FUNCIONES ELEMENTALES

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1 FUNCIONES ELEMENTALES Página 05 REFLEIONA RESUELVE A través de una lupa Mirando un objeto pequeño (un capuchón de bolígrafo, por ejemplo) a través de una lupa situada a 0 cm, este se ve notablemente ampliado. Al variar la distancia se modifica el tamaño. La relación entre ambas variables es (para una cierta lupa): A A = d d d = distancia de la lupa al objeto (en dm) A = aumento (número por el que se multiplica el tamaño) a) Para d = 0, A =. Qué significa esto? b) Calcula el valor de A para d =. c) Si damos a d los valores,5;,9 y,99, se obtienen valores de A cada vez más grandes. Por qué? d) Para d = 3, se obtiene A =. Qué significa el signo menos? a) Si se pega la lupa al objeto, el tamaño que se ve es el real. Es decir, no aumenta. b) d = 8 A = = c) El denominador se va haciendo cada vez más pequeño. Al dividir por un número cada vez más cercano a cero, el resultado es cada vez mayor. d) Significa que la imagen se ha invertido. Unidad. Funciones elementales

2 Ruido y silencio La intensidad del sonido que nos llega de un foco sonoro depende de la distancia a la que nos encontremos de él. Supongamos que: I = 00 d I = intensidad (en decibelios) d = distancia (en m) I d 3 5 Averigua a qué distancia hemos de estar para que la intensidad sea de db. 00 = 8 d 00 = 8 d =,5 =,5 m d Debemos estar a,5 metros del foco sonoro. Funciones trozo a trozo Representa gráficamente las siguientes funciones: + 3 si < + 5 si Ì 0 a) y = b) y = 5 si Ó si > 0 + si < + 5 si Ì 0 c) y = d) y = 3 si Ì Ì + 5 si > 0 7 si > a) b) c) 5 d) Unidad. Funciones elementales

3 UNIDAD Página 07. Halla el dominio de definición de las siguientes funciones: a) y = + b) y = c) y = d) y = e) y = f) y = / g) y = / h) y = / i) y = / j) y = / k) y = l) y = m) y = n) y = ñ) y = o) y = p) El área de un cuadrado de lado variable, l, es A = l. a) Á b) c) ] d) [, ] e) ] f) ) g) h) ) i) (, ) j) ) k) Á l) Á {0} m) Á {0} n) Á {, } ñ) Á o) Á { } p) l > 0 Página 08. Representa la siguiente función: y = + 7, é (, ] Unidad. Funciones elementales 3

4 . Una función lineal f cumple: f (3) = 5, f (7) =, Dom( f ) = [0, 0]. Cuál es su epresión analítica? Represéntala. 5 9 m = = y = 5 ( 3) = +, é [0, 0] Página 09. En una Universidad, el año 00 había matriculados 0 00 alumnos, y en el año 007, Estimar cuántos había: a) En el año 003. b) En el 005. c) En el 000. d) Cuántos cabe esperar que haya en el 00? e) en el 00? f() = ( 00) = 50( 00) a) f (003) = = 0 90 alumnos. b) f (005) = = 080 alumnos. c) f (000) = = 9 80 alumnos. d) f (00) = = 880 alumnos. e) f (00) = = 3 80 alumnos, aunque la etrapolación es demasiado grande.. El consumo de gasolina de cierto automóvil, por cada 00 km, depende de su velocidad. A 0 km/h consume 5,7 l y a 90 km/h consume 7, l. a) Estima su consumo si recorre 00 km a 70 km/h. b) Cuánto consumirá a 00 km/h? c) a 00 km/h? 7, 5,7,5 a) f () = ( 0) + 5,7 = ( 0) + 5, f (70) = 0,5 + 5,7 =, l b) f (00) = + 5,7 = 7,7 l c) f (00) = 7 + 5,7 =,7 l, aunque la etrapolación es demasiado grande. Unidad. Funciones elementales

5 UNIDAD Página 0. Representa estas parábolas: a) y = + 3 b) y = 3 c) y = + 5 d) y = e) y = + 3 f ) y = + 3 a) b) c) d) e) 8 f) Representa las funciones siguientes: a) y = +, é [, 5) b) y = + 3, é [0, ] c) y =, é ) (, +@) a) b) c) 8 8 Unidad. Funciones elementales 5

