f(x) f(x 0 ) = L IR h 0 = 0 = f (x 0 ); con lo que f (x) = 0 para todo x IR. (x x = lím x + x 0 = 2x 0 = f (x 0 ), y f (x) = 2x en IR.

Transcripción

1 Matemáticas I : Cálculo diferencial en IR Tema Funciones derivables. Derivada de una función en un punto Definición 4.- Se dice que f: (a, b IR es derivable en el punto (a, b si f( f( = L IR es decir, si eiste y es finito ese ite (ó el ite equivalente, f(+ f(. Al valor de dico ite se lo denomina derivada de f en el punto y se representa por f ( ó df d (. La derivada nos indica lo que crece la función alrededor del punto, puesto que en el cociente usado para definirla nos aparece el incremento f( f( de la función en relación con el incremento de la variable. El valor del cociente f( f(, para cada, es la pendiente de la cuerda entre los puntos (, f( y (, f( (ver figura aneja, por lo que en el ite se obtendrá la pendiente de la recta tangente a la gráfica de la función en el punto. Es decir, la recta y = f( + f ( ( resulta ser la recta tangente a la gráfica de f en el punto (, f(. y = f( + f ( ( f( f( α } {{ } } f( f( f( f( Diremos que f: A IR es derivable en un conjunto A A, si lo es en cada punto de A. Entonces, se puede construir la función que asocia a cada punto A la derivada de la función f en el punto ; A esta función se le llama función derivada de f y se le representa por f, donde f : A IR. Si a su vez, f : A IR es derivable en un conjunto A A, se puede construir la derivada de la función f en cada punto A. A esta función se le llama función derivada segunda de f y se le representa por (f = f, donde f : A IR. Análogamente se tienen la derivadas de órdenes superiores, f,..., f n. Ejemplo La función constante f: IR IR, con f( = k, es derivable en cada punto de su dominio: f( f( k k = = = = f ( ; con lo que f ( = para todo IR. La función identidad f: IR IR, con f( =, es derivable en cada punto de IR: f( + f( = + = = = f (, y f ( = para todo IR. La función polinómica f: IR IR dada por f( = es derivable en cada punto de su dominio pues f( f( = ( = (+ = + = = f (, y f ( = en IR. La eponencial f( = e es derivable en cada punto de IR y f ( = e, pues e + e e = (e = e ( e = e e = e = e = f (. f( = ln, es derivable en (, + y f ( = + ln(+ ln( ln( = ln(+ = = ln(+ = = f (. La función f( = sen es derivable en cada punto de IR y f ( = cos ( sen( = cos(+ = cos( + sen( = cos( = cos = f (. sen(+ sen( ( sen sen y = sen( +y + y +y sen( y = sen( +y cos( y +y y + cos( sen( ( sen( +y cos( y +y y cos( sen( = tg α = cos( +y y sen(

2 Matemáticas I : Cálculo diferencial en IR. Derivada de una función en un punto La función f( = cos es derivable en cada punto de IR y f ( = sen cos(+ cos( ( sen( = sen(+ = sen( + sen( = sen( = f (. ( Análogamente al caso del seno, cos cos y = cos( +y + y +y cos( y +y y = sen( sen( La recta y = cos sen ( = es la recta tangente a cos( en el punto. Análogamente, la recta y = sen + cos ( = es la tangente a sen( en el. f( f( Para que una función sea derivable, debe eistir. Aora bien, el denominador siempre tiende acia, por lo que sólo puede eistir el ite si el ite del denominador también es cero; puesto que si f( f( entonces f( f( o no eiste. Luego debe cumplirse que f( = f(, es decir que f sea continua en : Teorema 5.- Si f es derivable en un punto entonces f es continua en dico punto. Veamos que f( = f(. Para cada, la función f( puede escribirse en la forma f( = f( f( + f( = f( f( ( + f(, y tomando ites se prueba la continudad de f en, ya que: f( f( f( = ( + f( = f ( + f( = f(. Nota: Como consecuencia de este resultado una función sólo puede ser derivable en los puntos de continuidad. Pero la continuidad no garantiza la derivación: Ejemplo La función f( = es continua pero no derivable en, ya que f( f( + = + = + = y f( f( = = = Como para los ites y la continuidad, la derivabilidad se etiende bien mediante las operaciones con funciones: Propiedades 6.