TEMA III: MATEMÁTICA FINANCIERA.

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1 TEMA III: MATEMÁTICA FINANCIERA. Sucesioes: Ua sucesió de úmeos eales es u cojuo odeado de úmeos eales: a, a2, a3, a4,....a cada uo de los úmeos que foma la sucesió se le llama émio de la sucesió. El émio geeal de ua sucesió es ua expesió algebaica que os pemie calcula cualquie émio de la sucesió sabiedo el luga que ocupa y se epesea po a. Ejemplo: la sucesió {2,4,6,8,0,2,4,6, } iee como émio geeal a 2 Ua Pogesió Aiméica es ua sucesió e la que cada émio se obiee sumado ua caidad fija d,llamada difeecia, al émio aeio, es deci: a a d Ua Pogesió Geoméica es ua sucesió e la que cada émio se obiee muliplicado po ua caidad fija, llamada azó, el émio aeio, es deci: Ejecicios: a a. Calcula el quio émio de la pogesió aiméica de pime émio de difeecia d=3 2. Calcula el cuao émio de ua pogesió geoméica dode a 3 y a 2 y 2 3. El cuao émio de ua P.A. es 0 y el sexo es 6. Esablece los 0 pimeos émios de la pogesió. 4. El eceo y quio émio de ua P.G. so especivamee 8 y 62. Halla el sépimo émio. Suma de los émios cosecuivos de ua pogesió E ua Pogesió Aiméica: E ua Pogesió Geoméica: a S S a a 2 a a a Ejecicios:. Halla la suma de los cico pimeos émios de ua pogesió aiméica, de difeecia 3 y pime émio Halla la suma de los seis pimeos émios de ua pogesió geoméica, cuyo pime émio es 8, y la azó es ½. Ieés. El dieo poduce dieo. Si mees u capial C, e u baco a u édio R (%) aual duae u iempo, obedás uos beeficios que se llama ieeses i, que R viee dados po la siguiee fómula: i C dode (édio al ao po uo, 00 es deci lo que poduce euo e u año). Ejemplo. Si meo 5000 euos a u 3% de édio duae u año, obedé de ieeses i C ,03 50 euos.

2 Ieés Simple e Ieés Compueso. Cuado los ieeses que poduce u capial, se ue al popio capial paa segui poduciedo uevos ieeses, se dice que esoy aplicado u ieés compueso. Si los ieeses o se suma al capial, esaé aplicado u ieés simple. Ejemplo. Supogamos que ioducimos 0000 euos e u baco duae 3 años a u édio aual del 5%, y veamos e cuáo dieo se asfoma aplicado u ieés simple y luego u ieés compueso. Ieés simple. Al cabo de 3 años los ieeses seá i , euos, po ao edé u capial fial de 500 euos. Ieés compueso. El pime año obedé de ieeses i , eu., que sumados al capial iicial hace u oal de 0500 euos. Po ao el segudo año, edé uos ieese de i , euos, que hace u capial de 025 euos, y que poduce e el ece año i 025 0,05 55, 25 euos, y po ao el capial fial obeido después de 3 años seá 576,25 euos. Como puedes ve el esulado fial es disio si uso u ieés simple o u ieés compueso. Exise uas fómulas que os da el capial fial C que poduce u capial C al cabo de años a u R%, ao usado el ieés simple como el compueso: Ieés Simple Ieés Compueso. C C ( ) C C ( ) Ejemplo aeio: C ,053 ; C , , Ejecicio: Deduci cómo se obiee la fómula que os da el capial fial usado el ieés compueso. Peiodos de Liquidació. E los ejemplo aeioes los peiodos de liquidació ea auales, peo o siempe es así, a veces so mesuales, o semesales, imesales, ec. Cuado el iempo o viee dado e años, eemos que dividi el édio aual, e eso peiodos de iempo. Ejemplo, si so días eoces aplico e las fómulas (año 360 fiacieo so 360 días), si es mesual aplico, si es imesal aplico, ec 2 4 Ejecicio: Calcula los ieeses que poduce 3000 euos duae 2 años a u édio del 2% aplicado u ieés compueso y co ua liquidació semesal. Solució: 2 años = 4 semeses(2 cada año) ; = 0,02/2, po ao aplicado la fómula del ieés compueso: 4 0,02 C ,8 euos, po ao poduce uos ieeses de 2,8. 2 Ejecicio2: Calcula los ieeses que poduce 3000 duae 2 años a u édio del 2% aplicado u ieés compueso y: Co ua liquidació aual Co ua liquidació imesal Ejecicio3: Calcula el capial fial que obedé si pogo 2000 duae 500 días a u édio del 2% aplicado u ieés compueso y co ua liquidació cada 00 días. 2

