VOLUMEN 2 NOVENA EDICIÓN FÍSICA. para ciencias e ingeniería

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1 VOLUMEN 2 NOVENA EDICIÓN FÍICA pr ciencis e ingenierí ERWAY JEWETT

2 Ashley Cooper/Corbis

3 Físic pr ciencis e ingenierí Volumen 2 NOVENA EDICIÓN Rymond A. erwy Emeritus, Jmes Mdison University John W. Jewett, Jr. Emeritus, Cliforni tte Polytechnic University, Pomon Con ls contribuciones de Vhé Peroomin, University of Cliforni en Los Angeles Trducción Mrí del Crmen Rodríguez Pedroz Revisión técnic Dr. Ernesto Filio López Unidd Profesionl en Ingenierí y Tecnologís Aplicds Instituto Politécnico Ncionl Ashley Cooper/Corbis Austrli Brsil Core Espñ Estdos Unidos Jpón México Reino Unido ingpur

4 Físic pr ciencis e ingenierí Volumen 2 Noven edición Rymond A. erwy/john W. Jewett, Jr. Presidente de Cengge Lerning Ltinoméric: Fernndo Vlenzuel Migoy Director Editoril, de Producción y de Pltforms Digitles pr Ltinoméric: Ricrdo H. Rodríguez Editor de Adquisiciones pr Ltinoméric: Cludi C. Gry Cstro Gerente de Mnufctur pr Ltinoméric: Rúl D. Zendejs Espejel Gerente Editoril de Contenidos en Espñol: Pilr Hernández ntmrin Gerente de Proyectos Especiles: Lucin Rbuffetti Coordindor de Mnufctur: Rfel Pérez González Editor: ergio R. Cervntes González Diseño de portd: Roy Neuhus Imgen de portd: Ashley Cooper/Corbis Composición tipográfic: Ediciones OVA D.R por Cengge Lerning Editores,.A. de C.V., un Compñí de Cengge Lerning, Inc. Corportivo nt Fe Av. nt Fe núm. 505, piso 12 Col. Cruz Mnc, nt Fe C.P , México, D.F. Cengge Lerning es un mrc registrd usd bjo permiso. DERECHO REERVADO. Ningun prte de este trbjo mprdo por l Ley Federl del Derecho de Autor, podrá ser reproducid, trnsmitid, lmcend o utilizd en culquier form o por culquier medio, y se gráfico, electrónico o mecánico, incluyendo, pero sin limitrse lo siguiente: fotocopido, reproducción, escneo, digitlizción, grbción en udio, distribución en Internet, distribución en redes de informción o lmcenmiento y recopilción en sistems de informción excepción de lo permitido en el Cpítulo III, Artículo 27 de l Ley Federl del Derecho de Autor, sin el consentimiento por escrito de l Editoril. Trducido del libro Physics for cientists nd Engineers, Volume 2, 9th Edition. Rymond A. erwy; John Jewett, Jr. Publicdo en inglés por Brooks/Cole, un compñí de Cengge Lerning 2014 IBN: Dtos pr ctlogción bibliográfic: erwy, Rymond A.; John W. Jewett, Jr. Físic pr ciencis e ingenierí, Volumen 2 Noven edición IBN: Visite nuestro sitio en: Impreso en México

5 Contenido Acerc de los utores viii Prefcio ix Al estudinte xxv PARTE 4 Electricidd y mgnetismo Cmpos eléctricos Propieddes de ls crgs eléctrics Objetos crgdos medinte inducción Ley de Coulomb Análisis de modelo: prtícul en un cmpo (eléctrico) Cmpo eléctrico de un distribución de crg continu Línes de cmpo eléctrico Movimiento de prtículs crgds en un cmpo eléctrico uniforme Ley de Guss Flujo eléctrico Ley de Guss Aplicción de l ley de Guss vris distribuciones de crg Conductores en equilibrio electrostático Potencil eléctrico Diferenci de potencil y potencil eléctrico Diferenci de potencil en un cmpo eléctrico uniforme Potencil eléctrico y energí potencil debidos crgs puntules Obtención del vlor del cmpo eléctrico prtir del potencil eléctrico Potencil eléctrico debido distribuciones de crg continus Potencil eléctrico debido un conductor con crg Experimento de l got de ceite de Millikn Aplicciones de l electrostátic Cpcitnci y mteriles dieléctricos Definición de cpcitnci Cálculo de l cpcitnci Combinciones de cpcitores Energí lmcend en un cpcitor con crg Cpcitores con mteril dieléctrico Dipolo eléctrico en un cmpo eléctrico Descripción tómic de los mteriles dieléctricos Corriente y resistenci Corriente eléctric Resistenci Modelo de conducción eléctric Resistenci y tempertur uperconductores Potenci eléctric Circuitos de corriente direct Fuerz electromotriz Resistores en serie y en prlelo Leyes de Kirchhoff Circuitos RC Cbledo doméstico y seguridd eléctric Cmpos mgnéticos Análisis de modelo: prtícul en un cmpo (mgnético) Movimiento de un prtícul crgd en un cmpo mgnético uniforme Aplicciones del movimiento de prtículs crgds en un cmpo mgnético Fuerz mgnétic que ctú sobre un conductor que trnsport corriente Momento de torsión sobre un espir de corriente en un cmpo mgnético uniforme El efecto Hll Fuentes del cmpo mgnético Ley de Biot-vrt Fuerz mgnétic entre dos conductores prlelos Ley de Ampère Cmpo mgnético de un solenoide Ley de Guss en el mgnetismo Mgnetismo en l mteri 919 v

6 vi Contenido 31 Ley de Frdy Ley de inducción de Frdy Fem de movimiento Ley de Lenz Fem inducid y cmpos eléctricos Generdores y motores Corrientes de Eddy Inductnci Autoinducción e inductnci Circuitos RL Energí en un cmpo mgnético Inductnci mutu Oscilciones en un circuito LC Circuito RLC Circuitos de corriente ltern Fuentes de CA Resistores en un circuito de CA Inductores en un circuito de CA Cpcitores en un circuito de CA Circuito RLC en serie Potenci en un circuito de CA Resonnci en un circuito RLC en serie El trnsformdor y l trnsmisión de energí Rectificdores y filtros Onds electromgnétics Corriente de desplzmiento y l form generl de l ley de Ampère Ecuciones de Mxwell y los descubrimientos de Hertz Onds electromgnétics plns Energí trnsportd por onds electromgnétics Cntidd de movimiento y presión de rdición Producción de onds electromgnétics por un nten El espectro de ls onds electromgnétics 1045 PARTE 5 Luz y óptic Nturlez de l luz y leyes de óptic geométric Nturlez de l luz Mediciones de l rpidez de l luz Aproximción de un ryo en óptic geométric Análisis de modelo: l ond bjo reflexión Análisis de modelo: l ond bjo refrcción Principio de Huygens Dispersión Reflexión intern totl Formción de ls imágenes Imágenes formds por espejos plnos Imágenes formds por espejos esféricos Imágenes formds por refrcción Imágenes formds por lentes delgds Aberrciones de ls lentes L cámr fotográfic El ojo L lup simple El microscopio compuesto El telescopio Óptic ondultori Experimento de doble rendij de Young Análisis de modelo: onds en interferenci Distribución de intensidd del ptrón de interferenci de doble rendij Cmbio de fse debido reflexión Interferenci en películs delgds El interferómetro de Michelson Ptrones de difrcción y polrizción Introducción los ptrones de difrcción Ptrones de difrcción provenientes de rendijs ngosts Resolución de un sol rendij y berturs circulres Rejill de difrcción Difrcción de los ryos X medinte cristles Polrizción de ls onds luminoss 1175 PARTE 6 Físic modern Reltividd Principio de l reltividd glileno Experimento de Michelson Morley Principio de l reltividd de Einstein Consecuencis de l teorí especil de l reltividd Ecuciones de trnsformción de Lorentz Ecuciones de trnsformción de velocidd de Lorentz Cntidd de movimiento linel reltivist Energí reltivist Teorí generl de l reltividd Introducción l físic cuántic Rdición de cuerpo negro e hipótesis de Plnck Efecto fotoeléctrico Efecto Compton Nturlez de ls onds electromgnétics Propieddes ondultoris de ls prtículs Un nuevo modelo: l prtícul cuántic Revisión del experimento de doble rejill El principio de incertidumbre 1256

7 Contenido vii 41 Mecánic cuántic L función de ond Análisis de modelo: l prtícul cuántic bjo condiciones fronter L ecución de chrödinger Un prtícul en un pozo de ltur finit Efecto túnel trvés de un brrer de energí potencil Aplicciones del efecto túnel El oscildor rmónico simple Físic tómic Espectros tómicos de los gses Los primeros modelos del átomo Modelo de Bohr del átomo de hidrógeno Modelo cuántico del átomo de hidrógeno Ls funciones de ond pr el hidrógeno Interpretción físic de los números cuánticos El principio de exclusión y l tbl periódic Más sobre los espectros tómicos: el visible y el ryo X Trnsiciones espontánes y estimulds Láseres Moléculs y sólidos Enlces moleculres Estdos de energí y espectros de moléculs Enlces en sólidos Teorí de electrones libres en metles Teorí de bnd en sólidos Conducción eléctric en metles, islntes y semiconductores Dispositivos semiconductores uperconductividd Estructur nucler Alguns propieddes de los núcleos Energí de enlce nucler Modelos nucleres Rdictividd Los procesos de decimiento Rdictividd nturl Recciones nucleres Resonnci mgnétic nucler y formción de imágenes por resonnci mgnétic Físic de prtículs y cosmologí Fuerzs fundmentles en l nturlez Positrones y otrs ntiprtículs Mesones y el principio de l físic de prtículs Clsificción de ls prtículs Leyes de conservción Prtículs extrñs y extrñez Determinción de ptrones en ls prtículs Qurks Qurks multicolor El modelo estándr L conexión cósmic Problems y perspectivs 1474 Apéndices A Tbls A-1 A.1 Fctores de conversión A-1 A.2 ímbolos, dimensiones y uniddes de cntiddes físics A-2 B Repso mtemático A-4 B.1 Notción científic A-4 B.2 Álgebr A-5 B.3 Geometrí A-10 B.4 Trigonometrí A-11 B.5 Desrrollo de series A-13 B.6 Cálculo diferencil A-13 B.7 Cálculo integrl A-16 B.8 Propgción de incertidumbre A-20 C Tbl periódic de los elementos A-22 D Uniddes del I A-24 D.1 Uniddes del I A-24 D.2 Alguns uniddes del I deducibles A-24 Respuests exámenes rápidos y problems con numerción impr A-25 Índice I-1 45 Aplicciones de l físic nucler Intercciones donde intervienen neutrones Fisión nucler Rectores nucleres Fusión nucler Dño por rdición Usos de l rdición 1434

8 C A P Í T U L O 23 Cmpos eléctricos 23.1 Propieddes de ls crgs eléctrics 23.2 Objetos crgdos medinte inducción 23.3 Ley de Coulomb 23.4 Análisis de modelo: prtícul en un cmpo (eléctrico) 23.5 Cmpo eléctrico de un distribución de crg continu 23.6 Línes de cmpo eléctrico 23.7 Movimiento de prtículs crgds en un cmpo eléctrico uniforme Est joven está disfrutndo de los efectos de crgr eléctricmente su cuerpo. Cd cbello en su cbez se crg individulmente y ejerce un fuerz de repulsión en los otros cbellos, lo que result en el peindo prdo que se ve quí. (Ted Kinsmn/Photo Reserchers, Inc.) En este cpítulo, comenzmos el estudio del electromgnetismo. El primer enlce que vmos hcer con nuestro estudio nterior es trvés del concepto de fuerz. L fuerz electromgnétic entre prtículs crgds es un de ls fuerzs fundmentles de l nturlez. Comenzremos por describir lguns propieddes básics de un mnifestción de l fuerz electromgnétic, l fuerz eléctric. A continución se nliz l ley de Coulomb, que es l ley fundmentl que rige l fuerz eléctric entre dos prtículs crgds. A continución, se introduce el concepto de un cmpo eléctrico socido un distribución de crg y se describen sus efectos sobre otrs prtículs crgds. Luego mostrmos cómo utilizr l ley de Coulomb pr clculr el cmpo eléctrico de un distribución de crg dd. El cpítulo concluye con un nálisis sobre el movimiento de un prtícul crgd en un cmpo eléctrico uniforme. El segundo vínculo entre el electromgnetismo y nuestro estudio nterior es trvés del concepto de energí. Anlizremos este tem en el cpítulo Propieddes de ls crgs eléctrics Hy un vriedd de experimentos simples pr demostrr l existenci de fuerzs eléctrics. Por ejemplo, después de frotr un globo contr el cbello en un dí seco, observrá que el globo tre pequeños pedzos de ppel. Con frecuenci l fuerz de trcción es lo suficientemente intens pr que los pedzos de ppel queden suspendidos. 690

9 23.1 Propieddes de ls crgs eléctrics 691 Un vrill de hule con crg negtiv suspendid por un hilo es tríd por un vrill de vidrio con crg positiv Un vrill de hule con crg negtiv es repelid por otr vrill de hule con crg negtiv Figur 23.1 Fuerz eléctric entre () objetos con crgs opuests y (b) objetos con crgs igules. Hule F F Vidrio b F Hule F Hule Cundo los mteriles se comportn de est mner, se dice que están electrificdos, o que se hn crgdo eléctricmente. Usted puede electrificr su cuerpo con fcilidd si frot con fuerz sus zptos sobre un lfombr de ln; detectrá l crg eléctric de su cuerpo l tocr ligermente (y sobresltr) un migo. Bjo condiciones decuds, verá un chisp l momento de tocrlo y mbos sentirán un liger descrg. (Este tipo de experimentos funcionn mejor durnte dís secos, porque el exceso de humedd en el ire hce que culquier crg que usted cumule en su cuerpo se fugue hci l Tierr.) A prtir de un serie de sencillos experimentos, Benjmín Frnklin ( ) descubrió que existen dos tipos de crgs eléctrics, ls que dio el nombre de positiv y negtiv. Los electrones tienen crg negtiv y los protones positiv. Pr comprobr l existenci de mbos tipos de crg, imgine un vrill rígid de hule que h sido frotd contr un trozo de piel y que está suspendid de un hilo, como puede observr en l figur Cundo cerc un vrill de vidrio que h sido frotd con sed un vrill de hule, mbs se tren (figur 23.1). Por otr prte, si cerc dos vrills de hule con crg (o dos vrills de vidrio con crg), como se observ en l figur 23.1b, mbs se repelen. Est observción demuestr que el hule y el vidrio tienen dos tipos diferentes de crg. Con bse en ests observciones, se puede concluir que crgs de un mismo signo se repelen y crgs de signos opuestos se tren. Utilizndo l convención sugerid por Frnklin, l crg eléctric en l vrill de vidrio se le denominó positiv y l vrill de hule, negtiv. Por lo tnto, culquier objeto crgdo que se trído por un vrill de hule con crg (o repelido por un vrill de vidrio con crg), deberá tener un crg positiv, y culquier objeto con crg repelido por un vrill de hule con crg (o trído por un vrill de vidrio con crg), deberá tener un crg negtiv. Otro specto importnte de l electricidd que surge de l observción experimentl es que en un sistem isldo l crg eléctric siempre se conserv. Es decir, cundo se frot un objeto contr otro, no se cre crg en este proceso. El estdo de electrificción se debe un trnsferenci de crg de uno de los objetos hci el otro. Uno dquiere prte de l crg negtiv en tnto que el otro dquiere l mism cntidd de crg, pero positiv. Por ejemplo, cundo un brr de vidrio es frotd con sed, como se preci en l figur 23.2, l sed dquiere un crg negtiv igul en mgnitud l crg positiv de l brr de vidrio. Hoy dí se sbe, grcis l comprensión de l es tructur del átomo, que en el proceso de frotción se trnsfieren electrones del vidrio l sed. De mner similr, cundo el hule es frotdo contr l piel, los electrones se trnsfieren l hule dándole un crg negtiv net y l piel un crg positiv net. Este proceso es consistente con el hecho de que l mteri, neutr y sin crg, contiene tnts crgs positivs (protones en los núcleos de los átomos) como negtivs (electro- Pr l conservción de l crg, cd electrón ñde crgs negtivs l sed, e igul crg positiv se qued en l vrill. Figur 23.2 Cundo un vrill de vidrio es frotd con sed, se trnsfieren electrones del vidrio l sed. L crg eléctric se conserv

