Matemáticas II. Curso Problemas

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1 Matemáticas II. Curso Problemas

2 Crecimiento y decrecimiento. Concavidad y convexidad. Estudiar la monotonía de las siguientes funciones: a) f(x) = x (x + ) b) f(x) = x 4 + 3x x c) y = x + 6x 9. Estudiar la monotonía de: a) f(x) = x x + x b) f(x) = x x + c) f(x) = x3 x 3 3. Estudiar la monotonía de: a) f(x) = 3x e x b) f(x) = (x + 3)e x c) f(x) = x + ln x d) f(x) = ln x x e) f(x) = x ln x 4. Determinar los máximos y mínimos de las siguientes funciones utilizando la derivada segunda: a) y = x 3 4x 6 (x ) b) y = x + c) y = ln(x + ) d) y = (x + 4)e x 5. Determinar los intervalos de concavidad y convexidad y los puntos de inflexión de las siguientes funciones: a) y = x 3 3x + x + 4 b) y = x x c) y = 9 + x d) y = ln x x e) y = cos x cos x f ) y = x e x 6. Se considera la función: f(x) = ae x +bx+c ; a > 0 Calcular los parámetros a, b y c sabiendo que la función tiene un mínimo relativo en el punto (, a) y f(0) =. 7. Sea f(x) = x + mx donde m es un parámetro real. Hallar el valor de m para que f(x) tenga un mínimo relativo en x = 3 4.

3 3 8. Determinar los valores de a, b y c para que la función: f(x) = x 3 + ax + bx + c pase por el origen de coordenadas, tenga un punto de inflexión en x = y su recta tangente en x = tenga pendiente Calcula para f(x) = (x+)e x los intervalos de crecimiento y decrecimiento, los extremos relativos, los puntos de inflexión y los intervalos de concavidad y convexidad. 0. Hallar los máximos y mínimos relativos y los puntos de inflexión de la función: f(x) = 3x + x + 3 x +. Demostrar que la curva de ecuación y = x 4 x 3 + x x + no tiene ningún punto de inflexión.. Dada la función: f(x) = 9x + 6x x 4 calcular sus puntos de inflexión. 3. Sea f : R R la función definida por: f(x) = x 3 + x + ax + b Determinar a y b sabiendo que la recta tangente a la gráfica de f en su punto de inflexión es la recta y = x Calcular los valores del parámetro a, a 0, que hacen que las tangentes a la curva de ecuación y = ax 4 + ax 3 ax +,5 en los puntos de inflexión sean perpendiculares. 5. Se considera la función f(x) = x 3 + ax + bx + c donde a, b y c son parámetros reales. a) Averiguar los valores de a y b para los que las rectas tangentes a la gráfica de f(x) en los puntos de abscisas x = y x = 4 son paralelas al eje X. b) Con los valores de a y b hallados anteriormente, obtener el valor de c para el que se cumple que el punto de inflexión de la gráfica de f(x) está en el eje X. 6. Demuestra que la curva f(x) = x cos x tiene un punto de inflexión en el interior del intervalo [0, π] y halla la ecuación de la recta tangente a la curva en ese punto. Haz un dibujo en un entorno del punto hallado. 7. Hallar una función polinómica de tercer grado que tenga un extremo relativo en (, ) y un punto de inflexión en (0, 3). Es (, ) el único extremo de la función?.

4 4 Teoremas de Rolle y del valor medio 8. Estudiar si se puede aplicar el teorema de Rolle a f(x) = tg x en el intervalo [0, π] y, si es posible, determinar el punto en el que la derivada se anula. 9. Razonar si se puede aplicar el teorema de Rolle a la función f(x) = 3 (x ) en el intervalo [0, 4]. 0. Aplicar el teorema de Rolle a la función f(x) = x + x 3 en el intervalo [ 4, ] e interpretarlo geométricamente.. Cada una de las funciones siguientes toma el mismo valor en los extremos del intervalo [, ], pero no hay ningún valor ξ (, ) en el que la derivada se anule. Justificar en cada caso por qué no contradicen el teorema de Rolle: a) f(x) = x 4 b) f(x) = x. Probar que la función f(x) = x 3 +x x satisface las hipótesis del teorema de Rolle en el intervalo [, ] y calcula un punto del intervalo abierto (, ) cuya existencia garantiza el teorema. 3. Demostrar que la ecuación x = e x solamente tiene una solución. 4. Demostrar que la ecuación x = x cos x sen x se verifica para un solo valor de x. 5. Demuestra que la curva y = x 3 3x + solo corta al eje X en un punto del intervalo [0, ]. 6. Demostrar que la ecuación x 3 + x + x = 0 solo tiene una solución real. 7. Dado el intervalo I = [0, 5] y dadas las funciones f(x) = x Ax, encontrar el valor de A para que se pueda aplicar el teorema de Rolle al intervalo I y aplicar el teorema en ese caso. 8. Utilizando los teoremas de Bolzano y Rolle, demostrar que las curvas y = cos x e y = x se cortan en un único punto del intervalo (0, π). 9. Demostrar que se puede aplicar el teorema del valor medio a la función f(x) = x + 9 en el intervalo [0, 4] y halla el punto que verifica el teorema. 30. Aplicar el teorema del valor medio a la función f(x) = x + x 8 en el intervalo [ 3, 3] e interpretarlo geométricamente. 3. Razonar si es aplicable el teorema del valor medio a la función x ln x x > 0 f(x) = 0 x = 0 en el intervalo [0, e]. En caso afirmativo, hallar el valor al que se refiere el teorema. 3. Dada la función: f(x) = x x x + x demostrar que existen α, β (, ) tales que f(α) = 0 y f (β) =. Decir que teorema se utiliza. 33. Sea f(x) = x 3 + x y sea el intervalo I = [0, ]. Aplicar el teorema del valor medio a la función f en el intervalo I, hallando el punto de dicho intervalo cuya existencia asegura el teorema. 34. Dada la función f(x) = x cos πx demostrar que existe ξ (, ) tal que f (ξ) =. Citar los teoremas que se utilicen.