3 Ejecicio4: Calcula el capial fial, que obego co euos duae 8 años a u 3% de édio aual, usado ao el ieés simple como el compueso. Ejecicio5: Qué capial iicial se puso hace 5 años a u ieés simple del 4%, si se ha coveido e 3600 euos? Y a u ieés compueso? Ejecicio6: A qué édio aual ego que poe 2400 euos paa que después de 3 años se coviea e 2544? (calcúlalo paa el ieés simple y paa el compueso) Ejecicio7: He ioducido 8000 euos e u baco, a u ieés compueso del 2,5% duae dos años y medio. Calcula el dieo obeido, si : a. La liquidació es mesual. b. Liquidació imesal c. Liquidació semesal Ejecicio8. A qué édio aual ego que poe 000 euos paa que después de 2 años se coviea e 66,4 euos? Ejecicio9. A cuáos años ego que poe euos usado u ieés simple del 4% aual paa obee euos? y co u ieés compueso? Aualidades de Capializació: So uas caidades de dieo fijas que eegamos al picipio de cada año, paa que al ise acumulado co sus ieeses, os apoe al cabo de uos años u capial deemiado. Se calcula: C C a Demosació. Si al cabo de años queemos ee u capial C, al picipio de cada uo de esos años edemos que eega ua caidad fija a que se llama aualidad de capializació, paa que juo co sus ieeses fome el capial C deseado. La pimea aualidad a se coviee después de años e a La seguda aualidad a se coviee después de - años e a La ecea aualidad a se coviee después de -2 años e 2 a. La úlima aualidad a se coviee después de año e a Teiedo e cuea que los émios de la deecha coespode a ua pogesió geoméica de azó ( + ) y que al sumalos foma el capial C, y po ao: a a a C y al despeja a obeemos la fómula buscada. Ejemplo: Qué caidad aual, edé que paga a u baco paa cosegui al cabo de 0 años, al 4 po 00, u capial de 4000 euos? ,04 Solució: a 320,35 euos 0 0,04 0,04 Aualidades de Amoizació: So uas caidades de dieo fija que eegamos al fial de cada año, paa que esas caidades juo co sus ieeses os pemia cacela o amoiza ua deuda. Se calcula: a D 3

4 Demosació. Si os pesa hoy u capial D, al po, y queemos paga (amoiza) esa deuda e años, dado al fial de cada año ua caidad fija a llamada aualidad de amoizació, iee que cumplise que la suma de las caidades eegadas juo a co los ieeses acumulados al fial del iempo de amoizació sea igual al pésamo que os dieo D peo ambié aumeado co sus ieeses. Po ao: D 2 3 a a a... a a El segudo miembo es la suma de los émios de ua pogesió geoméica de azó (+ ). Eoces: D a a a y al despeja a obeemos la fómula buscada. Ejemplo: Qué caidad ha de pagase al fial de cada año, e los diez años de amoizació de ua deuda de 0000 euos al 8 po 00? Solució: 0 0,08 0,08 a , ,29 euos. 0 0,08 NOTA: Paa calcula mesualidades de capializació o amoizació solo hay que poe el iempo e meses y usa /2. 0,08 0,08 E el ejemplo aeio las mesualidades seia: 2 2 a , , Ejecicios:. Calcula los ieeses poducidos po euos, duae 5 años, a u 7% de édio aual, e caso de ieés simple y ambié a ieés compueso. 2. Si al iicio de cada año igeso e mi baco 000 euos a u édio del 5%, paa que después de 8 años pode dispoe de u capial, Cuál seá ese capial?. 3. Paa compa u coche, he pedido al baco euos a paga e 5 años, y a u 8%. Si decido amoiza al fial de cada año, cuáo edé que eega al baco? Y si lo hago cada mes?. 4. He meido euos e u baco duae 5 años a u ieés compueso y he obeido uos ieeses de 2202 euos. Qué édio aual se les aplico? 5. He decidido ivei ua caidad fija odos los años, paa pode dispoe deo de 2 años de euos y compame u piso. Si el édio aual es del 3%, cuáo ego que ivei cada año? Y si esa caidad fija la ivieo cada mes? 6. He pedido u pésamo de euos a paga e 2 años a u 3% aual. Si decido amoiza al fial de cada año, cuáo edé que eega al baco cada año?, y si decido al amoiza mesualmee? 7. A qué édio aual ego que poe u dieo, paa que después de dos años, se duplique? 8. Cuáo iempo ego que poe u dieo paa que al 0% aual se duplique? 4

