LOGICA Y ALGEBRA DISCRETA

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1 LOGICA Y ALGEBRA DISCRETA Franco D. Menendez LABIA FACET - UNT

2 Contenido de la Materia UNIDAD TEMÁTICA 2: DECISION EN EL LENGUAJE FORMAL Sistemas Axiomáticos. Noción General. Decisión Por Formas Normales. Forma Normal Conjuntiva. Forma Normal Disyuntiva. Transformación de una EBF a Forma Normal. Interpretación de FN. Decisión por Formas Normales. Enunciados y Formas de Enunciados. El Razonamiento. Formas de Razonamiento y Formas de Enunciados. Implicación y Derivación Lógica. Implicación Lógica. Sistema de Derivación. Teorema de la Deducción. Decisión por Cuadro Semántico. Literal. Consistencia y Modelos. Validez. Satisfacción. Reglas Alfa y Beta. Construcción del Cuadro Semántico. Reglas de Formación de Cuadro Semántico.

3 UT2: : Sistemas Axiomáticos Noción general de sistemas axiomáticos Definición: En lógica y matemáticas, un sistema axiomático consiste en un conjunto de axiomas que se utilizan, mediante deducciones, para demostrar teoremas. Un conjunto de conocimientos constituye un sistema deductivo o axiomático, cuando a partir de ciertos puntos de apoyo no definidos, ni demostrados, se define y se demuestra ese conjuntos de conocimientos.

4 UT2: : Sistemas Axiomáticos Un sistema axiomático puede tener expresados sus axiomas de manera formal o de manera informal: Una axiomatización formal usa un lenguaje formal y en él cada axioma es una cadena finita de signos en el alfabeto del lenguaje formal, siguiendo reglas combinatorias que hacen de la secuencia una fórmula bien formada. Una axiomatización informal usa una lengua natural formalizada y definiciones no ambiguas, los libros de matemática y otras disciplinas formales normalmente redactan los axiomas de esta manera.

5 UT2: : Sistemas Axiomáticos Noción general de sistemas axiomáticos Un sistema axiomático, consiste en los siguientes objetos: i. Términos primitivos: constituidos por elementos, conjuntos o relaciones, cuya naturaleza no queda especificada de antemano. ii. iii. iv. Axiomas: son funciones proposicionales cuantificadas, relativas a las variables (T.P.), son propiedades a las que deben satisfacer dichos términos primitivos. Definiciones: se definen todos los términos no primitivos. Teoremas: propiedades que se deducen de los axiomas.

6 UT2: : Sistemas Axiomáticos Universidad Nacional de Tucumán

7 UT2: : Sistemas Axiomáticos Ejemplos: Un sistema axiomático: i. Términos primitivos: un conjunto A, y una relación R definida en A. R= A x A ii. Axiomas A1: R es reflexiva en A. A2: R es anti simétrica en A. A3: R es transitiva en A. R es una relación de orden Amplio en A.

8 UT2: : Sistemas Axiomáticos Ejemplos: Un sistema axiomático: iii. Definición: en A, se considera la relación S. (a,b) S (b,a) R iv. Teoremas S es reflexiva en A. a : a A (a,a) R por A1 (a,a) R (a,a) R por iii) por ley del silogismo hipotético: a : a A (a,a) S y en consecuencia, S es reflexiva en A.

9 UT2: : Sistemas Axiomáticos Propiedades de los sistemas axiomáticos: No toda elección arbitraria de términos primitivos y de propiedades relativas a estos, caracteriza un determinado sistema axiomático. Es necesario que de los axiomas no se derive ninguna contradicción. O si en el sistema aparecen dos axiomas o teoremas contradictorios, entonces el sistema es incompatible o inconsistente. Otra propiedad es la independencia del sistema, en el sentido de que ningún axioma puede probarse a expensas del resto de los axiomas presentes dentro del sistema. La no independencia no niega la consistencia del sistema.

10 UT2: : Sistemas Axiomáticos i) términos primitivos constituidos por proposiciones y por conectivos principales lógicos. En algunos casos son denominados también como símbolos terminales cuando son simples y no terminales cuando son compuestos. ii) axiomas y teoremas, que fundamentalmente son funciones proposicionales, relativas a las variables que representan a los términos primitivos; es decir, son tautologías que deben satisfacer dichos términos primitivos. Los axiomas son fbf tautológicas que no pueden ser deducidos de otras fbf tautológicas, es decir son independientes. En cambio los teoremas son fbf tautológicas que pueden ser deducidos o probados a través de la utilización de los axiomas.