10 692 Cpítulo 23 Cmpos eléctricos L esfer metálic neutr tiene igul número de crgs positivs y negtivs. Al cercr un vrill crgd, los electrones se redistribuyen. b Al conectr l esfer tierr, lgunos de sus electrones se fugn trvés del lmbre tierr. c El exceso de crg positiv no está distribuido de mner uniforme. d Al retirr l vrill, los electrones restntes se redistribuyen y hy un distribución uniforme positiv de crg net sobre l esfer. Figur 23.3 Crg de un objeto metálico medinte inducción. () Esfer metálic neutr. (b) Un vrill de hule crgd se coloc cerc de l esfer. (c) L esfer es conectd tierr. (d) L conexión tierr es removid. (e) L vrill es removid. e nes). L conservción de l crg eléctric de un sistem isldo es como l conservción de l energí, del impulso y del momento ngulr, pero no se identific un modelo de nálisis pr este principio de conservción, y que no se utiliz con bstnte frecuenci en l solución mtemátic los problems. En 1909, Robert Millikn ( ) descubrió que ls crgs eléctrics siempre se presentn como un entero múltiplo de un cntidd básic de crg e (vése l sección 25.7). En términos ctules se dice que l crg eléctric q está cuntizd, y q es el símbolo de l vrible pr l crg; en otrs plbrs, l crg eléctric existe en form de pquetes discretos y se escribe q 5 ±Ne, donde N es lgún número entero. Otros experimentos en el mismo periodo demostrron que el electrón tiene un crg 2e y el protón un crg de igul mgnitud, pero de signo contrrio, 1e. Alguns prtículs, como el neutrón, no poseen crg. E xmen rápido 23.1 e colocn tres objetos, muy cerc uno del otro, dos l mismo tiempo. Cundo se juntn los objetos A y B, se repelen. Cundo se cercn los objetos B y C, tmbién se repelen. De los siguientes enuncidos, cuál es el verddero? () Los objetos A y C tienen crgs del mismo signo. (b) Los objetos A y C poseen crgs de signos opuestos. (c) Los tres objetos tienen crgs del mismo signo. (d) Uno de los objetos es neutro. (e) Es necesrio llevr cbo experimentos dicionles pr determinr los signos de ls crgs Objetos crgdos medinte inducción Es conveniente clsificr los mteriles en función de l cpcidd con que los electrones se mueven trvés del mteril: Los conductores eléctricos son quellos mteriles en los cules lgunos de los electrones son libres, 1 no están unidos átomos y pueden moverse con libertd trvés del mteril. Los islntes eléctricos son quellos mteriles en los cules todos los electrones están unidos átomos y no pueden moverse libremente trvés del mteril. Mteriles como el vidrio, el hule y l mder sec se incluyen en l ctegorí de islntes eléctricos. Cundo estos mteriles son frotdos, sólo l zon frotd se crg, y ls prtículs con crg no pueden moverse hci otrs zons del mteril. En contrste, mteriles como el cobre, el luminio y l plt son buenos conductores eléctricos. Cundo están con crg en lgun pequeñ zon, l crg se distribuye de inmedito en tod l superficie del mteril. Un tercer clse de mteriles son los semiconductores, cuys propieddes eléctrics se ubicn entre ls correspondientes los islntes y los conductores. El silicio y el germnio son ejemplos muy conocidos de mteriles semiconductores de uso común en l fbricción de un grn diversidd de chips electrónicos utilizdos en computdors, teléfonos celulres y estéreos. Ls propieddes eléctrics de los semiconductores cmbin, en vrios órdenes de mgnitud, prtir de l dición de cntiddes controlds de ciertos átomos. Pr comprender cómo se crg un conductor por un proceso conocido como inducción, considere un esfer conductor neutr (sin crg) isld de l tierr, como se muestr en l figur En l esfer existe un cntidd igul de electrones y de protones, y que l crg de l esfer es igul cero. Cundo l esfer se le cerc un vrill de hule con crg negtiv, los electrones en l región más cercn l vrill experimentn un fuerz de repulsión y emigrn l ldo opuesto de l esfer. Esto provoc que 1 Un átomo de metl tiene uno o más electrones exteriores, con un unión débil l núcleo. Cundo se combinn muchos átomos pr formr un metl, los electrones libres son electrones exteriores, que no están unidos ningún átomo y se mueven por el metl de un form similr como lo hcen ls moléculs de gs en el interior de un recipiente.

11 23.2 Objetos crgdos medinte inducción 693 El globo crgdo induce un seprción de crgs sobre l superficie de l pred debido l relineción de ls crgs en ls moléculs de l pred. Un vrill con crg tre frgmentos de ppel debido que se induce un seprción de ls crgs en ls moléculs del ppel. Figur 23.4 () Un globo crgdo es colocdo cerc de un pred isld. (b) Un vrill crgd se coloc cerc de pequeños trozos de ppel. Globo crgdo Pred eprción de crg inducid b. Cengge Lerning/Chrles D. Winters l región de l esfer cercn l vrill se quede con crg positiv cus del menor número de electrones, como se observ en l figur 23.3b. (El ldo izquierdo de l esfer de l figur 23.3b qued con crg positiv, como si se hubiern trslddo dich región crgs positivs, pero recuerde que sólo los electrones tienen l libertd pr moverse.) Esto se present un cundo l vrill no toque l esfer. i el mismo experimento se reliz con un lmbre conductor conectdo de l esfer l tierr (figur 23.3c), lgunos de los electrones en el conductor son repelidos con tl fuerz, por l presenci de l crg negtiv de l vrill, que slen de l esfer trvés del lmbre hci l tierr. El símbolo l extremo en l figur 23.3c indic que el lmbre está conectdo tierr, similr un depósito, tl como l Tierr, que puede ceptr o proveer de electrones con libertd sin que se produzc un efecto significtivo sobre sus crcterístics eléctrics. i el lmbre tierr se retir (figur 23.3d), l esfer conductor se qued con un exceso de crg positiv inducid, y que tiene menos electrones de los que necesit pr cncelr l crg positiv de los protones. Cundo l vrill de hule se lej de l esfer (figur 23.3e), est crg positiv inducid se qued en l esfer desconectd de l tierr. Observe que durnte este proceso, l vrill de hule no pierde su crg negtiv. Pr crgr un objeto por inducción no es necesrio que teng contcto con el objeto que induce l crg, diferenci de cundo un objeto se crg por frotmiento (por conducción), en donde sí se requiere el contcto entre mbos objetos. Un proceso similr l inducción en los conductores se present en los mteriles islntes. En l myorí de ls moléculs neutrs, el centro de l crg positiv coincide con el centro de l crg negtiv. in embrgo, en presenci de un objeto con crg, estos centros en el interior de cd molécul, en un mteril islnte, se desplzn ligermente, lo que result en que un ldo de l molécul teng un crg más positiv que el otro. Este relinemiento de l crg en el interior de ls moléculs produce un cp de crg sobre l superficie del mteril islnte, como observ en l figur L proximidd de ls crgs positivs en l superficie del objeto y ls crgs negtivs en l superficie del islnte result en un fuerz de trcción entre el objeto y el islnte. u conocimiento de inducción en los mteriles islntes, le yud explicr por qué un vrill crgd tre frgmentos de ppel eléctricmente neutros, como se muestr en l figur 23.4b. E xmen rápido 23.2 e colocn tres objetos, muy cerc uno del otro, dos l mismo tiempo. Cundo se juntn los objetos A y B, se tren. Cundo se cercn los objetos B y C, se repelen. Cuál de ls siguientes opciones es necesrimente un verdd?: () Los objetos A y C tienen crgs del mismo signo. (b) Los objetos A y C tienen crgs de signo opuesto. (c) Los tres objetos tienen crgs del mismo signo. (d) Uno de los objetos es neutro. (e) Es necesrio llevr cbo experimentos dicionles pr determinr ls crgs de los objetos.

12 694 Cpítulo 23 Cmpos eléctricos B A Cbezl de suspensión Fibr Figur 23.5 Blnz de torsión de Coulomb, utilizd pr determinr l ley del cudrdo inverso pr un fuerz eléctric entre dos crgs. Ley de Coulomb Constnte de Coulomb 23.3 Ley de Coulomb Chrles Coulomb ( ) midió ls mgnitudes de ls fuerzs eléctrics entre objetos crgdos; pr hcerlo usó l blnz de torsión, que él mismo inventó (figur 23.5). El principio de operción de l blnz de torsión es el mismo que el del prto usdo por Cvendish pr medir l constnte de grvitción (vése l sección 13.1), con esfers eléctricmente neutrs reemplzds por esfers con crg. L fuerz eléctric entre ls esfers A y B de l figur 23.5 cus que se trign o se repeln, y el movimiento resultnte provoc que l fibr suspendid se tuerz. Grcis que el momento de torsión de recuperción de l fibr torcid es proporcionl l ángulo de rotción de l fibr, un lectur de este ángulo d un medid cuntittiv de l fuerz eléctric de trcción o de repulsión. Un vez crgds ls esfers por frotción, l fuerz eléctric entre mbs se vuelve muy grnde en comprción con l trcción grvitcionl y, por lo tnto, est últim fuerz se puede ignorr. A prtir de los experimentos de Coulomb, se generlizn ls propieddes de l fuerz eléctric (lguns veces llmd fuerz electrostátic) entre dos prtículs crgds estcionris. Pr ello se us el término crg puntul, que hce referenci un prtícul con crg de tmño cero. El comportmiento eléctrico de electrones y protones qued muy bien descrito si se representn como crgs puntules. Debido observciones experimentles es posible encontrr que l mgnitud de un fuerz eléctric ( veces llmd fuerz de Coulomb) entre dos crgs puntules está dd por l ley de Coulomb: 0 q 1 00q 2 0 F e 5 k e (23.1) r 2 donde k e es un constnte conocid como constnte de Coulomb. En sus experimentos, Coulomb demostró que el vlor del exponente de r er 2, con un incertidumbre de unos cuntos puntos porcentules. Experimentos recientes hn comprobdo que el exponente es 2, con un incertidumbre de uns cunts prtes en Los experimentos tmbién muestrn que l fuerz eléctric, como l fuerz grvitcionl, es conservtiv. El vlor de l constnte de Coulomb depende de l elección de ls uniddes. En el I l unidd de crg es el coulomb (C). L constnte de Coulomb k e en uniddes del I tiene el vlor Además est constnte se expres como k e N? m 2 /C 2 (23.2) k e 5 1 4pP 0 (23.3) INTERFOTO/Almy Chrles Coulomb Físico frncés ( ) Ls principles portciones l cienci de Chrles Coulomb fueron en los cmpos de l electrostátic y del mgnetismo. En el trnscurso de su vid, tmbién investigó l resistenci de los mteriles y determinó ls fuerzs que fectn objetos sobre vigs; sí contribuyó l cmpo de l mecánic estructurl. En el cmpo de l ergonomí, sus investigciones logrron un discernimiento básico sobre ls condiciones en que ls persons y los nimles pueden trbjr mejor. donde l constnte P 0 (grieg minúscul épsilon) se conoce como l permitividd del vcío, cuyo vlor es P C 2 /N? m 2 (23.4) L unidd de crg más pequeñ e conocid en l nturlez, 2 es l crg de un electrón (2e) o de un protón (1e), con un mgnitud de e C (23.5) Por lo tnto, un crg igul 1 C es proximdmente igul l crg de electrones o protones. Est cntidd es muy pequeñ en comprción con el número de electrones libres presentes en 1 cm 3 de cobre, que es del orden de Aun sí, 1 C es un cntidd de crg sustncil. En los experimentos en que se crg por frotción un vrill de hule o de vidrio, se obtiene un crg net del orden de C. En otrs 2 En un prtícul libre no h sido posible detectr ningun unidd de crg menor que e; sin embrgo, ls teorís ctules proponen l existenci de prtículs de nombre qurks con crgs igules 2e/3 y 2e/3. Aunque existen muchs evidencis experimentles de ests prtículs en el interior de mteri nucler, jmás se hn detectdo qurks libres. En el cpítulo 46 se explicn otrs propieddes de los qurks.

