Algebra Matricial y Optimización Segundo Examen Parcial Maestro Eduardo Uresti, Semestre Enero-Mayo 2012

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1 Grupo: Matrícula: Nombre: Algebra Matricial y Optimización Segundo Examen Parcial Maestro Eduardo Uresti, Semestre Enero-Mayo 22. (pts) Sea A una matriz cuadrada. Indique validez a cada una de las siguientes afirmaciones: a) Si la matriz A es invertible, entonces A T x = tiene infinitas soluciones. R: Si A es invertible, entonces también lo es A T. Por tanto, A T x = tiene solución única; es falso que tenga infinitas soluciones. b) Si para un vector b el sistema A x = b tiene infinitas soluciones, entonces A A T no es invertible. R: Si A x = b tiene infinitas soluciones, entonces A no es invertible. Tampoco lo es la matriz A B cualquiera que sea la matriz cuadrada B (Si C es la inversa de A B, entonces B C es la inversa de A); en particular, tampoco lo será A A T. Es cierto que es no invertible. c) Si el sistema A x = tiene solución única, entonces A T es invertible. R: Si A x = tiene solución única, entonces A es invertible. Así, es cierto que A T es invertible. d) Si la matriz A T no es invertible, entonces A T A x = tiene infinitas soluciones. R: Si A T no es invertible, entonces tampoco lo es A T A. Es cierto que A T A x = tendrá infinitas soluciones. e) Si la matriz A cumple que A A A = I entonces el sistema A x = tiene infinitas soluciones. R: A A A = I indica que A es invertible y que su inversa es A A. Por tanto, A x = tendrá solución única: es falso que tenga infinitas soluciones. ) No se sabe 2. (5pts) Una Básica (SB) de un sistema de ecuaciones lineales de m ecuaciones con n incógnitas que tiene infinitas soluciones, es una solución que se obtiene haciendo cero exactamente n m incógnitas y que da origen a un sistema con solución única. De hecho, se desaparece(n) la(s) columna(s) correspondiente(s) a la(s) incógnita(s) y se resuelve el sistema correspondiente para determinar la SB. Por otro lado, una SB se llama solución básica factible (SBF) si ningún valor de sus incógnitas es negativo. Marque en sus hojas de procedimiento las SBF e indique en orden el número de SBs y número de SBFs para el siguiente sistema de ecuaciones x = 2 7 Sugerencia: Si planea usar calculadora, note que en lugar de trabajar con la matriz de coeficientes le conviene trabajar con las columnas de matriz y combinar esto con el comando augment. Note también que en este ejemplo debe intentar alternativas; de 5 posibles variables quedarse con 3: C 5,3 = ( 5 3 ) = 5! 3! (5 3)! =. Nota: Ubicándonos en la interpretación de la solución de un SEL como la búsqueda de una combinación lineal de las columnas de la matriz de coeficientes que da el vector de constantes, la definición formal de solución básica (SB) para un SEL con infinitas soluciones A x = b, A M m n y b R m es aquella donde la combinación lineal buscada no es con todas las columnas de A, si no que se reduce a una selección determinada de columnas que corresponde a una base para R m. Observe que esto garantiza que con la selección de las columnas de A, el sistema efectivamente tiene solución única. La búsqueda de la combinación lineal sobre esta selección de columnas equivale justo a hacer cero los coeficientes de las columnas que no participan en la combinación lineal buscada, es decir, a hacer cero las incógnitas del SEL que no corresponden a las columnas seleccionadas. Estas incógnitas se llaman variables no básicas mientras que las que corresponden a las columnas que forman la base se llaman variables básicas. Note que la prueba de que la selección de columnas corresponde a una base puede hacerse calculando o la inversa o el determinante de la matriz cuyas columnas corresponden a la selección. Sean a, a 2, a 3, a y a 5 las 5 columnas de la matriz de coeficientes A. Sean x, x 2, x 3, x y x 5 las incógnitas del

