Apuntes de Análisis Curso 2017/2018 Esther Madera Lastra REPASO INICIAL

Transcripción

1 REPASO INICIAL 1

2 1. CONCEPTOS BÁSICOS SOBRE FUNCIONES Definición: Una función real de variable real la primera le corresponde un único valor de la segunda. es una relación entre dos variables, de tal manera que a cada valor de x es la variable independiente (v. i.). Se representa en el eje horizontal (abscisas). y es la variable dependiente (v. d.). Se representa en el eje vertical (ordenadas). Escribimos indistintamente Para calcular la imagen de x=a, buscamos el valor en el eje horizontal y trazamos la vertical hasta que lleguemos a la gráfica. La imagen, si existe, debe ser única. Para calcular la antiimagen de y=b, buscamos el valor en el eje vertical y trazamos la horizontal hasta que lleguemos a la gráfica. La antiimagen puede no existir, haber una, varias o infinitas. Ejercicio 1: En esta gráfica, calcula la imagen de -1, 0, 1,, 3 y 6. Calcula también la antiimagen de -, de 0 y de 3. Definición: Los puntos de corte con los ejes son: Con el eje Y: x=0 (imagen de 0) Con el eje X: y=0 (antiimagen de 0) Ejercicio : En estas funciones, calcula los puntos de corte con los ejes, la imagen de 1 y de -, y la antiimagen de 4: a) b) x 4 g ( x) = x + 6 Definición: El conjunto de puntos donde está definida la función es el dominio de la función, y lo denominamos D. En este caso decimos. Debemos tener en cuenta una serie de normas para calcular el dominio de una función: El dominio de una función polinómica es El dominio de una función racional es todos los números reales salvo los ceros del denominador. Ejercicio 3: Calcula el dominio de estas funciones: a) b) c) d) Ejercicio 4: Dada la función determinada por esta representación gráfica, que indica la temperatura de un determinado líquido según el tiempo transcurrido, se pide: a) Cuál es el dominio de la función. b) Temperatura a las 6 horas. c) En qué momento la temperatura es de 0ºC.

3 . FUNCIONES ELEMENTALES Ésta es la función constante, es siempre una recta horizontal. Su dominio es. En general,la función lineal es y=mx+n, siendo m la pendiente y n la ordenada en el origen. Es una recta cuya pendiente indica si la recta es creciente o decreciente. La ordenada en el origen indica a qué altura corta la recta al eje vertical. Su dominio es. Ésta es una función lineal: La pendiente indica cuánto se sube o se baja (en este caso ) en el eje y cuando avanzamos una unidad en el eje x. La ordenada en el origen indica que la recta pasa por (0, 4) Ejercicio 5: Representa estas rectas: Ejercicio 7: Calcula la ecuación y dibuja la recta que pasa por (, 1) y (-3, 3) bisectriz del primer cuadrante bisectriz del º o 4º cuadrante A veces, sólo tendremos que representar segmentos. Ejercicio 6: Dibuja y=3x-1 para x 5 Ésta es la función parabólica o parábola más sencilla, de la siguiente manera:. Las parábolas se escriben siempre Tienen las ramas hacia arriba o hacia abajo según sea el signo de. Para dibujarlas, hay que buscar los puntos de corte con los ejes y el vértice. Su dominio es. Ejercicio 8: Dibuja estas parábolas o funciones de segundo grado Ejercicio 9: Calcula y dibuja la parábola que pasa por (0, -3) y tiene su vértice en (, 3) Ésta es la función. Es una función hiperbólica, racional o hipérbola, que encontrarás con bastante frecuencia, siempre que tengas en el numerador un número o bien un polinomio de grado 1, y en el denominador un polinomio de grado 1. Su dominio es. Para dibujar hipérbolas en general, debes dominar el concepto de límite y de asíntota. 3