13 23.3 Ley de Coulomb 695 Tbl 23.1 Crg y ms de electrones, protones y neutrones Prtícul Crg (C) Ms (kg) Electrón (e) Protón (p) Neutrón (n) plbrs, sólo un frcción muy pequeñ de l crg totl disponible se h trnsferido entre l vrill y el mteril contr el que se frot. Ls crgs y mss del electrón, el protón y el neutrón precen en l tbl Teng en cuent que el electrón y el protón son idénticos en l mgnitud de su crg, pero muy diferentes en l ms. Por otr prte, el protón y el neutrón son similres en ms, pero muy diferentes en crg. El cpítulo 46 le yudrá comprender ests interesntes propieddes. Ejemplo 23.1 El átomo de hidrógeno El electrón y el protón de un átomo de hidrógeno están seprdos (en promedio) por un distnci de proximdmente m. Encuentre ls mgnitudes de l fuerz eléctric y l fuerz grvitcionl entre ls dos prtículs. OLUCIÓN Conceptulizr Considere que ls dos prtículs están seprds por l muy pequeñ distnci dd en el enuncido del problem. En el cpítulo 13 mencionmos que l fuerz grvitcionl entre un electrón y un protón es muy pequeñ comprd con l fuerz eléctric entre ellos, sí que esto es un expecttiv pr el cso de este ejemplo. Ctegorizr Ls fuerzs eléctric y grvitcionl se evlurán prtir de leyes de fuerz universles, sí que este ejemplo se clsific como un problem de sustitución. Use l ley de Coulomb pr encontrr l mgnitud de l fuerz eléctric: Use l ley de grvitción universl de Newton y l tbl 23.1 (pr ls mss de ls prtículs) pr encontrr l mgnitud de l fuerz grvitcionl: F e 5 k 0 e 002e0 e N # m 2 /C C2 2 r m N F g 5 G m em p r N # m 2 /kg kg kg m N L rzón F e /F g Por lo tnto, l fuerz grvitcionl entre prtículs tómics con crg es desprecible cundo se compr con l fuerz eléctric. Observe ls similitudes entre l ley de Newton de grvitción universl y l ley de Coulomb de fuerzs eléctrics. Aprte de l mgnitud de fuerzs entre prtículs elementles, cuál es l diferenci fundmentl entre ls dos fuerzs? Cundo se relcion con l ley de Coulomb, es necesrio recordr que l fuerz es un cntidd vectoril que deberá ser trtd como corresponde. L ley de Coulomb, expresd en form vectoril pr un fuerz eléctric ejercid por un crg q 1 sobre un segund crg q 2, reescrit como F 12, es 12 F 5 k q 1q 2 e r 2 r^12 (23.6) donde r^12 es un vector unitrio dirigido de q 1 hci q 2, como se puede observr en l figur 23.6 (en l págin 696). Y que l fuerz eléctric obedece l tercer ley de Newton, l fuerz eléctric ejercid por q 2 sobre q 1 es igul en mgnitud pero en sentido opuesto l fuerz ejercid por q 1 sobre q 2 ; es decir, F21 52F 12. Por último, en l ecución 23.6, es clro que si q 1 y q 2 son del mismo signo, como se observ en l figur 23.6, Form vectoril de l ley de Coulomb

14 696 Cpítulo 23 Cmpos eléctricos Figur 23.6 Dos crgs puntules seprds por un distnci r ejercen un fuerz sobre l otr que se d por l ley de Coulomb. L fuerz F 21 ejercid por q 2 sobre q 1 es igul en mgnitud y opuest en dirección l fuerz F 12 ejercid por q 1 sobre q 2. Cundo ls crgs son del mismo signo, l fuerz es de repulsión. F 21 q 1 r rˆ 12 q 2 F 12 Cundo ls crgs son de signos opuestos, l fuerz es de trcción. b q 1 F 21 F 12 q 2 el producto q 1 q 2 es positivo y l fuerz eléctric sobre un prtícul está dirigid lejos de l otr. i q 1 y q 2 son de signos opuestos, como se muestr en l figur 23.6b, el producto q 1 q 2 es negtivo y l fuerz eléctric de un prtícul está dirigid hci l otr. Estos signos indicn l dirección reltiv de l fuerz, pero no l dirección bsolut. Un producto negtivo indic que se trt de un fuerz de trcción y un producto positivo indic un fuerz de repulsión. L dirección bsolut de l fuerz sobre un crg depende de l posición de l otr crg. Por ejemplo, si el eje de ls x está lo lrgo de ls dos crgs en l figur 23.6, el producto q 1 q 2 será positivo, pero F12 punt en l dirección positiv de x y F21 en l dirección negtiv de x. Cundo hy más de dos crgs presentes, l fuerz que se ejerce entre culquier pr de crgs está dd por l ecución Debido eso, l fuerz resultnte de culquier de ells es igul l sum vectoril de ls fuerzs ejercids por ls otrs crgs individules. Por ejemplo, si están presentes cutro crgs, l fuerz resultnte ejercid por ls prtículs 2, 3 y 4 sobre l prtícul 1 es de F1 5 F21 1 F31 1 F41 E xmen rápido 23.3 El objeto A tiene un crg igul 12 mc y el objeto B un crg de 16 mc. Cuál de ls siguientes firmciones es verdder respecto de ls fuerzs eléctrics ejercids sobre los objetos? () FAB 523 FBA (b) FAB 52F BA (c) 3 FAB 52F BA (d) FAB 5 3 FBA (e) FAB 5 FBA (f) 3 FAB 5 FBA Ejemplo 23.2 Encuentre l fuerz resultnte Considere tres crgs puntules ubicds en ls esquins de un triángulo rectángulo, como se muestr en l figur 23.7, donde q 1 5 q mc, q mc y m. Encuentre l fuerz resultnte que se ejerce sobre q 3. q 2 y F 23 q 3 F 13 OLUCIÓN 2 Conceptulizr Piense en l fuerz net sobre q 3. Y que l crg q 3 está cerc de otrs dos crgs, experimentrá dos fuerzs eléctrics. Ests fuerzs se ejercen en diferentes direcciones, como se ve en l figur Bsdo en ls fuerzs mostrds en l figur, estime l dirección del vector fuerz neto. Ctegorizr Y que sobre l crg q 3 se ejercen dos fuerzs, este ejemplo se clsific como un problem de sum vectoril. F23. L fuerz resultnte F3 que se Anlizr Ls direcciones de ls fuerzs individules ejercids por q 1 y q 2 sobre q 3 se muestrn en l figur L fuerz ejerce sobre q 3 es l sum vectoril F23 que q 2 ejerce sobre q 3 es de trcción porque q 2 F13 1 F23. y q 3 tienen signos opuestos. En el sistem coordendo que se muestr en l figur 23.7, l fuerz de trcción F23 es hci l izquierd (en l dirección x negtiv). L fuerz F13 que q 1 ejerce sobre q 3 es de repulsión porque mbs crgs son positivs. L fuerz de repulsión F13 form un ángulo de 45.0 con el eje x. q 1 Figur 23.7 (Ejemplo 23.2) L fuerz que ejerce q 1 sobre q 3 es F13. L fuerz que ejerce q 2 sobre q 3 es x

15 23.3 Ley de Coulomb continución Use l ecución 23.1 pr encontrr l mgnitud de F23: Encuentre l mgnitud de l fuerz F13: F 23 5 k e 0 q 2 00q N # m 2 /C C C m N F 13 5 k e 0 q 1 00q 3 0 1" N # m 2 /C C C m N Encuentre ls componentes x y y de l fuerz F 13: Hlle ls componentes de l fuerz resultnte que ctú sobre q 3 : Exprese l fuerz resultnte que ctú sobre q 3 en form de vectores unitrios: F 13x 5 (11.2 N) cos N F 13y 5 (11.2 N) sen N F 3x 5 F 13x 1 F 23x N 1 (28.99 N) N F 3y 5 F 13y 1 F 23y N N F i^ j^2 N Finlizr L fuerz net sobre q 3 es hci rrib y l izquierd en l figur i q 3 se mueve en respuest l fuerz net, cmbin ls distncis entre q 3 y ls otrs crgs, de modo que l fuerz net cmbi. En consecuenci, si q 3 se mueve libremente se puede modelr como un prtícul bjo un fuerz net en tnto se reconozc que l fuerz que se ejerce sobre q 3 no es constnte. Como un refuerzo l memori, si umentmos los vlores numéricos tres cifrs significtivs, nos conducirá operciones tles como 7.94 N 1 (28.99 N) N por rrib. i usted llev todos los resultdos intermedios más cifrs significtivs verá que est operción es correct. QUÉ PAARÍA I? Y si los signos de ls tres crgs cmbirn los signos opuestos? Cómo fectrí l resultdo pr F3? Respuest L crg q 3 todví serí tríd hci q 2 y repelid de q 1, con fuerzs de l mism mgnitud. En consecuenci, el resultdo finl pr F3 serí el mismo. Ejemplo 23.3 Dónde es cero l fuerz net? AM Tres crgs puntules se encuentrn lo lrgo del eje x, como se muestr en l figur L crg positiv q mc está en x m, l crg positiv q mc está en el origen y l fuerz net que ctú sobre q 3 es cero. Cuál es l coordend x de q 3? OLUCIÓN Conceptulizr Y que q 3 está cerc de otrs dos crgs, experiment dos fuerzs eléctrics. in embrgo, diferenci del ejemplo nterior, en este problem ls fuerzs se encuentrn lo lrgo de l mism rect, como se indic en l figur Como q 3 es negtiv, mientrs que q 1 y q 2 son positivs, ls fuerzs F 13 y F 23 son de trcción. Debido que q 2 es l crg más pequeñ, l posición de q 3 en l que l fuerz es cero deberí estr más cerc de q 2 que de q 1. Ctegorizr Y que l fuerz net sobre q 3 es cero, l crg puntul se model como un prtícul en equilibrio. q 2 y x F m q x F 13 q 1 Figur 23.8 (Ejemplo 23.3) Tres crgs puntules se colocn lo lrgo del eje x. i l fuerz resultnte que ctú sobre q 3 es cero, l fuerz F 13 que ejerce q 1 sobre q 3 debe ser igul en mgnitud y opuest en dirección l fuerz F 23 que q 2 ejerce sobre q 3. x Anlizr Escrib un expresión pr l fuerz net sobre l crg q 3 cundo está en equilibrio: Muev el segundo término l derech de l ecución e igule los coeficientes del vector unitrio i^: 3 F 5 F23 1 F13 52k 0 q 2 00q 3 0 e x 2 k e 0 q 2 00q 3 0 x 2 5 k e 0 q 1 00q x2 2 i^ 1 k e 0 q 1 00q x2 2 i^ 5 0 continú

16 698 Cpítulo 23 Cmpos eléctricos 23.3 continución Elimine k e y uq 3 u y reordene l ecución: Tome l ríz cudrd mbos ldos de l ecución: Resuelv l ecución pr x: ustituy vlores numéricos, eligiendo el signo positivo: ( x) 2 uq 2 u 5 x 2 uq 1 u ( x)" 0 q x " 0 q 1 0 x " 0 q 2 0 " 0 q " 0 q 1 0 x " C " C 1 " C m Finlizr Teng en cuent que l crg móvil de hecho está más cerc de q 2 como predijimos en el pso de conceptulizr. L segund ríz de l ecución es (si elegimos el signo negtivo) x m. Ést es otr posición donde ls mgnitudes de ls fuerzs sobre q 3 son igules, unque dichs fuerzs están en l mism dirección, por lo que no se nuln. QUÉ PAARÍA I? upong que q 3 se restringe moverse sólo lo lrgo del eje x. Desde su posición inicil en x m, se jl un pequeñ distnci lo lrgo del eje x. Cundo se liber, regres l equilibrio o se jl ún más desde el equilibrio? Es decir, el equilibrio es estble o inestble? Respuest i q 3 se mueve hci l derech, F 13 se vuelve myor y F 23 menor. El resultdo es un fuerz net hci l derech, en l mism dirección que el desplzmiento. Por lo tnto, l crg q 3 continurí moviéndose hci l derech y el equilibrio es inestble. (Vése l sección 7.9 pr un repso de los equilibrios estble e inestble.) i q 3 se restringe permnecer en un coordend x fij, pero se le permite moverse rrib y bjo en l figur 23.8, el equilibrio es estble. En este cso, si l crg se jl hci rrib (o hci bjo) y se liber, se mueve de regreso hci l posición de equilibrio y oscil en torno este punto. Ejemplo 23.4 Encuentre l crg sobre ls esfers AM Dos pequeñs esfers idéntics crgds, cd un con un ms de kg, cuelgn en equilibrio como se muestr en l figur L longitud L de cd cuerd es m y el ángulo u es 5.0. Encuentre l mgnitud de l crg sobre cd esfer. OLUCIÓN Conceptulizr L figur 23.9 yud formr ides de este ejemplo. Ls dos esfers ejercen fuerzs de repulsión un sobre l otr. i se mntienen cerc y se libern, se mueven hci fuer desde el centro y se estblecen en l configurción de l figur 23.9 después de que ls oscilciones desprecen debido l resistenci del ire. Ctegorizr L frse clve en equilibrio yud modelr cd esfer como un prtícul en equilibrio. Este ejemplo es similr los problems de prtícul en equilibrio del cpítulo 5, con l crcterístic gregd de que un de ls fuerzs sobre un esfer es un fuerz eléctric. q L u u L q F e T cos u b u mg T u T sen u Figur 23.9 (Ejemplo 23.4) () Dos esfers idéntics, cd un con l mism crg q, suspendids en equilibrio. (b) Digrm de cuerpo libre pr l esfer l izquierd del inciso (). Anlizr En l figur 23.9b se muestr el digrm de cuerpo libre pr l esfer de l izquierd. L esfer está en equilibrio bjo l plicción de l fuerz T de l cuerd, l fuerz eléctric F e de l otr esfer y l fuerz grvitcionl m g. A prtir del modelo de l prtícul en equilibrio, igule cero l fuerz net en l esfer de l izquierd pr cd componente: (1) o F x 5 T sen u 2 F e 5 0 T sen u 5 F e (2) o F y 5 T cos u 2 mg 5 0 T cos u 5 mg Divid l ecución (1) entre l ecución (2) pr encontrr F e : (3) tn u 5 F e mg F e 5 mg tn u

17 23.4 Análisis de modelo: prtícul en un cmpo (eléctrico) continución Use l geometrí del triángulo rectángulo en l figur 23.9 pr encontrr l correspondenci entre, L y u: Resuelv l ley de Coulomb (ecución 23.1) pr l crg q en cd esfer y sustituy de ls ecuciones 3 y 4: (4) sen u5 5 L L sen u 0 q 0 5 Å F e r 2 k e 5 Å F e k e 5 Å mg tn u 12L sen u 2 k e ustituy vlores numéricos: 0q 0 5 Å kg m/s 2 2 tn m2 sen C N # m 2 /C 2 Finlizr i el signo de ls crgs no se proporcion en l figur 23.9, no es posible determinrlo. De hecho, el signo de l crg no es importnte. L situción es l mism y se que mbs esfers tengn crg positiv o crg negtiv. QUÉ PAARÍA I? upong que su compñer de curto le propone resolver este problem sin l suposición de que ls crgs son de igul mgnitud. Ell firm que l simetrí del problem se destruye si ls crgs no son igules, de modo que ls cuerds formrín dos ángulos diferentes con l verticl y el problem serí mucho más complicdo. Cómo responderí? Respuest L simetrí no se destruye y los ángulos no son diferentes. L tercer ley de Newton requiere que ls mgnitudes de ls fuerzs eléctrics sobre ls dos crgs sen igules, sin importr l iguldd o desiguldd de ls crgs. L solución l ejemplo ún es l mism: el vlor de q en l solución se sustituye por " 0 q 1 q 2 0 en l nuev situción, donde q 1 y q 2 son los vlores de ls crgs en ls dos esfers. L simetrí del problem se destruirí si ls mss de ls esfers no fuern igules. En este cso, ls cuerds formrín diferentes ángulos con l verticl y el problem serí más complicdo Análisis de modelo: prtícul en un cmpo (eléctrico) En l sección 5.1 nlizmos ls diferencis entre fuerzs de contcto y fuerzs de cmpo. Hst hor se h hbldo de dos fuerzs de cmpo: l fuerz grvitcionl en el cpítulo 13 y l fuerz eléctric en el presente cpítulo. Como se dijo ntes, ls fuerzs de cmpo ctún trvés del espcio y producen lgún efecto, un cundo no exist contcto físico entre los objetos que interctún. Tl intercción puede ser modeld como un proceso de dos psos: un prtícul fuente estblece un cmpo y luego un prtícul crgd interctú con el cmpo y experiment un fuerz. El cmpo grvitcionl g en un punto en el espcio debido un fuente prticulr fue definido en l sección 13.4, como igul l fuerz grvitcionl Fg que ctú sobre un prtícul de prueb de ms m dividid entre es ms: g ; Fg /m. Entonces, l fuerz ejercid por el cmpo es F 5 m g (ecución 5.5). El concepto de cmpo fue desrrolldo por Michel Frdy ( ) en el contexto de ls fuerzs eléctrics y es de un vlor tn práctico que en los siguientes cpítulos se le d much tención. En este enfoque, se dice que existe un cmpo eléctrico en l región del espcio que rode l objeto crgdo: l crg fuente. L presenci del cmpo eléctrico puede detectrse usndo un crg de prueb en el cmpo eléctrico, observndo l fuerz eléctric que ctú sobre él. Pr ejemplificr, observe l figur 23.10, que muestr un pequeñ crg de prueb positiv q 0 colocd cerc de un segundo objeto con un crg positiv Q mucho myor. Definimos el cmpo eléctrico debido l crg fuente en l ubicción de l crg de prueb, como l fuerz eléctric sobre l crg de prueb por unidd de crg o, pr myor clridd, el vector del cmpo eléctrico E en un punto en el espcio se define como l fuerz eléctric Fe, que ctú sobre un crg de prueb positiv q 0 colocd en ese punto, dividid entre l crg de prueb: 3 F e E ; (23.7) q 0 q 0 Q q 0 P E Crg de prueb Crg fuente Figur Un pequeñ crg de prueb positiv q 0 colocd en el punto P cerc de un objeto con un crg positiv Q mucho myor experiment un cmpo eléctrico E en el punto P estblecido por l crg fuente Q. iempre sumiremos que l crg de prueb es tn pequeñ que el cmpo de l crg fuente no es fectdo por su presenci. Definición de cmpo eléctrico 3 Cundo use l ecución 23.7, debe suponer que l crg de prueb q 0 es lo suficientemente pequeñ como pr no perturbr l distribución de crgs responsble del cmpo eléctrico. i l crg de prueb es suficientemente grnde, l crg sobre l esfer metálic se redistribuye y el cmpo eléctrico que estblece es diferente del cmpo que se estblece en presenci de l crg de prueb mucho menor.

