es? m + n m n n m mn. En la figura aparecen dos cuadrados de lados a y b, entonces el área achurada es: (a b) (a + b) (b a) b (a + b)(a b) a a ab + b fig. 4. Si x = -, entonces x + 58x +57 = Al multiplicar (x 5) con (x a) resulta ser un binomio si () x () x = a () por sí sola () por sí sola Ambas juntas, () y () Cada una por sí sola, () ó () Se requiere información adicional 6

27 6. a a resulta ser igual a si () a = () a es cualquier real distinto de cero () por sí sola () por sí sola Ambas juntas, () y () Cada una por sí sola, () ó () Se requiere información adicional 7. Si x 5-5 = 5, entonces x = El valor de x en la ecuación (x ) = x + 9 es,5 4 4, En un curso de 40 alumnos, 8 dicen que le gustan el pastel de manzanas, 5 dicen que le agradan los queque de chocolate y a le gustan otros pasteles, a cuántos alumnos del curso le gustan tanto los pasteles de manzanas como los queques de chocolate? Cuál es el valor de x en la ecuación 5x - = x + 0? 4 8 7

28 . El producto de cuatro naturales diferentes es 60. Cuál es la mayor suma de ellos? Si x 4x x, entonces la solución de la ecuación es infinitas soluciones no tiene solución. Si a x a, entonces x = a x a -a a( a) a a( a) a(a ) a 4. Si 7x = 4 y x + w = 9, entonces el valor de xw es Si x y, entonces 4x y = x y

29 6. En una cartera hay el doble de monedas de $ 0 que de $ 50 y el doble de monedas de $ 00 que de $ 50 y dos monedas de $ 500, luego cuál es la cantidad de dinero total que no tendría la cartera? $.70 $.540 $.80 $.080 $, Un almacén de ventas de zapatos paga a los vendedores $ de salario básico, más una comisión por par de zapato vendido. La ecuación que usa el gerente para calcular el salario semanal de cada vendedor es S = x (x es el número de pares de zapatos vendidos por cada vendedor) Qué representa 00 en la ecuación? el número de zapatos vendidos la comisión total de la venta el total adicional que recibe un vendedor lo que recibe un vendedor por cada par de zapato vendido lo que recibe en total por la venta 8. Al despejar b de la ecuación A h(b b), se obtiene A h A B h A B h A Bh h h B A 9. En un curso hay alumnos que obtuvieron nota azul en el examen de latín, 8 sacaron nota azul en hebreo, si el curso tiene 0 alumnos, entonces para determinar el número de alumnos que sacaron nota azul en ambos idiomas, la ecuación a plantear es 0 + x = + 8 x = 0 8 x = x 0 x = = + x 9

30 0. x = -, y = son soluciones del sistema x y 4 6x y 0 y x 5x y x y x y x x y x y 0 x y 0. En una ciudad, la cuenta el agua se calcula mediante la fórmula n = 5C , donde n es la cantidad de litros consumidos y C es el costo mensual. Cuál es el valor del la cuenta si el consumo mensual fue de.500 litros? $ $ 6.00 $ 6.00 $ $.000. En el sistema x ty, cuál debe ser el valor de t para que no haya solución? 0x 6y 5,, Si x + = y, y + = z, y z + =, entonces x + y + z = Si x + = y 8, x = y, entonces el valor de x + y es

31 5. Los valores de r, s, t y u son,, 4 y 5, no necesariamente en el orden. Cuál es el mayor valor posible de r s + u r + t r? Si 007 M, N = M y x = M N, entonces el valor de x es Si solo se disponen de A monedas de $ 0 y B de $00, entonces la ecuación correcta considerando que el total de dinero es $.00, corresponde a A + 0B =.00 A + 0B =.0 A + 9B =.00 A + B =.00 A + 0 B = Cuál es el conjunto solución de la ecuación x =? {5} {5, 0} {, 5} {-, 5} {-, -5} 9. El número de enteros positivos k para los cuales la ecuación kx = k, tenga soluciones enteras es

32 40. Pedro tiene 0 años, en cuántos años más las edades de Juan y Pedro estarán en razón :? () Juan tiene 0 años. () La diferencia entre sus edades es 0 años. () por sí sola () por sí sola Ambas juntas, () y () Cada una por sí sola, () ó () Se requiere información adicional 4. En un recital de Isaac Delgado, el valor de las entradas para adultos fue de $5.000 y para estudiantes de $.000, cuántas personas asistieron? () Se recaudaron en total $ () Se vendieron todas las entradas. () por sí sola () por sí sola Ambas juntas, () y () Cada una por sí sola, () ó () Se requiere información adicional 4. (5 0 - ) = 5,5 0,05 0,0005 0, Si x + x + x + x =, luego x = 4 6