4 3. LÍMITE DE FUNCIONES EN UN PUNTO La idea intuitiva de límite es la siguiente: el límite de una función cuando es el valor hacia el que se acerca para valores de cercanos al valor. Podemos calcular los límites laterales según nos acerquemos por la izquierda: o por la derecha:. Conviene señalar que para la mayoría de las funciones, y salvo para algunos valores de, los límites son determinados, es decir, los podemos calcular sustituyendo directamente. Ejercicio 10: Calcula los siguientes límites de funciones: 4. INDETERMINACIONES En ocasiones, el límite de una función no sale un número. Nos podemos encontrar varios casos: a). En este caso debemos ver si es Esto se averigua sustituyendo por valores cercanos a (a derecha e izquierda) y calculando los dos límites laterales. b). En este caso prescindimos de los números que no van acompañados de x, quedaría. Ejercicio 11: Calcula los siguientes límites de funciones: a) b) c) d) 5. ASÍNTOTAS Decimos que es una asíntota vertical de una función cuando alguno de los límites laterales en es. Las asíntotas verticales se buscan en los extremos del dominio D. Si es una asíntota vertical, entonces es un punto de discontinuidad de la función. Decimos que es una asíntota horizontal de una función cuando alguno de los límites en es igual a. Buscamos las asíntotas horizontales, por tanto, en. De las funciones que vamos a dibujar, sólo tienen asíntotas las racionales. Una función polinómica nunca tiene asíntotas. Ejercicio 1: Estudia la existencia de asíntotas en la función Una vez tenemos las asíntotas, utilizándolas junto con los puntos de corte, podemos dibujar la función. Ejercicio 13: Dibuja las funciones a) c) Ejercicio 14: Comprueba que estas dos expresiones corresponden a la misma función, y dibújala. 4

5 6. FUNCIONES A TROZOS En muchas ocasiones las funciones nos vienen definidas a trozos, es decir, de una manera para una parte del dominio y de otra manera para otra parte del dominio. Lo mejor es dibujarlas en primer lugar. En este caso debemos tener en cuenta lo siguiente: a) Cuál es el dominio (puede ser todo o bien una parte, a veces sólo los positivos) b) Si el dominio no es, hay que dibujar los puntos de los extremos. c) Qué tipo de funciones componen la función a trozos (constante, lineal, parábola, polinómica de grado 3, y racional o hiperbólica) d) Si aparece alguna función racional o hiperbólica, es esencial observar si el único punto de discontinuidad está o no dentro del intervalo del dominio que nos interesa. Si está, tenemos un punto de discontinuidad de la función. e) Después hay que mirar si los trozos encajan bien, es decir si hay saltos entre uno y otro. 7. CONTINUIDAD DE FUNCIONES Una función es continua en un punto si se cumplen las siguientes condiciones: a) Si fuera una función definida a trozos, esto quiere decir que deben coincidir los límites laterales b) c) Es decir, los dos valores anteriores coinciden. Es importante señalar que, en general, las funciones que vamos a estudiar son continuas en casi todos sus puntos, salvo aquéllos que no están en el dominio. Los otros puntos de posible discontinuidad los vamos a encontrar, cuando tenemos una función definida a trozos, en los valores donde cambia la función. Existen tres tipos de discontinuidades: Discontinuidad no evitable de salto infinito: porque uno de los dos límites laterales, o los dos, son. Los encontramos únicamente donde haya funciones racionales o hiperbólicas. Discontinuidad no evitable de salto finito: porque los dos límites laterales son números reales pero diferentes. Discontinuidad evitable: pero. Esta función tendría un agujero fácil de rellenar definiendo un único valor para la función en dicho punto Ejercicio 15: Estudia la continuidad de estas funciones y dibújalas. 5

6 8. REGLAS DE DERIVACIÓN f(x) = 1 x f (x) = -1 f(u) = 1 x u f (u) = -u u La derivada de la función compuesta (columna de la derecha) se conoce como regla de la cadena. DERIVADA DEL PRODUCTO: DERIVADA DEL COCIENTE: Ejercicio 16: Calcula la derivada de estas funciones: 9. INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA DE LA DERIVADA. MONOTONÍA, CRECIMIENTO Y DECRECIMIENTO DE UNA FUNCIÓN. La derivada de una función en un punto coincide con la pendiente de la recta tangente en dicho punto. Por tanto podemos asegurar varias cosas: de inflexión 6

7 9.1 Ecuación de la recta tangente La ecuación de la recta tangente a una función en el punto es: Es decir, para hallar la ecuación de una recta tangente en un punto necesitamos tres valores: Ejercicio 17: Dada la función f(x)= calcula la ecuación de la recta tangente en el punto de abscisa. Comprueba gráficamente que has hecho lo correcto. Ejercicio 18: Dada la función f(x)=ln(3x+5), calcula la ecuación de la recta tangente en x=. Ejercicio 19: Halla el punto de la gráfica de Ejercicio 0: Halla el punto de la gráfica de donde la recta tangente es horizontal. donde la recta tangente es paralela a y=3x- 10. CURVATURA La segunda derivada de una función nos informa de la curvatura, es decir de la forma que tiene la función, al margen de que sea creciente o decreciente. Los puntos donde cambia la curvatura se denominan puntos de inflexión (P.I.) 11. REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE UNA FUNCIÓN Vamos a dibujar una función a partir de su expresión analítica. Para ello seguiremos una serie de pasos, que siempre son los mismos. Por ejemplo, vamos a dibujar la función a) Dominio: el dominio de cualquier función polinómica es b) Puntos de corte con los ejes: Punto de corte con el eje y: x=0 punto (0,4) Punto de corte con el eje x: y=0 soluciones son Resolvemos la ecuación, en este caso por Ruffini. Las c) Asíntotas: no hay por tratarse de una función polinómica d) Derivada: monotonía (crecimiento y decrecimiento) y extremos relativos. Igualamos a 0 la derivada y tenemos dos resultados: Por tanto los intervalos de crecimiento y decrecimiento quedarán así: Esto nos indica que el punto es un máximo relativo de la función, y que el punto es un mínimo relativo de la función. 7

