8A-5B = , 2A-B =

Transcripción

1 MasMatescom 1 [ANDA] [JUN-A] Sea la matriz A = k 1 a) Para qué valores del parámetro k no existe la matriz inversa de la matriz A? Justifica la respuesta b) Para k = 0, resuelve la ecuación matricial (X+I) A = A t, donde I denota la matriz identidad y A t la matriz traspuesta de A x+ y+ z= +1 2 [ANDA] [JUN-B] Considera el sistema de ecuaciones y+2z=2 + x + ( -1)y + z = a) Resuelve el sistema para = 1 b) Halla los valores de para los que el sistema tiene una única solución c) Existe algún valor de para el que el sistema admita la solución - 1 2,0, 1 2? kx+2y = 2 [ANDA] [SEP-A] Considera el siguiente sistema de ecuaciones con dos incógnitas: 2x+ky = k x-y = -1 a) Prueba que el sistema es compatible para cualquieer valor del parámetro k b) Especifica para qué valores del parámetro k es determinado y para cuáles indeterminado c) Halla las soluciones en cada caso 4 [ANDA] [SEP-B] Considera el siguiente sistema de ecuaciones con tres incógnitas: a) Clasifícalo según los distintos valores del parámetro b) Resuélvelo para = 0 y = 1 x- y = 2 y+ z= -x - y + z=0 ax+ y+z= 1 5 [ARAG] [JUN-A] Sean a un número real y el sistema lineal x+ay+z= a x+ y+z=a 2 a) Calcule el determinante de la matriz de los coeficientes y determine para qué valores de a el sistema anterior es incompatible, compatible determinado y compatible indeterminado b) Resuelva el sistema anterior en el caso a = 0 6 [ARAG] [JUN-B] a) Compruebe que la matriz M es inversible y calcule su inversa, donde M = b) Encuentre las matrices A y B que cumplen las siguientes ecuaciones: 2 0 8A-5B = -2 1, 2A-B = [ARAG] [SEP-A] a) El determinante de la matriz A que aparece a continuación es 2: A = Sin utilizar la regla de Sarrus, determine cuánto vale el determinante de la matriz B siguiente (enuncie las propiedades que utilice): B = b) Sea C la siguiente matriz: C = sen(x) -cos(x) 0 cos(x) sen(x) 0 1 sen(x) x Determie los valores de x para lo que la matriz C tiene inversa y calcúlela cuando sea posible Página 1 de 6

2 MasMatescom 8 [ARAG] [SEP-B] a) Determine para qué valores de m el siguiente sistema de ecuaciones: mx+2y+6z = 0 2x+my+4z = 2 es compatible 2x+my+6z = m-1 determinado, compatible indeterminado o incompatible b) Se sabe que una matriz simétrica B de dimensión x tiene como determinante - Determine el determinante de la matriz B+B t, donde B t denota la traspuesta de B 9 [ASTU] [JUN-A] Se consideran las matrices A = e I = a) Resuelva la ecuación det A-x I = O b) Discuta el sistema homogéneo de matriz A-x I según los valores del número real x c) Resuélvalo en aquellos casos en que el sistema sea compatible determinado x+y = 1 10 [ASTU] [JUN-B] Dado el sistema ay+z = 0 z+(1+a)y+az = a+1 a) Estudie su compatibilidad según los distintos valores de a b) Resuélvalo en el caso en que sea compatible indeterminado x+y+z = 2 11 [ASTU] [SEP-A] Dado el sistema ax+y = 1 x+y+2z = a) Estudie su compatibilidad según los distintos valores de a b) Resuélvalo cuando sea compatible indeterminado 12 [ASTU] [SEP-B] Dados los números reales a, b, c, x, consideremos la matriz A = xbc-4 a x b c x a) Halle los valores de a, b, c, x, para los cuales A es antisimétrica (Recuerde que la matriz A es antisimétrica si A t = -A) b) Si a = b = c = 1, halle el rango de A según los valores de x c) Si a = b = c = 0, resuelva la ecuación A+A t = 0 Nota: A t denota la matriz traspuesta de A 1 [C-LE] [JUN-A] Se considera el sistema de ecuaciones a) Discutir el sistema según los valores del parámetro a b) Resolver el sistema para a = 1 c) Resolver el sistema para a = -2 ax+y+z = (a-1)(a+2) x+ay+z = (a-1) 2 (a+2) x+y+az = (a-1) (a+2) 14 [C-LE] [JUN-B] Sea M una matriz cuadrada que cumple la ecuación M 2-2M = I, donde I denota la matriz identidad a) Estudiar si existe la matriz inversa de M En caso afirmativo expresar M -1 en términos de M e I b) Hallar todas las matrices M de la forma a b b a que cumplen la ecuación M2-2M = I 15 [C-LE] [SEP-A] Se considera el sistema x+ay-z = 2 2x+y+az = 0, donde a es un parámetro real Se pide: x+y-z = a+1 a) Discutir el sistema en función del valor de a b) Hallar la solución del sistema para a = 1, si procede Página 2 de 6