6 Página a 3. Las gráficas de la derecha (roja y verde) tienen por ecuaciones y = e y = b. Di qué ecuación corresponde a cada gráfica y averigua los valores de a y de b. a y = es la roja. y = b es la verde. Basta con fijarse en los dominios. a La roja pasa por (, 3), luego 3 = 8 a = La verde pasa por (, ), luego = b 8 b =. Representa: y =, Ì Ì Representa: y = 9, 0 Ì Ì Unidad. Funciones elementales

7 UNIDAD Página. Representa y = y, a partir de ella, estas otras: a) y = + 5 b) y = 5 y = + 5 y = 5 y = Representa y = y, a partir de ella: a) y = b) y = + 5 y = 5 y = + 5 y = Página 3 3. Llamamos f () a y = para >. A partir de ella, representa: a) y = f ( 5) b) y = f ( + ) c) y = f ( ) d) y = f ( + ) Unidad. Funciones elementales 7

8 f () = f ( ) 8 f () f ( + ) f ( + ) f ( 5) 3. Representa: a) y = b) y = + 3 c) y = d) y = + y = y = y = y = Página. Representa: + 3, < +, < a) y = b) y = 5, Ó, Ó 5 b 5 a 5 8 Unidad. Funciones elementales

9 UNIDAD. Representa: y = si Ì si < < si Ó Página 5. Representa las siguientes funciones relacionadas con la función parte entera: a) y = Ent () + b) y = Ent ( + 0,5) c) y = Ent ( ) d) y = Ent (3) a) y = Ent () + b) y = Ent ( + 0,5) c) y = Ent ( ) d) y = Ent (3) Unidad. Funciones elementales 9

10 . Representa: a) y = Mant () 0,5 b) y = Mant () 0,5 c) y = 0,5 Mant () 0,5 Comprueba que esta última significa la distancia de cada número al entero más próimo. Su gráfica tiene forma de sierra. a) y = Mant () 0,5 b) y = Mant () 0, c) y = 0,5 Mant () 0,5 3 3 Página. Representa: y = Representa gráficamente: y = ß 3 ß Unidad. Funciones elementales

11 UNIDAD Página 3 EJERCICIOS PROBLEMAS PROPUESTOS PARA PRACTICAR Dominio de definición Halla el dominio de definición de estas funciones: 3 a) y = b) y = + ( ) c) y = d) y = e) y = f) y = + a) Á {, 0} b) Á {} c) Á { /} d) Á e) Á {0, 5} f ) Á {, } Halla el dominio de definición de estas funciones: a) y = 3 b) y = c) y = d) y = 3 a) 3] b) [/, +@) c) ] d) 0] 3 Halla el dominio de definición de estas funciones: a) y = 9 b) y = c) y = d) y = 5 e) y = f ) y = 3 a) 9 Ó 0 8 ( + 3) ( 3) Ó 0 8 Dominio = 3] «[3, +@) b) Ó 0 8 Dominio = Á c) Ó 0 8 ( ) Ó 0 8 Dominio = [0, ] d) 5 Ó 0 8 ( + ) ( 5) Ó 0 8 Dominio = ] «[5, +@) e) > 0 8 > 8 Dominio = ) f) 3 > 0 8 ( 3) > 0 8 Dominio = 0) «(3, +@) Unidad. Funciones elementales

12 Observando la gráfica de estas funciones, indica cuál es su dominio de definición y su recorrido: Los dominios son, por orden: [, ]; ) «(, +@) y [, +@). Los recorridos son, por orden: [0, ], (0, +@) y [0, +@). 5 De un cuadrado de cm de lado, se cortan en las esquinas triángulos rectángulos isósceles cuyos lados iguales miden. a) Escribe el área del octógono que resulta en función de. b) Cuál es el dominio de esa función? su recorrido? a) A () = b) Dominio: (0, ). Recorrido: (8, ) Una empresa fabrica envases con forma de prisma de dimensiones, / y cm. a) Escribe la función que da el volumen del envase en función de. b) Halla su dominio sabiendo que el envase más grande tiene l de volumen. Cuál es su recorrido? a) V () = 3 b) Dominio: (0, 0). Recorrido: (0, 000) Funciones lineales. Interpolación 7 Di cuál es la pendiente de cada recta: a) y = 5 b) y + = 0 c) + y 5 = 0 d) y = 5 a) b) c) d) 0 Unidad. Funciones elementales