- Sean f y g funciones derivables en un punto, entonces: a f + g es derivable en y (f + g ( = f ( + g (. b fg es derivable en y (fg ( = f ( g( + f( g (. c f/g es derivable en, si g(, y (f/g ( = f ( g( f( g ( (. g( Ejemplos Si g derivable en y k una constante, f( = k g( es derivable en y f ( = k g (. En efecto, basta aplicar la fórmula del producto, f ( = g( + k g ( = k g (. La función f( = 3 es derivable en cada IR, por ser producto de funciones derivables. f( = 3 = = g((, y f ( = (g ( = g (( + g( ( = + = 3. En general, f( = n es derivable en IR con f ( = n n y los polinomios son derivables en IR. f( =, cociente de derivables, es derivable en su dominio y f ( = (( ( ( = +. Regla de la cadena 7.- Sea f derivable en y g derivable en f(, entonces la función compuesta g f es derivable en y además: (g f ( = g ( f( f (. Ejemplo f( = α es derivable en (, +, pues f( = α = e α ln( donde g( = e y ( = α ln son derivables en sus dominios. Además, f ( = g (( ( = e α ln (α = α α = αα.

3 3 Matemáticas I : Cálculo diferencial en IR. Derivada de una función en un punto.. Aplicaciones de la derivada Regla simple de L Hôpital 8.- Si f( = g( = y f y g son derivables en con g (. f( Entonces, g( = f ( g (. Por ser f y g derivables en, y f( = g( =, se tiene f( g( = f( f( g( g( = f( f( = g( g( f( f( = f ( g( g( g ( Ejemplo sen = pues f( = sen y g( =, verifican las condiciones del resultado, f( = g( =, f ( = cos( y g sen ( =. Luego = cos( = ln cos(π+e. Ejemplo Calcular el valor del ite La función f( = ln verifica que f( = y derivable en con f ( = y f ( =. La función g( = cos(π + e verifica que g( = cos(π + e = + = y derivable en con g ( = π sen(π + e ( y g ( = π sen(π + e ( =. ln Luego = cos(π+e Nota: La derivación es una potente erramienta para el cálculo de ites, no solo por el resultado anterior sino por la más útil Regla General de L Hôpital 38 y los polinomios de Taylor, que veremos más adelante.... Crecimiento de una función en un punto. Etremos locales El significado de la derivada como lo que crece la función cerca del punto, queda de manifiento con el siguiente resultado: Teorema 9.- Sea f: (a, b IR derivable en el punto (a, b. Entonces, si f ( > (resp. f ( < la función f es estrictamente creciente (resp. decreciente en. Si f ( >, como f f( f( ( =, se tiene que f( f( > para los cercanos a. Entonces si <, como >, necesariamente f( f( > de donde f( < f( y si <, es < y debe ser f( f( < de donde f( < f( Análogamente, para f ( <. Definición 3.- Sea f: (a, b IR, se dice que f alcanza un máimo local en el punto (a, b (o que f( es un máimo local de f si f( f( para todos los de algún entorno E(, δ de. Se dice f alcanza un mínimo local en si f( f( para todos los del entorno. Nota: Diremos etremo local para referirnos indistintamente a un máimo o un mínimo local. Proposición 3.- Sea f: [a, b] IR continua y c (a, b. Si f es decreciente en cada [a, c y creciente en cada (c, b], entonces f(c es un mínimo local de f. Si f es creciente en cada [a, c y decreciente en cada (c, b], f(c es un máimo local de f. En efecto, en el primer caso, por ser f continua en [a, b] eiste el mínimo de f en el conjunto, pero no se puede alcanzar en un punto de [a, c ya que todos los puntos son decrecientes (el valor de f en el punto es mayor que los cercanos de su dereca; y no puede alcanzarse en (c, b] ya que todos los puntos son crecientes (el valor de f

