Examen de Física-1, 1 Ingeniería Química Examen final. Septiembre de 2012 Problemas (Dos puntos por problema).

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1 Examen de Física-1, 1 Ingeniería Química Examen final. Septiembre de 01 Problemas (Dos puntos por problema). Problema 1 (Primer parcial): Suponga que trabaja para una gran compañía de transporte y que debe descargar de un camión una caja enorme y frágil usando una rampa como la que se muestra en la figura. Si la velocidad vertical con que llega la caja al final de la rampa es superior a,5 m/s, su carga se daña. Cuál es el mayor ángulo posible al que se puede instalar la rampa para conseguir una descarga segura? a rampa debe superar un metro de altura, está formada por rodillos (se puede suponer que no ejerce rozamiento) y está inclinada con la horizontal un ángulo θ. Nota: por vertical se quiere decir hacia abajo, hacia el centro de la Tierra. Solución: Dibujamos el diagrama de fuerzas, como se muestra en la figura, donde vemos que actúan dos fuerzas, el peso y la normal. Elegimos la dirección de la aceleración en la dirección de la rampa hacia abajo como dirección +x. Como se ve en el diagrama, el ángulo entre la fuerza de la gravedad Fg y el sentido negativo del eje y es el mismo que el ángulo entre la pendiente de la rampa y la horizontal. También se puede ver que Fg x = Fg sin θ. Para determinar ax aplicamos a la caja la segunda ley de Newton. Tenemos en cuenta que la normal Fn es perpendicular al eje x y Fg = mg : Fn x + Fg x = m ax, donde Fn x = 0 y Fg x = Fg sin θ = mgsin θ. Se substituye y se despeja la aceleración, obteniendo 0 + mgsin θ = m ax por lo que ax = gsin θ. Se establece una relación entre la componente vertical de la velocidad de la caja ( vv ) y la velocidad vx a lo largo de la rampa,

2 v v = v x sinθ. a velocidad está relacionada con el desplazamiento Δx a lo largo de la rampa mediante la siguiente ecuación cinemática: v x = v 0,x + a x Δx. Se sustituye a x en la ecuación (1), haciendo v 0 = 0, con lo cual, v x = gsinθδx. De la figura se ve que cuando Δx es la longitud de la rampa, Δx sinθ = h, donde h es la altura de la rampa. sí, v x = gh. Mediante el uso de v v = v x sinθ, se obtiene para v v : v v = gh sinθ. Sustituyendo datos para el ángulo máximo:, 50 m s =! 9,81m # & 1, 00m " s % Y, por lo tanto, θ max = 34, 4. ( ) sinθ max,

3 EMS Problema (Segundo parcial): Se deja en libertad un bloque cuando θ = 90 y e deja en libertad desliza un bloque sin rozamiento, cuando θ hasta chocar con Α = 90 y desliza, sin miento, hasta chocar la bola con. la Suponemos bola. Sabiendo que la bola que el no iciente de restitución apoya en el sobre choque la es superficie, e = 0.90, de calcular: modo que la as velocidades de fuerza y inmediatamente normal es que después ejerce del la superficie choque a máxima tensión sobre que soporta ella el es hilo cero. que sostiene Sabiendo a que el a altura máxima a coeficiente la que se eleva de restitución en el choque es a energía perdida en e = el 0.90 choque., calcular: UCION (a) as velocidades de y inmendiatamente después del choque. (b) a máxima tensión que soporta el hilo que sostiene. (c) a altura máxima a la que se eleva. (d) a energía perdida en el choque. plicando la conservación de la energía podemos calcular la velocidad con la que el bloque impacta en la : Notas: Tomad g = 9.80 m s. m gr = 1 m v v = gr = 3.43 m/s El coeficiente de restitución se define como e = v" v" cando la ecuación de conservación de momentos lineales y la del coeficiente v v de restitución y tomando el ido positivo hacia la Solución: derecha: m (a) plicando la ley de conservación de la energía, podemos calcular la velocidad con la 1 v + m v = m 1 + m m 1 v = m 1 + m que el bloque impacta con la bola. Tomamos como cero de energía potencial gravitatoria e= la = 0.58 m/s posición del suelo. Entonces, v v =.51 m/s m g r = 1 m v v = g r = 3.43 m os que el bloque retrocede hacia la izquierda después del choque. s. a máxima tensión Durante en la cuerda el choque, se produce aplicaremos cuando la se ley encuentra de conservación en el punto del momento más bajo lineal (justo y después la definición del ue) ya que en esa del situación coeficiente la velocidad de restitución. de Supondemos es mayor y por el sentido lo tanto positivo tiene una de mayor velocidades aceleración hacia la al que tiene que derecha, producir y la denotaremos tensión menos las la velocidades componente antes normal del choque del peso sin que primas en esta y las situación velocidades es ima. después del choque con primas. T m g = m T = m g+ m m v + m v = m + m m v = m + m = m e m = 33.6 N v = 0.58 m e = e = & m + m s % plicando la conservación de la energía entre la posición inicial, justo después v v v & del choque, ( ' = 1+ e )m y la posición l cuando ha ascendido una altura h: v =.51 m m + m s 1 Vemos que el bloque retrocede hacia la izquierda después del choque. m = m gh h = g = 0.3 m & % & '& a variación de energía producida en el choque será: 1 m + 1 m 1 mv = 0.86 J