5 5 Regla de l Hôpital 35. Calcular los siguientes límites: x 4x + 4 a) lím x x 4 e x e x b) lím x 0 sen x sen x x cos x c) lím x 0 d) lím x 3 x 3 x 5 x Calcular los siguientes límites: a) lím x 0 e x x sen x sen x e x b) lím x 0 cos x c) lím x 0 e x e x x x sen x 37. Calcular los siguientes límites: x a) lím x 0 ln( + x) x b) lím x 0 cos x ln x c) lím x 0 cotg x d) lím x 0 sen x x 3 + x 38. Calcular: a) lím x cotg x x 0 b) lím x 0 ( x cotg x c) lím x 0 (e x x) x 39. Calcular: + x e x lím x 0 sen x 40. Calcular: x 5 a) lím x 3 x 3 b) lím ( x ) x x 4. Calcular: ) lím x 0 e x sen x x x + x 4

6 6 4. Calcular: lím x Calcular: lím x 44. Calcular: a) lím x sen x tg x sen x ( ln x ) x (ln x)e x x b) lím x ( + tg x ) x 45. Calcular: ( lím x artg e x π ) x 46. Calcular: x + x a) lím x x + x ln cos x b) lím x π ln( cos x) 47. Calcular, si existen, los siguientes límites: x a) lím x)tg x 0 +(sen sen x b) lím x 0 x 48. Calcular: x + a) lím x 0 x b) lím ) tg πx x +(x ( n ) 8 c) lím n n+ 49. Calcular los valores del número real a sabiendo que: a) lím x 0 e ax ax x = 8 ln( + ax) b) lím x 0 sen x c) lím x = 3 x ln(e ax ) = Calcular los valores de λ 0 para los cuales: lím x 0 5. Calcular: sen x cos λx = a) lím x (x ) ln(x ) b) lím x 0 x sen x c) lím x 0 (cos x + sen x) x d) lím x (x3 ) x x e) lím x + x

7 7 Problemas de optimización 5. De todos los cilindros que pueden inscribirse en una esfera de 9 cm de radio, hallar la altura y el radio del que tiene mayor volumen. 53. Descomponer el número 8 en dos sumandos positivos de manera que la suma del cubo del primer sumando más el cuadrado del segundo sea mínima. 54. En qué punto de la parábola y = 4 x la tangente forma con los ejes coordenados un triángulo de área mínima? 55. Determinar el punto de la parábola y = x que está más próximo al punto (3, 0). 56. Determinar un punto de la curva de ecuación y = xe x en el que la pendiente de la recta tangente sea máxima. 57. Considérense las funciones f(x) = e x y g(x) = e x. Para cada recta r perpendicular al eje X, sean A y B los puntos de corte de dicha recta con las gráficas de f y g respectivamente. Determínese la recta r para el cual el segmento AB es de longitud mínima. 58. El coste del marco de una ventana rectangular es de,50 euros por metro lineal de los lados verticales y 8 euros por metro lineal de los lados horizontales. a) Calcular razonadamente las dimensiones que debe tener el marco de una ventana de m de superficie para que resulte lo más económico posible. b) Calcular, además, el coste de este marco. 59. De entre todos los rectángulos situados en el primer cuadrante que tienen dos de sus lados sobre los ejes coordenados y un vértice en la recta r de ecuación x + y = determinar el de área máxima. 60. Considérese el recinto limitado por la curva y = x y la recta y = 3. De entre los rectángulos que tienen un lado sobre la porción de recta que queda sobre la curva y los otros dos vértices sobre la parábola, determinar el que tiene área máxima. 6. Un trozo de alambre de longitud 0 se divide en dos trozos. Con el primero se forma un rectángulo cuya base es el doble de su altura y con el segundo trozo se forma un cuadrado. Encontrar las longitudes de ambos trozos para que sea mínima la suma del área del rectángulo y la del cuadrado. 6. Una cartulina tiene forma rectangular con 30 cm de base y 0 cm de altura. Se quiere construir un cajón sin tapa con la forma resultante tras recortar cuatro cuadrados de lado x en cada esquina de la cartulina. Calcular x para que el volumen del cajón resultante sea máximo. Calcular dicho volumen. Representación de funciones 63. Estudiar y representar las siguientes funciones: a) y = 8 x 4 b) y = e x +7x 4 c) y = x + x d) y = ln(6 x x 4 ) 64. Representar gráficamente la función y = x 3 3x.

