MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES ALUMNO: CONTENIDOS PARA LA RECUPERACION DE ÁREA EN SEPTIEMBRE

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1 TRABAJO DE VERANO º BACHILLERATO MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES ALUMNO: ARITMÉTICA Y ÁLGEBRA CONTENIDOS PARA LA RECUPERACION DE ÁREA EN SEPTIEMBRE Números: reales, irracionales, racionales. Operaciones combinadas de números reales, irracionales y reales. Expresiones algebraicas: Operaciones con fracciones algebraicas, simplificación, Factorización, Teorema del Resto y de Ruffini. Aplicaciones Logaritmos: propiedades, operaciones, cálculo. Ecuaciones: polinómicas, logarítmicas, exponenciales. Sistemas de ecuaciones: Gauss y Cramer. Inecuaciones: lineales, de grado superior y sistemas de inecuaciones con una y dos incógnitas. Aplicaciones de las inecuaciones a la Programación lineal. Matrices: operaciones con matrices. Matriz inversa. Ecuaciones matriciales. Resolución de sistemas de ecuaciones con tres incógnitas en función de un parámetro. Determinantes: aplicación al cálculo de la matriz inversa. Propiedades. ANÁLISIS DE FUNCIONES ESTADÍSTICA Y PROBABILIDAD Interpolación lineal y cuadrática. Funciones: lineal, afín, cuadrática, inversa, logarítmica, exponencial, a trozos, valor absoluto, racional, polinómica. Representación por traslación. Estudio completo, representación y características de las funciones. Límites de funciones. Aplicaciones a la continuidad. Cálculo de asíntotas. Tipos de discontinuidades. Regla de L Hopital Aplicaciones a las ciencias sociales. Derivadas. Interpretación geométrica. Tasas de variación. Crecimiento y decrecimiento. Máximos y mínimos. Aplicación a la representación de funciones. Problemas de optimización. Integrales. Aplicaciones al cálculo de áreas y volúmenes. Análisis estadístico de una variable Análisis estadístico de dos variables. Combinatoria. Cálculo de probabilidades: Teorema de Bayes, Teorema de la probabilidad total. Probabilidad condicionada. Probabilidad compuesta. Distribuciones discretas. Distribución Binomial. Media y varianza Distribuciones continuas: Distribución Normal. Tipificación de variables. Plan de recuperación Matemáticas 1º Bachillerato CCSS A continuación se proponen una serie de actividades OBLIGATORIAS que debes entregar de modo personalizado en el momento de presentarte a la prueba extraordinaria de septiembre. El alumno debe ser responsable de la calidad, la limpieza y el orden y el rigor matemático de las actividades. Procura trabajar todos los días, a ser posible en el mismo lugar y a las mismas horas. Divide los objetivos que tienes que aprender entre los días del verano, dejando tiempo para preparar y repasar el examen. FELIZ VERANO!

2 El trabajo de verano se entrega con la finalidad de dar a los alumnos unas pautas y referencias para que el alumno trabaje durante el verano la asignatura en casa, eso no exime que el alumno realice más ejercicios que estos, repase la teoría y los exámenes hechos y resueltos a lo largo del curso, etc Los alumnos suspensos tendrán que entregar este trabajo en el examen de septiembre (de forma obligatoria), de igual forma los alumnos aprobados pueden entregar este trabajo al inicio del próximo curso académico para que se les valore de forma positiva en las calificaciones de la primera evaluación. BLOQUE DE ÁLGEBRA LINEAL Y GEOMETRÍA 1) Se considera el sistema de ecuaciones: Se pide: a) Resolverlo para m=1 b) Discutirlo para los distintos valores de m 2) Dado el sistema de ecuaciones; Se pide: Hallar m para que el sistema no tenga solución 3) Se considera el sistema de ecuaciones: Se pide: a) Discutirlo para los distintos valores de m b) Resolverlo cuando sea un sistema compatible indeterminado 4) Resolver el sistema: 5) Se considera el sistema de ecuaciones: Se pide: a) Discutir y resolverlo para los distintos valores de a b) Resolverlo para a=1 6) Resolver la ecuación matricial siendo:,, 7) Determinar para qué valores de m tiene inversa la matriz y calcular la matriz inversa para ese valor de m. 8) Estudia según los valores de el siguiente sistema Resuélvalo para