13 UNIDAD 8 Escribe las ecuaciones de las siguientes rectas: a) Pasa por P(, 5) y Q(0, ). b) Pasa por ( 7, ) y su pendiente es 0,75. c) Corta a los ejes en (3,5; 0) y (0, 5). d) Es paralela a la recta 3 y + = 0 y pasa por (, 3). ( 5) a) m = = 0 9 y = 5 + ( ) = b) y = 0,75 ( + 7) = 0,75 3,5 y 0 c) + = 8 y = 5 3,5 5 7 d) m = 3; y = ( + ) = Elige dos puntos en cada una de estas rectas y escribe su ecuación: a) 5 b) c) 0, d) 0, a) y = + b) y = c) y = 0,05 0,05 d) y = 30 0 Calcula, mediante interpolación o etrapolación lineal, los valores de y que faltan en cada tabla: a) b) y 0,5 0,5 0, 0,5 y c) d) y 5 y Unidad. Funciones elementales 3

14 a) y =, ( ) 0,5) 8 y 0 =, (0,5 ) 0,5) =, b) y = 8 + 0,9( 7) 8 y 0 = 8 + 0,9(0 7) = 39,3 c) y = 5 + 0,9( 3) 8 y 0 = 5 + 0,9(7 3) =, y = 5 + 0,9(5 3) = 5,8 d) y = 500 +,9( 85) 8 y 0 = 500 +,9( ) = 795,75 Esta tabla muestra la temperatura atmosférica tomada a diferentes alturas: ALTURA (m) TEMPERATURA ( C) 5,7 8, 5, Calcula la temperatura a 00 m y a 000 m. y = 5 0,00 8 f ( 00) = 5 0,00 00 = 7,08 f ( 000) = 5 0, =,8 Página Gráfica y epresión analítica Dos de estas gráficas no son funciones. Di cuáles son y asocia a cada una de las otras cuatro la epresión analítica que le corresponde. a) y = I b) y = 0,5 II c) y = d) y = No son funciones III y VI. a) 8 IV b) 8 I c) 8 V d) 8 II 8 III IV V VI Unidad. Funciones elementales

15 UNIDAD 3 Asocia a cada una de las gráficas una de las siguientes epresiones analíticas: a) y = + b) y = + 3 c) y = ( + 3) d) y = + I II a) 8 III b) 8 IV c) 8 I d) 8 II III IV Representación de funciones elementales Representa las siguientes parábolas hallando el vértice, los puntos de corte con los ejes de coordenadas y algún punto próimo al vértice: a) y = 0,5 3 b) y = + 3 c) y = d) y = 3 a) Vértice: (0, 3). Corte con los ejes: (, 0), (, 0), (0, 3) b) Vértice: (0, 3). Corte con los ejes: ( 3, 0), ( 3, 0), (0, 3) Unidad. Funciones elementales 5

16 c) Vértice: (0, ). Corte con los ejes: (, 0), (, 0), (0, ) d) 8 Vértice: (0, 0). Corte con los ejes: (0, 0) 5 Representa las siguientes funciones: a) y = + + b) y = c) y = d) y = a) b) c) d) 8 Unidad. Funciones elementales

17 UNIDAD En las siguientes parábolas, halla el vértice y comprueba que ninguna de ellas corta el eje de abscisas. Obtén algún punto a la derecha y a la izquierda del vértice y represéntalas gráficamente: a) y = ( + + ) b) y = 5 ( + ) + c) y = 3 d) y = ( + ) a) b) Vértice: (, 3 ) Vértice: (, ) c) d) Vértice: (0, ) Vértice: ( 3 0, ) 7 Representa gráficamente las siguientes funciones: si < 0 3 si < a) y = b) y = si 0 Ì < si Ó si Ó si < + si < c) y = d) y = (3 5)/ si Ó + 3 si > a) b) Unidad. Funciones elementales 7

18 c) d) 8 Representa las siguientes funciones: a) y = + b) y = c) y = d) y = a) b) 3 c) d) 9 Representa las siguientes funciones: a) y = b) y = + 3 c) y = + d) y = a) b) 8 8 Unidad. Funciones elementales