8 8 65. Dada la función y = x x + determínense los intervalos de crecimiento y decrecimiento, los de concavidad y convexidad, los puntos de inflexión y las asíntotas. Esbócese su gráfica. 66. Se considera la función: y = x x + a) Halle sus asíntotas, máximos y mínimos. b) Represéntese gráficamente la función. 67. Estudiar (dominio, crecimiento, máximos, mínimos y asíntotas) y representar gráficamente la función: y = x x x 68. Representar gráficamente la función: y = x3 x estudiando las asíntotas y los intervalos de crecimiento y decrecimiento. 69. Calcular las asíntotas y los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función: y = e x y representarla gráficamente. 70. Se considera la función: y = (x + ) e x Hallar los extremos locales y los puntos de inflexión. Representar gráficamente la función. 7. Sea la función f(x) = x e x. a) Comprobar que la recta y = 0 es asíntota horizontal en +. b) Determinar los intervalos de crecimiento y decrecimiento. c) Con los datos anteriores, hacer una representación aproximada de la función. 7. Representar gráficamente las funciones: a) y = x ln x b) y = x ln x 73. Sea f(x) = x + ln x con x (0, ). Se pide: a) Determinar los intervalos de crecimiento y decrecimiento y los extremos relativos. b) Determinar los intervalos de concavidad y convexidad. c) Determinar las asíntotas. d) Esbozar la gráfica.

9 9 Continuidad y derivabilidad 74. Considérese la función: e ax x 0 f(x) = x + x > 0 donde a es un número real. a) Calcular lím x 0 f(x) y comprobar que f(x) es continua en x = 0. b) Para qué valor del parámetro a la función es derivable en x = 0? 75. Determinar el valor de a para el cual la siguiente función es derivable en x = 0: cos x x 0 f(x) = x + a x > Dada la función: ax + x < f(x) = e x x calcular a para que f sea continua en x =. Para el valor obtenido, es derivable la función en x =? 77. Discutir según los valores de m la continuidad y la derivabilidad de la función: 3 mx x f(x) = mx x > 78. Determinar los valores de a y b para que la siguiente función sea derivable en todos sus puntos: bx + ax a f(x) = x x + ax + x + x < x x > Integral indefinida 79. Calcular las siguientes integrales inmediatas: 3x (a) (4x 5x + 7) dx (g) dx (b) 5 dx (h) (sen x + e x ) dx x (c) x + 7 dx (i) 3 x dx (d) (x sen x) dx (j) sen(x π) dx (e) (x + 4)x(x 7 ) dx (k) cos x dx (f) (x ) 3 dx (l) (e x + 3e x ) dx (m) (n) (ñ) (o) (p) (q) x dx dx x x + x x dx 3dx + x dx x tg x dx

10 0 80. Calcular las siguientes integrales: dx dx (a) (b) (c) x 4 (x 4) (x 4) dx (d) dx (x 4) 3 8. Calcular las siguientes integrales: (a) e x 4 dx (b) e x+9 dx (c) e 5x dx (d) (3 x x 3 ) dx 8. Resuelve las siguientes integrales de tipo arcotangente: dx 4 dx 5 dx (a) 4 + x (b) 3 + x (c) 4x + (d) dx + 9x dx 83. Calcular las siguientes integrales racionales: (a) x 5x + 4 dx x + (b) x + x + 4 dx x + (c) x 3 3x + x dx x 84. Calcula las siguientes integrales del tipo arcoseno: dx dx (a) (b) 4x 4 x (c) e x e x dx 85. Calcula las siguientes integrales: (a) cos x sen 3 x dx (b) xe x dx (c) x dx (x + 3) 5 (d) x ln3 x dx 86. Calcular las siguientes integrales: (a) x 4 e x5 dx (e) (b) x sen x dx (f) dx (c) (g) 9 x x dx (d) (h) x + 5 sen x cos x dx sen x cos 5 x dx (x + 3)5 dx 3x 6x dx (i) (j) (k) (l) x x(x ) dx tg x sec x dx ( + ln x) dx x ( + cos x)3 sen x dx 87. Integrar por partes: (a) x e 3x dx x (b) e x dx (c) artg x dx (d) (e) (f) x cos x dx x 3 sen x dx x ln x dx (g) (h) (i) arcos x dx x cos 3x dx x 5 e x3 dx 88. Calcula cos(ln x) dx integrando por partes dos veces. 89. Calcular las siguientes integrales:

11 (a) (b) (c) (d) x + 3 (x )(x + 5) dx x + x + dx 3x x 4 dx dx x x (e) (f) (g) (h) x + 5x x 3 + x x dx (x ) dx x + 7x x 3 + x x dx 3x + 6x + 6 dx (i) (j) (k) (l) dx x + 4x + 5 3x + x + x + dx x x + x + dx x x + 4x + 3 dx 90. Calcula: ln x (a) dx (b) x x ln x dx (c) sen x x dx (d) artg x + x dx 9. Calcular: (a) sen x x dx (b) ln x x dx (c) (ln x) dx 9. Calcular: (a) x x + dx (b) x x + dx (c) + x dx 93. Calcular: (a) sen x dx (b) cos x dx (c) e x cos x dx 94. Encuentra la primitiva de la función: f(x) = + 3x que se anula para x = Halla la función F (x) para la que F (x) = x ; F () = 96. De todas las primitivas de la función y = 4x 6, cuál de ellas toma el valor 4 para x =? Soluciones (no se ha puesto la constante de integración): (79) (a) 4x3 3 5x + 7x (b) 5 5 x 4 (c) x x6 ln x + 7 (d) + cos x (e) 4 6 3x4 4 x (f ) (x )4 (g) x 3x (h) cos x + e 4 3 x (i) 3x 3 x (j ) cos(x + π) (k) 7 tg x (l) e 4 x 3e x (m) ln x (n) ln x (ñ) ln x x (o) 3 artg x (p) arsen x (q) x + tg x (80) (a) ln x 4 (b) (x 4)3 (c) (d) x 4 3 (x 4) (8) (a) e x 4 (b) e x+9 (c) 5 e5x (d) 3x ln 3 x4 4 (8) (a) artg x (b) 3 4 artg x (c) 5 3 artg (x) (d) artg (3x) 3 (83) (a) x 6x + 0 ln x + (b) x (84) (a) arsen x (b) arsen x (c) arsen ex (85) (a) sen4 x 4 (b) e x (c) (ln x)4 8(x +3) 4 (d) 4 x3 + x + 3 ln x + (c) 3 x x 3 ln x

12 (86) (a) ex5 cos x (b) (c) arsen x 5 3 (d) x + 5 (e) cos x (f ) 4 cos 4 x (g) (x+3) 3 (h) 3 4 ln (x 6x (i) x) 3 3 (j ) tg x (k) (+ln x)3 (l) (+cos x) (87) (a) 7 (9x 6x+)e 3x (b) +x e x (c) x artg x ln(+x ) (d) cos x+x sen x (e) x 3 cos x+3x sen x 6 sen x+6x cos x (f ) x ln x 4 x (g) x arcos x x (h) 9 cos 3x + 3 x sen 3x (i) 3 ( + x3 )e x3 (88) x cos ln x + x sen ln x (89) (a) ln x +3x 0 (b) ln(x +)+ artg x (c) ln(x+)+ln(x ) (d) 3 ln(x ) 3 ln(x+) (e) ln x+ + ln x + ln x (f) 4 ln x+ ln x 4 4(x ) 3 (g) ln x 4(x+) x+ (h) 3 artg (x+) (i) artg (x+) (j) 3 ln(x +x+) artg (x+) (k) 4 ln(x + x + ) 3 5 artg 4x+ (l) ln(x + 4x + 3) artg (x + ) (90) (a) (ln x) (b) ln(ln x) (c) cos x (d) ( artg x) (9) (a) cos x (b) x ln x x (c) x (ln x) x ln x + x (9) (a) 5 (x + ) 3 (x ) (b) 3 x + (x ) (c) ln x + x + ln + x ln + x (93) (a) x sen x cos x (b) x + sen x cos x (c) ex (sen x + cos x) (94) ln + 3x 3 (95) x + 3 (96) x 6x 7 Integral definida b 97. Se define el valor medio de una función f(x) en un intervalo [a, b] como el cociente b a f(x) dx. a Calcula el valor medio de la función f(x) = x 4 x en el intervalo [0, ]. 98. Sea f una función definida por f(x) = x + x con x 3. Hallar c tal que f(c) = 99. Sea F (x) = x 0 e t dt. Hallar el valor de F (0). 00. Determinar los máximos y mínimos de la función F (x) = x ln t dt en el intervalo [, 0]. 0. Determina la siguiente integral definida: 4 x 4 dx 0. Hallar el área encerrada por las funciones f(x) = x y g(x) = x. 3 f(x) dx. 03. Dadas las funciones f(x) = x x y g(x) = x x, encuentra el valor del área comprendida entre ellas. 04. Dadas la parábola y = 6x x y la recta y = x, determina el área limitada por ambas. 05. Determina el área de la región limitada por las curvas y = x, y = 3 x y las rectas x = y x =. 06. Calcula el área de la región limitada por la función f(x) = x 4x + 3 y el eje OX. 07. Averigua el área comprendida entre la gráfica de la función f(x) = x +x, el eje OX y las rectas x = y x =. 08. Calcula el área limitada por la gráfica de la función y = cos x entre x = π 4, x = 3π 4 y el eje OX. 09. Calcula el área encerrada por la curva y = x sen x y las rectas y = 0, x = 0 y x = π. 0. Halla el área limitada por la curva y = ln x y las rectas y = 0 y x = e.. Hallar el área del recinto limitado por los ejes de coordenadas, la recta y = y la curva cuya ecuación es y = x.. Hallar el área del recinto plano delimitado por las rectas y = x e y = x y la parábola y = x.