3 MasMatescom 16 [C-LE] [SEP-B] a) Determinar, en función del valor del parámetro real a, el rango de la matriz A = 1 a a a b) Sea C una matriz 2x2 de columnas C 1 y C 2 y de determinante 5, y sea B una matriz 2x2 de determinante 2 Si D es la matriz de columnas 4C 2 y C 1 -C 2, calcular el determinante de la matriz BD -1 x+y+z = 0 x+2y+z = 0 17 [C-MA] [JUN-A] a) Discute el sistema de ecuaciones lineales: en función del parámetro m mx+(m+1)y+(m-1)z = m-2 x+(m+)y+4z = m-2 b) Calcula la solución cuando el sistema sea compatible determinado 18 [C-MA] [JUN-B] a) Sean A y B matrices cuadradas de orden n N, n 2, tales que B es la inversa de A 1) Si A =, razona cuando vale B 2) Cuál es el rango de B? b) Siendo X = , calcula el determinante de la matriz cuadrada X de orden 19 [C-MA] [SEP-A] Sabiendo que a b c def g h i = 5, calcula el valor de los determinantes: propiedades que usas en cada caso para justificar tu respuesta bb+a2c e e+d 2f hh+g2i ; a+d+g b+e+h c+f+i d+g e+h f+i, indicando las g h i 20 [C-MA] [SEP-B] a) Discute el siguiente sistema de ecuaciones lineales en función del parámetro a : b) Resuélvelo para el valor a = 1 x+ y+2z=0 ax - z = a 2x + ay - z = a 21 [CANA] [JUN-A] Calcular la matriz X tal que X A + B = 2C, siendo A = (detallar todos los cálculos realizados) , B = 2 4-1, C = [CANA] [JUN-B] Discutir la compatibilidad del siguiente sistema según los distintos valores del parámetro m: x+mz = 1 -x+my+2z = m 2x+2z = 1 2 [CANA] [SEP-A] Resolver la ecuación matricial A X + 2C = B, siendo A = (detallar todos los calculos realizados) , B = , C = [CANA] [SEP-B] Discutir la compatibilidad del sistema siguiente en función de los distintos valores del parámetro m: 2x+y-z = -1 x-2y+2z = m x-y+mz = [CATA] [JUN] Dadas las matrices A = -1 1 y B = 1-2 1, a) Compruebe que se cumple la igualdad (A+B)(A B) = A 2 B 2 b) Es cierta esta igualdad para cualquier par de matrices cuadradas A y B del mismo orden? Responda razonadamente utilizando las propiedades generales de las operaciones entre matrices, sin utilizar matrices A y B concretas Página de 6