33 44. ab ab b a a b b a a b a b k ( ) 0k k (5 k) ( k ) 5 0k Si x 6 9, entonces x = 9 6 -

34 5 48. Al racionalizar, se obtiene a b b a a 0 b a b a b a b 0 a b a 0 a b b a b 50. = 4 8 4

35 5. La solución de la ecuación x + 5 = es: No tiene solución 5. El valor de, es,,666,5 un número entre 0,5 y,49 5. ( 7) 6 = -4-4 no es real = = ninguna de las anteriores 5

36 56. 4x x 9 9x 6x = 5x 4 8x 5x + 4 x 8x 0 x + 8 5x 57 ab 7ab = 4 b 4b 4ab 6b 58. Si x x x donde x es positivo, entonces x = x y 9x y 4 5 = 6x y -8 6x y 8-6x y -8 9x y -8 x y (a + b ) = a 6 + b 6 a + a b + b a 6 + a b + b 6 a 5 + b 5 a 9 + a b + a 9 6

37 = Si x + x+ + x+ =, entonces x = = Todos los años un depósito se reajusta en su mitad, si se quiere retirar el depósito cuando haya logrado quintuplicarse, entonces entre que años se deberá hacerlo? Entre el º y el º Entre el º y el º Entre el º y el 4º Entre el 4º y el 5º Entre el 5º y el 6º 65. El valor de a x p se puede conocer si () p = a y a > p > 0 () x = 0 () por sí sola () por sí sola Ambas juntas, () y () Cada una por sí sola, () ó () Se requiere información adicional 7

38 66. Cuál de las siguientes afirmaciones respecto a la función f(x) = x, es verdadera? Es siempre positiva Nunca asume el valor Su gráfica no intersecta al eje x Es siempre creciente Asume todos los valores reales 67. La gráfica que mejor representa a la función f(x) = x x x x y y y x x y y 68. Si (-)(x + 0) = 0, entonces x = En el rectángulo LUPE hay dos cuadrados achurados de lados m y n según muestra la figura, si LU = m + n + y LE = m + n, entonces el área no achurada se expresa como E P m mn m n m + n n m n m + n + L U fig. 8

39 70. La diferencia de los cubos de dos números x e y es 08, que expresada algebraicamente como (x y) = 08 x y = 08 x y = 08 x 08 = y x y = Dado el sistema x y a, entonces x + y = x y b 0 a + b a + b a + b a + b Un entero positivo es múltiplo de 5, tiene cifras, todas ellas distintas, es múltiplo de y es el mayor que es menor que 700, de qué números e trata? El precio de un artículo se aumenta en un 0% para luego ser rebajado en un %, si el precio final es de $.76, entonces el precio que tenía antes de hacerles las modificaciones era $.00 $.000 $. $.470 $ p es inversamente proporcional a q, si q = p, entonces cuando p = 4, q = 8 4 0,5 0,5 9

40 75. Para determinar el volumen de un estanque puede procederse de la siguiente manera. Agregamos 0 litros de agua que contienen 600 gramos de colorante. Cuando el colorante está bien disuelto en el volumen total, sacamos 0 litros de agua y observamos que ésta tiene ahora,75 gramos de colorante. Cuál es el volumen del estanque? Un concursante debe encontrar un número natural de dos cifras menor que 0. Cuando se suman los cuadrados de sus cifras, su suma es unidades menor que el número buscado. Cuál es el número? Cuántos conjuntos de 5 dígitos diferentes suman?, a modo de ejemplo {,4,5,8,9} tienen por suma a a a = a + a + a + a + a + a + a + a + a a Si A = x (x ) (x + ) y B = 9x(x )(x + ), entonces el mínimo común múltiplo de A y B es x 9x (x ) (x + ) x (x ) (x + ) x(x )(x + ) 9x(x )(x + ) 40

41 80. Un granjero tiene conejos y gallinas. Entre estos animales hay 40 cabezas y 0 patas. Cuántos conejos y gallinas tiene? 0 conejos y 0 gallinas 5 conejos y 5 gallinas 5 conejos y 5 gallinas 5 conejos y 5 gallinas la información no es suficiente para resolver el problema 8. 4 x es igual a 4 x x 4 x x 4 x x 4 7x x 4 x x 8. El discriminante de x 5x + = 0, es El vértice de la parábola f(x) = x - x, es (,) (0,-) (-,0) (,-4) (4,-) 84. Las coordenadas del punto medio de los puntos A y B es (,), si A(0,0) entonces las coordenadas de B son (,) (4,4) (,) (-4,-4) (-,-) 4