13 3 3. Determinar el área del recinto limitado por las gráficas de las funciones f(x) = x 3 x y g(x) = x cuando solo se consideran valores positivos de x. 4. Hallar el área de la región limitada por las curvas y = x e y = x y las rectas x = y x =. 5. Representa la región del plano limitada por y = ln x, su recta tangente en x = e y el eje OX. Calcular su área. 6. Encontrar el área del recinto limitado por las curvas y = x e y = x 4x. 7. Calcular el volumen engendrado al girar alrededor del eje OX el recinto limitado por las gráficas de las funciones y = x x e y = x La curva y = 4 x+4, los ejes de coordenadas y la recta x = 4 limitan una superficie S. (a) Calcular el área de S (b) Determina el volumen de la figura generada por S al dar una vuelta completa alrededor del eje OX. 9. Considera la figura plana encerrada entre las curvas y = x e y = x cuando 0 x. Hallar el volumen que genera esta figura cuando da una vuelta completa alrededor del eje OX. 0. Se considera la función f(x) = ax + b + 8 x. Calcular a y b para que la gráfica de f(x) pase por el punto (, 6) y admita en dicho punto una tangente horizontal. Calcular también el área limitada por la gráfica de f(x) y las rectas x =, x = e y = 0.. Si la integral definida de una función en el intervalo [, ] verifica que f(x) dx, es cierto que para todos los puntos x [, ] se tiene que f(x) 0?. Sabiendo que la función f es derivable en todos sus puntos y su derivada verifica f (x) para cualquier valor de x y que f(0) = 3, demuestra que f() Dada la función f(x) = ax 3 + bx + cx + d se sabe que tiene un máximo relativo en x =, un punto de inflexión en (0, 0) y que 0 f(x) dx = 5 4, calcula a, b, c y d. 4. Hallar el valor de a sabiendo que el área limitada por la gráfica de la parábola y = x ax y el eje OX es de Dos constructores tienen una parcela que han de repartirse en partes iguales para la construcción de un centro comercial. La parcela es la región plana encerrada entre la parábola y = x y la recta y =. Si deciden dividir la parcela mediante una recta y = a paralela a la recta y =, hallar el valor de a. 6. Determina el valor del parámetro a para que el área limitada por las gráficas de f(x) = ax y g(x) = x a, en el primer cuadrante, sea igual a 3 unidades cuadradas. 7. Sea y = x + a. Calcular el valor de a para que las tangentes cuya abscisa tenga valor absoluto, pasen por el origen de coordenadas. Hallar el área del recinto limitado por la curva y las dos tangentes. 8. Se considera la función y = xe ax, donde a es una constante no nula. Calcular el valor de a si sabemos que el área limitada por la curva y = xe ax y las rectas y = 0, x = 0, y x = es igual a a. 9. Determina el valor de a sabiendo que el área comprendida entre la parábola y = x + ax y la recta y + x = 0 es 36. Soluciones: (97) 4 3 (98) 3 (99) (00) F () = ln, F (0) = 0 ln 0 9 (0) 64 3 (0) 5 3 (03) (04) (05) 3 (06) 4 3 (07) ln (08) (09) (0) () 0 3 () 7 6 (3) 8 3 (4) 7 3 (5) e (6) 7 (7) 8π 3 (8) 4 ln, π (9) π (0),, ln () no () Aplicar el teorema del valor medio del cálculo diferencial 0 (3), 0, 3, 0 (4) 4 y 4 (5) 3 (6) 3 (7), (8) (9) 5 y 7 4 3

14 4 Problemas de selectividad. Cálculo. (Comunidad de Madrid) 30. Se considera la ecuación x 3 + λx x =. Utilizando el teorema de Bolzano de los valores intermedios: a) Probar que si λ >, la ecuación admite alguna solución menor que. b) Probar que si λ <, la ecuación admite alguna solución mayor que. 3. Se considera la función e x si x 0 f(x) = x + x si x > 0 Contestar razonadamente a las siguientes preguntas: a) Es continua en el punto x = 0? b) Es derivable en el punto x = 0? c) Alcanza algún extremo? 3. Se considera la función: x x f(x) = 3x x x + si x si x > a) Estúdiese si f(x) es continua en x =. b) Calcúlese la ecuación de la recta tangente a f(x) en el punto x = 3. c) Calcúlense sus asíntotas oblicuas. 33. Se considera la función real de variable real definida por: 3 x si x f(x) = x(x ) si x < a) Estudiar su continuidad y derivabilidad. b) Hallar la ecuación cartesiana de la recta tangente a la gráfica de f en el punto (3, ). 34. Dada la función: f(x) = x5 x 8 x 6 a) Encontrar los puntos de discontinuidad de f. Determinar razonadamente si alguna de las discontinuidades es evitable. b) Estudiar si f tiene alguna asíntota vertical. 35. Calcular los siguientes límites: ln cos(3x) a) lím x 0 ln cos(x). 4 + x 4 x b) lím. x 0 4x 36. Sea la función: f(x) = sen x cos x definida en el intervalo cerrado y acotado [ π, π]. Se pide:

15 5 a) Calcular los puntos del intervalo dado donde f alcanza sus valores máximo y mínimo absoluto. b) Dibujar la gráfica de f en el intervalo dado. c) Calcular π/3 0 f(x) dx 37. Calcular la base y la altura de un triángulo isósceles de perímetro 8 y área máxima. 38. Se considera la función: f(x) = (x ) 4x + a) Calcular las asíntotas, el máximo y el mínimo absolutos de la función f(x). b) Calcular 0 f(x) dx 39. Sabiendo que la función f(x) tiene como derivada f (x) = (x 4) (x 8x + 7) a) Hallar los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de f. b) Hallar los máximos y mínimos relativos de f. c) Es el punto x = 4 un punto de inflexión de f? Justificar razonadamente la respuesta. 40. Sea f(x) una función derivable en (0, ) y continua en [0, ] tal que f() = 0 y 0 xf (x) dx = Utilizar la fórmula de integración por partes para hallar 0 f(x) dx. 4. Calcular un polinomio de tercer grado p(x) = ax 3 + bx + cx + d sabiendo que verifica: a) Tiene un máximo relativo en x =. b) Tiene un punto de inflexión en el punto de coordenadas (0, ). c) Se verifica: 4. Dada la función: 0 p(x) dx = 5 4. f(x) = x a) Hallar la ecuación de la recta tangente a su gráfica en el punto (a, f(a)) para a > 0. b) Hallar los puntos de corte de la recta tangente hallada en el apartado anterior con los dos ejes coordenados. c) Hallar el valor de a > 0 que hace que la distancia entre los dos puntos hallados sea mínima. 43. a) Dibujar la gráfica de la función f(x) = x decrecimiento y asíntotas. b) Demostrar que la sucesión a n = n n+ c) Calcular lím n n (a n+ a n ) x+ indicando su dominio, intervalos de crecimiento y es monótona creciente.

16 6 44. Calcular: dx x + x 45. a) Calcular los valores de a y b para que la función: 3x + si x < 0 f(x) = x + a cos x si 0 x < π ax + b si x π sea continua para todo valor de x. b) Estudiar la derivabilidad de f(x) para los valores de a y b obtenidos en el apartado anterior. 46. Dada la función f(x) = xe x a) Dibujar su gráfica indicando su dominio, asíntotas, intervalos de crecimiento y decrecimiento, máximos y mínimos relativos, intervalos de concavidad y convexidad y puntos de inflexión. b) Calcular el área comprendida entre el eje OX y la gráfica de f(x) entre x. 47. a) Hallar los máximos y mínimos relativos y los puntos de inflexión de la función: f(x) = 3x + x + 3 x + b) Determinar la función F (x) tal que su derivada sea f(x) y además F (0) = Sea g una función continua y derivable de la que se conoce la siguiente información: a) g (x) > 0 para todo x (, 0) (, ), mientras g (x) < 0 para todo x (0, ). b) g (x) > 0 para todo x (, 3) y g (x) < 0 para todo x (, ) (3, ). c) g( ) = 0, g(0) =, g() =. d) lím g(x) = y lím f(x) = 3. x x Teniendo en cuenta los datos anteriores, a) Analizar razonadamente la posible existencia de asíntotas verticales, horizontales u oblicuas. b) Dibujar de manera sistemática la gráfica de g(x). c) Si G(x) = x 0 f(t) dt, encontrar un valor x 0 tal que G (x 0 ) = Estudiar los siguientes límites: a) ( lím e x x ) x b) 4 x + 5 x lím x 3 x + 6 x 50. Obtener los máximos y mínimos relativos y los puntos de inflexión de la función: f(x) = x (ln x) siendo ln x el logaritmo neperiano de x. 5. a) Para cada valor de c > 0, calcular el área de la región acotada comprendida entre la gráfica de la función f(x) = cx 4 + c x +, el eje OX y las rectas x = 0 y x =. b) Hallar el valor de c pare el cual el área calculada en el apartado anterior es mínima.

17 7 5. Dada la función f(x) = e x (x + ) a) Dibujar la gráfica de f estudiando el crecimiento, decrecimiento, puntos de inflexión y asíntotas. b) Calcular f(x) dx a) Calcular x 3 ln x dx b) Utilizar el cambio de variable x = e t e t para calcular: dx 4 + x Indicación: Para deshacer el cambio de variable, utilizar: t = ln x + x Calcular el siguiente límite: ( ) x+ lím + x αx + 4x + 8 según los valores del parámetro α. 55. Calcular la integral F (x) = x 0 t e t dt 56. Si la derivada de la función f(x) es: obtener: f (x) = (x ) 3 (x 5) a) Los intervalos de crecimiento y decrecimiento de f. b) Los valores de x en los cuales f tiene máximos relativos, mínimos relativos, o puntos de inflexión. c) La función f sabiendo que f(0) = Dada la función: ln( + ax) bx f(x) = x si + ax > 0 y x 0 si x = 0 a) Hallar los valores de los parámetros a y b para los que la función f(x) es continua en x = 0. b) Para a = b = estudiar si la función f es derivable en x = 0 aplicando la definición de derivada. 58. Dada la función: f(x) = x + x +