4 MasMatescom 26 [CATA] [SEP] Determine el rango de la matriz A = 1 1 k 1 k 1 k 1 1 en función del parámetro k x+y-z = 2 27 [CATA] [SEP] Considere el siguiente sistema de ecuaciones lineales: 2x+ay-5z = 2a+ 2x-y+(a-2)z = 9 a) Calcule el valor o los valores del parámetro a para el cual o para los cuales el sistema es compatible indeterminado b) Cuántas soluciones tiene este sistema cuando a = -? 28 [EXTR] [JUN-A] Discuta, en función del parámetro a, el sistema de ecuaciones (no hay que resolverlo en ningún caso) x- y+ 2z= a -x + y - az = 1 x+ay+(1+a)z=-1 29 [EXTR] [JUN-B] Calcula la matriz inversa de la matriz A = B 2-2c, siendo B = 0-10 y C = [EXTR] [SEP-A] Calcule los valores de a para los que el determinante de la matriz B es igual a 2, B = 2, siendo B = 2 A 2 y A = a 1 -a [EXTR] [SEP-B] Existe alguna matriz X = x y z x que cumpla X = X y sea NO nula? Razone la respuesta 2 [MADR] [JUN-A] Dadas las matrices A = k k k k 2k -2 2, B = a) Hallar el rango de A en funcion de los valores de k b) Para k = 2, hallar, si existe, la solucion del sistema AX = B c) Para k = 1, hallar, si existe, la solucion del sistema AX = C , C = 4, X = x y z, se pide: [MADR] [JUN-B] Dadas las matrices A = , B = 1 a 1 a) Estudiar el rango de la matriz B en función de a b) Para a = 0, calcular la matriz X que verifica AX = B a +a, se pide: 4 [MADR] [JUN-B] Calcular el valor del determinante x y z [MADR] [SEP-A] Dado el sistema de ecuaciones lineales a) Discutir el sistema segun los valores de a b) Resolverlo para a = -1 x+ ay+4z= 6 x + (a+1)y + z =, se pide: (a-1)x - ay - z = - Página 4 de 6

5 MasMatescom 6 [MADR] [SEP-B] Dado el sistema de ecuaciones lineales a) Discutir el sistema según los valores de a b) Resolverlo para a = -5 x -2z= 2 ax - y + z = -8, se pide: 2z + az = 4 7 [MURC] [JUN-A] a) Discuta el siguiente sistema de ecuaciones en función del parámetro a: b) Resuelva el sistema cuando sea compatible x+y+z = 2 x+ay+a 2 z = -1 ax+a 2 y+a z = 2 8 [MURC] [JUN-B] Se dice que una matriz cuadrada A es ortogonal si cumple que A t A = I, donde I denota la matriz identidad y A t es la traspuesta de A a -a b Determine para qué valores de los parámetros a y b la siguiente matriz es ortogonal: A = a a 0 0 b -1 9 [MURC] [SEP-B] a) Dada la matriz A = , calcule las potencias A 2, A y A 4 b) Calcule A [RIOJ] [JUN] Si A = y B = 1-1, determina la matriz X despejándola previamente de la ecuación matricial: 0 2 2A - AX = BX (Observa las dimensiones que ha de tener la matriz X para que la ecuación matricial tenga sentido) 41 [RIOJ] [JUN] Discute el sistema dependiendo de los valores del parámetro a y resuelve completamente en los casos en que sea x-2y+z = -2 posible: -x+y+az = 1 2x+ay+4z = [RIOJ] [SEP] Discute y resuleve, según los valores de a, el siguiente sistema de ecuaciones: x+(1+a)y-az = 2a x+2y-z = 2 x+ay+(1+a)z = 1 4 [VALE] [JUN-A] Se da el sistema de ecuaciones S: razonadamente: a) La solución del sistema S cuando = 0 b) Todas las soluciones del sistema S cuando = -1 c) El valor de para el que el sistema S es incompatible 2x + 2 z=5 x+(1- )y + z = 1 x+ 2y+ 2 z= 1, donde a es un parámetro real Obtener 44 [VALE] [JUN-B] Obtener razonadamente: x a) Todas las soluciones y z de la ecuación x y z = b) El determinante de una matriz cuadrada B de dos filas, que tiene matriz inversa y que verifica la ecuación B 2 = B 1-1 Página 5 de 6