42 85. Al respecto de la función f(x) = x 6x + 9, se hacen las siguientes afirmaciones: I) Es tangente al eje x. II) Abre sus ramas hacia arriba. III) Intersecta al eje y en 9. Es(son) verdadera(s): Sólo I Sólo II Sólo III Sólo II y III I, II y III 86. La solución de la inecuación x < 7 es {x / x < -} {x / x > -} {x / x < -} {x / x > -} {x / x > -4} 87. El tiempo t (en semanas) que demoran w trabajadores en hacer l kilómetros de carretera, kl viene dada por la expresión: t, donde k es una constante. Cuál(es) de las siguientes w proposiciones es(son) verdadera(s)? I) Si el tiempo es constante, el número de trabajadores es directamente proporcional a los kilómetros pavimentados. II) Si siempre se pavimenta los mismos kilómetros, entonces el tiempo es inversamente proporcional al número de trabajadores. III) Si se tiene el doble de trabajadores y se tiene que pavimentar el doble de kilómetros, el tiempo a ocupar es el cuádruplo. Sólo I Sólo II Sólo III Sólo I y II I, II y III 4

43 7 88. Sí a =, entonces a a 7 a a Dos números m y n satisfacen que; m + n = 0 y 5, luego el producto m n es m n x x x x x x x x x x x 9. Si m y n son enteros tal que n m =, entonces m n = sólo - sólo 0 cualquier entero múltiplo de cualquier entero cualquier entero negativo 9. Para cuántos enteros m, con 0 m 00, el trinomio m + m 90 es divisible por 7?

44 9. El dominio de la función todos los reales IR, IR IR IR, 8x x f(x) 6x 7x es 94. Sea g(x) = x + x + y h(x) = g(x) -, luego h() = Manejando por la carretera a velocidad constante encontré una señal que indicaba AB kilómetros (A y B dígitos). Una hora después apareció otra señal con BA kilómetros, y otra hora más tarde encontré la que indicaba A0B kilómetros, luego A + B = Si a b = 5, b + c =, c a = 8, entonces b a

45 97. La expresión zx z x z y zx zy cuando y = 6 y z =, es equivalente a (x 8)(x ) x 6 5x 4 (x + )(x ) (x 6)(x 4) x 6 x A un comerciante se le quebraron n huevos. Si los había comprado a $ m la docena, entonces cuántos pesos perdió? m n m n n m m m n 99. Si n n 9, entonces Si a = 0, entonces a + (a + a) + 4(a - +a - ) = 4,48 44,8 40,48 40,048 otro número 0. En cuál de las siguientes funciones existe la imagen -? n f(x) = x f(x) = (x ) f(x) = 5 x + f(x) = f(x) = 5x 7 45

46 0. La función f(x) está definida como f(x ) 6 f(x). Si f(), entonces f(f()) = 0. La suma de cuatro impares consecutivos siendo el menor m - es 8m 0 8m + 8m + 8 8m + 0 8m Si x 9x kx es divisible por x, entonces es también divisible por x x 4 x 4 x 4 x 4 x Un factor de la expresión x y z yz x y z es no tiene factor lineal de coeficientes enteros x + y + z x y z + x + y z + x y + z Dado; x y 6 y x y 7, luego x + y = Un par de pantalones y un suéter $ y un suéter cuesta $.600 más que un pantalón, cuánto cuesta un suéter? $ $ 4.00 $ 8.00 $.400 $

47 08. En un cine por cada adulto cobran $ y por cada niño $.000, si el número de adultos que compraron entradas es a, y la recaudación total fue de $ , entonces cuántos niños compraron entradas? 0a 0 a a 0 0 a 09. Qué valor de x no es solución de la siguiente desigualdad; - < x + 4 < 0? Un cable de 60 metros, es cortado en tres trozos, el segundo mide metros más que el primero y este mide la mitad del tercero, cuánto mide el menor de ellos? m 5,5 m m 4,5 m,5 m. Si x x, entonces el conjunto solución es {4} {-,4} {-} {9} no tiene solución. Del gráfico de la función f(x) = - x, se puede afirmar que: I) tiene su vértice en el punto (0,0) II) sus ramas se abren hacia abajo III) corta el eje de las abscisas en x = y en x = - Sólo II Sólo III Sólo I y III Sólo II y III I, II y III 47

48 . ( 7) 6 = -4-4 no es real Si n es impar, entonces n ( 4) es igual a: n 64 6n 6n 4 6n n El número es múltiplo de: I. II. III. 4 IV. 9 Sólo I y II Sólo II y III Sólo III y IV Sólo I, II y III I, II, III y IV 6. Si (0 a + 0 b + 0 c ) = 000 entonces a b c =? No se puede determinar 7. Si - es una raíz de la ecuación -x x + p = 0, entonces el valor de p es