2 MA, segundo examen parcial, semestre enero-mayo 22 2 SEL y sea b el vector de constantes del SEL. Con esta notación: B = {a, a 2, a 3 } sí corresponde a una base y la solución correspondiente a a a 2 a 3 b es: x = 2, x 2 =, x 3 =, x =, x 5 = Note que se ha encontrado que 2 a + a 2 + a 3 + a + a 5 = b B 2 = {a, a 2, a } sí corresponde a una base y la solución correspondiente a a a 2 a b es: x = 2, x 2 =, x = /5, x 3 =, x 5 = B 3 = {a, a 2, a 5 } sí corresponde a una base y la solución correspondiente a a a 2 a 5 b es: x =, x 2 =, x 5 = /5, x 3 =, x = esta es una SB y como tiene valores negativos esta no es una SBF. B = {a, a 3, a } no corresponde a una base. Esta B 5 = {a, a 3, a 5 } no corresponde a una base. Esta B 6 = {a, a, a 5 } no corresponde a una base. Esta B 7 = {a 2, a 3, a } no corresponde a una base. Esta B 8 = {a 2, a 3, a 5 } sí corresponde a una base y la solución correspondiente a a 2 a 3 a 5 b es: x 2 =, x 3 = /3, x 5 = /3, x =, x = B 9 = {a 2, a, a 5 } sí corresponde a una base y la solución correspondiente a a 2 a a 5 b es: x 2 =, x = /5, x 5 = /3, x =, x 3 = B = {a 3, a, a 5 } no corresponde a una base. Esta Resumiendo, el SEL tiene un total de 5 SB de las cuales son SBF. 3. (5pts) Suponiendo que A, B sean matrices n n invertibles y que I sea la matriz identidad. Determine la inversa de cada una de las siguientes matrices: a) b) c) A I I A I A I I I I B I A I I B R: R: R: A I I A A A A A I B B I A A B I I B Las soluciones son obtenidas formando la aumentada con la matriz identidad: I I y reduciendo; Siempre haciendo operaciones elementales de renlgón cuidando que las multiplicaciones sean siempre por la izquierda.. (5pts) Para qué valores del escalar a no tiene dimensión 3 el espacio generado por las matrices: A = A = A 2 = A 3 = a + a 2 2 a 32 2 a Indique su respuesta en las posibles: ) Hay al menos dos valores de a. 2) No existe valor de a. 3) Sólo para el valor a= Al formar una matriz con la vectorización de las matrices dadas y escalonar obtenemos: B = a + a 2 5/2 a /2 a 2 a + a 2 + 3

3 MA, segundo examen parcial, semestre enero-mayo 22 3 Para no tener dimensión 3, no se debe tener pivote en la cuarta columna: b 3, = a = ó a = 5 b, = a = 6 ó a = 5 por tanto, a = 5 es el único valor para el cual ambos elementos son cero y lo que nos dará 2 para la dimensión del espacio generado por las matrices. Note que al tener pivotes en la primera y segunda columna, la dimensión de espacio generado es por lo menos dos. El valor de a se escoge para que la dimensión sea (pts) Búsque la respuesta a cada pregunta: a) Sea A una matriz m n. Suponga que A x = b tiene infinitas soluciones para un vector b. A es de rango columna completo? R: Si A x = b tiene infinitas soluciones, entonces las columnas de A son linealmente independiente. Por tanto, el conjunto de las n columnas de A son un conjunto generador que no es base para C(A). Por tanto, dim(c(a)) < n. Por tanto, rank(a) < n, y así es falso que es de rango columna completo. b) Suponga que el sistema A x = b con A m n, es inconsistente para un vector b particular. El rango de A es menor que m? R: Si el sistema A x = b con A m n es inconsistente, entonces las columnas de A no generan R m y por tanto dim(c(a)) < m. Por tanto, es cierto que el rango de A es menor que m. c) Sean A y B matrices m n y b un vector en R m. Suponga que B x = b es consistente, que C(A) C(B) y que rank(a) = rank(b). El sistema A x = b es consistente? R: Si C(A) C(B) y rank(a) = rank(b), entonces C(A) = C(B). Si B x = b es consistente, entones b C(B), y por tanto b C(A). Por tanto, es cierto que A x = b consistente. d) Sea A una matriz cuadrada. Suponga que es de rango columna completo. Para cualquier vector b el sistema A x = b tiene solución única? R: Si A una matriz cuadrada n n de rango columna completo, entonces su rango es n. Por tanto, su rango renglón es n. Por tanto, cualquier sistema A x = b tiene solución. Si su rango columna es n, las columnas serán linealmente independientes; por tanto, es cierto que cualquier sistema A x = b tiene solución única. De hecho, se deduce que si A una matriz cuadrada n n de rango renglón o columna completos, entonces A es invertible. e) Sea A una matriz n n y B una matriz n m. Suponga que A es de rango renglón completo. El sistema A X = B tiene solución única? R: por el inciso anterior, A es invertible. Por tanto, es cierto que A X = B tiene solución única (la solución es X = A B). ) No se sabe 6. (pts) Búsque la respuesta a cada pregunta: Sea A una matriz n n: a) Si A T es invertible, entonces rank (A) < n. R: Si A T es invertible, entonces A es invertible. Por tanto, rank (A) = n. Entonces, es falso que rank (A) < n. b) Si rank (A) = n, entonces existe un vector b para el cual el sistema A T x = b s inconsistente? R: Si rank (A) = n, entonces dim(c(a)) = dim(c(a T )) = n. Por tanto, C(A T ) = R n. Por tanto, es falso que existe un vector b para el cual el sistema A T x = b es inconsistente. c) Si A x = tiene solución única, entonces rank (A) < n. R: Si A x = tiene solución única, entonces las columnas n de A forman un conjunto linealmente independiente y siendo un conjunto generador para C(A) forman una base para él. Por tanto, dim(c(a)) = n. Así, es falso que rank (A) < n. d) Si A T es singular, entonces rank (A) = n. R: Si A T es singular, también lo es A. Así, las n columnas de A forman un conjunto linealmente dependientes y siendo un conjunto generador para C(A), no forman una base para él. Por tanto, dim(c(a)) < n. Así es falso que rank (A) = n. e) Si el rango renglón de A es n, entonces para cualquier matriz B n q la ecuación matricial A X = B tiene solución única. R: Si el rango renglón de A es n, entonces A es invertible. Por tanto, es cierto que A X = B tiene solución única. ) No se sabe 7. (pts) En las afirmaciones siguientes V es un espacio lineal, B es una base para V, G es un conjunto generador para V, I es un conjunto linealmente independiente de V, D es un conjunto linealmente dependiente de V, C es un conjunto de elementos de V y n es la dimensión de V. Indique cómo son cada una de las afirmaciones (ninguna tiene error de dedo):