4 4 Matemáticas I : Cálculo diferencial en IR. Derivada de una función en un punto en el punto es mayor que los cercanos de su izquierda. Luego necesariamente, el mínimo tiene que alcanzarse en c. Análogamente, para el caso del máimo. Ejemplo La función f( = presenta un mínimo local en, pues es continua en IR (luego en cualquier intervalo cerrado como [, ], decreciente a la izquierda de (f( = y creciente a la dereca (f( =. Nota: La ipótesis de continuidad de la función es imprescindible para asegurar el resultado. En la figura aneja pueden observarse distintas situaciones en las que sin continuidad no ay los etremos esperados: en los dos primeros casos la función no alcanza el máimo esperado y no ay etremo local; en el tercero, no se tiene el máimo esperado aunque sí un etremo ya que se alcanza un mínimo local en el punto. Con la continuidad, si f es creciente (o decreciente en los puntos a dereca e izquierda de c, también se garantiza la no eistencia de etremo. Pero sin continuidad, a pesar de ser creciente antes del punto y creciente despues del punto puede eistir etremo, como en la cuarta situación de la figura donde tenemos un máimo local. Corolario 3.- Sea f: [a, b] IR continua en [a,b] y derivable en (a, b. Si f ( < (resp. f ( > para cada (a, c y f ( > (resp. f ( < en cada (c, b, la función f alcanza en c un mínimo local (resp. máimo local. Ejemplo La función f( = e, continua y derivable en IR, presenta un máimo local en, pues su derivada f ( = e ( es positiva si < y negativa si >. Teorema 33 (Condición necesaria de etremo.- Sea f: (a, b IR. c (a, b y f alcanza un etremo local en c, entonces f (c =. Si f es derivable en el punto Si f es derivable en c, eiste f f( f(c (c = c c f( f(c = c c <c = c >c f( f(c c. Entonces si f(c es un máimo local, se verifica que f( f(c para los cercanos a c, luego f f( f(c (c = c = c <c ( y f f( f(c (c = c = c >c Análogamente, si f(c es mínimo local, f( f(c, luego f f( f(c (c = c c <c ( = f (c = y f f( f(c (c = c = f (c = c >c Ejemplo La función f( = e del ejemplo anterior, es derivable en y presenta un máimo local en. Y ciertamente se verifica que f ( = e ( =. La condición anterior es sólo una condición necesaria, bajo la ipótesis de derivación, pero no es suficiente para asegurar la eistencia de etremo. Es decir, de los puntos donde la función sea derivable puede alcanzarse etremo únicamente en aquellos donde la derivada se anule, pero también puede no alcanzarse etremo en ellos. Son, de entre los puntos derivables, los únicos puntos candidados a albergar etremo. En consecuencia, para encontar los etremos locales de una función, basta con buscarlos entre los puntos donde sea derivable, con derivada cero, y los puntos donde la función no sea derivable. Ejemplo local en el punto. La función f( = 3 es derivable en IR y f ( = 3 se anula en =, pero no tiene etremo

5 5 Matemáticas I : Cálculo diferencial en IR. Teoremas de derivación Ejemplo La función f( = es continua en [, 3] y derivable en (, 3; su derivada en (, 3 es f ( = 3 ( 4 y se anula (f ( = en los puntos = y =. Entonces los únicos puntos candidatos a albergar un etremo local son = y = (donde eiste la derivada y se anula, pero también los puntos = y = 3 donde la función no es derivable (por ser etremos del intervalo de definición. De eco, el los etremos del intervalo se alcanza etremo local (f( y f(3 son máimos locales y también en el punto interior = (f( es mínimo local; mientras que el otro candidato = no alberga etremo.. Teoremas de derivación Los tres teoremas siguientes son básicos para pasar los resultados de derivación sobre puntos a todo un intervalo, lo que nos servirá además para contruir mejores erramientas de trabajo. Teorema de Rolle 34.