Funciones hiperbólicas inversas ( )

Transcripción

1 Funciones hiperbólicas inversas a Argumento seno hiperbólico. y = arg shx = x = senh y = ey e y = x = e y e y. Multiplicando por e y, xe y = e y = e y xe y = 0, de donde e y = x ± x +. Para el signo + delante de la raíz, esta expresión toma un valor positivo x. En cambio, para el signo su valor es negativo sea cual sea el valor de x, por lo que ningún valor de y es solución de la ecuación. Entonces resulta y = ln x + x +, x, b Argumento coseno hiperbólico. y = arg chx = x = cosh y = ey + e y = x = e y + e y. Multiplicando por e y, xe y = e y + = e y xe y + = 0, de donde e y = x ± x. La raiz existe sólo para x. En este intervalo de valores, la expresión toma valor positivo para ambos signos de la raiz, por lo que existe un valor de y solución de la ecuación. Tomamos sólo un signo el positivo por tratarse de una función. Entonces resulta y = ln x + x, x [, Ejercicio: Obténgase la relación existente entre los valores de y correspondientes al signo ± de la raiz. Relaciónese el resultado con las propiedades de la gráfica de la función inversa. c Argumento tangente hiperbólica. y = arg thx = x = tanh y = ey e y e y + e y = ey e y +. Entonces x e y + = e y = e y = + x x, es decir y = + x + x ln = ln, x, x x Ejercicio: Razónense los campos de existencia indicados. d Derivadas de las funciones hiperbólicas inversas. arg shx = [ ln x + x + ] x + x + = = = x +. arg chx = [ ln x + x ] = arg thx = [ ln + x x ] = + x x x + x + x + x x + x : + x x = = x. = = x.

2 CÁLCULO I CÁLCULO DE PRIMITIVAS: Integrales Inmediatas u m du = um+ + C, m m + du = ln u + C u u du = u + C 4 a u du = au + C, a > 0, a ln a sen u du = cos u + C 6 cos u du = sen u + C cos u du= + tg u du = tg u + C 8 cotg u du = ln sen u + C 0 α u du = arcsen u α + C Sh u du = Ch u + C 4 Ch u u ± α du = Th u + C 6 du = ln u + u ± α + C 8 sen u du = + cotg u du = cotg u + C tg u du = ln cos u + C α + u du = α arc tg u α + C Ch u du = Sh u + C Sh u du = Cothu + C α u du = α ln α + u α u + C NOTA: En las integrales,, 7 y 8 α significa la raíz cuadrada positiva de α. Escribimos α para indicar un número positivo.

3 Introducción a los cambios de variable J. Burgos, 39. Cambios de variable explícitos. Sea la función f : I R continua en I = [a, b], cuya primitiva queremos obtener. Sea g : J R una función con derivada continua y estrictamente monótona en J = [c, d] con el fin de que admita inversa. Si la imagen por g del intervalo J está contenida en I, entonces podemos realizar el cambio de variable x = gt, resultando: fx dx = f gt g t dt = Ht dt t=g x. Haremos el cambio si esta integral es más fácil de resolver que la inicial. Ejemplo. x dx. Con x = sen t, la integral se convierte en cos t dt. La función x = sen t es estrictamente monótona en t [ π, π ], por ejemplo.. Cambios de variable implícitos. A veces resulta útil hacer el cambio hx = t o, lo que es lo mismo, x = h t, con lo que h x dx = dt. Escribimos entonces la integral como fx fx dx = h x h x dx, h x 0. fx Si h puede ponerse como función de t, la integral se convierte en Gt dt. x La función h debe ser, como antes, de derivada continua y estrictamente monótona. También aquí haremos el cambio si esta integral resulta más sencilla que la inicial. Ejemplo. x cos x dx. Con t = hx = x, h x = x, la integral se convierte en x cos x cos t x dx = dt. x En la práctica no hay necesidad de dividir y multiplicar por h x. La derivada de h se obtiene multiplicando y dividiendo el integrando por el factor adecuado: x cos x dx = cos x x dx = cos t dt. 3. Combinación de ambos métodos. Es frecuente iniciar el cambio de variable como implícito, eligiendo hx, despejar x = h t y, a partir de ahí, obtener dx. x dx Ejemplo. 3 x. Hacemos 3 x = t = x = t 3, dx = 3 t dt. 3 t 5 La integral se convierte en dt. t