3 9) Dadas las matrices: se pide: a) Hallar el rango de A en función de los valores de k b) Para k=2 hallar, si existe, la solución del sistema AX=B c) Para k=1 hallar, si existe, la solución del sistema AX=C 10) Dado el sistema: 4x 4y 2z 2 x y z 4x 4y z 9 se pide: a) Discutir el sistema según los valores del parámetro b) Resolver el sistema para 1 11) Dada la matriz a 1 1 A 1 1 a 1 1 a Se pide: a) Estudiar el rango de la matriz A según el valor del parámetro a b) Obtener la inversa de la matriz A para a 1 12) Disponemos de euros para invertir en bolsa. Nos recomiendan dos tipos de acciones. Las del tipo A, que rinden el 10% y las del tipo B, que rinden el 8%. Decidimos invertir un máximo de euros en las del tipo A y como mínimo en las del tipo B. Además queremos que la inversión en las del tipo A sea menor que el doble de la inversión en B. Cuál tiene que ser la distribución de la inversión para obtener el máximo interés anual? 13) En una pastelería se hacen dos tipos de tartas: Vienesa y Real. Cada tarta Vienesa necesita un cuarto de relleno por cada Kg. de bizcocho y produce un beneficio de 1 5, mientras que una tarta Real necesita medio Kg. de relleno por cada Kg. de bizcocho y produce 2 Ptas. de beneficio. En la pastelería se pueden hacer diariamente hasta 150 Kg. de bizcocho y 50 Kg. de relleno, aunque por problemas de maquinaria no pueden hacer mas de 125 tartas de cada tipo. Cuántas tartas Vienesas y cuantas Reales deben vender al día para que sea máximo el beneficio? 14) Se va a organizar una planta de un taller de automóviles donde van a trabajar electricistas y mecánicos. Por necesidades de mercado, es necesario que haya mayor o igual número de mecánicos que de electricistas y que el número de mecánicos no supere al doble que el de electricistas. En total hay disponibles 30 electricistas y 20 mecánicos. El beneficio de la empresa por jornada es de 250

4 euros por electricista y 200 euros por mecánico. Cuántos trabajadores de cada clase deben elegirse para obtener el máximo beneficio y cual es este? 15) A una persona le tocan 10 millones de pesos en una lotería y le aconsejan que las invierta en dos tipos de acciones, A y B. Las de tipo A tienen más riesgo pero producen un beneficio del 10 %. Las de tipo B son más seguras, pero producen sólo el 7% anual. Después de varias deliberaciones decide invertir como máximo 6 millones en la compra de acciones A y, por lo menos, 2 millones en la compra de acciones B. Además, decide que lo invertido en A sea, por lo menos, igual a lo invertido en B.?Cómo deberá invertir 10 millones para que le beneficio anual sea máximo 16) Un sastre tiene 80 m 2 de tela de algodón y 120 m 2 de tela de lana. Un traje requiere 1 m 2 de algodón y 3 m 2 de lana, y un vestido de mujer requiere 2 m 2 de cada una de las dos telas. Calcular el número de trajes y vestidos que debe confeccionar el sastre para maximizar los beneficios si un traje y un vestido se venden al mismo precio BLOQUE: ANÁLISIS MATEMÁTICO 1) Calcula el valor de los siguientes límites: 2) Dada la función: a) Encontrar los puntos de discontinuidad de f(x). Determinar si alguna de las discontinuidades es evitable b) Estudiar si la función f(x) tiene asíntota vertical 3) Dada la función, se pide: a) Estudiar y obtener las asíntotas b) Estudiar los intervalos de concavidad y convexidad c) Representar gráficamente la función 4) Hallar a, b y c de modo que la función alcance en un máximo relativo de valor 2, y tenga en un punto de inflexión. 5) Dada la función se pide:

5 a) Dibujar la gráfica de dicha función, estudiando el crecimiento y decrecimiento, los puntos de inflexión y las asíntotas b) Calcular 6) Calcular un polinomio de tercer grado, sabiendo que verifica: Tiene un máximo relativo en x=1 Tiene un punto de inflexión en el punto(0,1) Se verifica: 7) Dad la función se pide: a) Obtener, si existen, los máximos y mínimos relativos, y las asíntotas de la función b) Calcular el área del recinto acotado comprendido entre la gráfica de, el eje OX y las rectas 8) Obtener los máximos y mínimos relativos, y los puntos de inflexión de la función:, siendo el logaritmo neperiano de x 9) Dada la función: a) Determinar su dominio y calcular los límites laterales cuando b) Estudiar su continuidad, y hallar el valor de para que sea continua en 10)Dibujar la gráfica de la función: indicando su dominio, intervalos de crecimiento y de decrecimiento y su asíntotas 11) Estudiar y representar gráficamente la función: Hallar el área de la región acotada comprendida entre la gráfica de la función anterior y las rectas y 12)Sea la función:, se pide: a) Estudiar su continuidad y derivabilidad b) Dibujar su gráfica