11 UT2: Sistemas Axiomáticos iii) definiciones, expresiones, fórmulas lógicas que son derivadas de los teoremas o axiomas y que a veces son considerados como términos no primitivos. iv) reglas, es decir, propiedades que deben cumplir las proposiciones o fórmulas lógicas. De entre ellas tenemos: Reglas de Formación. Son aquellas que dan lugar a la constitución sintáctica del sistema axiomático cuando el mismo es considerado como un lenguaje formal. Reglas Transformación Son aquellas que permiten la transformación de fbf tautológicas en otras fbf tautológicas y además existen las denominadas Reglas de Inferencia, las que definen las operaciones sintácticas por la cual pueden generarse nuevas fórmulas fbf. v) signos auxiliares o términos no primitivos constituidos por todos aquellos elementos no primitivos, entre ellos podemos considerar los símbolos de puntuación lógicos.

12 UT2: : DECISION EN EL LENGUAJE FORMAL Sistemas GENTZEN Definición: El sistema formal G consiste de axiomas y de reglas de inferencia. Un Axioma es cualquier conjunto de formulas U que contienen un par complementario de literales: (p, p) U y las reglas de inferencia son de la siguiente forma: U1 ( 1, 2) U1 ( 1) A partir de las premisas se infiere la conclusión, si tenemos pruebas independientes de dos formulas podemos en consecuencia inferir su conjunción y si tenemos una prueba de un conjunto de formulas podemos entonces inferir sus conjunciones

13 UT2: : DECISION EN EL LENGUAJE FORMAL Definición: Una prueba en G es una secuencia de formulas tales que cada elemento es un axioma o puede ser inferido a partir de uno o dos elementos previos de una secuencia utilizando una regla de inferencia. Si A es el ultimo elemento de una secuencia, la secuencia es denominada como una prueba de A y de este modo A es demostrable. (ͰA)

14 UT2: : DECISION EN EL LENGUAJE FORMAL La comprobación es escrita como una secuencia de conjuntos de formulas las que son numeradas para una referencia conveniente. A la derecha de cada conjunto numerado de formulas colocamos la justificación con la cual cada conjunto puede ser inferido. La justificación puede ser el axioma a aplicarse o una regla de inferencia aplicada al conjunto o conjuntos de formulas en el paso anterior de la secuencia. Ejemplo : Ͱ(p q) (q p) Demostración 1. p, q, p Axioma 2. q, q, p Axioma 3. (p q), q, p Regla- -,(1), (2) 4. (p q), q p Regla- -,(3) 5. (p q) (q p) Regla- -,(4)

15 UT2: : DECISION EN EL LENGUAJE FORMAL Sistema Axiomático de RUSSEL A. Términos primitivos 1. Negación 2. Disyunción 3. p, q, s Proposiciones B. Axiomas o Teoremas A1: (p q) p A2: q (p q) A3: (p q) (q p) A4: (q r) [(p q) (p r)] C. Definiciones 1. p q df. ( p q) 2. p q df ( p q) 3. (p q) df. (p q) ( p q)

16 UT2: : DECISION EN EL LENGUAJE FORMAL D. Reglas a) de Formación 1: las formulas p, q, r, s están bien formadas (fbf) 2: Si p es una fbf, entonces p es una fbf. 3: Si una conectiva lógica esta flanqueada por una fbf, el conjunto constituye una fbf. b) De Transformación 1: Regla de Sustitución Uniforme: Si en una tautología sustituimos una variable proposicional en todos los casos por una fbf, la formula resultante también es tautológica. 2: Regla de Inferencia: Si en una implicación, que es teorema, el antecedente lo es también, en consecuencia el consecuente es también un teorema. E. Signos Auxiliares 1: Todos los signos de puntuación lógica

17 UT2: : DECISION EN EL LENGUAJE FORMAL SISTEMA AXIOMÁTICO DE HILBERT A. Términos Primitivos 1: " " Negación. 2: " " Disyunción 3: " " Conjunción 4: " " Implicación 5: p, q, s Proposiciones B. Axiomas o Teoremas A1 : p (q p) A2 : [p (q r)] [(p q) (p r)] A3 : (p q) p Simplificación A4 : (p q) q Simplificación A5 : (p (q (p q))) A6 : p (p q) Adición A7 : q (p q) Adición A8 : (p r) [(q r) ((p q) r)] A9 : [(p q) ((p q) p)] A10: p p