18 8 a) Estudiar los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de f(x). b) Hallar los puntos de inflexión de la gráfica de f(x). c) Hallar las asíntotas y dibujar la gráfica de f(x). d) Hallar el área del recinto acotado que limitan la gráfica de f(x), el eje de abscisas y las rectas y = x +, x =. 59. Dada la función: x ln x f(x) = x si x 0 x + k si x < Hallar : a) Determinar el valor de k para que la función sea continua en R. b) Hallar los puntos de corte con los ejes de coordenadas. c) Obtener la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función en el punto del abscisa x =. a) lím x [ x 8x 3 + x ] 5 b) lím ( + 4x 3) x 3 6. Dada la función f(x) = ln(x + 4x 5), a) Determinar el dominio de definición de f(x) y las asíntotas verticales de su gráfica. b) Estudiar los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de f(x). 6. Dadas las funciones: y = 9 x ; y = x + a) Dibujar las gráficas de las dos funciones identificando el recinto acotado por ellas. b) Calcular el área de dicho recinto acotado. c) Hallar el volumen del cuerpo de revolución obtenido al hacer girar alrededor del eje OX el recinto acotado por la gráfica de y = 9 x y el eje OX. 63. Obtener el valor de a para que: 64. Hallar: lím x ( x ) ax 3 x = a) 6 4 (x 5) 8 dx b) 9 (x 0) 9 (x 9) dx 65. Dada la función: f(x) = 3x + 5x 0 x + 5 a) Estudiar y obtener las asíntotas. b) Estudiar los intervalos de concavidad y convexidad. c) Representar gráficamente la función. 66. Calcular los límites:

19 9 a) lím ( + artg x) a/x 3x + e x x 0 b) lím x 7x + 5e x 67. Calcular: a) 0 x 4 x dx b) π 0 x cos x dx 68. a) Calcular la integral 3 x 4 + 5x dx b) Hallar los valores mínimo y máximo absolutos de la función f(x) = 3x. 69. a) Calcular el siguiente límite: lím x x x + x b) Demostrar que la ecuación 4x 5 + 3x + m = 0 solo tiene una raíz real, cualquiera que sea el número m. Justifica la respuesta indicando qué teoremas se usan. 70. Dada la función: f(x) = ax4 + x 3 a) Determinar el valor de a para el que la función posee un mínimo relativo en x =. Para ese valor de a obtener los otros puntos en que f tiene un extremo relativo. b) Obtener las asíntotas de la gráfica de y = f(x) para a =. c) Esbozar la gráfica de la función para a =. 7. Hallar el valor de λ para que la función f(x) = e λx 3x si x > 0 sen x x si x < 0 sea continua. Razonar la respuesta. 7. Dado el polinomio P (x) = x 3 +ax +bx+c, obtener los valores de a, b y c de modo que se verifiquen las condiciones siguientes: El polinomio P (x) tenga extremos relativos en los puntos de abscisas x = 3, x =. La recta tangente a la gráfica de P (x) en el punto (0; P (0)) sea y = x Sabiendo que la función F (x) tiene derivada f(x) continua en el intervalo cerrado [; 5] y, además, que: F () = ; F (3) = ; F (4) = 6; F (5) = 3; f(3) = 3 y f(4) = ; hallar: f(x) dx (5f(x) 7) dx f(x)f (x) dx 74. Calcular razonadamente las siguientes integrales definidas:

20 0 (a) π 0 e x cos x dx (b) π/ 0 sen x + cos x dx 75. Dadas las funciones: f(x) = 3x + ln(x + ) x 3 (a) Hallar el dominio de f(x) y el lím x f(x). (b) Calcular g (e). ; g(x) = (ln x) x ; h(x) = sen(π x) (c) Calcular, en el intervalo [0, π], las coordenadas de los puntos de corte con el eje de abscisas y los extremos relativos de h(x). 76. Hallar a, b y c de modo que la función f(x) = x 3 +ax +bx+c alcance en x = un máximo relativo de valor, y tenga en x = 3 un punto de inflexión. 77. Dada la función f(x) = cos x, (a) Calcular los extremos relativos de f en el intervalo ( π, π). (b) Calcular los puntos de inflexión de f en el intervalo ( π, π). (c) Hallar la primitiva g(x) de f(x) tal que g(π/4) = Dada la función: f(x) = x 3 x 9 (a) Hallar lím f(x), y lím f(x) x 3 + x 3 (b) Hallar lím f(x), y lím f(x) x x 79. (a) Sea f(x) una función continua tal que hallar: 8 f(u) du = 3 f(x 3 )x dx (b) Hallar el dominio de definición y las abscisas de los puntos donde la función: F (x) = (x 3)(9 x ) alcanza sus máximos y mínimos relativos. 80. Dada la función 3x + A x 3 f(x) = 4 + 0x x x > 3 a) Hallar el valor de A para que f(x) sea continua. Es derivable para ese valor de A? b) Hallar los puntos en que f (x) = 0. c) Hallar el máximo absoluto y el mínimo absoluto de f(x) en el intervalo [4, 8].