6 MasMatescom c) El determinante de una matriz cuadrada A que tiene cuatro filas y que verifica la ecuación: A 2-9 sabiendo además que el determinante de A es positivo =, x- 2y-z=0 45 [VALE] [SEP-A] Sea el sistema de ecuaciones S: x + 10y - z = 0, donde es un parámetro real x+14y+ z=0 Obtener razonadamente: a) La solución del sistema S cuando a = 0 b) El valor de a para el que el sistema S tiene infinitas soluciones c) Todas las soluciones del sistema S cuando se da a a el valor obtenido en el apartado b) 46 [VALE] [SEP-B] Se dan las matrices A = , U = 1 0 y B, donde B es una matriz de dos filas y dos columnas que no tiene 0 1 ningún elemento nulo y que verifica la relación B 2 = -7B +U Obtener razonadamente: a) Los números reales a y b tales que A 2 = aa+bu b) Los números reales p y q tales que B -1 = pb+qu, justificando que la matriz B tiene inversa c) Obtener los valores x e y para los que se verifica que B = xb+yu Soluciones 1 a) b) a) 1-k,5-2k k b) 1 c) -1 b) k=-2: ci; k -2: cd c) k=-2: (k,k+1); k -2: (0,1) 4 a) {-1,0}: ci; {-1,0}: cd b) =0: (0,0,k); =-1: (k-1,k,1-2k) 5 a) a = -2: inc; a = 1: ci a {-2,1}: cd b) -1 2, 1 2, 1 2 xsenx xcosx 0 -xcosx xsenx 0 senx(cosx-1) -sen 2 x-cosx 1 6 a) b) A= , B= a) 4 b) x 0; 8 a) m {-2,2}: inc; m {-2,2}: cd b) a) 2, 4 b) x {2,4}: ci; x {2,4}: cd c) (0,0,0) 10 a) a=1: inc; a=0: ci; a {0,1}: c d b) (1-k,k,0) 11 a) a=1: ci; a 1: cd b) (k,1-k,1) 12 a) -7, 7, -, 0 b) x {-1,0,1}: 2; x {-1,0,1}: c) 0, -5 2, 5 1 a) a {-2,1}: ci; a {-2,1}: cd b) (k,m,-k-m) c) (k,k,k) 14 2 a) (M-2I) b) 0-1, 0 0, , a) a=-2: inc; a = 1: ci; a {-2,1}: cd b) (-2-2k,4+k,k) 16 a) a {-,0}: 2; a {-,0}: b) a) m=2: cd; m 2: inc b) (0,0,0) 18 a) 1 b) n c) , 5 20 a) a = -: inc; a = 1: ci; a {-,1}: cd b) (1+k,-1-5k,k) m = : inc; m = 0: ci; m {0,}:cd m=1: inc; m 1: cd 26 k=1: 1; k=-2: 2; k {-2,1}: 27 a) 1 b) inc 28 a=2: inc; a=-1: ci; a {-1,2}: cd , 4 1 no 2 a) k {-1,0,1}: 2; k {-1,0,}: b) c) no a) a=1: 2; a 1: b) (x-1)(y-1)(z-1) 5 a) a= -5 : inc; a= -1: ci; a -5,-1 : cd b) (-k,+k,k) 6 a) a = -4: ci; a -4: cd b) (2,-2,0) 7 a) a -2: inc; a=-2: ci b) (1-2k,1+k,k) 8 2, 0 9 a) 2 (-k,1-k,k); a {-,-2}: cd -2a-1 a+, 2 a+, -1 a+ 42 a=0: inc; a=1: ci (-5k,1+k,k); a {0,1}: cd b) 1 c) a) (0,0,0) b) 5 c) (-4k,k,-2k) 46 a) 2, -2 b) 1, 7 c) 50, a- 2a,2a+ 2a,-2a 2a ; -I; -A b) A a) 5 2,- 4, a=-: inc; a=-2: ci b) (4+2k,k--4k) c) 2 44 a) 1-2k 2-k k Página 6 de 6