- Sea f: [a, b] IR tal que f es continua en [a, b] y derivable en (a, b y además f(a = f(b, entonces c (a, b tal que f (c =. Por ser f continua en [a, b], el Teorema de Weierstrass ( garantiza que se alcanzan el máimo y el mínimo en el conjunto. Entonces, si se alcanza uno de los etremos en algún c (a, b, por ser f derivable en (a, b, se cumple que f (c = si los etremos se alcanzan en a y b, por ser f(a = f(b, el máimo y el mínimo deben coincidir, por lo que la función es constante en [a, b] y f (c = para todo c (a, b. Ejemplo La función polinómica f( = 4 4 se anula en = y =, luego f( = = f( y es continua y derivable en [, ]. Entonces, el polinomio f ( = tiene alguna raíz entre y. Nota: Si la función no es constante, el teorema de Rolle tiene otra lectura: se asegura la eistencia de al menos un etremo en el intervalo. Geométricamente, el teorema de Rolle significa que eiste un punto con tangente orizontal. El teorema siguiente, conocido como de los incrementos finitos o del valor medio de Lagrange, generaliza el Teorema de Rolle. Y, en sentido geométrico, significa que ay un punto cuya recta tangente tiene la misma pendiente que la cuerda que une los puntos etremos de la gráfica f(b f(a = f (c. f(a = f(b f (c = a c b Teorema de Rolle f(b f(a f (c = f(b f(a a c b Teorema de Lagrange Teorema del valor medio de Lagrange 35.- Sea f: [a, b] IR tal que f es continua en [a, b] y derivable en (a, b, entonces c (a, b tal que: f(b f(a = f (c(b a Como a b, podemos escribir f (c = f(b f(a, es decir, buscamos un c (a, b tal que f (c sea la pendiente de la cuerda entre los puntos (a, f(a y (b, f(b que tiene por ecuación y = f(a + f(b f(a ( a. Consideremos entonces la función g( = f( ( f(a + f(b f(a ( a (la función menos la cuerda para llevar el problema a las condiciones del teorema de Rolle. En efecto, g: [a, b] IR es continua en [a, b] y derivable en (a, b por ser suma de continuas y derivables, además, g(a = f(a ( f(a + f(b f(a (a a = y g(b = f(b ( f(a + f(b f(a (b a =. Entonces, eiste c (a, b tal que g (c = ; y como g ( = f ( f(b f(a, se tiene la igualdad propuesta ya que = f (c f(b f(a.

6 6 Matemáticas I : Cálculo diferencial en IR. Teoremas de derivación El último de los teoremas y más general es el teorema de Caucy. Aunque gráficamente no tiene un significado claro, es muy útil para la etensión de la teoría: Teorema del valor medio de Caucy 36.- Sean f y g funciones continuas en [a, b] y derivables en (a, b. Si g (, (a, b, entonces c (a, b tal que: f(b f(a g(b g(a = f (c g (c Con los teoremas anteriores y la derivación, ya se puede asegurar la monotonía por intervalos: Proposición 37.- Si f es un función continua en [a, b] y derivable en (a, b y f ( >, (a, b, entonces f es estrictamente creciente en [a, b]. Si f es una función continua en [a, b] y derivable en (a, b y f ( <, (a, b, entonces f es estrictamente decreciente en [a, b]. Para cualesquiera, [a, b], con <, consideremos el intervalo [, ]. Podemos aplicar el teorema del valor medio de Lagrange en este intervalo, luego c (, tal que f( f( = f (c(. Entonces, si f > en (a, b, también f (c > y se tiene que f( f( = f (c( > por lo que f( < f( y, en consecuencia, f es estrictamente creciente en [a, b]. si f < en (a, b, también f (c < y se tiene que f( f( = f (c( < por lo que f( > f( y, en consecuencia, f es estrictamente decreciente en [a, b]. Y también podemos obtener el resultado de la Regla General de L Hôpital para el cálculo de ites: Regla General de L Hopital 38.