4 Nota: Es suficiente que la condición de monotonía estricta, para poder calcular la función inversa, se cumpla a trozos; es decir, que el intervalo J se pueda descomponer en subintervalos, en cada uno de los cuales se cumple la condición. 4. Aplicación. Se propone resolver los siguientes casos aplicando el cambio que se sugiere. En el caso c, el ejercicio consiste en modificar el integrando para poder aplicar el cambio: a Cambio explícito. x. + α dx x = α senh t. Sol: x x + α + α x ln + x + α + C. x. x α dx x = α cosh t. Sol: x x α + α x ln + x α + C. 3. x α x dx x = α sen t. Sol: α x α + C. x b Cambio implícito.. + x dx + x = t. Sol: + x ln + x + C. e x. e x + 3 e x dx e x = t ex. Sol: arc tg + C. e x ex 3. ex + dx + = t. Sol: ex e x + + C. c Convertir la integral en inmediata, por medio del cambio sugerido... sen x + cos x sen x dx sen x cos x = t. Sol: arc sen sen x cos x + C. x + x + 3x x 4 dx x x = t. Sol: arc sen x + C. x

5 Fórmulas de reducción. Sea una integral, a la que llamaremos In, cuyo integrando depende de un parámetro n R. Si aplicando algún método habitualmente el de integración por partes podemos expresarla en función de In, In, etc, hemos hallado una fórmula de reducción, válida en principio n R. Lo más frecuente será que In resulte en función de In o In o ambas. Ejemplo: In = ln n x dx = x ln n x nin.. Si el parámetro toma sólo valores naturales, n N, aplicando sucesivamente la fórmula iríamos reduciendo el grado, llegando a I3, I..., que se pueden calcular en función de I0, o bien I e I0. Éstas se integran directamente, pues suelen ser muy sencillas. A veces se observa que son casos particulares de la fórmula general. 3. En ocasiones, reiterando el método, podemos llegar a una fórmula explícita que nos da directamente el valor de In, aunque suele ser complicado. Ejemplo: ln n x dx = x ln n x n ln n x + nn ln n x + + n n!. 4. Supongamos que el parámetro n es entero negativo y calculemos, por medio de la fórmula de reducción, In en función de In. Esto da lugar a un proceso indefinido, en el que n toma valores negativos decrecientes. En estos casos interesa despejar al revés, In en función de In o, lo que es lo mismo, In en función de In +. Así, en cada paso aumenta el valor del parámetro hasta llegar a I, I0, que se calculan directamente. 5. Al ser la fórmula de reducción válida n R, podemos obtener la fórmula de una integral a partir de la de otra similar, cambiando de signo el parámetro. Ejemplo: Sean In = sen n dx x dx; Jn = sen n x. Se cumple Jn = I n por lo que, si conocemos la fórmula de reducción para In, podemos obtener la de Jn sin necesidad de integrar. Basta cambiar de signo el parámetro en la fórmula de reducción de In y operar. Si, por ejemplo, tenemos In en función de In, entonces Jn que es I n se puede escribir en función de I n, que es igual a Jn +. Para terminar, hemos de despejar Jn + en función de Jn.