49 8. Para que una de las raíces de la ecuación ax bx c 0 sea triple de la otra, la relación entre coeficientes debe ser: b b b 6b 6b 6a 6c 6ac ac a 9. Cuántos valores reales de x, satisfacen la ecuación; x x (00 )? 0 no se puede determinar ninguna de las anteriores 0. Si 0 0 x 5 5, entonces x = 0 5 no tiene solución en los reales. Si m + n =, entonces m n = Si y = x y z = y, entonces x + y + z = x x 5x 7x 9x. (x )[x (x + )] = 4x 8x 9x 6 4x 8x 9x + 6 4x 8x + 9x 6 4x 8x + 5x 6 4x + 4x + x 49

50 4. (x y) (x y) 0 4xy 4x y 4x 6y 5. Si (4x + 5 ) = P, entonces 6(8x + 0 ) = P 4P 6P 8P 8P 6. (x n y n )(x n y -n ) = x n y -n x n x n (xy) n x n y n x n x - - (xy) n y n 7. Si (x y ) = 4x xy + c, entonces el valor de c es y y y y 4 y 8. Cuál(es) de las siguientes expresiones es(son) iguales a x x + x x, para todo x > 0? I) x x II) x x III) (x) x IV) (x) x Sólo I Sólo II Sólo III Sólo I y IV ninguna 50

51 9. (m n) m mn n = m + n (m + n) - m + n mn 0. Cuál de las siguientes expresiones no son factores de 8x 4 x? x 4 x + 4 x x x. Si u + es parte del desarrollo de un cuadrado de binomio, entonces el término que falta es 4u u u - u -. Un alumno compara su respuesta b a a b que con otra que es a b, luego se puede concluir b a una es la opuesta de la otra una es la recíproca de la otra ambas suman cero son iguales son distinta pero de igual valor absoluto. x x (x x ) x 4 = x + (x + ) x (x + ) ninguna de las anteriores 5

52 8x x 8 4. Al reducir se comete un error, en que alternativa esta el error 5 5 8x x 8 5 5x 0 5 5(x ) 5 x + no se comete ningún error 5. x + es la cuarta parte de 4x x + 4 4x + 4 x 4 (x + ) 4 6. Al expresar el trinomio x + 8x + 4 como a(x + n) + m, a + n + m = (y + y) + 4(y 4) = (y + )(7y 8) (y + )(y 8) (y + )(8 7y) (y )(7y 8) (7y + 8y 8) 8. Si y = 7, entonces el valor de y y y y es

53 9. Si a =, entonces (a + )( a) = Si x, y, z son enteros positivos y xy = 8, xz = y zy = 6, entonces cuál es el valor de x + y + z? El Máximo común divisor entre 4ab y 6bc es ab b abc ab c 4. 5 x x es igual a 8 x x 8x 4 (x )( x) ninguna de las anteriores 5

54 4. En la siguiente suma de fracciones algebraicas resultado sea x 64, b y c deben ser 8 7, para que el denominador del x b c x () b = 8 () b = -c = 8 () por sí sola () por sí sola Ambas juntas, () y () Cada una por sí sola, () ó () Se requiere información adicional 44. Para qué x + + b sea un cuadrado de binomio, b debe ser x () () cualquier racional que tenga denominador x () por sí sola () por sí sola Ambas juntas, () y () Cada una por sí sola, () ó () Se requiere información adicional 8(x 5) 45. (x 4) 6 8 4, x = 46. El número de caras (F), vértices (V) y aristas ( de un poliedro están relacionadas por la ecuación F + V E =. Si un poliedro tiene 6 caras y 8 vértices, entonces el número de aristas que tiene es

55 47. Si x 7 x 4, entonces x = x x 0 0 x y 48. En la igualdad =, qué valor de y hace que x =? Si dos números tienen por diferencia y por suma 0, entonces el mayor de ellos es Si 0,x - = 5, entonces el valor de x es Dado el sistema de ecuaciones x y 0, luego x + y = x y

56 5. Dados 6 enteros positivos; p, q, r, s, t, u tales que p < q < r < s < t < u, si la suma de todos los pares distintos de ellos dan como resultados; 5, 0, 8, 4, 49, 5, 54, 6, 68, 76, 79, 90, 95, 0 y 7, entonces la suma de r y s es Si a(x + b(x + )) = (x + 6), entonces a + b = no es posible determinar los valores de a y b 54. Si x x x 4 x x 6, entonces x = Si x y z x y z 0, entonces x + y + z = x y z

57 56. Si x =, entonces el valor de x 5 es La energía cinética está representada por la ecuación obtiene E mv, luego al despejar m se E m Ev Ev E v Em 58. Si g es un número resulta un real en la igualdad ga + gb ab = 0, entonces la relación correcta es a = b a > b a = b = 0 b < 0 < a a 0 y b = En el sistema sea x = e y = - n k x ny 6, qué valores deben tener n y k para que la solución del sistema nx ky 4 57