- Sean f y g funciones derivables en un entorno reducido de, E (, δ, con g( y g (, E (, δ y f( = = g(. Entonces, si eiste f ( f( g ( se cumple que g( = f ( g (. Nota: Esta regla es también válida en los casos en que sea + ó y cuando f( = + ó y g( = + ó, (también en este caso puede ser + ó sin más que traducir las ipótesis de f y g a entornos de + ó. sen( Ejemplo Calcular el. Las funciones f( = sen( y g( = 3 son derivables en IR, 3 con f( = = g(; y sus derivadas son f ( = cos( y g ( = 3. Entonces, por L Hôpital, el ite inicial eiste si eiste él del cociente de las derivadas, por lo que emos trasladado el problema al cálculo de un nuevo ite. Como también es indeterminado y las derivadas son derivables, podemos aplicar de cos( 3 nuevo L Hôpital para resolver este ite. Sucesivamente, tendremos que sen( cos( sen( 3 = 3 = = 6 6 sen( = 6 La eistencia del último ite garantiza la cadena de igualdades. Ejemplo Calcular π tg( + ln. Como las funciones del cociente son derivables cerca de +, y tg( π π tg( + ln = + cos ( π Ejemplo Sabemos que + = + cos ( π = ( = =, y usando l Hôpital ln + cos( π ( sen( π + +3 =, aplicando l Hôpital ( = ( + = + +3 = + = Añadamos un resultado que puede parecer irrelevante, pero que resulta de utilidad para las funciones definidas a trozos:

7 7 Matemáticas I : Cálculo diferencial en IR. Teoremas de derivación Proposición 39.- Sea f: (a, b IR tal que f es continua en (a, b, f es derivable en un entorno reducido de, y eisten los f ( y f (. Entonces: f es de derivable en si y sólo si f ( = f (. Por ser f continua en, f( f( cuando L Hôpital para obtener las igualdades de ites siguientes: y, por ser derivable, puede aplicarse la Regla de f( f( = f ( = f ( f( f( = f ( = f ( Entonces, si f es derivable en, f ( = Recíprocamente, si f ( = f( f( f (, entonces global, por lo que f es derivable en y f ( = = f( f( y f( f( = f (. f ( = f( f( f ( = f (. y eiste el ite {, si Ejemplos La función f( = = no es derivable en =. En efecto, es continua en, si < = y derivable en IR {}, y como f ( = = f ( = =, la función + + no es derivable en el punto. { La función f( =, si es derivable en =. En efecto, es continua en = y derivable, si < en IR {}, y como f ( = = = f ( = =, la función es derivable en + + el punto y f ( =... Teorema de la función inversa El siguiente teorema garantiza de modo sencillo la eistencia de función inversa en un conjunto y procura un método para obtener las derivadas de la inversa aunque no conozcamos su epresión. Teorema de la función inversa 4.- Sea f: [a, b] IR continua en [a, b] y derivable en (a, b, con f > ó f < en (a, b. Entonces f admite función inversa derivable en (a, b y (f ( f( = f (. Corolario 4.- Si f es estrictamente creciente (resp. estrictamente decreciente, su inversa f es estrictamente creciente (resp. estrictamente decreciente Como (f ( f( = f (, su signo es el mismo que el de f. Corolario 4.- Si f es continua, entonces la derivada de la inversa es también continua. Ejemplo La función f( = tg es continua y derivable en ( π, π, con f ( = + tg que es mayor que cero en cada punto. Luego f es estrictamente creciente en el intervalo y su función inversa arctg: IR ( π, π es también estrictamente creciente y (f (tg( = +tg luego aciendo y = tg, se obtiene que (f (y = (arctg y = + y Ejemplo La función f( = s( es continua y derivable en IR, con f (c = c( que es continua y mayor que cero en el conjunto. Luego admite inversa en IR y su función inversa args: IR IR tiene también derivada continua. Como (f (s( = c( aciendo y = s( y usando que c s =, se tiene (f (y = (args y = + y