18 700 Cpítulo 23 Cmpos eléctricos El vector E está en uniddes del I, newtons por cd coulomb (N/C). L dirección de E como se ve en l figur está en l dirección de l fuerz que experiment un crg positiv de prueb cundo es colocd en el cmpo. Observe que E es el cmpo producido por un crg o distribución de crg seprd de l crg de prueb; no es el cmpo producido por l propi crg de prueb, demás observe que l existenci de un cmpo eléctrico es un propiedd de su fuente; l presenci de un crg de prueb no es necesri pr que el cmpo exist. L crg de prueb sirve como detector del cmpo eléctrico: existe un cmpo eléctrico en un punto si un crg de prueb en dicho punto experiment un fuerz eléctric. i se coloc un crg rbitrri q en un cmpo eléctrico E, éste experiment un fuerz eléctric dd por e F e 5 q E (23.8) Est drmátic fotogrfí cptur l cíd de un relámpgo sobre un árbol cerc de lguns css en un zon rurl. Los relámpgos están socidos con cmpos eléctricos muy intensos que se genern en l tmósfer. Prevención de riesgos ocultos 23.1 ólo prtículs L ecución 23.8 sólo es válid pr un prtícul de crg q; es decir, pr un objeto de tmño cero. Pr un objeto crgdo de tmño finito en un cmpo eléctrico, el cmpo puede vrir en mgnitud y dirección de cuerdo con el tmño del objeto, por lo que l ecución de fuerz correspondiente puede ser más complicd. Courtesy Johnny Autery Est ecución es l representción mtemátic de l versión eléctric del nálisis de modelo de prtícul en un cmpo. i q es positiv, l fuerz tiene l mism dirección que el cmpo. i es negtiv, l fuerz y el cmpo tienen direcciones opuests. Observe l similitud entre l ecución 23.8 y l ecución correspondiente l versión grvitcionl de l prtícul en un modelo de cmpo, F g 5 m g (sección 5.5). Un vez que conoce l mgnitud y l dirección del cmpo eléctrico en un punto determindo, puede clculr l fuerz eléctric ejercid sobre culquier prtícul crgd ubicd en ese punto medinte l ecución Pr determinr l dirección que tiene un cmpo eléctrico, considere un crg puntul q como crg fuente. Est crg produce un cmpo eléctrico en todos los puntos del espcio que l rode. En el punto P, un distnci r de l crg fuente, se coloc un crg de prueb q 0, tl como se observ en l figur Imgine el uso de l crg de prueb pr determinr l dirección de l fuerz eléctric y, por lo tnto, l dirección del cmpo eléctrico. De cuerdo con l ley de Coulomb, l fuerz ejercid por q sobre l crg de prueb es e F 5 k qq 0 e r r^ 2 donde r^ es un vector unitrio con dirección de q hci q 0. En l figur est fuerz se lej de l crg fuente q. Y que el cmpo eléctrico en P, que es l posición de l crg de prueb, qued definido por E 5 Fe /q 0, el cmpo eléctrico en P estblecido por q es E q 5 ke r r^ 2 (23.9) i l crg fuente q es positiv, l figur 23.11b muestr l situción l eliminr l crg de prueb: l crg fuente estblece un cmpo eléctrico en el punto P, lejándose de q. i q es negtiv, como en el cso de l figur 23.11c, l fuerz sobre l crg de prueb está i q es positiv, l fuerz en l crg de prueb q 0 se lej de q. q rˆ r q 0 P F e q rˆ F e q 0 P i q es negtiv, l fuerz en l crg de prueb q 0 se dirige hci q. c Figur (), (c) Cundo un crg de prueb q 0 se coloc cerc de un crg fuente q, l crg de prueb experiment un fuerz. (b), (d) En un punto P cerc de un fuente de crg q, existe un cmpo eléctrico. Pr un crg fuente positiv, el cmpo eléctrico en P punt rdilmente hci fuer de q. b q rˆ P E q d rˆ E P Pr un crg fuente negtiv, el cmpo eléctrico en P punt rdilmente hci dentro en dirección q.

19 23.4 Análisis de modelo: prtícul en un cmpo (eléctrico) 701 dirigid hci l crg fuente, por lo que el cmpo eléctrico en P está dirigido hci l crg fuente, como en l figur 23.11d. Pr clculr el cmpo eléctrico en un punto P debido un pequeño número de crgs puntules, primero determine los vectores del cmpo eléctrico en P, uno por uno, usndo l ecución 23.9 y, en seguid, súmelos en form vectoril. En otrs plbrs, en culquier punto P, el cmpo eléctrico totl debido un grupo de crgs fuente es igul l sum vectoril de los cmpos eléctricos de tods ls crgs. Este principio de superposición plicdo los cmpos se deduce de l sum vectoril de ls fuerzs eléctrics. Por lo tnto, el cmpo eléctrico en el punto P debido un grupo de crgs fuente se expres como l sum vectoril E 5 ke i q i r i 2 r^i (23.10) donde r i es l distnci desde l i-ésim crg fuente q i hst el punto P y r^i es un vector unitrio dirigido de q i hci P. En el ejemplo 23.6 se explor el cmpo eléctrico debido dos crgs prtir del principio de superposición. El inciso (B) del ejemplo se concentr en un dipolo eléctrico, que se define como un crg positiv q y un crg negtiv 2q seprds por un distnci 2. El dipolo eléctrico es un buen modelo de muchs moléculs, como el ácido clorhídrico (HCl). Los átomos y moléculs neutros se comportn como dipolos cundo se colocn en un cmpo eléctrico externo. Además, muchs moléculs, como HCl, son dipolos permnentes. En el cpítulo 26 se explic el efecto de tles dipolos sobre el comportmiento de los mteriles sujetos cmpos eléctricos. Cmpo eléctrico debido un número finito de crgs puntules E xmen rápido 23.4 Un crg de prueb de vlor 13 mc está en un punto P donde un cmpo eléctrico externo está dirigido hci l derech con un mgnitud de N/C. i l crg de prueb se reemplz con otr de mgnitud 23 mc, qué le sucede l cmpo eléctrico externo en P? () No se ve fectdo, (b) invierte su dirección, (c) cmbi de un modo que no puede ser determindo. Análisis de modelo Prtícul en un cmpo (eléctrico) Imgine un objeto crgdo que llmmos crg fuente. L crg fuente estble - ce un cmpo eléctrico E trvés del espcio. Ahor imginemos que E un prtícul con crg q se coloc en ese cmpo. L prtícul interctú con el cmpo eléctrico de mner que l prtícul experiment un fuerz eléctric dd por Fe 5 q E (23.8) q F e qe Ejemplos: ryos ctódicos y se desví de su rut originl trico en un selector de velocidd ntes de entrr en un espectrómetro de mss (cpítulo 29) cido por el protón de un átomo de hidrógeno como el modeldo por l teorí de Bohr (cpítulo 42) cmpo eléctrico estblecido medinte l plicción de un voltje l mteril (cpítulo 43) Ejemplo 23.5 Un got de gu suspendid AM Un got de gu con ms de kg se encuentr en el ire cerc del suelo durnte un dí de torment. Un cmpo eléctrico tmosférico de mgnitud N/C punt verticlmente hci bjo en l proximidd de l got de gu. L got permnece suspendid en reposo en el ire. Cuál es l crg eléctric de l got? OLUCIÓN Conceptulizr Imgínese l got de gu flotndo en reposo en el ire. Est situción no es lo que se observ normlmente, sí que lgo debe mntener l got de gu suspendid. continú

20 702 Cpítulo 23 Cmpos eléctricos 23.5 continución Ctegorizr L got puede ser modeld como un prtícul y se describe por dos nálisis de modelos socidos los cmpos: l prtícul en un cmpo (grvitcionl) y l prtícul en un cmpo (eléctrico). Además, debido que l got está sujet ls fuerzs, pero permnece en reposo, se describe tmbién por el modelo de prtícul en equilibrio. Anlizr Escrib l segund ley de Newton prtir del modelo de prtícul en equilibrio en l dirección verticl: Usndo ls dos prtículs en los modelos de cmpo menciondos en el pso Ctegorizr, sustituy pr ls fuerzs en l ecución (1), reconociendo que l componente verticl del cmpo eléctrico es negtiv: Resuelv pr l crg de l got de gu: q 52 mg E (1) F y 5 0 F e 2 F g 5 0 q 12E 2 2 mg 5 0 ustituy los vlores numéricos: q kg m/s N/C C Finlizr Tomndo not de l unidd más pequeñ de crg libre en l ecución 23.5, l crg de l got de gu es un grn número de ests uniddes. Observe que l fuerz eléctric es hci rrib pr equilibrr l fuerz grvitcionl hci bjo. El plntemiento del problem firm que el cmpo eléctrico es en dirección hci bjo. Por lo tnto, l crg que se clculó rrib es negtiv de modo que l fuerz eléctric es opuest l dirección del cmpo eléctrico. Ejemplo 23.6 Cmpo eléctrico debido dos crgs y E 1 Ls crgs q 1 y q 2 se ubicn en el eje x, distncis y b, respectivmente, del origen, como se muestr en l figur (A) Encuentre ls componentes del cmpo eléctrico neto en el punto P, que está en l posición (0, y). OLUCIÓN P f u E 2 E Conceptulizr Compre este ejemplo con el ejemplo Ahí sumó los vectores fuerz pr encontrr l fuerz net sobre un prtícul crgd. En este cso, sume los vectores de cmpo eléctrico pr encontrr el cmpo eléctrico neto en un punto en el espcio. i un prtícul crgd se coloc en P, podrí usr l prtícul en un modelo de cmpo pr encontrr l fuerz eléctric sobre l prtícul. Figur (Ejemplo 23.6) el cmpo eléctrico totl E en P es igul l sum vectoril E 1 1 E 2, donde E 1 es el cmpo debido l crg positiv q 1 y E 2 es el cmpo debido l crg negtiv q 2. r 1 f q 1 b u r 2 q 2 x Ctegorizr Tenemos dos crgs fuente y desemos encontrr el cmpo eléctrico resultnte, de modo que se puede clsificr este ejemplo como uno en el que se puede usr el principio de superposición representdo por l ecución Anlizr Encuentre l mgnitud del cmpo eléctrico en P debido l crg q 1 : Encuentre l mgnitud del cmpo eléctrico en P debido l crg q 2 : Escrib los vectores de cmpo eléctrico pr cd crg en form de vector unitrio: E 1 5 k 0 q 1 0 e r 5 k 2 e 1 E 2 5 k 0 q 2 0 e r 5 k 2 e 2 E 1 5 k e E 2 5 k e 0 q y 2 0 q 2 0 b 2 1 y 2 0 q y cos f i^ 0 q k 2 e sen f j^ y 0 q 2 0 b 2 1 y cos u i^ 0 q k 2 e sen u j^ b y

21 23.4 Análisis de modelo: prtícul en un cmpo (eléctrico) continución Escrib ls componentes del vector de cmpo eléctrico neto: (1) (2) 0 q 1 0 E x 5 E 1x 1 E 2x 5 k e 2 1 y cos f1k 0 q e b 2 1 y cos u 2 0 q 1 0 E y 5 E 1y 1 E 2y 5 k e 2 1 y sen f2k 0 q e b 2 1 y sen u 2 (B) Evlúe el cmpo eléctrico en el punto P en el cso especil de que q 1 5 q 2 y 5 b. y E 1 OLUCIÓN Conceptulizr L figur muestr l situción en este cso especil. Observe l simetrí en l situción y que l distribución de crg hor es un dipolo eléctrico. Ctegorizr Y que l figur es un cso especil del cso generl que se muestr en l figur 23.12, este ejemplo se clsific como uno en el que se puede tomr el resultdo del inciso (A) y sustituir los vlores propidos de ls vribles. Figur (Ejemplo 23.6) Cundo ls crgs en l figur son de igul mgnitud y equidistntes del origen, l situción se vuelve simétric, como se muestr en este cso. q P r u u u E 2 E u x q Anlizr En función de l simetrí de l figur 23.13, evlúe ls ecuciones 1 y 2 del inciso (A) con 5 b, q 1 5 q 2 5 q, y f 5 u: q (3) E x 5 k e 2 1 y cos u1k q 2 e 2 1 y cos u52k q 2 e 2 1 y cos u 2 q E y 5 k e 2 1 y sen u2k q 2 e sen u y De l geometrí en l figur 23.13, evlúe cos u: (4) cos u 5 r y 2 2 1/2 ustituy l ecución (4) en l ecución (3): E x 5 2k e q 2 1 y c y 2 2 d 5 k 1/2 e 2q y 2 2 3/2 (C) Encuentre el cmpo eléctrico debido l dipolo eléctrico cundo el punto P está un distnci y.. desde el origen. OLUCIÓN En l solución l inciso (B), y que y.., ignore 2 en comprción con y 2 y escrib l expresión pr E en este cso: (5) E < k e 2q y 3 Finlizr De l ecución (5) se ve que, en los puntos lejdos de un dipolo, pero lo lrgo de l bisectriz perpendiculr de l líne que une ls dos crgs, l mgnitud del cmpo eléctrico producido por el dipolo vrí como 1/r 3, mientrs que el cmpo que vrí más lentmente de un crg puntul lo hce como 1/r 2 (ecución 23.9). Esto es porque en puntos distntes, los cmpos de ls dos crgs de igul mgnitud y signo opuesto csi se cnceln mutumente. L vrición 1/r 3 en E pr el dipolo tmbién se obtiene pr un punto distnte lo lrgo del eje x y pr culquier punto distnte en generl.