8 e) Segunda derivada: curvatura y puntos de inflexión Igualamos a 0 y el resultado es Por tanto podemos asegurar que en (-, 1) f(x)es cóncava y en (1, ) f(x) es convexa Y por tanto el punto es un punto de inflexión. f) Representación gráfica Dibujemos otra función: a) Dominio: el dominio de una función racional es todos los números salvo aquello que hacen 0 el denominador. En nuestro caso, por tanto b) Puntos de corte con los ejes: c) Asíntotas horizontales: se buscan en los límites en. Para que haya asíntota, el resultado debe ser un número finito. En nuestro caso, Asíntotas verticales: se buscan en los puntos de discontinuidad o en los extremos del dominio. En este caso, buscamos en, y podemos asegurar que hay asíntota vertical d) Derivada: monotonía (crecimiento y decrecimiento) y extremos relativos. 1 '( x) = x + f Esta función nunca es 0, por tanto podemos asegurar que no tiene máximos ni mínimos relativos. ( ) los intervalos de crecimiento y decrecimiento quedarán así: e) Segunda derivada: curvatura y puntos de inflexión 4 ''( x) = x f Esta función nunca es 0, por tanto ( + ) 3 podemos asegurar que no tiene P.I. Por tanto podemos asegurar que f) Representación gráfica 8

9 1. DERIVABILIDAD DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO IMPORTANTE: Para que una función sea derivable en un punto, debe ser continua en dicho punto. Es decir, siempre que se nos pida estudiar la derivabilidad en un punto, primero debemos estudiar su continuidad. Si una función es continua en un punto, podemos estudiar su derivabilidad. Para derivar una función definida a trozos, derivamos cada tramo y no ponemos la igualdad. Definición: Una función es derivable en si es continua en dicho punto, y sus derivadas laterales coinciden. Las derivadas laterales son los límites laterales de la derivada de la función en el punto. El significado geométrico de la derivabilidad es el siguiente: una función derivable no hace picos al dibujarla. Los puntos de no derivabilidad son los picos de la función. Ejercicio 1: Estudia la derivabilidad de la función Ejercicio : Estudia la derivabilidad de la función 1. RELACIÓN ENTRE LA GŔAFICA DE LA DERIVADA Y LA FUNCIÓN ORIGINAL a) Los puntos de corte con el eje x de la derivada son los máximos y mínimos de la función original b) Cuando la derivada está por encima del eje, la función original es creciente. c) Cuando la derivada está por debajo del eje, la función original es decreciente. d) Los máximos y mínimos relativos de la derivada son los puntos de inflexión de la función original. e) Si la función derivada está decreciendo, la función original es cóncava. f) Si la función derivada está creciendo, la función original es convexa. Ejercicio 3: La gráfica de f (x) es una recta que pasa por (0, 3) y (-1, 0). Escribe cuáles serían los intervalos de crecimiento y decrecimiento de f(x) Ejercicio 4: La gráfica de f (x) es una parábola con vértice (, -1) y corta al eje horizontal en x=-1 y x=4. Escribe los intervalos de monotonía y curvatura de f(x). EJERCICIOS DE SELECTIVIDAD 013 Ejercicio 1 Ejercicio 9

10 Ejercicio 3 Ejercicio 4 Ejercicio 5 Ejercicio 6 Ejercicio 7 Ejercicio 8 Ejercicio 9 10

11 Ejercicio 10 Ejercicio 11 Ejercicio Ejercicio 13 Ejercicio 14 Ejercicio 15 11

12 Ejercicio 16 Ejercicio 17 Ejercicio 18 Ejercicio 19 Ejercicio 0 Ejercicio 1 Ejercicio Ejercicio 3 1

13 Ejercicio Ejercicio 5 Ejercicio 6 Ejercicio 7 Ejercicio 8 Ejercicio 9 13

14 Ejercicio 30 Ejercicio 31 Ejercicio 3 Ejercicio 33 Ejercicio 34 Ejercicio 35 Ejercicio EJERCICIO 37 De la función f se sabe que su función derivada es f ( x) = 3x 8x + 5. a) (1.5 puntos) Estudie la monotonía y la curvatura de f. b) (1 punto) Sabiendo que la gráfica de f pasa por el punto (1, 1), calcule la ecuación de la recta tangente en dicho punto. 14