8 8 Matemáticas I : Cálculo diferencial en IR. Teoremas de derivación Inversas de las demás funciones trigonométricas e iperbólicas f( = sen tiene por inversa en [ π, π ] a arcsen: [, ] [ π, π ] y (arcsen y = y f( = cos tiene por inversa en [, π] a arccos: [, ] [, π] y (arccos y = y f( = c tiene por inversa en [, + a argc: [, + [, + y (argc y = y f( = t tiene por inversa en IR a argt: (, IR y (argt y = y.. Representación gráfica de funciones ( A lo largo de este tema (y también en el anterior emos obtenido resultados sobre el comportamiento de la función: continuidad, monotonía, etremos,.... Resultados que también se reflejan en la gráfica de la función, y que vamos a utilizar, para realizar un esbozo de la misma. La representación gráfica será más completa tras el tema siguiente sobre las derivadas de órdenes superiores.... Monotonía y etremos locales Basta para ello reunir algunos de los resultados ya obtenidos, en particular: uso del signo de la derivada para el crecimiento de la función, la condición necesaria de etremos locales, la condición suficiente de etremo que se da en la Proposición 3. Para el estudio del signo de la función derivada, si esta es continua, puede resultar útil el Teorema de Bolzano. Si f (c = y f (d =, f continua en [c, d] y no se anula en ningún otro punto, el signo de f ( es el mismo para todos los (c, d. En efecto, si dos puntos de (c, d, y, con <, verifican que f tiene signos distintos, por ser continua, tendría que eistir un punto (, en el que f ( = en contra de que no se anula en ningún punto más del conjunto. Luego todos tienen el mismo signo y para conocerlo basta con calcularlo en uno de los puntos. Ejemplo La función f( = es continua en [, 3] y derivable en (, 3; su derivada en (, 3 es f ( = 3 ( 4 y se anula únicamente en = y =. Como la función derivada f ( = 3 4 ( es continua en (, 3 y en (, ] sólo se anula en, tiene el mismo signo en todos los puntos de (-,; como f ( = 5 3 < en (, es siempre negativa y la función f es decreciente en (,. f ( es continua en [, ] y sólo se anula en los etremos, luego tiene el mismo signo en (,. Como f ( = 3 4 < es siempre negativa y f es decreciente en (,. f ( es continua en [, 3 y sólo se anula en, luego tiene el mismo signo en (, 3. Como f ( 5 = 75 3 > es siempre positiva y f es creciente en (, 3. Los únicos puntos candidatos a albergar un etremo local son = y = (donde eiste la derivada y se anula, y los puntos = y = 3 donde la función no es derivable por ser etremos del dominio. Como f es continua en y es decreciente en (,, f( es un máimo local. Como f es continua en y es decreciente en (, y decreciente en (,, f( no es un etremo. Como f es continua en y es decreciente en (, y creciente en (, 3, f( es un mínimo local. Como f es continua en 3 y es creciente en (, 3, f(3 es un máimo local.... Concavidad y conveidad Hemos visto en la condición necesaria de etremo local cómo, cuando es derivable, la derivada en el punto es cero; o lo que es lo mismo, la recta tangente a la gráfica en el punto es orizontal. Si el etremo es un máimo, para valores cercanos al punto los valores de la función son menores que el máimo local luego, gráficamente, los puntos de la gráfica están por debajo de la recta tangente; y si es un mínimo los puntos de la gráfica están por encima de la recta tangente. Pero, también eso puede ocurre en cualquier otro punto (ver la gráfica que ilustra los teoremas de Rolle y del valor medio de Lagrange en pág 5 y nos lleva a las definiciones de función cóncava y convea.