22 704 Cpítulo 23 Cmpos eléctricos ˆr 2 r 2 q 2 r 1 P E E 3 2 E 1 rˆ 1 r3 ˆr 3 q 1 q 3 Figur El cmpo eléctrico en P debido un distribución continu de crg es el vector sum de los cmpos D E i debidos todos los elementos q i de l distribución de crg. e muestrn tres elementos como ejemplo Cmpo eléctrico de un distribución de crg continu L ecución es útil pr clculr el cmpo eléctrico debido un pequeño número de crgs. En muchos csos, tenemos un distribución continu de crg en vez de un colección de crgs discrets. En est situción, l crg puede ser descrit como continumente distribuid lo lrgo de lgun rect, sobre lgun superficie, o por todo un volumen. Pr estblecer el proceso de evlución del cmpo eléctrico producido por un distribución de crg continu, utilice el siguiente procedimiento: primero, divid l distribución de crgs en pequeños elementos, cd uno con un pequeñ crg q, como se observ en l figur Después, plique l ecución 23.9 pr clculr el cmpo eléctrico debido uno de estos elementos en el punto P. Por último, evlúe el cmpo eléctrico totl en P debido l distribución de crg sumndo ls contribuciones de todos los elementos de crg (es decir, plicndo el principio de superposición). El cmpo eléctrico en P debido un elemento de crg con un crg q es D E 5 k Dq e r r^ 2 donde r es l distnci desde el elemento de crg hst el punto P y r^ es el vector unitrio dirigido desde el elemento de crg hst P. El cmpo eléctrico totl en P debido todos los elementos en l distribución de crg es proximdmente E < ke i Dq i r i 2 r^i donde el índice i se refiere l i-ésimo elemento de orden i en l distribución. Y que el número de elementos es muy grnde y l distribución de crg h sido modeld como continu, el cmpo totl en P en el límite Dq i 0 es Cmpo eléctrico debido un distribución de crg continu Densidd de crg volumétric E 5 ke lim Dq i 0 i Dq i r r^ 2 i 5 k dq e 3 2 r^ (23.11) i r donde l integrción es sobre tod l distribución de crg. L integrción en l ecución es un operción vectoril y debe ser trtd en form propid. Este tipo de cálculo se ilustr con vrios ejemplos en los que l crg está distribuid lo lrgo de un rect, sobre un superficie o en un volumen. Cundo relice estos cálculos es conveniente que use el concepto de densidd de crg junto con ls siguientes observciones: i un crg Q está uniformemente distribuid en un volumen V, l densidd de crg volumétric r se define como r ; Q V donde r está en coulombs por metro cúbico (C/m 3 ). i un crg Q está uniformemente distribuid sobre un superficie de áre A, l densidd de crg superficil s (grieg minúscul sigm) se define como Densidd de crg superficil s ; Q A donde s está en coulombs por metro cudrdo (C/m 2 ). i un crg Q está uniformemente distribuid lo lrgo de un rect de longitud,, l densidd de crg linel l se define como Densidd de crg linel l ; Q, donde l está en coulombs por metro (C/m).

23 23.5 Cmpo eléctrico de un distribución de crg continu 705 i l crg no está uniformemente distribuid en un volumen, superficie o líne, ls cntiddes de crg dq en un elemento pequeño de volumen, superficie o longitud son dq 5 r dv dq 5 s da dq 5 l d, Estrtegi pr resolución de problems Cálculo del cmpo eléctrico e recomiend el procedimiento siguiente pr resolver problems que incluyen l determinción de un cmpo eléctrico debido crgs individules o un distribución de crg. 1. Conceptulizr. Estblezc un representción mentl del problem: piense cuiddosmente en ls crgs individules o en l distribución de crg e imgine qué tipo de cmpo eléctrico producirí. Recurr culquier simetrí en el rreglo de crgs pr yudrse visulizr el cmpo eléctrico. 2. Ctegorizr. Anliz un grupo de crgs individules o un distribución de crg continu? L respuest est pregunt le dice cómo proceder en l etp Anlizr. 3. Anlizr. () i nliz un grupo de crgs individules use el principio de superposición: cundo están presentes vris crgs puntules, el cmpo resultnte en un punto en el espcio es l sum vectoril de los cmpos individules debidos ls crgs individules (ecución 23.10). Teng mucho cuiddo con l mnipulción de ls cntiddes vectoriles. Puede serle útil revisr l sum vectoril en el cpítulo 3. El ejemplo 23.6 demuestr este procedimiento. (b) i nliz un distribución de crg continu se utiliz el principio de superposición sustituyendo ls sums vectoriles pr el cmpo eléctrico totl de ls crgs individules medinte integrles vectoriles. L distribución de crg se divide en piezs infinitesimles, y l sum vectoril se reliz l integrr sobre tod l distribución de crg (ecución 23.11). Los ejemplos del 23.7 l 23.9 demuestrn tles procedimientos. Considere que hy simetrí cundo trte con un distribución de crgs puntules o con un distribución de crg continu. que ventj de culquier simetrí en el sistem que observe en l etp Conceptulizr pr simplificr sus cálculos. L cncelción de ls componentes de cmpo perpendiculres l eje en el ejemplo 23.8 es un ejemplo de l plicción de simetrí. 4. Finlizr. Compruebe pr ver si su expresión de cmpo eléctrico es consistente con su representción mentl y si reflej lgun simetrí que notr nteriormente. Imgine prámetros vribles como l distnci del punto de observción desde ls crgs o el rdio de culquier objeto circulr pr ver si el resultdo mtemático cmbi en un form rzonble. Ejemplo 23.7 Cmpo eléctrico debido un brr crgd Un brr de longitud, tiene un crg positiv uniforme por unidd de longitud y un crg totl Q. Clcule el cmpo eléctrico en un punto P que se ubic lo lrgo del eje lrgo de l brr y un distnci desde un extremo (figur 23.15). OLUCIÓN Conceptulizr El cmpo d E en P debido cd segmento de crg sobre l brr está en l dirección x negtiv, porque cd segmento port un crg positiv. L figur muestr l geometrí propid. En nuestro resultdo, espermos que el cmpo eléctrico se vuelv menor medid que l distnci se hce más grnde porque el punto P está más lejos de l distribución de crg. E P y x dx Figur (Ejemplo 23.7) El cmpo eléctrico en P debido un brr uniformemente crgd yce lo lrgo del eje x. x continú

24 C A P Í T U L O 35 Nturlez de l luz y leyes de óptic geométric 35.1 Nturlez de l luz 35.2 Mediciones de l rpidez de l luz 35.3 Aproximción de un ryo en óptic geométric 35.4 Análisis de modelo: l ond bjo reflexión 35.5 Análisis de modelo: l ond bjo refrcción 35.6 Principio de Huygens 35.7 Dispersión 35.8 Reflexión intern totl Est fotogrfí de un rco iris muestr l gm de colores desde el rojo en l prte superior hst el violet en el fondo. L prición del rco iris depende de tres fenómenos ópticos que se mencionn en este cpítulo: reflexión, refrcción y dispersión. Los débiles lzos de color pstel debjo del rco principl se llmn rcos supernumerrios. Éstos se formn por l interferenci entre los ryos de luz que slen de ls gots de gu por debjo de los que cusn el rco iris principl. (John W. Jewett, Jr.) En este primer cpítulo sobre óptic se presentn dos modelos históricos y se estudin métodos nteriores pr medir l rpidez de l luz. A continución estudirá los fenómenos fundmentles de l óptic geométric: reflexión desde un superficie y refrcción cundo cruz l fronter entre dos medios. Tmbién estudirá l dispersión de luz cundo se refrct en mteriles, lo que result en un despliegue visible como el rco iris. Por último, investigrá el fenómeno de l reflexión intern totl, que es l bse pr l operción y el desrrollo de tecnologí de fibrs óptics Nturlez de l luz Antes de inicir el siglo xix, l luz er considerd un flujo de prtículs que ern emitids por un objeto observdo o emnb de los ojos del observdor. Newton, principl 1058

25 35.2 Mediciones de l rpidez de l luz 1059 rquitecto del modelo de ls prtículs de l luz, firmb que ésts ern emitids por un fuente luminos y que estimulbn el sentido de l vist l entrr en los ojos del observdor. Con est ide pudo explicr l reflexión y l refrcción. L myorí de los científicos ceptó est teorí. De culquier modo, durnte su vid Newton se propuso otr ide que sostení que l luz podrí ser un clse de movimiento ondultorio. En 1678, el físico y strónomo holndés Christin Huygens demostró que un teorí de onds de luz podrí tmbién explicr l reflexión y l refrcción. En 1801, Thoms Young ( ) dio l primer demostrción clr de l nturlez ondultori de l luz. Demostró que, bjo condiciones propids, los ryos de luz se interfieren unos con otros de cuerdo con el modelo de interferenci de onds, l igul que con ls onds mecánics (cpítulo 18). Tl comportmiento no podí ser explicdo en quel tiempo por un teorí de prtículs porque no hbí form imginble en que dos o más prtículs pudiern unirse y cncelrse entre sí. Desrrollos dicionles durnte el siglo xix condujeron l ceptción generl del modelo de ond de l luz, el resultdo más importnte de l obr de Mxwell, quien en 1873 firmó que l luz er un form de ond electromgnétic de lt frecuenci. Como se explicó en el cpítulo 34, Hertz proporcionó informción experimentl de l teorí de Mxwell en 1887 l producir y detectr onds electromgnétics. Aun cundo el modelo ondultorio y l teorí clásic de electricidd y mgnetismo podín explicr l myorí de ls propieddes de l luz, no podín explicr ciertos experimentos consecutivos. El más notble de éstos es el efecto fotoeléctrico, tmbién descubierto por Hertz: cundo incide luz sobre un superficie metálic, veces se expulsn electrones de l superficie. Como ejemplo de ls dificultdes que surgieron, lgunos experimentos demostrron que l energí cinétic de un electrón expulsdo es independiente de l intensidd de l luz. Este hllzgo contrdijo el modelo de ond, que sostení que un hz luminoso más intenso dicion más energí l electrón. Einstein propuso un explicción del efecto fotoeléctrico en 1905 plicndo un modelo de cuerdo con el concepto de cuntizción desrrolldo por Mx Plnck ( ) en El modelo de cuntizción supone que l energí de un ond luminos está presente en prtículs llmds fotones; por tnto, se dice que l energí está cuntizd. egún l teorí de Einstein, l energí de un fotón es proporcionl l frecuenci de l ond electromgnétic: Photo Reserchers, Inc. Christin Huygens Físico y strónomo holndés ( ) Huygens es mejor conocido por sus portciones los cmpos de l óptic y l dinámic. Pr Huygens, l luz consistí en un tipo de movimiento vibrtorio que se dispers y produce l sensción de luz cundo incide en los ojos. Con bse en est teorí, dedujo ls leyes de l reflexión y l refrcción, y explicó el fenómeno de doble refrcción. E 5 hf (35.1) Energí de un fotón donde l constnte de proporcionlidd h J s es l constnte de Plnck. Est teorí se estudi en el cpítulo 40. En vist de estos desrrollos, debe considerr que l luz tiene doble nturlez: en lgunos csos exhibe crcterístics de un ond y en otrs de un prtícul. L luz es luz, esto es seguro. De culquier modo, l pregunt se trt de un ond o de un prtícul? es inpropid. A veces l luz ctú como ond y otrs veces como prtícul. En los siguientes cpítulos se investig l nturlez ondultori de l luz Mediciones de l rpidez de l luz L luz se desplz con un rpidez tn lt ( tres dígitos c m/s) que los primeros intentos por medirl frcsron. Glileo intentó medirl colocndo dos observdores en torres seprds proximdmente 10 km. Cd observdor llevb un lintern de persins. Un observdor l brirí primero y luego lo hrí el otro l momento de ver l luz. Glileo explicó que si conocí el tiempo de tránsito de los ryos de luz de un lintern l otr y l distnci entre ls dos linterns, podrí obtener l rpidez. us resultdos no fueron concluyentes. En l ctulidd (como concluyó Glileo) se sbe que es imposible medir l rpidez de l luz de est mner porque el tiempo de tránsito es mucho menor que el tiempo de rección de los observdores.

26 1060 Cpítulo 35 Nturlez de l luz y leyes de óptic geométric En el intervlo de tiempo durnte el cul l Tierr se desplz 90 lrededor del ol (tres meses), Júpiter se desplz sólo 7.5. E 1 90 E 2 Figur 35.1 Método de Roemer pr medir l rpidez de l luz (el dibujo no está escl). Rued dentd ol 7.5 J 1 Io A B C Espejo Figur 35.2 Método de Fizeu pr medir l rpidez de l luz medinte un rued dentd girtori. e consider que l fuente de luz está en l posición de l rued; por lo tnto, l distnci d es conocid. d J 2 Método de Roemer En 1675, el strónomo dnés Ole Roemer ( ) hizo l primer estimción exitos de l rpidez de l luz. En l técnic de Roemer intervinieron observciones stronómics de un de ls luns de Júpiter, Io, que tiene un periodo de revolución lrededor del plnet de proximdmente 42.5 h. El periodo de revolución de Júpiter lrededor del ol es de proximdmente 12 ños; por lo tnto, cundo l Tierr se mueve 90º lrededor del ol, Júpiter gir sólo ( 1 12) (figur 35.1). Un observdor que utilice el movimiento orbitl de Io como reloj esperrí que l órbit tuvier un periodo constnte. No obstnte, Roemer, después de reunir dtos durnte más de un ño, observó un vrición sistemátic en el periodo de Io. Encontró que los periodos ern más lrgos que el promedio cundo l Tierr se lejb de Júpiter y más cortos que el promedio cundo se proximb. Roemer tribuyó est vrición l hecho de que l distnci entre l Tierr y Júpiter cmbib de un observción otr. Con el uso de los dtos de Roemer, Huygens estimó que el límite inferior de l rpidez de l luz er proximdmente m/s. Este experimento es importnte históricmente porque demostró que l luz tiene un rpidez finit y proporcionó un estimción de est rpidez. Método de Fizeu El primer método exitoso pr medir l rpidez de l luz por medio de técnics purmente terrestres fue perfecciondo en 1849 por el físico frncés Armnd H. L. Fizeu ( ). L figur 35.2 represent un digrm simplificdo del prto de Fizeu. El procedimiento básico es medir el intervlo de tiempo totl durnte el cul l luz vij desde cierto punto hci un espejo distnte y de regreso. i d es l distnci entre l fuente de luz (considerd en l posición de l rued) y el espejo, y si el intervlo de tiempo pr un vije redondo es Dt, l rpidez de l luz es c 5 2d/Dt. Pr medir el tiempo de tránsito, Fizeu utilizó un rued dentd girtori, que convierte un hz continuo de luz en un serie de pulsos luminosos. L rotción de est rued control lo que ve un observdor en l fuente de luz. Por ejemplo, si el pulso que vij hci el espejo y ps por l bertur en el punto A de l figur 35.2 regres l rued en el instnte en que el diente B h girdo su posición pr cubrir l tryectori de retorno, el pulso no llegrí l observdor. Con myor rpidez de rotción, l bertur en el punto C podrí moverse su posición pr permitir que el pulso reflejdo llegue l observdor. Al conocer l distnci d, el número de dientes de l rued y l rpidez ngulr de ést, Fizeu llegó un vlor de m/s. Mediciones similres hechs por otros investigdores dieron vlores más precisos pr c, que llevó l vlor ctulmente ceptdo de m/s. Ejemplo 35.1 Medición de l rpidez de l luz con l rued de Fizeu AM upong que l rued de Fizeu tiene 360 dientes y d vuelts 27.5 rev/s cundo un pulso de luz que ps trvés de l bertur A en l figur 35.2 es bloquedo por el diente B su regreso. i l distnci l espejo es de m, cuál es l rpidez de l luz? OLUCIÓN Conceptulizr Imgine un pulso de luz que ps trvés de l bertur A en l figur 35.2 y se reflej desde el espejo. Pr cundo el pulso lleg de regreso l rued, el diente B h girdo l posición nteriormente ocupd por l bertur A. Ctegorizr L rued es un objeto rígido girndo rpidez ngulr constnte. Modele el pulso de luz como un prtícul bjo rpidez constnte. Anlizr L rued tiene 360 dientes, sí que debe tener 360 berturs. Por lo tnto, y que l luz ps trvés de l bertur A pero es bloqued por el diente inmeditmente dycente A, l rued debe dr vuelt trvés de un desplzmiento ngulr de rev en el intervlo de tiempo durnte el cul el pulso de luz hce su vije redondo. Use l ecución 10.2 con l rpidez ngulr constnte pr encontrr el intervlo de tiempo pr el vije redondo del pulso: Dt 5 Du 1 v rev 27.5 rev/s s