4 MA, segundo examen parcial, semestre enero-mayo 22 a) I tiene menos de n elementos. R: No hay suficiente información para concluir eso: puede ser que tenga n elementos. Se acepta como válida que la afirmación sea falsa. b) D tiene mas de n elementos. R: No hay suficiente información para concluir eso: se puede tener un conjunto linealmente dependiente con un solo elemento (el vector cero). Aquí el resultado es que: Si un conjunto tiene más de n elementos, entonces el conjunto es linealmente dependiente. Pero su recíproca no necesariamente es cierta. Se acepta como válida que la afirmación sea falsa. c) Si I tiene n elementos, entonces I es genera a V. R: Cierto; siendo linealmente independiente y teniendo n elementos se convierte en base para V y por tanto, genera a V. d) Si G tiene menos de n elementos, entonces I es dependiente. R: Ambas partes de la implicación son falsas. Por tanto, la implicación es cierta (Recuerde la tabla de verdad de la implicación). e) Si C tiene más elementos que G, entonces C es linealmente dependiente. R: Sabemos que #(G) n; por tanto, si C tiene más elementos que G, concluiríamos que #(C) > n. Por tanto, es cierto que C sería linealmente dependiente. Respecto a la respuesta ) Cierto 2) Falso 3) No hay suficiente información 8. (5pts) Si W = Gen(B ) y W 2 = Gen(B 2 ), donde y B = x = B 2 = y = , x 2 =, y 2 = 3 2, x 3 =, y 3 = 8 Encuentre la dimensión del subespacio intersección. Sugerencia: Para cada espacio generado encuentre el sistema de ecuaciones homogéneas que determinan partenecer a él. Con los vectores x, x 2, x 3 como columnas, formamos la matriz A y con los vectores y, y 2, y 3 como columnas formamos la matriz A 2. Para determinar las ecuaciones que caracterízan a los vectores que pertencen a W i formamos y reducimos: A I A 2 I Por tanto, si y B = / / 3/ / /2 /2 5/2 5 3/2 3 3 B 2 = / /2 5/2 5 3/2 3 3 para un vector x R 5 : /2 x W B x = 2 x W 2 B 2 x = 2 Por tanto, un vector x W W 2 si y sólo si satisface ambos sistemas; es decir: B B 2 2 x = 2 = 5 Al formar esta aumentada vertical, su reducida queda: Esto nos dice que el único vector común a ambos espacios lineales es el vector ; concluimos que la dimensión del espacio intersección es cero. 9. Sean A y B matrices n n. Considere la afirmación siguiente: Si existe una matriz X tal que X A X T = B T entonces rank(b) rank(a).

5 MA, segundo examen parcial, semestre enero-mayo 22 5 a) (5pts) Enuncie las tres variantes de esta afirmación condicional. Recíproca Si rank(b) rank(a), entonces existe una matriz X tal que X A X T = B T. Inversa Si para toda matriz X se cumple X A X T B T, entonces rank(b) > rank(a). Contrapositiva Si rank(b) > rank(a), entonces para toda matriz X se cumple X A X T B T. b) (5pts) Demuestre la afirmación. Supongamos que existe X tal que X A X T = B T. En particular, existe una matriz Y (que es precisamente X T ) tal que X A Y = B T. Por tanto C(B T ) C(X A) Y por tanto rank(b T ) rank(x A). Por otro lado, y usando un razonamiento similar pero con el espacio renglón aplicado a X A, se deduce que rank(x A) rank(a). Así rank(b T ) rank(a). Como rank(b T ) =rank(b), concluimos que rank(b) rank(a).

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