9 9 Matemáticas I : Cálculo diferencial en IR.3 Ejercicios Aunque pueden darse definiciones para las que no es necesaria la derivación (mejores y menos restrictivas que éstas, las que damos a continuación son sencillas de introducir y más que suficientes para el uso que aremos de los conceptos, pero también incorporann erramientas para una fácil manipulación. Definición 43.- Diremos que una función f: (a, b IR, derivable en (a, b es convea en el punto si f( f( + f ( ( para los de algún entorno de. Diremos que es cóncava en si f( f( + f ( ( para los de algún entorno de. Diremos que es cóncava o convea es un intervalo si lo es en cada punto. Un punto de continuidad se dice de infleión si la función cambia de concavidad en él. Nota: En otras palabras, diremos que es convea (cóncava en si, cerca de, la gráfica de la función está por debajo (encima de la recta tangente en el punto. Con los comentarios ecos en la introducción de este apartado, en los máimos donde la función sea derivable la función es convea y en los mínimos cóncava. Ejemplo La función f( = es cóncava en cada punto de IR. Como es derivable en cada punto = a y f ( =, se cumple que f( ( f(a + f (a( a = a a( a = a + a = ( a para todo, luego f( f(a + f (a( a y es cóncava en cada punto. Ejemplo La función f( = ( 3, es convea en =, cóncava en = 3 y presenta un punto de infleión en =. En efecto, consideremos la función g a ( = f( (f(a + f (a( a entonces, si g a ( en algún entorno de a es cóncava en a, si g a ( en algún entorno de a es convea en a y si g a ( cambia de signo en a es un punto de infleión. Como g a (a = y es derivable (pues f lo es, veamos como se comporta cerca de cada uno de los puntos indicados: En =, se tiene g ( = 3(, por lo que es positiva antes de y negativa depués (y g es creciente antes de y decreciente depués luego g ( g ( = en algún entorno de. En = 3, se tiene g 3( = 3( + ( 3, por lo que es negativa antes de 3 y positiva depués (y g 3 es decreciente antes de 3 y creciente depués luego g 3 ( g 3 (3 = en algún entorno de 3. En =, se tiene g ( = 3(, por lo que es positiva antes de y también depués (y g es creciente antes de y creciente depués luego g ( g ( = para los menores que y g ( para los mayores que. Luego es convea en =, cóncava en = 3 y tiene un punto de infleión en =..3 Ejercicios.7 Aplicar las reglas de derivación, para encontrar la epresión de f en: a f( = + b f( = + + c f( = d f( = ln e f( = ln(sen f f( = (ln( g f( = arctg + f( = ln(arccos(tg( i f( = ( Encontar la epresión de las funciones derivadas, indicando el conjunto donde tienen validez: a f( = b f( = + c f( = 4 5 (+ 3 d f( = e f( = ln f f( =.9 Hallar la recta tangente a las gráficas de las funciones siguientes en los puntos que se indican: a f( = 3, en = y en =. b f( = e, en = y en =.

10 Matemáticas I : Cálculo diferencial en IR.3 Ejercicios c f( =, en = y en = +.. Probar que la parábola y = ( + + tiene recta tangente en todos sus puntos. En qué puntos la recta tangente pasa por (,?. Usar la regla de L Hôpital, para calcular a 4 (+ b d e 3 ln( g j m e ln(cos π + c f 3 3 sen +e arctg cos π i ( + ( π arctg( k α ln α IR l 6 ( ln ln α n sen o + ( +. Estudiar la derivabilidad y obtener las derivadas, de las funciones del ejercicio 9.. α IR.3 Obtener las asíntotas de las funciones del ejercicio { arctg +4 Estudiar la continuidad y derivabilidad de la función f( = 4, si π, e indicar sus intervalos de crecimiento y decrecimiento. Tiene, si = asíntotas?.5 Para las funciones f, g y del ejercicio 9.3: a Estudiar su derivabilidad en los puntos del dominio. b Dar la epresión de las funciones derivadas. c Obtener los intervalos de monotonía. d Estudiar la eistencia de etremos locales. e Estudiar la eistencia de asíntotas. f Estudiar la continuidad y derivabilidad de las funciones f, g y..6 Hallar los etremos locales y globales de f( = + en [, 3] y en [, +..7 Estudiar la monotonía de f( = sen en [, π] y deducir de ello que sen en [, π]..8 Probar que: a Si f es una función estrictamente creciente, entonces f g alcanza un máimo/mínimo en a alcanza un máimo/mínimo en a b Si f es una función estrictamente decreciente, entonces f g alcanza un máimo/mínimo en a g alcanza un mínimo/máimo en a.9 Usar los resultados del ejercicio.8, para encontrar los etremos locales de las funciones a f( = e + +3 b f( = ( 5 +. Si f es par y alcanza un etremo en = a, alcanzará también un etremo en = a? Que ocurrirá si f es impar? Y si es periódica de periodo T?. Problema: Con una cuerda atamos una vaca al eterior de un edificio de planta cuadrada situado en el centro de un prado. Si la longitud de la cuerda es la misma que el lado del edificio, en qué punto debemos atar la vaca para que tenga la mayor área posible de pasto? y la menor? Modelado del problema: Representamos el edificio por un cuadrado de lado L, por ejemplo él de vértices (,, (L,, (L, L y (, L. Como el edificio es cuadrado, ocurre lo mismo en cada lado, por lo que basta estudiar uno de los lados, por ejemplo el lado inferior (el segmento {(, : [, L]}.