27 35.4 Análisis de modelo: l ond bjo reflexión continución A prtir del modelo de prtícul bjo rpidez constnte, encuentre l rpidez del pulso de luz: c 5 2d Dt m s m/s Finlizr Este resultdo está muy cerc del vlor rel de l rpidez de l luz Aproximción de un ryo en óptic geométric El cmpo de l óptic geométric brc el estudio de l propgción de l luz prtir del supuesto de que l luz se desplz en un dirección fij y en líne rect cundo ps por un medio uniforme, y cmbi su dirección en el momento en que se encuentr con l superficie de un medio diferente o si ls propieddes óptics del medio no son uniformes, y se en espcio o en tiempo. A medid que estudie l óptic geométric quí y en el cpítulo 36, utilizrá l proximción de un ryo. Pr comprender est proximción, primero observe que los ryos de un ond determind son línes rects perpendiculres los frentes de ond, como se ilustr en l figur 35.3 pr un ond pln. En l proximción de un ryo, un ond que se mueve en un medio se desplz en líne rect en l dirección de sus ryos. i l ond se encuentr con un brrer en l que hy un bertur circulr cuyo diámetro es mucho myor que l longitud de ond, como se ve en l figur 35.4, l ond que emerge de l bertur continú moviéndose en líne rect (demás de lgunos pequeños efectos de borde); por tnto, l proximción de ryo es válid. i el diámetro de l bertur es del orden de un longitud de ond, como en l figur 35.4b, ls onds se extienden desde l bertur en tods direcciones. Este efecto se llm difrcción y se estudirá en el cpítulo 37. Por último, si l bertur es mucho menor que l longitud de ond, l bertur se proxim como un fuente puntul de onds, como muestr l figur 35.4c. Efectos similres se observn cundo ls onds se encuentrn con un objeto opco de dimensión d. En este cso, cundo l,, d, el cuerpo rroj un sombr nítid. L proximción de un ryo y l suposición de que l,, d se usn en este cpítulo y en el cpítulo 36, que trtn l óptic geométric. Est proximción es muy buen pr el estudio de espejos, lentes, prisms e instrumentos ópticos socidos, por ejemplo telescopios, cámrs y nteojos. Observe que los ryos, que siempre puntn en l dirección de propgción de l ond, son rects perpendiculres los frentes de ond. Frentes de ond Figur 35.3 Ond pln que se propg l derech. Ryos 35.4 Análisis de modelo: l ond bjo reflexión El concepto de reflexión de onds se introdujo en el nálisis de ls onds sobre cuerds en l sección Como con ls onds sobre cuerds, cundo un ryo de luz que se desplz en un medio encuentr un fronter con otro medio, prte de l luz incidente Cundo l,, d, los ryos siguen en un tryectori en líne rect y l proximción de ryo continú siendo válid. Cundo l d, los ryos se extienden después de psr por l bertur. Cundo l.. d, l bertur se comport como fuente puntul que emite onds esférics. d l,, d l d b c l.. d Figur 35.4 Un ond pln con longitud l incide sobre un brrer en l que hy un bertur de diámetro d.

28 1062 Cpítulo 35 Nturlez de l luz y leyes de óptic geométric Figur 35.5 Representción esquemátic de () reflexión especulr, donde todos los ryos reflejdos son prlelos entre sí, y (b) reflexión difus, donde los ryos reflejdos vijn en direcciones letoris. (c) y (d) Fotogrfís de reflexión especulr y difus con luz láser. b Cortesí de Henry Lep y Jim Lehmn Cortesí de Henry Lep y Jim Lehmn c d El ryo incidente, el ryo reflejdo y l norml todos están en el mismo plno y u 1 u 1. Norml Ryo incidente u 1 u 1 Ryo reflejdo Figur 35.6 Modelo de ond bjo reflexión. Prevención de riesgos ocultos 35.1 Notción de subíndices El subíndice 1 se utiliz pr indicr los prámetros pr l luz en el medio inicil. Cundo l luz ps de un medio otro, se us el subíndice 2 pr los prámetros socidos con l luz en el nuevo medio. En el presente nálisis, l luz permnece en el mismo medio, de modo que sólo se us el subíndice 1. Ley de reflexión se reflej: pr onds sobre un cuerd unidimensionl, l ond reflejd necesrimente debe restringirse un dirección lo lrgo de l cuerd; pr onds de luz que vijn en el espcio tridimensionl, no se plicn tles restricciones y ls onds de luz reflejds pueden estr en direcciones distints de l dirección de ls onds incidentes. L figur 35.5 muestr vrios ryos de un hz de luz incidente en un superficie reflector lis, semejnte un espejo. Los ryos reflejdos son prlelos entre sí, como se indic en l figur. L dirección de un ryo reflejdo está en el plno perpendiculr l superficie reflector que contiene l ryo incidente. L reflexión de luz desde est superficie lis se denomin reflexión especulr. i l superficie reflector es rugos, como se ve en l figur 35.5b, l superficie reflej los ryos no como un conjunto prlelo, sino en vris direcciones. L reflexión desde culquier superficie rugos se conoce como reflexión difus. Un superficie se comport como superficie lis mientrs ls vriciones de superficie son mucho menores que l longitud de ond de l luz incidente. L diferenci entre ests dos clses de reflexión explic por qué le es más difícil ver cundo circul en uto durnte un noche lluvios. i el pvimento está mojdo, l superficie lis del gu reflej en form especulr csi tod l luz de los fros del uto y los lej de éste (quizá hci los ojos de conductores que circuln en sentido contrrio). Cundo el pvimento está seco, su superficie rugos reflej en form difus prte de los ryos de luz de los fros hci el conductor, lo cul permite ver con más clridd l crreter. En este libro sólo se nliz l reflexión especulr y se us el término reflexión pr dr entender reflexión especulr. Considere un ryo de luz que vij en el ire y que incide un ángulo en un superficie pln y lis, como se ve en l figur Los ryos incidente y reflejdo formn ángulos u 1 y u9 1, respectivmente, donde los ángulos se observn entre l norml y los ryos. (L norml es un rect con trzo perpendiculr l superficie en el punto donde el ryo incidente ce en l superficie.) Experimentos y teorí muestrn que el ángulo de reflexión es igul l ángulo de incidenci: u9 1 5 u 1 (35.2) Est relción se denomin ley de reflexión. Debido que l reflexión de onds desde un interfz entre dos medios es un fenómeno común, se identific un nálisis de modelo pr est situción: l ond bjo reflexión. L ecución 35.2 es l representción mtemátic de este modelo. E xmen rápido 35.1 En un cine, veces un espectdor ve un ctor que se mir en un espejo y ve l cr de él en el espejo. Durnte l filmción de est escen, qué ve el ctor en el espejo? () u propi cr, (b) l cr de usted, (c) l cr del director, (d) l cámr de cine o (e) imposible de determinr.

29 35.4 Análisis de modelo: l ond bjo reflexión 1063 Ejemplo 35.2 El ryo de luz doblemente reflejdo AM Dos espejos formn un ángulo de 120 entre sí, como se ilustr en l figur Un ryo incide sobre el espejo M 1 con un ángulo de 65 con l norml. Encuentre l dirección del ryo después que se reflej del espejo M 2. OLUCIÓN Conceptulizr L figur 35.7 yud conceptulizr est situción. El ryo entrnte se reflej del primer espejo y el ryo reflejdo se dirige hci el segundo espejo. Por lo tnto, hy un segund reflexión desde el segundo espejo. Ctegorizr Y que ls intercciones con mbos espejos son simples reflexiones, se plic el modelo de ond bjo reflexión y lgo de geometrí. Anlizr A prtir de l ley de reflexión, el primer ryo reflejdo form un ángulo de 65 con l norml d M 1 u M2 120 u M2 g b u 90 u u f g g 90 u Figur 35.7 (Ejemplo 35.2) () Los espejos M 1 y M 2 formn un ángulo de 120 uno con otro. (b) Geometrí pr un ángulo de espejo rbitrrio. M 2 b Encuentre el ángulo que form el primer ryo reflejdo con l horizontl: A prtir del triángulo formdo por el primer ryo reflejdo y los dos espejos, encuentre el ángulo que el ryo reflejdo form con M 2 : Encuentre el ángulo que el primer ryo reflejdo form con l norml M 2 : A prtir de l ley de reflexión, encuentre el ángulo que el segundo ryo reflejdo form con l norml M 2 : d g u M u9 M2 5 u M Finlizr Explore ls vriciones en el ángulo entre los espejos como sigue. QUÉ PAARÍA I? Los ryos entrnte y sliente en l figur 35.7 se extienden más llá del espejo, se cruzn en un ángulo de 60 y el cmbio globl en dirección del ryo de luz es de 120. Este ángulo es el mismo que el existente entre los espejos. Y si el ángulo entre los espejos cmbi? El cmbio globl en l dirección del ryo de luz siempre es igul l ángulo entre los espejos? Respuest Hcer un firmción generl en términos de un dto puntul o un observción siempre es un práctic peligros! Investigue el cmbio en dirección pr un situción generl. L figur 35.7b muestr los espejos un ángulo rbitrrio f y el ryo de luz entrnte que golpe l espejo en un ángulo rbitrrio u respecto l norml l superficie del espejo. De cuerdo con l ley de reflexión y l sum de los ángulos interiores de un triángulo, el ángulo g está ddo por g (90 2 u) 2 f u 2 f. Considere el triángulo resltdo en zul en l figur 35.7b y determine : Observe de l figur 35.7b que el cmbio de dirección del ryo de luz es el ángulo b. Use l geometrí de l figur pr resolver pr b: 1 2g 1 2(90 2 u) (u 2 g) b (u 2 g) [u 2 (90 1 u 2 f)] f Observe que b no es igul f. Pr f 5 120, obtiene b 5 120, que result ser el mismo que el ángulo de los espejos; sin embrgo, esto es cierto sólo pr este ángulo especil entre los espejos. Por ejemplo, si f 5 90, obtiene b En este cso, l luz tiene un reflexión en líne rect cundo v de regreso su origen. Como se explicó en l sección Qué psrí si? del ejemplo precedente, si el ángulo entre dos espejos es igul 90º, el hz reflejdo regres l fuente prlelo su tryectori originl. Este fenómeno, llmdo retrorreflexión, tiene muchs plicciones práctics. i se coloc un tercer espejo perpendiculr los dos primeros, de modo que los tres formen l esquin de un cubo, l retrorreflexión funcion en tres dimensiones. En 1969, un pnel de numerosos reflectores pequeños fue colocdo en l Lun por los stronuts del

30 1064 Cpítulo 35 Nturlez de l luz y leyes de óptic geométric Figur 35.8 Aplicciones de l retrorreflexión. Este pnel en l Lun reflej un ryo láser directmente hci su fuente en l Tierr. L luz trser de un utomóvil tiene pequeños retrorreflectores que segurn que ls luces delnters sen reflejds directmente hci el uto que ls enví. Cortesí de l NAA. Cengge Lerning/George emple Pr dr un ide de l escl, en l fotogrfí prece l pt de un hormig. Un ryo de luz que incide en un esfer trnsprente en l posición propid es retrorreflectdo. b El señlmiento stop (lto) prece brillr por ls luces delnters de los vehículos porque su superficie está cubiert con un cp de muchs esfers pequeñísims retrorreflectors. Cómo se verí si el señlmiento tuvier un superficie semejnte un espejo? El espejo de l izquierd está en l posición on (encendido) y el de l derech está en off (pgdo). b Figur 35.9 () Arreglo de espejos sobre l superficie de un dispositivo digitl de microespejo. Cd espejo tiene un áre de lrededor de 16 mm 2. (b) Vist de dos microespejos individules. Cortesí de Texs Instruments, Inc. Cortesí de Texs Instruments, Inc. c Apollo 11 (figur 35.8). Un ryo láser proveniente de l Tierr se reflej directmente de regreso hci l mism y se mide el tiempo que trd en hcer el recorrido. Est informción se emple pr determinr l distnci l Lun con un incertidumbre de 15 cm. ( Imgine lo difícil que serí liner un espejo plno regulr pr que el ryo láser reflejdo incid en un lugr prticulr en l Tierr!) Un plicción más común se encuentr en ls luces trsers o clvers de los vehículos. Prte del plástico de ls clvers está formdo por numeross y diminuts esquins de cubo (figur 35.8b), pr que ls luces de los fros delnteros de los vehículos que se proximen por trás sen reflejds los conductores. En lugr de esquins de cubos, veces se usn pequeñs slientes esférics (figur 35.8c). Diminuts esfers trnsprentes se utilizn en los mteriles de recubrimiento que se encuentrn en muchos señlmientos de tránsito en los cminos. Debido l retrorreflexión de ests esfers, l señl de stop (lto) de l figur 35.8d prece mucho más brillnte de lo que serí si fuer simplemente un superficie pln brillos. Los retrorreflectores tmbién se usn pr pneles reflectores o zptos y rop de corredores que permiten sus usurios ser vistos de noche. Otr plicción práctic de l ley de reflexión es l proyección digitl en cines, progrms de televisión y presentciones de computdor. Un proyector digitl utiliz un chip semiconductor óptico llmdo dispositivo digitl microespejo. Este dispositivo contiene un conjunto de pequeños espejos (figur 35.9) que se inclinn individulmente por medio de señles un electrodo de dirección situdo bjo el borde del espejo. Cd espejo corresponde un pixel en l imgen proyectd. Cundo el pixel correspondiente un espejo ddo debe ser brillnte, el espejo está en l posición on (encendido); es decir, orientdo pr reflejr l pntll l luz proveniente de un fuente. Cengge Lerning/George emple d