15 EJERCICIO 38 a) (1.5 puntos) Dada la función f ( x) = x + ax + b, determine los valores de a y b sabiendo que su gráfica pasa por el punto (1, 3) y alcanza un extremo en x =. b) (1.5 puntos) Calcule la ecuación de la recta tangente a la función g ( x) = 3x x + 1, en el punto de abscisa x = 1. EJERCICIO 39 a) (0.75 puntos) Para la función f definida de la forma sabiendo que tiene como asíntota vertical la recta de ecuación y = 3. ax f ( x) =, determine, razonadamente, los valores de a y b x + b x = y como asíntota horizontal la de ecuación 3 b) (1.75 puntos) Para la función g, definida de la forma g ( x) = x 3x +, determine: su dominio, sus intervalos de crecimiento y decrecimiento y extremos relativos. Con esos datos haga un esbozo de su gráfica. EJERCICIO 40 Sea la función ax x ( x) = x b si si x f. x > a) (1.5 puntos) Calcule a y b para que la función sea continua en todo su dominio y presente un mínimo en x = 1. b) (1 punto) Represente gráficamente la función para a = 1.5 y b = 0.5. EJERCICIO 41 ) = 1 x + Se considera la función f x. ( a) (0.8 puntos) Determine la monotonía y curvatura de la función. b) (0.8 puntos) Calcule sus asíntotas. c) (0.9 puntos) Represéntela gráficamente. EJERCICIO 4 Sea P(t) el porcentaje de células, de un determinado tejido, afectadas por un cierto tipo de enfermedad transcurrido un tiempo t, medido en meses: t si 0 t 5. P( t) = 100t 50 si t > 5 t + 5 a) (0.5 puntos) Estudie la continuidad de la función P. b) (0.75 puntos) Estudie la derivabilidad de P en t =5. c) (0.75 puntos) Estudie la monotonía de dicha función e interprete la evolución del porcentaje de células afectadas. d) (0.5 puntos) En algún momento el porcentaje de células afectadas podría valer 50? EJERCICIO 43 a) (1.5 puntos) Sea la función ax + 3x f ( x) = x bx 4 Determine los valores de a y b, para que la función f sea derivable en x =. b) (1 punto) Calcule la ecuación de la recta tangente a la gráfica de si si x. x > x + ( x) = x 1 EJERCICIO 44 (.5 puntos) Determine los valores que han de tomar a y b para que la función x + ax 7 si x < 1 f ( x) = sea derivable en R. 4x b si x 1 g en el punto de abscisa x = 0. 15

16 EJERCICIO 45 Se estima que el beneficio de una empresa, en millones de euros, para los próximos 10 años viene dado por la función at t B ( t) = t si si 0 t 6 6 < t 10, siendo t el tiempo transcurrido en años. a) (0.75 puntos) Calcule el valor del parámetro a para que B sea una función continua. b) (1 punto) Para a = 8 represente su gráfica e indique en qué períodos de tiempo la función crecerá o decrecerá. c) (0.75 puntos) Para a = 8 indique en qué momento se obtiene el máximo beneficio en los primeros 6 años y a cuánto asciende su valor. EJERCICIO 46 En el mar hay una mancha producida por una erupción submarina. La superficie afectada, en función 11t + 0 f ( t) = t +, siendo t el tiempo transcurrido desde que empezamos a observarla. a) (0.5 puntos) Cuál es la superficie afectada inicialmente, cuando empezamos a medirla? b) (1.5 puntos) Estudie si la mancha crece o decrece con el tiempo. c) (0.75 puntos) Tiene algún límite la extensión de la superficie de la mancha? EJERCICIO 47 Sean dos funciones, f f ( x) = x + y g ( x) =. km, viene dada por la y g, tales que las expresiones de sus funciones derivadas son, respectivamente, a) (1 punto) Estudie la monotonía de las funciones f y g. b) (0.75 puntos) De las dos funciones f y g, indique, razonadamente, cuál de ellas tiene algún punto en el que su derivada es nula. c) (0.75 puntos) Cuál de las funciones f y g es una función polinómica de primer grado? Por qué? EJERCICIO 48 Calcule las derivadas de las siguientes funciones: 3x a) (0.8 puntos) ( ) ln( 5). f x = e x x 3 g( x) = x 1 h( x) = (3x + 5x 1) b) (0.8 puntos). + x 6 c) (0.9 puntos) ln. x 16