58 60. La igualdad x y x y se verifica cuando y = 0, cualquiera sea el valor de x. vale para todo x e y. vale sólo para x = 0, cualquiera seas el valor de y. se verifica sólo para x = 0 e y = 0 nunca se verifica 6. Cuál es la solución de la siguiente ecuación, x 6 x? 0 tiene infinitas soluciones 6. Pedro dice a Simón: tengo dos veces la edad que tú tenías cuando yo tenía la edad que tú tienes, y cuando tengas la edad que tengo, nuestras edades sumaran 6 años. Cuántos años tiene el mayor? Dada la ecuación z z 40, cuál es el valor de z 5 5? La suma de tres enteros es 8. Si se duplica solo el primero, la suma es 60, si se duplica solo el segundo, la suma es 6, entonces el menor de ellos es

59 65. De acuerdo a la tabla siguiente: Alimento Grasas Carbohidratos Proteínas A B C Cuántas unidades de cada alimento se deben ingerir para obtener de grasas, 6 de carbohidratos y 0 de proteínas? A B C 66. Un número natural de dos cifras iguales es igual a otro natural de dos cifras iguales menos 88, luego el menor de ellos es Las llaves A, B y C entregan un caudal constante cada una de ellas. Cuando las tres están abiertas llenan un estanque en hora, cuando sólo están abiertas A y C se llena el estanque en,5 horas y cuando están abiertas B y C lo llenan en horas. El número de horas que A y B pueden llenar el estanque es,,5,,5, La solución de la ecuación ax + b = c, con a 0 es entero si: () b es múltiplo de c. () c b es múltiplo de a () por sí sola () por sí sola Ambas juntas, () y () Cada una por sí sola, () ó () Se requiere información adicional 59

60 69. El número de tres cifras A se suma al número 6 dando como resultado 5B9, si B es un dígito, entonces se conocerá A + B si () el resultado es divisible por 9 () el resultado es múltiplo de () por sí sola () por sí sola Ambas juntas, () y () Cada una por sí sola, () ó () Se requiere información adicional 70. ( ) ( ) Si x- x + x+ = 89, entonces x =

61 7. Cuál es el menor número primo que es divisor de + 5? Al reducir 7 4x y y 6 x 0 se obtiene : -x y 9 x y 9-7x y 9 -x y 9 7x y Al racionalizar se obtiene Si n es entero positivo, entonces n n 5 es igual a 5 n n 5 n 6

62 77. ( 5) = no es un número real Se dice que un número está escrito en Notación Abreviada si se expresa como el producto del menor entero posible y una potencia de base 0, luego 0,00000 escrito en notación abreviada sería equivalente a, , = Al simplificar 6 5 se obtiene,5, Dados los números; x =, , y =, 0-9 y z = 7 0-9, entonces es correcto afirmar que x > y > z z > y > x z > x > y y > z > x y > x > z 6

63 8. La solución de la ecuación (0,5) x =, es Cuál es el valor de x en la ecuación x 4 5 6? 0,5 no tiene solución en los reales 84. Dado; log = 0, y log = 0,48, luego al resolver x x 8, x = 0,78,78 0,65 otro valor x 85. Si log4 5, entonces log5 = x x x 5x x x + 6

64 86. Si log n = 8, entonces logn Si log(00x) log0,00 6, entonces x = Dado que x- = 0, entonces x = log 8 log log + log log ninguna de las anteriores 89. El resultado de la potencia entre -8 y 0 entre 0 y 8 entre 8 y 6 entre 6 y 7 entre 4 y, entre qué valores esta? 90. El número de bacterias se reproduce de manera que duplica su cantidad cada hora. Si inicialmente hay 8 de ellas, al cabo de 0 horas habrá una cantidad de

65 9. Para qué 4 k sea un número racional, k debe ser () un número par () un múltiplo de 4 () por sí sola () por sí sola Ambas juntas, () y () Cada una por sí sola, () ó () Se requiere información adicional 9. Para determinar entre que enteros está log a, es necesario () a > () a < 4 () por sí sola () por sí sola Ambas juntas, () y () Cada una por sí sola, () ó () Se requiere información adicional 9. Si y =, entonces el valor de y y y y es La población de la ciudad Conciencia creció un a% en los últimos 0 años, si la población de dicha ciudad hace 0 años era de a habitantes, cuál es la nueva población?, a, a a(00 a) a 00 ninguna de las anteriores 65