31 35.5 Análisis de modelo: l ond bjo refrcción 1065 que ilumine el conjunto (figur 35.9b). Cundo es necesrio que el pixel se oscuro pr este espejo, éste estrá en off (pgdo), inclindo pr que l luz se refleje lejándose de l pntll. Est brillntez del pixel está determind por el intervlo totl en el que el espejo está en l posición on durnte el despliegue de un imgen. Los proyectores digitles de cine usn tres dispositivos de microespejos, uno por cd uno de los colores primrios: rojo, zul y verde, lo cul permite ver el cine hst con 35 billones de colores. Puesto que l informción se gurd como dtos binrios, un películ digitl no se degrd con el tiempo, como sucede con ls películs de cint. Además, como l películ está totlmente en form de softwre computrizdo, se proyect en los cines medinte stélites, discos ópticos o redes de fibrs óptics. Análisis de modelo Ond bjo reflexión Imgine un ond (electromgnétic o mecánic) que vij trvés del espcio y que golpe un superficie pln en un u 1 u 1 ángulo u 1 con respecto l norml l superficie. L ond se reflejrá desde l superficie en un dirección descrit por l ley de reflexión, el ángulo de reflexión u9 1 es igul l ángulo de incidenci u 1 : u9 1 5 u 1 (35.2) Ejemplos: ls onds de sonido de un orquest se reflejn desde un conch cústic l udienci el uso de un espejo pr desvir un hz láser en un espectáculo de luz láser el espejo del bño reflej l luz de su rostro de nuevo hci usted pr formr un imgen de su cr (cpítulo 36) los ryos X reflejdos de un mteril cristlino cren un ptrón óptico que se puede utilizr pr comprender l estructur del sólido (cpítulo 38) 35.5 Análisis de modelo: l ond bjo refrcción Además del fenómeno de l reflexión explicdo pr ls onds sobre cuerds en l sección 16.4, tmbién se encontró que prte de l energí de l ond incidente se trnsmite en el nuevo medio. Por ejemplo, considere ls figurs y en ls que un pulso en un cuerd proximándose l unión con otr cuerd se reflej desde mbs y es trnsmitido más llá de l unión y l interior de l segund cuerd. De igul modo, cundo un ryo de luz que se mueve por un medio trnsprente encuentr un fronter que llev otro medio de igul crcterístic, como se ve en l figur 35.10, prte de l energí se reflej y prte penetr l segundo medio. Como con l reflexión, l dirección de l ond trnsmitid muestr un comportmiento interesnte debido l nturlez tridimensionl de ls onds de luz. El ryo que penetr l segundo medio se dobl en l fronter y se dice que se refrct. El ryo incidente, el ryo reflejdo y el ryo refrctdo todos se encuentrn en el mismo plno. El ángulo de refrcción, u 2 de l figur 35.10, depende de ls propieddes de los dos medios y del ángulo de incidenci u 1 por medio de l expresión sen u 2 sen u 1 5 v 2 v 1 (35.3) donde v 1 es l rpidez de l luz en el primer medio y v 2 es l rpidez de l luz en el segundo. L tryectori de un ryo de luz que ps por un superficie refrctri es reversible. Por ejemplo, el ryo que se ilustr en l figur ps del punto A l punto B. i el ryo se originr en B, vijrí lo lrgo de l rect BA hst llegr l punto A, y l prte reflejd puntrí hci bjo y l izquierd del vidrio. E xmen rápido 35.2 i el ryo es el hz entrnte en l figur 35.10b, de ls otrs cutro línes rojs, cuáles son ryos reflejdos y cuáles refrctdos? Cortesí de Henry Lep y Jim Lehmn El ryo refrctdo se dobl hci l norml porque v 2 v 1. Todos los ryos y l norml se encuentrn en el mismo plno. Ryo incidente b A Aire Vidrio Norml B Ryo reflejdo u 1 u 1 v 1 u 2 v 2 Ryo refrctdo Figur () Modelo de ond bjo refrcción. (b) L luz que incide sobre el bloque de lucite se dobl cundo entr y cundo sle de éste.

32 1066 Cpítulo 35 Nturlez de l luz y leyes de óptic geométric Figur Refrcción de l luz conforme () se mueve desde el ire hci el interior del vidrio y (b) del vidrio hci el ire. Cundo un hz de luz ps del ire l vidrio, l luz disminuye su rpidez l entrr éste y su tryectori se dobl hci l norml. Aire Vidrio Norml u 1 u 2 u2 u1 v 1 v 2 v 2 v 1 Vidrio Aire Norml u 1 u 2 u 1 u 2 v 1 v 2 v 2 v 1 Cundo el hz se mueve del vidrio l ire, l luz ument su rpidez l entrr l ire y su tryectori se dobl lejándose de l norml. b Figur Luz que ps de un átomo otro en un medio. Ls esfers zules son electrones y ls flechs verticles representn sus oscilciones. Concreto Psto A B v 2 v 1 Este extremo disminuye su rpidez primero, por lo cul el brril gir. Figur Vist superior de un brril que rued de concreto psto. v 1 v 2 A prtir de l ecución 35.3 es posible inferir que cundo l luz se mueve de un mteril en el que su rpidez es lt un mteril en el que su rpidez es menor, como se observ en l figur 35.11, el ángulo de refrcción u 2 es menor que el ángulo de incidenci u 1 y el ryo se desví hci l norml. i el ryo se mueve de un mteril en el que l luz se mueve con menos rpidez hci un mteril en el que se mueve con más rpidez, como se ve en l figur 35.11b, u 2 es myor que u 1 y el ryo se desví lejándose de l norml. El comportmiento de l luz cundo ps del ire hci otr sustnci y luego regres l ire es un tem de confusión frecuente pr estudintes. Cundo l luz se mueve en el ire, su rpidez es de m/s, pero est rpidez se reduce csi m/s si l luz entr un bloque de vidrio. Cundo l luz emerge de nuevo hci el ire, su rpidez ument en form instntáne su vlor originl de m/s. Esto es muy diferente de lo que sucede, por ejemplo, cundo se dispr un rm de fuego y l bl trvies un bloque de mder. En este cso l rpidez de l bl se reduce cundo se mueve trvés de l mder, porque prte de su energí originl se emple pr seprr ls fibrs de mder. En el momento en que l bl sle de nuevo l ire, lo hce con un rpidez menor de l que tení cundo entró l bloque de mder. Pr ver por qué l luz se comport como lo hce, considere l figur 35.12, que represent un hz de luz entrndo en un trozo de vidrio desde l izquierd. Un vez dentro del vidrio, l luz puede encontrr un electrón ligdo un átomo, indicdo como punto A. upong que l luz es bsorbid por el átomo; esto hce que el electrón oscile (detlle representdo por ls flechs verticles de doble punt). El electrón oscilnte en tl cso ctú como un nten y emite el hz de luz hci un átomo en B, donde l luz es bsorbid de nuevo. Los detlles de ests bsorciones y rdiciones se explicn mejor en términos de mecánic cuántic (cpítulo 42). Por hor es suficiente pensr que l luz ps de un átomo otro trvés del vidrio. Aun cundo l luz se mueve de un átomo otro m/s, l bsorción y l rdición que tienen lugr hcen que el promedio de l rpidez de l luz que ps por el mteril disminuy unos m/s. Un vez que l luz emerge hci el ire, l bsorción y l rdición cesn y l luz vij con un rpidez constnte de m/s. En l figur se ilustr un cso nálogo de refrcción mecánic. Cundo el extremo izquierdo del brril que rued lleg l psto, disminuye su velocidd, mientrs que el extremo derecho continú en el concreto y se mueve con su rpidez originl. Est diferenci provoc que el brril gire sobre un eje, lo que cmbi l dirección del movimiento. Índice de refrcción En generl, l rpidez de l luz en culquier mteril es menor que en el vcío. De hecho, l luz se desplz su máxim rpidez en el vcío. Es conveniente definir el índice de refrcción n de un medio como l rzón Índice de refrcción rápidez de l luz en el vcío n ; rápidez de l luz en un medio ; c v (35.4)

33 35.5 Análisis de modelo: l ond bjo refrcción 1067 Est definición muestr que el índice de refrcción es un número sin dimensiones myor que l unidd porque v siempre es menor que c. Además, n es igul l unidd pr el vcío. Los índices de refrcción pr diferentes sustncis precen en l tbl Cundo l luz ps de un medio otro, su frecuenci no cmbi, pero sí lo hce su longitud de ond. Pr ver por qué ocurre esto, considere l figur Ls onds psn junto un observdor situdo en el punto A en el medio 1 con ciert frecuenci e inciden en l fronter entre el medio 1 y el medio 2. L frecuenci l que psn ls onds junto un observdor situdo en el punto B en el medio 2 debe ser igul l frecuenci l que psn en el punto A. i éste no fuer el cso, l energí se cumulrí o desprecerí en l fronter. Como no hy mecnismo pr que esto se presente, l frecuenci debe ser un constnte cundo un ryo de luz ps de un medio otro. Por lo tnto, como l relción v 5 lf (ecución 16.12) debe ser válid en mbos medios, y como f 1 5 f 2 5 f, se ve que v 1 5 l 1 f y v 2 5 l 2 f (35.5) Como v 1 v 2, se deduce que l 1 l 2 como se muestr en l figur Al dividir l primer ecución 35.5 entre l segund y luego usr l ecución 35.4 se obtiene un relción entre el índice de refrcción y l longitud de ond: Est expresión d l 1 l 2 5 v 1 v 2 5 c/n 1 c/n 2 5 n 2 n 1 l 1 n 1 5 l 2 n 2 (35.6) i el medio 1 es el vcío, o ire pr fines prácticos, entonces n Por esto, se deduce por l ecución 35.6 que el índice de refrcción de culquier medio se expres como l rzón n 5 l l n (35.7) donde l es l longitud de ond de l luz en el vcío y l n es l longitud de ond de l luz en el medio cuyo índice de refrcción es n. De l ecución 35.7, se ve que, como n. 1, l n, l. Ahor está en posición de expresr l ecución 35.3 de un mner ltern. i sustituye el término v 2 /v 1 de l ecución 35.3 con n 1 /n 2 de l ecución 35.6, obtiene n 1 sen u 1 5 n 2 sen u 2 (35.8) Cundo un ond se mueve del medio 1 l medio 2, cmbi su longitud de ond, pero su frecuenci permnece constnte. A 1 2 B l 1 l 2 c n 1 v1 v 1 v 2 c n 2 v2 Figur Un ond vij del medio 1 l medio 2, en el que se mueve con un rpidez menor. Prevención de riesgos ocultos 35.2 Un relción invers El índice de refrcción es inversmente proporcionl l rpidez de l ond. Cundo l rpidez v de l ond disminuye, el índice de refrcción de n ument. Por lo tnto, cunto más lto se el índice de refrcción de un mteril, más se reduce su velocidd de l luz respecto de su rpidez en el vcío. Cunto más se reduce l rpidez de l luz, más difiere u 2 de u 1 en l ecución Ley de refrcción de nell El descubrimiento experimentl de est relción suele creditrse Willebrord nell ( ), y por ello se conoce como ley de refrcción de nell. Est ecución se expone con más detlle en l sección L refrcción de ls onds en un interfz entre dos medios es un fenómeno común y se puede identificr un nálisis de modelo Tbl 35.1 Índices de refrcción Índice de Índice de ustnci refrcción ustnci refrcción ólidos 20 C Líquidos 20 C Circoni cúbic 2.20 Benceno Dimnte (C) Disulfuro de crbono Fluorit (CF 2 ) Tetrcloruro de crbono Curzo fundido (io 2 ) Alcohol etílico Fosfto de glio 3.50 Glicerin Vidrio sin plomo 1.52 Agu Cristl de roc 1.66 Hielo (H 2 O) Gses 0 C, 1 tm Poliestireno 1.49 Aire Cloruro de sodio (NCl) Dióxido de crbono Not: Todos los vlores son pr luz cuy longitud de ond se de 589 nm en el vcío. Prevención de riesgos ocultos 35.3 Aquí, n no es un entero El símbolo n h sido empledo vris veces como entero, por ejemplo en el cpítulo 18, pr indicr el modo de ond estcionri en un cuerd o en un column de ire. El índice de refrcción n quí no es un entero.

34 1068 Cpítulo 35 Nturlez de l luz y leyes de óptic geométric pr est situción: l ond bjo refrcción. L ecución 35.8 es l representción mtemátic de este modelo pr l rdición electromgnétic. Otrs onds, como ls sísmics o ls del sonido, tmbién muestrn un refrcción corde este modelo; l representción mtemátic pr ests onds es l ecución E xmen rápido 35.3 En un mteril con índice de refrcción 1.3 ps luz hci otro con índice de refrcción 1.2. En comprción con el ryo incidente, qué le sucede l ryo refrctdo? () e desví hci l norml, (b) no se desví o (c) se desví lejándose de l norml. Análisis de modelo Ond bjo refrcción Imgine un ond (electromgnétic o mecánic) que vij trvés del espcio y que golpe un superficie pln u 1 n en un ángulo u 1 con respecto l 1 n norml l superficie. Un prte de 2 l energí de l ond se refrctrá u 2 dentro del medio debjo de l superficie en un dirección u 2 descrit por l ley de refrcción: sen u 2 5 v 2 (35.3) sen u 1 v 1 donde v 1 y v 2 son ls rpideces de l ond en el medio 1 y 2, respectivmente. Pr onds de luz, l ley de refrcción de nell estblece que: n 1 sen u 1 5 n 2 sen u 2 (35.8) donde n 1 y n 2 son los índices de refrcción en los dos medios. Ejemplos: onds de sonido moviéndose hci rrib desde l orill de un lgo se refrctn en ls cps más cálids del ire superior por encim del lgo y se desplzn hci bjo un oyente en un brco, hciendo el sonido desde l orill más fuerte de lo esperdo luz desde el cielo cercándose un cmino cliente en un ángulo de incidenci se refrct hci rrib pr dejr l crreter y entrr en los ojos del conductor, dndo l ilusión de un chrco de gu en el cmino distnte luz envid trvés de lrgs distncis en un fibr óptic debido un diferenci en el índice de refrcción entre l fibr y el mteril circundnte (sección 35.8) un lup form un imgen mplid de un sello de correos debido l refrcción de l luz trvés del objetivo (cpítulo 36) Ejemplo 35.3 Ángulo de refrcción pr vidrio AM Un ryo de luz, de 589 nm de longitud de ond, que vij trvés de ire, incide sobre un lámin pln y uniforme de vidrio sin plomo con un ángulo de 30.0 con l norml. (A) Encuentre el ángulo de refrcción. OLUCIÓN Conceptulizr Estudie l figur 35.11, que ilustr el proceso de refrcción que se present en este problem. Puede esperr que u 1, u 2 debido que l rpidez de l luz en el vidrio es bj. Ctegorizr Este ejemplo es un problem típico en el que plicrá el modelo de ond bjo refrcción. Anlizr Reordene l ley de refrcción de nell pr encontrr sen u 2 : Resuelv pr u 2 : ustituy los índices de refrcción prtir de l tbl 35.1 y el ángulo de incidenci: sen u 2 5 n 1 n 2 sen u 1 u 2 5 sen 21 n 1 n 2 u 2 5 sen sen u 1 b sen 30.08b (B) Encuentre l rpidez de est luz un vez que entr l vidrio.