5 9. He iveido 000 euos e u baco a u 2% duae 0 años, y he obeido u capial fial de 29 euos. Cuáles ha sido los ieeses? 0. He iveido 2000 euos duae 3 años, co ua liquidació imesal a u 3%, aplicádole u ieés compueso. Cuáles ha sido los ieeses?.. Cuáles so los ieeses poducidos po 500 euos a u ieés simple de u 5% duae 5 años? Cuál es el capial fial obeido? 2. U maimoio decide compa u piso que cuesa y paa ello pide ua hipoeca a u 30 años peo el baco les cocede el 80% del valo del piso. Además edá que gasa e impuesos, oaía, y demás gesioes u 0% del valo del piso. a. Cuáo dieo, al meos, iee que ee ahoado paa pode afoa la compa de la vivieda? b. Si e el momeo de la compa el euibo esá a u 2,25% y el baco les cocede la hipoeca a u ieés de euibo + 0,75 a cuáo ascedeá la lea mesual que edá que paga? c. Después de esa 30 años pagado su hipoeca hasa cacelala, cuáo dieo ha eegado al baco e cocepo de ieeses? 3. Raúl iee 40 años ecié cumplidos y ha decidido coaa u pla de pesioes co el fi de pode dispoe de ua ciea caidad de dieo e el momeo de su jubilació cuádo cumpla los 67 años. Paa ello eegaá mesualmee al baco la caidad de 90 mesuales y el baco le ofece u ieés del 2,4% po dicha capializació. De cuáo dieo dispodá Raúl cuádo se jubile? 4. Queemos coaa u pésamo al 6% de ieés aual y os ofece ee pagos mesuales, semesales o auales. Qué opció os coviee más? 5. Queemos igesa peiódicamee u dieo e ua cuea paa que os apoe uos ieeses. Si el baco os ofece la liquidació de ieeses mesuales, semesales o auales. Qué opció os coviee más? Tasa Aual Equivalee (TAE) Si deseamos deposia ua caidad de dieo o solicia u pésamo e ua eidad bacaia, la ifomació sobe los ieeses que se aplicaá a ueso depósio o pésamo suele se aual. Si embago, e muchas ocasioes los ieese que ecibimos o las cuoas que pagamos se suele hace e plazos ifeioes a u año, y eso hace que las cuoas auales de ieeses o sea eales. Paa pode compaa las disias ifomacioes sobe los ipos de ieés idepedieemee de los peíodos de liquidació, las eidades bacaias esá obligadas a facilia la Tasa Aual Equivalee (TAE). La Tasa Aual Equivalee (TAE) es el ieés poducido po e u año, siedo el édio y el úmeo de veces al año que se hace la liquidació. TAE 00 Ejecicio: Seías capaz de demosa de dóde sale la fómula aeio? Ejecicio: Calcula el TAE e cada uo de los casos popuesos e el ejecicio 4. 5

6 Tablas de Amoizació: La abla de amoizació de u pésamos coiee oda la ifomació sobe el pésamo: Fechas de pago de cada cuoa Cuoa a paga Pae de la cuoa dedicada a amoiza ieés Pae de la cuoa dedicada a amoiza la deuda Deuda pediee de amoiza después de cada pago. Ejemplo: Elaboa la abla de amoizació de u pésamo de al 5,5% duae 2 años y co cuoas auales. Pimeamee, aplicamos la fómula de las aualidades de amoizació y calculamos la cuoa aual que eemos que paga. Obeemos ua cuoa aual de 022,78 A coiuació vamos elaboado la abla: Pago (Fecha) Cuoa Ieeses Capial amoizado Deuda Pediee ,78 0,055 * = , = 5797, ,78 = 89202, ,78 0,055 * 89202,22 = 4906,2 022, ,2 = 66, ,22 66,66 = 83085, , ,7 6453, , , , , , , , , , , ,78 574, ,4 0 Esas ablas, que os so muy úiles, esula muy laboiosas si las cosuimos ayudádoos úicamee de la calculadoa. Imagiemos ua hipoeca a 30 años y co el pago mesual de sus cuoas (2 al año) os supodía ealiza la abla aeio paa u oal de 360 cuoas mesuales. Peo e cambio esula muy secillo dicha elaboació de la abla si os ayudamos de cualquie Hoja de Cálculo. Ejecicio: Jua ha pedido u pésamo pesoal de a 5 años y co u ieés del 8% paa compa u coche. Si iee que paga mesualmee sus cuoas paa devolve el pésamo, calcula: a. Qué cuoa mesual edá que paga cada mes? b. Elaboa la abla de amoizació coespodiee a las 2 pimeas mesualidades. c. Cuáo dieo debe Jua al baco después de u año pagado sus cuoas? d. Ayúdae de ua hoja de cálculo y elaboa la abla de amoizació complea. 6