66 95. Sean x e y dos reales tales que x 4, y y A = x y, entonces es correcto 4 afirmar que 4 5 A A 4 A 4 A 0 4 A Cuánto suman las soluciones de la ecuación x + 7x + 5 = 0? Un tronco de, m. de largo se corta en partes, si la menor mide la mitad de la mayor y la mayor mide 4 de la otra parte, entonces si la menor mide k m., entonces la expresión que representa al largo total menos la mayor y la menor es k k k 4k ninguna de las anteriores 98. El número 4 9 es igual a

67 99. Una fábrica de MP produce unidades en un mes, si el costo de cada unidad es c y cada unidad se vende en $0.000, entonces la utilidad en un año que se obtiene por la producción de MP es ( c) (0.000 c) (0.000 c) (0.000 c) c 00. Si logq p, entonces logp q = Al respecto de la gráfica de la función, f(x) = (x + ) (x ), se hacen las siguientes afirmaciones: I) Es una parábola con el eje de simetría en el eje y. II) Pasa por el punto (0,0) III) Corta al eje x en un punto. Es(son) verdadera(s) Sólo I Sólo II Sólo II y III Sólo I y III I, II y III 0. En la fracción m n, m y n son enteros resulta ser una fracción propia positiva si: m n I) m > 0 II) m > n III) m = n Sólo I Sólo II Sólo III Sólo I y III I, II y III 67

68 0. El enunciado el triple de la diferencia entre un número x y 7, es igual el doble de la suma del mismo número con 8, se expresa como x 7 = x + 8 (x 7) = x + 8 x 7 = (x + 8) (7 x) = (x + 8) (x 7) = (x + 8) x x = 8 x 8 x 8x 4 (x )( x) ninguna de las anteriores 05. Cuál de las siguientes ecuaciones permite hallar el número que aumentado en un 0% de él mismo es igual a 78? x + 0x = 78 x + 0,x = 7,8,x = 78 0,8x = 78 x + 0, = La pendiente de la recta de ecuación x + y 5 = 0, es

69 07. Al resolver la ecuación 4 x 5 x, x = Si log = a, log = b y log5 = c, entonces log 0 9 = a + c b a + c + b ab c a + c + b a + c b 09. En la figura, están representadas las funciones f(x) = x 4x + 5 y h(x) = x +, en qué intervalo de x, h(x) f(x)? f(x) f(x),4,4 h(x),, 4,5 x fig. 0. Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s) respecto de; L : y = x y L : y = 4x 6? I) Son paralelas. II) Ambas cortan al eje y en -. III) El punto (,) pertenece a ambas rectas. Sólo I Sólo II Sólo II y III Sólo I y III I, II y III 69

70 . Si f(n + ) = f(n), para n =,,, y f() =, entonces f(0) = Sea a = - y b = 5, luego a b - ab = (m- n)(n - m) (n + m) (-n - m) = 0 (m n ) 4m 4 4n m 4 n 4 4. Qué binomio es divisor de 6x + 5x - 6? x + x - x - x + x + 5. Una familia está compuesta de x hermanos e y hermanas. Cada hermano tiene un número hermanos igual al número de hermanas. Cada hermana tiene el doble de hermanos que de hermanas. Cuánto es x + y?

71 6. Una lancha tarda horas en recorrer 4 km río arriba y tarda horas en recorrer 4 km río abajo. Cuál es la velocidad de la corriente del río? km/hrs. Km/hr. 4 Km/hr. 6 Km/hrs. 0 Km/hrs. 7. Si x y 5, entonces 5x - 6y = x 4y Sea a = 4, 4 b = 5, 5 c = 6, 6 d = 7, 7 e = 8 y 8 f = 9, luego cuál es el valor del producto a b c d e f? Si x profesores, trabajando x horas diarias, durante x días corrigen x pruebas, entonces el número de pruebas corregidas por y profesores, trabajando y horas por día, durante y días es y y x y x y x xy 7

72 0. La expresión 4 es equivalente a x 9x x 9x + x x 9x x x x+5. Si x 9x kx es divisible por x, entonces es también divisible por x x 4 x 4 x 4 x 4 x + 4. El valor de es 4 7

73 4. a a a a a a a a a a a 5. Para aprobar un curso de matemáticas se debe responder bien el 80% en promedio en todas las pruebas. El curso considera controles y un examen final equivale a dos controles, si las puntuaciones en los controles son 7%, 67% y 75% en los controles, entonces cuánto se debe obtener en el examen para aprobar el curso? 87% 90% 9% 9% es imposible aprobar el curso 6. En un partido de fútbol el marcador al terminar el primer tiempo era de es a. Si en el segundo tiempo se marcaron 7 goles, cuál de los siguientes no pudo ser el resultado del partido? empate uno ganó por 4 goles de diferencia uno ganó por dos goles de diferencia uno ganó por goles de diferencia el que iba perdiendo el primer tiempo, ganó por goles 7. Qué valor de x no es solución de la siguiente desigualdad; - < x + 4 < 0? - 0 7