35 35.5 Análisis de modelo: l ond bjo refrcción continución OLUCIÓN Resuelv l ecución 35.4 pr l rpidez de l luz en el vidrio: ustituy vlores numéricos: v 5 c n v m/s m/s (C) Cuál es l longitud de ond de est luz en el vidrio? OLUCIÓN Use l ecución 35.7 pr encontrr l longitud de ond en el vidrio: l n 5 l n nm nm Finlizr En el inciso (A), note que u 2, u 1, congruente con l menor velocidd de l luz encontrd en el inciso (B). En el inciso (C) se ve que l longitud de ond es más cort en el vidrio que en el ire. Ejemplo 35.4 Luz trvés de un lámin AM Un hz de luz ps desde el medio 1 l medio 2, siendo este último un grues lámin de mteril cuyo índice de refrcción es n 2 (figur 35.15). Demuestre que el hz que emerge hci el medio 1 desde el otro ldo es prlelo l hz incidente. u 1 n 1 OLUCIÓN Conceptulizr ig l tryectori del hz de luz conforme entr y sle de l lámin de mteril en l figur 35.15, donde supuso que n 2. n 1. El ryo se desví hci l norml l entrr y se lej de l norml l slir. Ctegorizr Al igul que en el ejemplo 35.3, éste es otro problem típico en el que se plic el modelo de ond bjo refrcción. Figur (Ejemplo 35.4) L líne punted dibujd prlel l ryo sliente del fondo de l los represent l tryectori que l luz tomrí si l los no estuvier hí. t g u 2 u 3 d n 2 Anlizr Aplique l ley de refrcción de nell l superficie superior: Aplique l ley de nell l superficie inferior: ustituy l ecución (1) en l ecución (2): (1) sen u 2 5 n 1 n 2 sen u 1 (2) sen u 3 5 n 2 n 1 sen u 2 sen u 3 5 n 2 n 1 n 1 n 2 sen u 1 b 5 sen u 1 Finlizr Por lo tnto, u 3 5 u 1 y l lámin no lter l dirección del hz. in embrgo, el hz sobresle prlelo sí mismo por l distnci d que se muestr en l figur QUÉ PAARÍA I? Y si el grosor t de l lámin se duplic? L distnci d que sobresle tmbién se duplic? Respuest Considere l región de l tryectori de luz dentro de l lámin en l figur L distnci es l hipotenus de dos triángulos rectángulos. Encuentre un expresión pr prtir del triángulo mrillo: Encuentre un expresión pr d prtir del triángulo rojo: 5 t cos u 2 d 5 sen g 5 sen (u 1 2 u 2 ) Combine ests ecuciones: d 5 t cos u 2 sen 1u 1 2u 2 2 Pr un ángulo incidente determindo u 1, el ángulo refrctdo u 2 se determin exclusivmente por el índice de refrcción, sí que l distnci que sobresle d es proporcionl t. i el grosor se duplic, lo mismo ocurre con l distnci que sobresle.

36 1070 Cpítulo 35 Nturlez de l luz y leyes de óptic geométric El ángulo de punt es el ángulo entre los ldos del prism trvés de los que l luz entr y sle. Figur Un prism refrct un ryo de luz de longitud de ond simple trvés de un ángulo de desvición d. d En el ejemplo 35.4 l luz ps trvés de un lámin de mteril con ldos prlelos. Qué ocurre cundo l luz golpe un prism con ldos no prlelos, como se muestr en l figur 35.16? En este cso, el ryo sliente no se propg en l mism dirección que el ryo entrnte. Un ryo de luz de longitud de ond simple, incidente en el prism desde l izquierd, emerge un ángulo d de su dirección de vije originl. Este ángulo d se llm ángulo de desvición. El ángulo de punt F del prism, que se muestr en l figur, se define como el ángulo entre l superficie l que entr l luz en el prism y l segund superficie que encuentr l luz. Ejemplo 35.5 Medición de n con un prism AM Aunque no se prueb en este cso, el ángulo de desvición mínimo d mín pr un prism se present cundo el ángulo de incidenci u 1 es tl que el ryo refrctdo dentro del prism form el mismo ángulo con l norml en ls dos crs del prism, 1 como se muestr en l figur Obteng un expresión pr el índice de refrcción del mteril del prism en términos del ángulo de desvición mínimo y el ángulo de punt F. 2 d min OLUCIÓN Conceptulizr Estudie cuiddosmente l figur y segúrese de comprender por qué el ryo de luz que sle del prism vij en un dirección diferente. Ctegorizr En este ejemplo entr luz un mteril trvés de un superficie y sle del mteril en otr superficie. Aplique el modelo de ond bjo refrcción cd superficie. Anlizr Considere l geometrí en l figur L reproducción del ángulo F/2 en l posición del ryo de luz entrnte muestr que u 2 5 F/2. El teorem de que un ángulo exterior de culquier triángulo es igul l sum de los dos ángulos interiores opuestos muestr que d mín 5 2. L geometrí tmbién muestr que u 1 5 u 2 +. u 1 2 u 2 u 2 u 1 Figur (Ejemplo 35.5) Ryo de luz que ps trvés de un prism con el ángulo de desvición mínimo d mín. Combine estos tres resultdos geométricos: Aplique el modelo de ond bjo refrcción l superficie izquierd y resuelv pr n: u 1 5u 2 15 F 2 1 d mín 2 5 F1d mín sen u 1 5 n sen u 2 n 5 sen u 1 sen u 2 ustituy pr los ángulos incidente y refrctdo: n 5 sen F1d mín b 2 sen 1F/22 (35.9) 1 Los detlles de est demostrción están disponible en textos cerc de óptic.

37 35.6 Principio de Huygens continución Finlizr Al conocer el ángulo de punt F del prism y medir d mín, es posible clculr el índice de refrcción del mteril del prism. Además, se puede usr un prism hueco pr determinr los vlores de n pr diferentes líquidos que llenen el prism Principio de Huygens Ls leyes de l reflexión y l refrcción fueron estblecids l inicio de este cpítulo sin un demostrción. En est sección se desrrolln ls leyes de l reflexión y de l refrcción medinte el uso de un método geométrico propuesto por Huygens en El principio de Huygens es un construcción geométric pr usr el conocimiento de un frente de ond nterior, pr determinr l posición de un frente de ond nuevo en lgún instnte: Todos los puntos en un frente de ond determindo se tomn como fuentes puntules pr l producción de onds esférics secundris, llmds trenes de onds, que se propgn hci fuer por un medio con mgnitudes de rpidez crcterístics de onds en ese medio. Después de lgún intervlo de tiempo trnscurrido, l nuev posición del frente de ond es l superficie tngente los trenes de onds. Primero considere un ond pln que se mueve en el espcio libre, como se muestr en l figur En t 5 0, el frente de ond está indicdo por el plno mrcdo como AA9. En un construcción de Huygens, cd punto de este frente de ond es considerdo fuente puntul. Pr hcerlo más clro, sólo se muestrn tres puntos en AA9. Con estos puntos como fuentes pr los trenes de onds, trce círculos, cd uno con un rdio c Dt, donde c es l rpidez de l luz en el vcío y Dt es cierto intervlo de tiempo durnte el cul se propg l ond. L superficie trzd tngente estos trenes de ond es el plno BB9, que es el frente de ond en un tiempo posterior y es prlelo AA9. De modo semejnte, l figur 35.18b muestr l construcción de Huygens pr un ond esféric. Principio de Huygens plicdo l reflexión y l refrcción A continución se deducen ls leyes de reflexión y refrcción con el uso del principio de Huygens. Pr l ley de l reflexión consulte l figur L rect AB represent un frente de ond pln de l luz incidente precismente cundo el ryo 1 incide en l superficie. En este instnte, l ond en A enví un tren de onds de Huygens (que prece más Prevención de riesgos ocultos 35.4 Pr qué sirve el principio de Huygens? En este punto, no es posible resltr l importnci del principio de Huygens. Pronosticr l posición de un frente de ond futuro no prece posible, es muy rriesgdo de culquier modo; se plicrá el principio de Huygens en cpítulos posteriores pr explicr fenómenos de ond dicionles de l luz. A Frente de ond nterior A El nuevo frente de ond se dibuj tngente ls onds circulres que irrdin de ls fuentes puntules en el frente de ond originl. c t B Nuevo frente de ond B Frente de ond nterior c t Nuevo frente de ond Este tren de onds fue emitido por l ond 1 desde el punto A. 2 1 u 1 A u 1 B g Este tren de onds fue emitido l mismo tiempo por l ond 2 desde el punto B. D g C b Figur Construcción de Huygens pr () un ond pln que se propg l derech y (b) un ond esféric que se propg l derech. Figur Construcción de Huygens pr demostrr l ley de reflexión.

38 1072 Cpítulo 35 Nturlez de l luz y leyes de óptic geométric 1 Este tren de onds fue emitido por l ond 1 desde el punto A n B u 1 u 1 A u 2 D u 2 Este tren de onds fue emitido l mismo tiempo por l ond 2 desde el punto B. Figur Construcción de Huygens pr demostrr l ley de l refrcción de nell. Acrílico l (nm) Figur Vrición del índice de refrcción con l longitud de ond en el vcío pr tres mteriles. C Vidrio sin plomo Curzo fundido delnte como el rco circulr de color mrrón que ps trvés de D). L luz reflejd form un ángulo g9 con l superficie. Al mismo tiempo, l ond en B emite un tren de onds de Huygens (el rco circulr de color mrrón que ps por C) con l luz incidente formndo un ángulo g con l superficie. L figur muestr estos trenes de onds después de un intervlo Dt, después del cul el ryo 2 incide en l superficie. Como los ryos 1 y 2 se mueven l mism rpidez, debe obtener AD 5 BC 5 c Dt. Pr relizr el resto del nálisis conviene hcerlo medinte l geometrí. Observe que los dos triángulos, ABC y ADC, son congruentes porque tienen l mism hipotenus AC y porque AD 5 BC. A prtir de l figur 35.19, se tiene cos g 5 BC AC AD y cos gr 5 AC donde g u 1 y g u9 1. Como AD 5 BC, tenemos Por lo tnto, y cos g 5 cos g9 g 5 g u u9 1 u 1 5 u9 1 que es l ley de l reflexión. Ahor use el principio de Huygens pr deducir l ley de l refrcción de nell. Concentre su tención en el instnte en que el ryo 1 incide sobre l superficie y el intervlo de tiempo consecutivo hst que el ryo 2 hce lo mismo, como se muestr en l figur Durnte este intervlo de tiempo, l ond en A enví un tren de onds de Huygens (el rco mrrón que ps trvés de D) y l luz se refrct hci el mteril formndo un ángulo u 2 con l norml l superficie. En el mismo intervlo de tiempo, l ond en B enví un tren de onds de Huygens (el rco mrrón con centro en C) y l luz continú su propgción en l mism dirección. Y que estos dos trenes de onds se desplzn en medios diferentes, los rdios de los trenes de onds son diferentes. El rdio del tren de onds desde A es AD 5 v 2 Dt, donde v 2 es l rpidez de l ond en el segundo medio. El rdio del tren de onds desde B es BC 5 v 1 Dt, donde v 1 es l rpidez de l ond en el medio originl. A prtir de los triángulos ABC y ADC, encuentre que sen u 1 5 BC AC 5 v 1 Dt AC i divide l primer ecución entre l segund, obtiene sen u 1 5 v 1 sen u 2 v 2 y sen u 2 5 AD AC 5 v 2 Dt AC Pero por l ecucion 35.4 sbe que v 1 5 c/n 1 y v 2 5 c/n 2. Por lo tnto, y que es l ley de l refrcción de nell Dispersión sen u 1 sen u 2 5 c/n 1 c /n 2 5 n 2 n 1 n 1 sen u 1 5 n 2 sen u 2 Un propiedd importnte del índice de refrcción n es que, pr un mteril determindo, el índice vrí con l longitud de ond de l luz que ps por el mteril, como muestr l figur Este comportmiento se denomin dispersión. Como n es un función de l longitud de ond, l ley de l refrcción de nell indic que luces de diferentes longitudes de ond se refrctn diferentes ángulos cundo inciden sobre un mteril.

39 35.7 Dispersión 1073 Dvid Prker/cience Photo Librry/Photo Reserchers, Inc. Los colores en el hz refrctdo están seprdos porque l dispersión en el prism provoc diferentes longitudes de ond de l luz que es refrctd distintos ángulos. Figur Luz blnc entr en un prism de vidrio rrib l izquierd. V R L luz violet se refrct ángulos myores que l luz roj. Luz solr R V Figur Tryectori de luz solr trvés de un got esféric de lluvi. L luz que sigue est tryectori contribuye l rco iris visible. Prevención de riesgos ocultos 35.5 Un rco iris de muchos ryos de luz Representciones gráfics como l figur normlmente se mlinterpretn. L figur muestr un ryo de luz que entr un got de lluvi y se somete reflexión y refrcción, sliendo de l got entre 40º y 42º respecto del ryo que entr. De esto podrí interpretrse que tod luz que entr l got de gu sle en este pequeño mrgen de ángulos, lo que es incorrecto. En relidd, l luz sle de l got de lluvi en un mrgen de ángulos mucho myor, de 0º 42º. Un cuiddoso nálisis de l reflexión y l refrcción desde l got esféric de lluvi demuestr que el mrgen de 40º 42º es donde l luz de máxim intensidd sle de l got de lluvi. L figur muestr que el índice de refrcción generlmente disminuye con un longitud de ond creciente. Por ejemplo, esto signific que l luz violet se refrct más que l luz roj cundo trnsit dentro de un mteril. Ahor supong que un hz de luz blnc (combinción de tods ls longitudes de ond visibles) incide en un prism, como se ilustr en l figur Clrmente, el ángulo de desvición depende de l longitud de ond. Los ryos que emergen se dispersn en un serie de colores conocid como espectro visible. Estos colores, en orden de longitud de ond decreciente, son rojo, nrnj, mrillo, verde, zul y violet. Newton demostró que cd color tiene un ángulo prticulr de desvición y que los colores se pueden recombinr pr formr l luz blnc originl. L dispersión de luz en un espectro se comprueb con myor clridd en l nturlez con l formción de un rco iris, el cul es visto frecuentemente por un observdor que está situdo entre el ol y un zon con lluvi. Pr comprender cómo se form, considere l figur Un ryo de luz de ol (luz blnc) incide por rrib en un got de gu en l tmósfer y es refrctdo y reflejdo de l siguiente mner: primero es refrctdo en l superficie frontl de l got, hí l luz violet tiene l myor desvición y l luz roj l menor. En l superficie posterior de l got, l luz se reflej y regres l superficie frontl, donde otr vez se somete refrcción cundo ps del gu l ire. Los ryos dejn l got tl que el ángulo entre l luz blnc incidente y el más intenso ryo violet de retorno es de 40º y el ángulo entre l luz blnc incidente y el ryo rojo más intenso de retorno es de 42º. Est pequeñ diferenci ngulr entre los ryos de retorno hce posible que se ve un rco de colores. Ahor supong que un observdor mir un rco iris, como se muestr en l figur i se observ un got de lluvi en el cielo, l luz roj más intens que retorn de l got lleg l observdor porque es l que más se desví y l luz violet más intens ps sobre el observdor porque es l que menos se desví. En consecuenci, el observdor ve est got de color rojo. Del mismo modo, un got más bj en el cielo dirigirí l más intens luz violet hci el observdor y se verí de color violet. (L luz roj más intens de est got psrí por debjo de los ojos del observdor y no serí visible.) L más intens luz de otros colores del espectro llegrí l observdor desde gots de lluvi que estuviern entre ests dos posiciones extrems. L figur (págin 1074) muestr un rco iris doble. El rco iris secundrio es más tenue que el rco iris primrio y sus colores están invertidos, surge de l luz que provoc dos reflexiones desde l superficie interior ntes de slir de l got de lluvi. En el lbortorio se hn observdo numerosos rco iris en los que l luz hce ms de 30 reflexiones ntes de slir de l got de gu. Como cd un de ests reflexiones comprende lgun L luz de myor intensidd que vij de ls gots de lluvi más lts hci los ojos del observdor es de color rojo, mientrs que l luz más intens de gots más bjs es violet. Blnco Blnco V V R R Figur Formción de un rco iris visto por un observdor situdo con el ol su espld.