19 UNIDAD c) d) 8 Página 5 Transformaciones en una función 0 Representa f () = y, a partir de ella, representa: a) g() = f () 3 b) h() = f ( + ) f () = a) b) Esta es la gráfica de la función y = f (): Unidad. Funciones elementales 9

20 Representa, a partir de ella, las funciones: a) y = f ( ) b) y = f () + a) b) A partir de la gráfica de f () = /, representa: a) g() = f () b) h() = f ( 3) c) i() = f () d) j() = f () a) f () = g () = f () b) c) h() = f ( 3) i () = f () 0 Unidad. Funciones elementales

21 UNIDAD d) j() = f () Representa la función f () = y dibuja a partir de ella: a) g() = + b) h() = 3 c) y = d) y = a) b) f() g() 0,8 0, f() 0, 0, 0, 0,8 0, 0, h() 0,5 0,5 3 c) d) y = f() f() y = Valor absoluto de una función Representa la función y = 5 y comprueba que su epresión analítica en intervalos es: + 5 si < 5 y = 5 si Ó Unidad. Funciones elementales

22 5 Representa las siguientes funciones y defínelas por intervalos: a) y = b) y = + c) y = 3 d) y = 3 a) y = si < + si Ó 8 0 b) y = si < + si Ó c) y = + 3 si < 3 3 si Ó d) y = 3 si Ì si > 3 Representa y define como funciones a trozos : 3 3 a) y = b) y = 3 + c) y = d) y = Mira el ejercicio resuelto número 8. a) 3 si < 3 b) y = y = 3 si Ó 3 3 si < 3 + si Ó Unidad. Funciones elementales

23 UNIDAD c) y = si < d) y = si Ó si < + si Ó PARA RESOLVER 7 La factura de la energía eléctrica de una familia ha sido en noviembre 95 por 375 kw h de consumo, y en enero 30, por 55 kw h. Cuánto tendrán que pagar si consumen 0 kw h? y = ,( 375) y(0) = 0 euros 8 Las ventas obtenidas por una empresa han sido de con unos gastos en publicidad de y de con unos gastos publicitarios de Estima cuáles serán las ventas si se invierte en publicidad 000. y = ,5( 3 000) y( 000) = euros 9 El precio del billete de una línea de cercanías depende de los kilómetros recorridos. Por 57 km he pagado,85 euros, y por 8 km, 3, euros. Calcula el precio de un billete para una distancia de 00 km. y =,85 + 0,095( 57) y (00) =,9 euros 30 Un rectángulo tiene 0 cm de perímetro. Escribe la función que da el área de ese rectángulo en función de su base. Cuál es el dominio de esa función? y + y = 0; A = y A () = 0 ; Dom = (0, 0) Unidad. Funciones elementales 3

24 3 Observamos en una farmacia una tabla con los pesos de los niños menores de años, según su edad: (años) 3 9 y (kg) 0 0 Estima el peso de un niño a los 5 años y a los 0 años. y = 0 + ( ) y = 0 + = 8 kg a los 5 años. y = = 8 kg a los 0 años. 3 Los gastos fijos mensuales de una empresa por la fabricación de televisores son G =000+5, en euros, y los ingresos mensuales son I = 0 0,0, también en euros. Cuántos televisores deben fabricarse para que el beneficio (ingresos menos gastos) sea máimo? La función Beneficio viene dada por la epresión: B = I G = 50 0, = 0, Se trata de una parábola con las ramas hacia abajo. El máimo de la función se encuentra en el vértice: b 5 0 = = = 5 a 0,0 El beneficio máimo se obtendrá para 5 televisores. 33 Una pelota es lanzada verticalmente hacia arriba desde lo alto de un edificio. La altura que alcanza viene dada por la fórmula h = 80 + t t (t en segundos y h en metros). a) Dibuja la gráfica en el intervalo [0, 5]. b) Halla la altura del edificio. c) En qué instante alcanza su máima altura? a) ALTURA (m) 0 b) 80 metros. c) segundos TIEMPO (s) Unidad. Funciones elementales