74 8. Si f(x) es una función que cumple con que f(x + ) = f(x) +, para todo real x, si f(0) =, entonces f() = Suponiendo que el gráfico de la función f(x) = ax + bx + c, se muestra en la figura, entonces cuántas de las siguientes expresiones; ab, ac, b, a + b + c, a b + c, son positivas? 4 5 fig Al factorizar completamente en los enteros 98c 6 6 6d se obtiene (7c 9d )(7c 9d ) 6 6 (49c 8d ) (7c 9d )(7c 9d ) 9 4 (49c 8d ) 8 8 (7c 9d ). Cuál de los siguientes números es impar?

75 . Se denota por s(n) a la suma de las cifras de un número n. Por ejemplo s(97)= = 7. Sea s (n) s(s(n)), s (n) s(s(s(n))), y así sucesivamente. El valor de s 699 (699) es Los 8 niños de una clase se forman en una fila. Hay el doble de alumnos detrás de Sofía que niños delante de ella. El lugar que ocupa Sofía es el quinto sexto séptimo octavo décimo 4. Al resolver para x; 5 x, se obtiene [-4,4] ]-4,4[ ]-,[ ]-4,-[ ]-5,4[ 5. Se guardan granos sin cáscaras en un silo de 0 m. Se añaden granos con cáscaras hasta llenar el silo. A continuación se quita la cáscara al grano que la tenía, lo que supone prescindir de los dos quintos de su volumen. El grano que queda, todo sin cáscara, llena al recipiente hasta los 7 m, cuánto grano había inicialmente?,5 m,5 m m 4,5 m 7,5 m 6. Al resolver el sistema de ecuaciones -0,05 0,05 0,005-0,05-0,005 x y 0,005, el valor de x y es x,5y 0, 0 75

76 7. Si 0 0 x 5 5, entonces x = 0 5 no tiene solución en los reales 8. Cuál de las siguientes expresiones es equivalente a log 4 5? log 4 5 log 4 5 log log 5 log Cuál(es) de las funciones siguientes pasa(n) por origen? I) f(x) = x II) g(x) = (x ) III) h(x) = x Sólo I Sólo III Sólo II Sólo I y III Todas 40. Si x f(x), entonces f - (4) = x Al resolver la ecuación z 8 z 4z, z =

77 4. Si t, entonces t 4 t t t t t t t t 4. La relación entre grados Celsius y Fahrenheit está dada por la ecuación; F = 5 9 C +, donde F es la temperatura en grados Fahrenheit y C en grados Celsius, a qué temperatura en grados Fahrenheit equivalen 0º Celsius? 0º F º F 54º F 86º F 6º F 44. María dispone de $ para invertir. Deposita algo de dinero al 0% de interés, y el resto al 9%. La ganancia total por esas inversiones es $.400, cuánto invirtió al 9%? $.500 $ $ $ $ Si x, y, z son reales, entonces cuál(es) de las siguientes proposiciones es(son) verdadera(s)? I) (xy ) 9 II) x III) 6 x y x (x x ) x Sólo I Sólo II Sólo I y II Sólo I y III I, II y III 77

78 46. Dado a b, con a y b enteros positivos, luego el valor absoluto de la diferencia entre a y b es Si x 7x 0, entonces cuál de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)? I) la suma de las soluciones es positiva II) la resta de las soluciones es negativa III) el producto de las soluciones es positiva IV) el cuociente de las soluciones es negativa Sólo I y III Sólo I y IV Sólo II y III Sólo II y IV Sólo III 48. Si c logx b y d log (b ), entonces d en término de c es c c - c c c 49. El recorrido de la función f(x) = x es x todos los reales IR {} IR {} IR - IR {} 50. Si los números orden correcto es x, y 9,z 7 son ordenados de mayor a menor, entonces el z>y>x x>y>z y>x>z z>x>y y>z>x 78

79 5. Si n es un número natural, cuál de las siguientes expresiones representa a un número divisible por? n(n ) n (n ) n n n + n 5. Si n n 9, entonces n Dado un conjunto de n números, n >, en que uno de ellos es, y todos los restantes n son, entonces el promedio de los n números es n n n n n n n 54. Un factor de la expresión x y z yz x y z es no tiene factor lineal de coeficientes enteros x + y + z x y z + x + y z + x y + z + 79