4 (b) a máxima tensión en la cuerda se produce cuando se encuentra en el punto más bajo (justo después del choque). En ese momento, la velocidad de es máxima, y por lo tanto tiene una mayor aceleración normal (también llamada aceleración radial en algunos textos). Recordemos que esta aceleración va siempre dirigida hacia el centro del círculo y tiene por módulo. Esta aceleración tiene que ser producida por la tensión menos la componente del peso a lo largo de la dirección y, que en esa situación es máxima. Si tomamos sentido positivo del eje y hacia arriba, entonces v" T m g = m v" T = m g + m = 33.6 N. (c) plicando la ley de conservación de la energía entre la posición inicial, justo después del choque, y la posición final cuando ha ascendido una altura h, 1 m = m g h h = = 0.3 m. g (d) a variación de energía producida en el choque será " 1 m + 1 m % # & ' " 1 mv % ' = 0.86 J # &

5 3 3 3 Una rana de masa m está situada en el extremo de una tabla recta de masa M y longitud. a tabla se encuentra en reposo y flotando sobre las aguas tranquilas Problema de un 3 estanque. (Segundo a parcial): rana da Una un salto rana a de lo largo masa m está situada en el extremo de una tabla recta de v de la tabla con un ángulo de elevación θ sobre la v 0 horizontal. masa Si M la y rana longitud cae en. el a otro tabla extremo se encuentra de la tabla, en m reposo y flotando sobre las aguas tranquilas de un θ calcular: a) el espacio horizontal recorrido por rana, b) M el módulo estanque. de la a velocidad rana da inicial un salto v a lo largo la tabla 0. Nota: se desprecia el rozamiento con un entre ángulo la tabla de elevación y agua, θ sobre y se considera la horizontal. a la rana como Si la una rana masa cae puntual. en el otro extremo de la tabla, calcular: (a) el espacio horizontal recorrido por la rana, (b) el módulo de la velocidad inicial v 0. Física Tema Página 13 Nota: se desprecia el rozamiento entre la tabla y el agua, y se considera a la rana como una masa puntual. Para la realización de este problema, considerad el sistema formado por la rana y la tabla. Solución: (a) Consideraremos el sistema formado por la rana y la tabla. Sobre el sistema solo actúa una fuerza externa (la que ejerce el agua del estanque), que lleva una dirección vertical. Todas las demás fuerzas son internas al sistema. Como las fuerzas exteriores no tienen componente a lo largo de la dirección horizontal, el momento total del sistema a lo largo de esa dirección se conserva. Cuando la rana salta, por conservación del momento lineal horizontal, la tabla se mueve ligeramente hacia atrás. Debido a ello si la rana cae en el otro extremo de la tabla no habrá recorrido horizontalmente una distancia, sino una distancia d más pequeña. En todo caso, como el centro de masas (C.M.) del sistema rana-tabla se encontraba inicialmente en reposo en la situación final se encontrará en la misma posición. Si colocamos el origen de coordenadas en la posición inicial de la rana: Inicialmente: x rana = 0, x tabla = Finalmente: x! rana = d, x! tabla = d Igualando los dos resultados: x C.M. = mx + Mx rana tabla = 1 " M % ', m + M # m + M & x C.M.! = m x! md + M d ' & ) rana + M x! tabla % ( =. m + M m + M " md + M d 1 " M # m + M % = # % m + M " M d = # m + M %

6 (b) a trayectoria de la rana se corresponde con la de un tiro parabólico cuyo alcance máximo es d y cuyo ángulo inicial de lanzamiento es θ. partir de la expresión del punto de máximo alcance, podemos calcular el módulo de la velocidad en el instante del salto, v 0. d = v 0 sin( θ ) g v 0 = d g sin( θ ).

(b) v constante, por lo que la bola posee una aceleración normal hacia el centro de curvatura.

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