25 UNIDAD Página 3 El precio de venta de un artículo viene dado por p = 0,0 ( = número de artículos fabricados; p = precio, en cientos de euros). a) Si se fabrican y se venden 500 artículos, cuáles serán los ingresos obtenidos? b) Representa la función N-º de artículos-ingresos obtenidos. c) Cuántos artículos se deben fabricar para que los ingresos sean máimos? a) Si se venden 500 artículos, su precio será: 0,0 500 = 7 cientos de euros 8 Ingresos = b) INGRESOS I() = p = 0, Nº DE ARTÍCULOS c) Deben fabricar 00 artículos para obtener los ingresos máimos ( euros). 35 Un fabricante vende mensualmente 00 electrodomésticos a 00 euros cada uno y sabe que por cada 0 euros de subida venderá menos. a) Cuáles serán los ingresos si sube los precios 50 euros? b) Escribe la función que relaciona la subida de precio con los ingresos mensuales. c) Qué subida produce ingresos máimos? a) En este caso vendería 90 electrodomésticos a 50 euros cada uno; luego los ingresos serían de = euros. b) I () = (00 + 0) (00 ) = c) El máimo se alcanza en el vértice de la parábola: b 00 = = = euros a 0 3 El coste de producción de unidades de un producto es igual a euros y el precio de venta de una unidad es 50 / euros. a) Escribe la función que nos da el beneficio total si se venden las unidades producidas. b) Halla el número de unidades que deben venderse para que el beneficio sea máimo. Los ingresos por la venta de unidades son (50 /) euros. Unidad. Funciones elementales 5

26 a) B () = 50 ( ) = b) El máimo se alcanza en el vértice de la parábola: = = 5 Deben venderse 5 unidades. 37 En la base de una montaña de 00 m, la temperatura es de 0 C y sabemos que baja C por cada 80 m de ascensión. Cuál será la temperatura en la cima? Representa la función altura-temperatura y busca su epresión analítica. y = Si = 00 8 y = 0 = 3, 3 ) 80 La temperatura en la cima será de 3,3 C. TEMPERATURA ( C) ALTURA (m) 38 Dibuja las gráficas de las siguientes funciones: a) y = si Ì b) y = si Ì ( )/3 si > 3 si > c) y = si < d) y = si < 0 si Ó si Ó 0 a) b) c) d) Unidad. Funciones elementales

27 UNIDAD 39 Representa: a) y = b) y = si Ì si < < si Ó / + si < 3 si Ó a) b) 0 Elena va a visitar a su amiga Ana y tarda 0 minutos en llegar a su casa, que está a km de distancia. Está allí media hora y en el camino de vuelta emplea el mismo tiempo que en el de ida. Representa la función tiempo-distancia y busca su epresión analítica. DISTANCIA A SU CASA (km) TIEMPO (min) f () = (/0) si 0 Ì Ì 0 si 0 < Ì 50 /0 ( 70) si 50 < Ì 70 Busca la epresión analítica de estas funciones: a) b) a) f () = si Ì 3 b) f () = si > 3 si Ì si > Unidad. Funciones elementales 7

28 Representa y define como funciones a trozos : a) y = b) y = c) y = + d) y = + si < a) y = + si Ì Ì b) y = si > si <, + + si, Ì Ì 3, si > 3, ( /) si < c) y = ( /) + si Ì Ì d) y = ( /) si > + si <,7 + si,7 Ì Ì 0,7 + si > 0,7 dividendo resto 3 Utilizando la relación = cociente + podemos escribir la divisor divisor + 3 función y = de esta forma: y = +. Comprueba que su gráfica coincide con la de y = / trasladada unidad hacia la izquierda y ha- + + cia arriba. y = Unidad. Funciones elementales

29 UNIDAD y = Representa, utilizando el procedimiento del ejercicio anterior: 3 a) y = b) y = c) y = d) y = a) y = = b) y = = Unidad. Funciones elementales 9

30 c) y = = d) y = = 8 8 Página 7 CUESTIONES TEÓRICAS 5 Una parábola corta el eje de abscisas en = y en = 3. La ordenada del vértice es y =. Cuál es la ecuación de esa parábola? f () = k ( + ) ( 3) = k ( 3) 3 + ( ) Vértice 8 = = ; f () = k = 8 k = La ecuación de la parábola será, por tanto: f () = 3 30 Unidad. Funciones elementales