6 c) Calcular el área del recinto acotado por la gráfica de y las rectas, y el eje OX 13)Calcular el valor de las siguientes integrales: 14)Un alambre de 100 metros se divide en dos trozos. Con uno de los trozos se construye un cuadrado y con el otro un rectángulo cuya base es doble que su altura. Calcula las longitudes de cada uno de los trozos con la condición de que la suma de las áreas de estas dos figuras sea mínima. 15)Queremos hacer junto a la carretera un cercado rectangular para unos caballos en una zona llana. Cada metro del lado del cercado que está junto a la carretera nos cuesta 100 euros, mientras que para el resto del cercado nos cuesta 10 euros el metro. Cuáles son las dimensiones del prado de área máxima que podemos cercar con 3000 euros? 16)Tenemos que fabricar dos chapas cuadradas con dos materiales distintos. El precio de cada uno de estos materiales es 2 y 3 euros por centímetro cuadrado, respectivamente. Por otra parte, la suma de los perímetros de los cuadrados tiene que ser 1 metro. Cómo hemos de elegir los lados de los cuadrados si queremos que el coste sea mínimo? BLOQUE PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA 1) De una urna con 4 bolas blancas y 2 negras se extraen al azar, sucesivamente y sin reemplazamiento, dos bolas. (a) Cuál es la probabilidad de que las bolas extraídas sean blancas? (b) Si la segunda bola ha resultado ser negra, cuál es la probabilidad de que la primera también lo haya sido? 2) Un test para detectar una sustancia contaminante en agua, presenta los siguientes resultados: si el agua no está contaminada, suceso que ocurre con una probabilidad igual a 0,99, el resultado del test es que el agua está contaminada con una probabilidad igual a 0,05. Cuando el agua está contaminada, el test lo detecta con una probabilidad igual a 0,99. Se ha realizado una prueba y el test indica que hay contaminación. Calcular la probabilidad de que el agua no esté realmente contaminada. Interpretar el valor numérico obtenido. 3) Se elige un número natural entre el 1 y el 20 de manera que todos tengan la misma probabilidad de ser escogidos. Cuál es la probabilidad de que el número escogido sea divisible por 2 o por 3? Cuál es la probabilidad de que sea divisible por 3 y no por 6? 4) Dos urnas A y B, que contienen bolas de colores, tienen la siguiente composición: A: 5 blancas, 3 negras y 2 rojas y B: 4 blancas y 6 negras. También tenemos un dado que tiene 4 caras marcadas con la letra A y las otras dos con la letra B. Tiramos el dado y sacamos una bola al azar de la urna que indica el dado. a) Cuál es la probabilidad de que esa bola sea blanca?

7 b) Cuál es la probabilidad de que esa bola sea roja? c) La bola extraída ha resultado ser blanca, cuál es la probabilidad de que proceda de la urna B? 5) En el experimento aleatorio de lanzar una moneda tres veces se consideran los siguientes sucesos: A : "sacar al menos una cara y una cruz" y B : "sacar a lo sumo una cara" a) Determine el espacio muestral asociado a este experimento y a los sucesos A y B. b) Son independientes ambos sucesos? 6) Los alumnos de Bachillerato de un I.E.S. proceden de 3 localidades A, B y C, siendo un 20% de A, un 30% de B y el resto de C. El 80% de los alumnos de A cursa 1º de Bachillerato y el resto 2º. El 50% de los alumnos de B cursa 1º de Bachillerato y el resto 2º. El 60% de los alumnos de C cursa 1º de Bachillerato y el resto 2º. a) Seleccionado, al azar, un alumno de Bachillerato de ese I.E.S., cuál es la probabilidad de que sea de 2º?. b) Si elegimos, al azar, un alumno de Bachillerato de ese I.E.S. y éste es un alumno de 1º, cuál es la probabilidad de que proceda de la localidad B? 7) Según la estadística de los resultados de las Prueba de Acceso en una provincia andaluza, en septiembre de 2001, el número de alumnas presentadas es de 840, de las que han aprobado un 70%, mientras que el número de alumnos presentados en 668, habiendo aprobado un 75% de estos. a) Elegida, al azar, una persona presentada a las Pruebas, cuál es la probabilidad de que haya aprobado?. b) Sabiendo que una persona ha aprobado, cuál es la probabilidad de que sea varón? 8) El nivel medio del colesterol en sangre de la población adulta entre 50 y 60 años de edad es de 185mg por cada 100ml de sangre. La desviación típica es de 25mg por 100ml. Sí las medidas se distribuyen según una normal, calcula: a) Qué porcentaje de la población tiene niveles superiores a 200mg? b) Qué porcentajes de la población tiene niveles inferiores a 130mg? c) Qué porcentaje de la población está comprendido entre 130 y 200mg? 9) Los salarios de los trabajadores de un país puede suponerse que siguen una distribución normal de media 2000 euros y desviación típica desconocida. a) Si la probabilidad de ganar más de 2100 euros es de 0.33, cuál es la desviación típica? b) Los salarios en euros de los trabajadores en un segundo país también puede suponerse que siguen una distribución normal con la misma media y con varianza de euros 2. Es más fácil ganar más de 2100 euros en este segundo país que en el país del apartado anterior? 10) El 15% de los habitantes de una determinada región son diabéticos. Se toma una muestra de 600 de esos habitantes y se pide:

8 a) Número esperado de habitantes que no son diabéticos. b) Probabilidad de que el número de diabéticos sea mayor que 80. c) Probabilidad de que el número de diabéticos esté entre 80 y ) El 60% de los jóvenes de secundaria y bachillerato tienen consola de videojuegos. Sí en un instituto hay 800 alumnos: a) Cuántos se espera que tengan consola de videojuegos? b) Cuál es la probabilidad de que más de 500 tengan consola de videojuegos? c) Cuál es la probabilidad de que el número de jóvenes con consola de videojuegos esté entre 470 y 500(ambos inclusive)?