18 UT2: : DECISION EN EL LENGUAJE FORMAL 11. Ͱ p p 12. Ͱ p (p q) 13. Ͱ (p (q r)) (q (p r)) 14. Ͱ (p q) ((q r) (p r)) 15. Ͱ (q r) ((p q) (p r)) 16. Ͱ (p (q r)) ((p q) r) 17. Ͱ ((p q) r) (p ( q r)) 18. Ͱ (p q) ((p r) (p (q r))) 19. Ͱ (p q) ((r s) ((p r) (q s))) 20. Ͱ (p r) ((q r) ((p q) r)) 21. Ͱ ( p q) (p q) 22. Ͱ (p q) ( p q) 23. Ͱ ( p p) p Tautología 24. Ͱ (p q) ( p q) De Morgan 25. Ͱ (p q) ( p q) De Morgan 26. Ͱ p p Doble Negación 27. Ͱ (p q) (q p) Conmutativa de 28. Ͱ (p q) (q p) Conmutativa de 29. Ͱ ((p q) r) (p (q r)) Asociativa de 30. Ͱ p (p p) Idempotencia 31. Ͱ p (p p) Idempotencia 32. Ͱ (p q) ( q p) Transposición 33. Ͱ (p (q r)) (p q) (p r) Distributiva

19 UT2: : DECISION EN EL LENGUAJE FORMAL C. Definiciones Def.: p q ( p q) (p q) D. Reglas a). De Formación 1:Las fórmulas p, q, r, s están bien formadas (fbf). 2:Si p es una fbf, entonces p es una fbf. 3:Si una conectiva lógica está flanqueada por una fbf, el conjunto constituye una fbf. b). De Transformación 1:Regla de Sustitución Uniforme. Si en una tautología (axioma o teorema) sustituimos una variable proposicional en todos los casos por una fbf, la fórmula resultante también es tautológica.

20 UT2: : DECISION EN EL LENGUAJE FORMAL 2:Regla de Inferencia. Consideramos la regla del Modus Ponens ((p q) p) q p q p q E. Signos Auxiliares 1: Todos los símbolos de puntuación lógica

21 UT2: : DECISION EN EL LENGUAJE FORMAL DECISION POR FORMAS NORMALES Las formas normales o canónicas, llamadas así acaso porque el pensamiento expresado en ellas ofrece mayor claridad, son fórmulas o EBF construidas solamente con los conectivos lógicos de conjunción y disyunción y bajo ciertas condiciones. Existen dos formas normales; la forma normal conjuntiva (que abreviamos de la siguiente forma: f.n.c.) y la forma normal disyuntiva (que abreviamos f.n.d.). Forma Normal Conjuntiva Una forma normal conjuntiva es una serie continua de conjunciones y donde los factores de esas conjunciones son sólo disyunciones. Por ejemplo, consideremos lo siguiente expresión lógica que es una f.n.c.: ( p q) (p q) ( p q) Forma Normal Disyuntiva Una forma normal disyuntiva es una serie continua de disyunciones y donde los factores de esas disyunciones son sólo conjunciones. (p q) (p q) ( p q)

22 UT2: : DECISION EN EL LENGUAJE FORMAL 1).- La f.n.c. no es tautológica. Transformada en f.n.d., se observa que no es contradictoria. Entonces es indefinida. 2).- La f.n.c. no es tautológica. Transformada en f.n.d. cada factor incluye una variable proposicional y su negación. Entonces es una contradicción. 3).- La f.n.d. no es contradictoria. Transformada en f.n.c., se observa que no es tautológica. Entonces es indefinida. 4).- La f.n.d. no es contradictoria. Transformada en f.n.c. cada factor incluye una variable proposicional y su negación. Entonces es una tautología.

23 BIBLIOGRAFIA ESTRUCTURAS DE MATEMÁTICAS DISCRETAS. Bernard Kolman. Robert Busby & Sharon Ross MATEMÁTICA DISCRETA Y LÓGICA. Roberto H. Fanjul MATEMÁTICAS DISCRETAS - SEXTA EDICIÓN Richard Johnsonbaugh - PRENTICE HALL INC LÓGICA COMPUTACIONAL. Roberto H. Fanjul. Autor y Editor. Primera Edición MATEMÁTICAS DISCRETA Y COMBINATORIA Ralph P. Grimaldi- Addison Wesley Longman 2001.

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