31 UNIDAD Encuentra los valores de c para que la función y = + + c tenga con el eje de abscisas: a) Dos puntos de corte. b) Un punto de corte. c) Ningún punto de corte. b ac = + c a) + c > 0 8 c > 3 b) + c = 0 8 c = 3 c) + c < 0 8 c < 3 7 Esta es la gráfica de una función del tipo: y = a + b Cuáles son los valores de a y b en esa gráfica? 3 a = ; b = 3 PARA PROFUNDIZAR 8 La distancia que recorre un vehículo desde que se pisa el freno hasta que se para es: d = v v + (d en metros y v en km/h) 00 a) Representa la función en el intervalo [0, 0]. b) Si un obstáculo está a 00 m, cuál debe ser la velocidad máima que puede llevar el automóvil para evitar el accidente? v a) d (m) b) 00 = = v + 00v v + 00v = 0 v v (km/h) 00 ± v = = v = 59,07 (no vale) = v = 5,73 La velocidad debe ser menor de 5 km/h. Unidad. Funciones elementales 3

32 9 Las tarifas de una empresa de transportes son: 0 euros por tonelada de carga si esta es menor o igual a 0 t. Si la carga es mayor que 0 t, se restará, de los 0 euros, tantos euros como toneladas sobrepasen las 0. a) Dibuja la función ingresos de la empresa según la carga que transporte (carga máima: 30 t). b) Obtén la epresión analítica y represéntala. a) INGRESOS CARGA (t) b) f () = Es decir: 0 si 0 Ì Ì 0 [0 ( 0)] si 0 < Ì 30 f () = 0 si 0 Ì Ì 0 0 si 0 < Ì 30 Página 7 AUTOEVALUACIÓN. Halla el dominio de definición de las siguientes funciones: a) y = 3 b) y = 3 ( ) c) y = d) y = 5 a) Al ser una función polinómica, su dominio es todo Á. b) Su dominio es todo Á, salvo los puntos que anulan el denominador. ( ) = 0 8 = 0 8 = 3 Por tanto: Dom y = Á {3} 3 Unidad. Funciones elementales

33 UNIDAD c) Su dominio son los puntos que hacen que el radicando no sea negativo. Ó 0 8 Ì 8 Ì = Por tanto: Dom y = ] d) Al igual que en el apartado anterior: 5 Ó 0 8 (5 ) Ó 0 Esto ocurre si: Ó 0 y 5 Ó 0 8 Ó 0 y Ì 5 8 é [0, 5] Ó 0 y 5 Ì 0 8 Ì 0 y Ó 5 8 Esto no es posible. Por tanto: Dom y = [0, 5]. Asocia a cada una de las gráficas una de las siguientes epresiones: 3 a) y = b) y = c) y = + d) y = + I II a) II b) III c) IV d) I III IV 3. Representa las siguientes funciones: a) y = 0,5 + b) y = 5 + c) f() = si Ì si > 0 a) b) c) Unidad. Funciones elementales 33

34 . Asistir a un gimnasio durante meses nos cuesta. Si asistimos 5 meses, el precio es 570. Cuánto tendremos que pagar si queremos ir durante un año? Vamos a hacer una interpolación lineal. Hallamos la recta que pasa por los puntos (, ) y (5, 570) Su pendiente es m = = = Por tanto, la ecuación de la recta es: y = 3( ) + 8 y = De este modo, si queremos saber cuánto se debe pagar si vamos al gimnasio durante un año ( meses), hacemos: y () = = Habrá que pagar. 5. Ponemos al fuego un cazo con agua a 0 C. En 5 minutos alcanza 00 C y se mantiene así durante media hora, hasta que el agua se evapora totalmente. Representa la función que describe este fenómeno y halla su epresión analítica. TEMPERATURA ( C) La gráfica pasa por los puntos (0, 0) y (5, 00). 00 Hallamos la ecuación de esta recta: Pendiente: = 8 8 y = 8( 0) TIEMPO (min) Para valores de mayores que 5, la temperatura se mantiene constante 8 y = 00. Epresión analítica: f () = si 0 Ì < 5 00 si 5 Ì Ì 35. A partir de la gráfica de y = f (), representa: a) y = + f () b) y = f ( ) c) y = f () y = f () 3 Unidad. Funciones elementales

35 UNIDAD a) La gráfica se desplaza una unidad hacia arriba. + f () b) La gráfica se desplaza una unidad hacia la derecha. f ( ) c) La gráfica es simétrica a la de f (), respecto al eje. f () Unidad. Funciones elementales 35