80 55. Si n es natural, cuál de las siguientes expresiones algebraicas podría representar el 4 término n-ésimo de la secuencia,,,,...? 4 5 n n n n n n n n n n n n 56. La figura 4, muestra tres cuadrados que forman parte de un rectángulo, el área del rectángulo es x + y x +xy + y x + y + xy x x x y x + xy + y y fig Cuál de las siguientes alternativas representa una relación correcta al respecto de la función f(x) = ax + bx + c, representada gráficamente en la figura 5? y a > 0, b < 0, c > 0 a > 0, b > 0, c < 0 x a > 0, b < 0, c < 0 a < 0, b < 0, c > 0 ninguna de las anteriores fig. 5 80

81 58. Cuál de los siguientes gráficos representa a un función? y y y x x x y y x x 59. Cuántas funciones distintas se pueden definir con el dominio D = {a,b} y el recorrido R = {,,}? Si x f(x), entonces f - (4) = x Si f(x) es una función que cumple con que f(x + ) = f(x) +, para todo real x, si f(0) =, entonces f() =

82 6. Sea f una función en los números reales, definida por f(x) = tx +, si f(-) = 5, entonces t = Si f(x) = x + x 4, entonces f(x+) es igual a x + 5x x + x x + 5x - x + x - 7x 64. Del gráfico de la función f(x) = - x, se puede afirmar que: I) tiene su vértice en el punto (0,0) II) sus ramas se abren hacia abajo III) corta el eje de las abscisas en x = y en x = - Sólo II Sólo III Sólo I y III Sólo II y III I, II y III log log log log log ( ) 4 6 log 5 8

83 66. Si x 8 0, entonces cuál(es) de las siguientes proposiciones es(son) falsa(s)? I) La diferencia entre las soluciones es 0. II) La suma de las soluciones es 0. III) Las soluciones son irracionales. Sólo I Sólo II Sólo III Sólo I y III Ninguna 67. Al resolver x 7x 5, la mayor solución es 68. Cuál debe ser el valor entero de b para que una de las soluciones de la ecuación x (b 4b )x bx b 0, sea x = -? b = -4 b = - b = b = b = El conjunto solución de la ecuación x 5x 0, es , 5 5, 5 5, 8

84 70. Cuántos valores distintos puede tomar el parámetro b de la ecuación que las soluciones sean enteros? x bx 6 0, para Para cuántos valores de k en la ecuación solución? kx kx 0, esta tiene exactamente una ninguno 4 7. Si, entonces x = x x x

85 75. Si c 0 y las raíces de la ecuación x 7x c 0 son x y x, entonces = x x c c 7 c 7 c 7 c 76. Si c logx b y d log (b ), entonces d en término de c es c c - c c c x 77. Si 4 x = 8 y y y = x, entonces y = - 4 log log log log log log 78. La ecuación x px + (p+8) = 0, tiene dos raíces, una es el doble de la otra, entonces cuáles son los posibles valores de p? - o 4 - o 8 0 o - o no existen dichos valores 85

86 79. Si el recíproco de (x ) es x, entonces el valor positivo de x es - 4 ninguno de los anteriores 80. log 7 = Si a n b, entonces el valor de a se puede conocer si: () b = () n = 0 () por sí sola () por sí sola Ambas juntas, () y () Cada una por sí sola, () ó () Se requiere información adicional 8. n a es un entero si: () a = nk () k > () por sí sola () por sí sola Ambas juntas, () y () Cada una por sí sola, () ó () Se requiere información adicional 86

87 8. Si n es un entero positivo, entonces la suma de las cifras del número equivalente a (0 4n+ + ) 4 depende de n 84. En un autobús había inicialmente m pasajeros, en su primera parada bajaron pasajeros y subieron la misma cantidad que había inicialmente. En la próxima parada bajaron 0 y subió la misma cantidad que había entre la primera y la segunda parada, cuántos pasajeros hay en el autobús antes de la tercera parada? 4m 0 4m 4m 4 m m Si x es un real, entonces la expresión ( x )( x) es positiva si y solo si x x < x x < - x < - o - < x < 87

88 87. Al cubo de la figura 6 se le hacen cortes paralelos a las caras de las medidas indicadas. Cuál de los volúmenes siguientes no corresponde a alguna de las partes que se generan? a b a b ab b a b a a b a fig. 6 a b b 88. Si x vacas dan x + latas de leche en x + días, cuántos días necesitarán x + vacas en dar x + 5 latas de leche? x(x )(x 5) (x )(x ) x(x )(x 5) (x )(x ) (x )(x )(x 5) x(x ) (x )(x ) x(x )(x 5) ninguna de las anteriores 89. Si 4 8,68, entonces,68 = Si = k 995, entonces k =

89 9. Si x..., entonces x = Sean y las soluciones de la ecuación x x =0, entonces el valor de 005 ( ) es El conjunto solución de la inecuación x, es,, 89

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