11 Matemáticas I : Cálculo diferencial en IR.3 Ejercicios Luego, para cada [, L], debemos encontrar un función f que asigne a cada el área buscado, es decir, tal que f( = área-abarcado-atando-en-. La solución del problema se obtiene encontrando los puntos donde de alcancen el máimo y el mínimo global de f en el intervalo [, L]. a Resolver el problema planteado. b Repetir el problema para una cuerda de longitud la mitad del perímetro del edificio.. Descomponer en dos sumandos tales que el cuádruplo del primero más el cuadrado del segundo sea mínimo..3 Hallar dos números cuya suma sea a, de modo que la suma de la cuarta potencia de uno, más el cuadrado del otro, sea máima..4 Entre todos los rectángulos de área 5, cuál es el de perímetro mínimo? y máimo?.5 Sean los triángulos rectángulos que tienen la suma de los catetos constante (e igual a k. Cuál de ellos tiene área máima?.6 Dado un triángulo isósceles de base 8 cm y altura 5 cm, allar las dimensiones de un rectángulo inscrito en él de área máima..7 Un prisma de 5 cm de altura tiene como base un triángulo rectángulo de ipotenusa igual a cm. Calcular las longitudes de los catetos para que el volumen sea máimo..8 De entre todos los cilindros con volumen π cm 3, escoger el de área lateral máima. Cuál es el de área total máima?.9 Hallar las distancias mínima y máima del punto (, a la circunferencia ( + (y = 9..3 Hallar, las dimensiones del cilindro de volumen máimo inscrito en una esfera de radio R.3 Hallar, las dimensiones del cilindro de área total máima inscrito en una esfera de radio R.3 Un pescador en bote de remos se encuentra, mar adentro, a una distancia de km. del punto más cercano de una playa recta y desea llegar a otro punto de la playa a 6 km. del primero. Suponiendo que se puede remar a una velocidad de 3 km/. y caminar a 5 km/, qué trayectoria debe seguir para llegar a su destino en el menor tiempo posible? Si tiene una lanca que viaja a 5 km/, qué trayectoria debe seguir aora?.33 Hay que cortar un ilo de longitud L en dos trozos. Con uno de ellos se forma un círculo, y con el otro un cuadrado. Cómo ay que cortar el ilo para que la suma de las áreas sea máima? Y para que sea mínima?..34 Un camión a de recorrer 3 kms en una carretera llana a una velocidad constante de km/. Las leyes de circulación prescriben para la velocidad un máimo de 6 km/ y un mínimo de 3 km/. Se supone que el carburante cuesta 3 duros/litro y que el consumo es de + litros por ora. El conductor cobra duros por ora. Teniendo en cuenta que la empresa paga al conductor y el carburante, a qué velocidad tendrá que viajar el camión para que el dinero desembolsado por la empresa sea mínimo..35 Sea f( una función derivable en todo IR, cuya gráfica es simétrica respecto al eje OY. a Estudiar la paridad (simetría de f (. b Determinar, si es posible, f (..36 Sea f una función de clase (derivable con derivada continua en la recta real IR. Supongamos que f tiene eactamente un punto crítico que es un mínimo local estricto de f. Demostrar que también es un mínimo absoluto para f.