7 Númeos Ídice. Se ecue a los úmeos ídice cuado se ecesia compaa caidades de foma ápida y secilla. Esos úmeos os pemie esudia las flucuacioes de ua o vaias magiudes e elació co el iempo. Dada ua abla co los daos efeees a disias magiudes, se aa de elaboa ua abla paalela dode se fija el ídice 00 paa cada magiud e u deemiado año (geealmee el pimeo dispoible) y se asfoma los demás daos de foma popocioal. Los úmeos ídice expesa las vaiacioes e puos poceuales, po eso se suele edodea a la uidad. Veamos u ejemplo: La siguiee abla os muesa las caidades de 8 alimeos difeees cosumidas po pesoa y año e el peiodo Huevos (Uid.) 62,2 55,6 49,3 43,4 Cae (Kg) 54,2 53, 52,0 50,6 Pescado (Kg) 27,8 28,6 28,4 28,2 Leche (lios) 9,3 90,4 87,3 82,5 Pa (Kg) 47,4 46,9 45,9 43,4 Fuas (Kg) 90,6 93,3 93,3 92, Huevos (Uid.) Cae (Kg) Pescado (Kg) Leche (lios) Pa (Kg) Fuas (Kg) Noa: La elaboació de esas ablas esula muy secillo y ápido co la ayuda de ua Hoja de Cálculo. Ejecicio: Co base 200, elaboa la abla de úmeos ídice de la evolució de la població e 4 auoomías Adalucía Aagó C. Valeciaa Exemadua Ídice de Pecios de Cosumo (IPC) Ee los úmeos ídice más uilizados esá el Ídice de Pecios de Cosumo (IPC) que mide esadísicamee la evolució de los pecios de los biees y sevicios que cosume la població española. Paa elaboa el IPC, se iee e cuea la impoacia que iee los difeees poducos e el cosumo habiual. Po ejemplo, o iee la misma impoacia la subida de poducos habiuales de cosumo, como puede se el pa, coma la subida de poducos meos habiuales, como puede se los muebles. Se llama cesa de la compa del IPC a la abla de podeacioes de cada uo de los poducos que ieviee e su cálculo. 7

8 Cesa de la Compa Gupo Alimeació y bebidas o alcohólicas Podeació (%) 20,28 2 Bebidas alcohólicas y abaco 2,67 3 Vesido y calzado 8,8 4 Vivieda 0,26 5 Meaje 6,67 6 Medicia 3,04 7 Taspoe 5,20 8 Comuicacioes 3,68 9 Ocio y culua 7,50 0 Eseñaza,47 Hoeles, cafés y esauaes,87 2 Oos 8,57 Toal 00,00 Ejecicio: E esa abla se muesa las vaiacioes e los 2 gupos que foma el IPC duae el mes de mazo de Halla la vaiació del IPC e ese mes. Gupo Vaiació % 0,4 0,9 0, -,0 0, 0,3 0,8-0,2,4 0, 0,4 0,2 La Iflació es el cecimieo coiuo de los pecios de los biees y sevicios de u país compaado co u ivel de ea fijo. Si la iflació sube po ecima de la subida de los salaios se poduce la ua educció del pode adquisiivo. Cuado la Iflació es egaiva, es deci los pecios desciede, se deomia Deflació y suele se u dao muy egaivo paa el país pues eso idica que se esa feado el cosumo y la acividad ecoómica. Ejecicio: Supogamos que la iflació ieaual ha sido de u 3,6% y que u abajado que gaaba 000, ha viso aumeado su sueldo e u 2%. Realmee ese abajado ha viso aumeado o educido su sueldo? E cuáo? Ecuesa de Població Aciva (EPA) Es u úmeo ídice que sive paa deemia el poceaje de població que desempeña algú abajo sobe el oal de població aciva. Al igual que el IPC, lo elaboa el Isiuo Nacioal de Esadísica (INE). Paa su elaboació se visia hogaes. Los dos daos que se exae de la EPA so: - Tasa de població aciva: poceaje de la població que abaja o que busca abajo sobe el oal de la població mayo de 6 años. - Tasa de pao: poceaje de abajadoes e pao sobe el oal de la població aciva. Ejecicio. Imagiemos u país de de habiaes dode hay de habiaes mayoes de 6 años que abaja o busca abajo, y dode abaja de habiaes. Calcula la Tasa de població aciva y la Tasa de pao de dicho país. 8

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