6 Cambios de variable para integrales trigonométricas Si R sen x, cos x = Rsen x, cos x integrando impar en seno, se hace cos x = t con lo que sen x = t ; sen x dx = dt = dx = dt t Ejemplo: sen 3 x cos x dx = sen } {{ x} t cos x sen } {{ x dx} = dt t t dt. Si Rsen x, cos x = Rsen x, cos x integrando impar en coseno, se hace sen x = t con lo que cos x = dt t ; cos x dx = dt = dx = t Ejemplo: cos 3 x + cos x sen x dx = cos } {{ x + } sen x cos } {{ x dx} = t t dt. t dt 3 Si R sen x, cos x = Rsen x, cos x, se hace tan x = t, con lo que cos x = Ejemplo: + t ; sen x = cos x dt sen 4 x dx = t 4. t + t ; + tan x dx = dt = dx = dt + t 4 En los restantes casos, se hace tan x = t, con lo que Ejemplo: cos x = + t ; sen x = + tan x + sen x + cos x dx = t + t = sen x = t x d = dt = dx = dt + t + t + t 3 + t + t dt. 5 Cambio de productos en sumas. A partir de se obtiene cosx + y = cos x cos y sen x sen y cosx y = cos x cos y + sen x sen y senx + y = sen x cos y + cos x sen y senx y = sen x cos y cos x sen y sen x sen y = cos x cos y = sen x cos y = cosx y cosx + y cosx y + cosx + y senx y + senx + y + t ; cos x = t + t

7 [ Integrando del tipo R Integrales irracionales p q x, ax + b cx + d siendo m = m.c.m.q, s.... x + x + Ej. I = dx. Cambio x + I = ] r, ax + b s,..., cambio ax + b cx + d cx + d = tm x + = t x = t t dt, dx = t t t t dt, que se resuelve por descomposición en fracciones simples. Raíz de una suma o diferencia de cuadrados. a R [ x, c a x ] : ax = c sen t c a x = c cos t, dx = c cos t dt. a b R [ x, a x c ] : ax = c cos t a x c = c tan t, dx = c sen t a cos t dt. c R [ x, a x + c ] : ax = c tan t a x + c = c cos t, dx = c a 3 Raíz de un trinomio. Puede reducirse al caso anterior. ax a a > 0 = ax + bx + c = + b + c b a 4a. b a < 0 = ax + bx + c = ax bx c =... 4 Método Alemán. Se aplica si el integrando del tipo P x ax + bx + c. P x ax + bx + c = d [ Qx ] λ ax dx + bx + c + ax + bx + c cos t dt. siendo el grado de Qx una unidad inferior al de P x. Entonces: [ I = Qx ] λ ax + bx + c + ax + bx + c dx, que se resuelve a partir de los apartados y 3. 5 Integrando del tipo x α p ax + bx + c, cambio x α = t. Entonces: x = t + α, dx = dt t I = t r Qt dt, siendo Qt un polinomio de segundo grado si α = 0, Qt = a + bt + ct. En el caso r =, aplicamos 3. Si r >, aplicamos el Método Alemán.

8 Cambios de variable para integrales exponenciales Llamamos integrales exponenciales a aquellas cuyo integrando contiene logaritmos, exponenciales o funciones hiperbólicas. Si predominan logaritmos neperianos, un posible cambio es ln x = t, con lo que x = e t y dx = e t dt Si predominan exponenciales, se recomienda hacer e x = t, con lo que dx = dt/t 3 Si R senh x, cosh x = Rsenh x, cosh x integrando impar en seno, se hace cosh x = t con lo que senh x = t ; senh x dx = dt = dx = dt t 4 Si Rsenh x, cosh x = Rsenh x, cosh x integrando impar en coseno, se hace senh x = t con lo que cosh x = t + ; cosh x dx = dt = dx = dt t + 5 Si R senh x, cosh x = Rsenh x, cosh x, se hace tanh x = t, con lo que cosh x = ; senh x = t ; t t tanh x dx = dt = dx = dt t 6 En los restantes casos, se hace tanh x = t, con lo que cosh x = t ; senh x = tanh x t t 7 Cambio de productos en sumas. A partir de se obtiene = senh x = t x d = dt = dx = dt t coshx + y = cosh x cosh y + senh x senh y coshx y = cosh x cosh y senh x senh y senhx + y = senh x cosh y + cosh x senh y senhx y = senh x cosh y cosh x senh y senh x senh y = cosh x cosh y = senh x cosh y = coshx + y coshx y coshx + y + coshx y senhx + y + senhx y + t ; cosh x = t t