21 8. Dada la función f(x) = x sen x, a) Determinar, justificando la respuesta, si la ecuación f(x) = 0 tiene alguna solución en el intervalo [0, π]. b) Calcular la integral de f en el intervalo [0, π]. c) Obtener la ecuación de la recta normal a la gráfica de y = f(x) en el punto (π, f(π)). Recuérdese que la recta normal es la recta perpendicular a la recta tangente en dicho punto. 8. Dada la función: x +3x x x < 0 f(x) = a x = 0 e x x > 0 a) Determinar el valor de a para que f sea continua en x = 0. b) Para ese valor de a estudiar la derivabilidad de f en x = 0. c) Hallar si las tiene las asíntotas de la gráfica de f(x). 83. a) Representar gráficamente el recinto limitado por la gráfica de la función f(x) = ln x y el eje OX entre las abscisas x = e y x = e. b) Calcular el área de dicho recinto. c) Calcular el volumen del sólido de revolución obtenido al girar dicho recinto alrededor del eje OX. Soluciones: (64) (a) (b)... 9 (65) (a) x = 5, y = 3x 0 (b) convexa en (, 5), cóncava en ( 5, ) (66) (a) e a (b) 5 (67) (a) 3 (b) (68) (a) 36 5 (b) 0, (69) (a) (70) (a) 3, (b) x = 0, y = x (7) 6 (7), y 3 (73) (a) (b) (c) 35 (74) (a) ( 5 + e π ) (b) π 4 (75) (a) (3, ), 3 (b) (c) 0, π, π, π, 3π (76) 9, 5, 5 (77) (a) π, 0, π (b) ± π 4, ± 3π 4 (c) π+ (x + sen x cos x) 8 (78) (a) 0, (b), (79) (a) (b) x 3, x = 3 (80) (a) A = 8, no (b) x = 5 (c) máximo en (5, 0), mínimo en (8, ) (8) (a) 0, π (b) 4 + π (c) y = π (x π) (8) (a) 0, no (b) y = x + 5, y = (83) (a) (b) (c) π ( e 5 ) e

22 Matrices y determinantes 84. Dadas las matrices: [ ] A =, B = 3 4 halla las matrices: [ 0 ] 5 a) A + 3B b) AB c) BA e) AB A d) A f ) B BA 85. Sean las matrices [ ] A =, B = calcular: a) AB b) BA c) BB t d) AB 86. Dadas las matrices: [ ] A =, B = comprueba que (BA) t = A t B t. [ ] a Dada la matriz A =, qué relación deben guardar las constantes a y b para que se verifique b que A = A? 88. Encuentra las matrices cuadradas X de orden que verifican la siguiente relación: X = Qué matrices conmutan con la matriz 90. Dada la matriz A = : 0 0 [ ]? 0 a) Encuentra todas las matrices B cuyo producto con A verifique la propiedad conmutativa, es decir: AB = BA. b) Calcula A n, siendo n cualquier número natural. [ ] [ ] Sean las matrices A = y B =. 3 Resuelve el sistema: 3X + Y = A X Y = B 9. Calcula la matriz A 50 + A 0, siendo A = [ ] 0.

23 3 93. Dada la matriz A = a) Calcula A y A 3. [ ] : 0 b) Halla una ley general para calcular A n. 94. Se consideran las matrices: M = , N = 0 0 x y 0 0 a) Determina x e y para que MN = NM. b) Calcula M 995 y M Halla todas la matrices X de la forma a 0 0 X = 0 b tales que X = c Se consideran las matrices: A = 0, B = calcula B 3 y A 3. (Sugerencia A = B + I). [ ] 97. Prueba que A n = n A, siendo A =. 98. Halla la inversa de las siguientes matrices aplicando la definición: [ ] A =. B = Dada la matriz A = [ ] 0 : 0 0 a) Razona si puede existir una matriz B tal que AB = I siendo I la matriz identidad; en caso afirmativo halla B. b) Tiene inversa A? Razona la respuesta. 00. Se considera el conjunto M de las matrices 3 3 tales que, en cada fila y en cada columna, tienen dos ceros y un uno. Escribe todas las matrices del conjunto M. 0. a) Calcula todas las matrices diagonales de orden que coinciden con su inversa. b) Si A es una de estas matrices, calcula su cuadrado. 0. Se dice que dos matrices cuadradas A y B son semejantes si existe una matriz P tal que B = P AP. Determina si son semejantes las matrices: [ ] [ ] 0 A =, B = Señala para que valores de a, b, c y d se verifica que [ ] [ ] a b 0 0 = c d 0 0

24 4 04. Si A y B son matrices diagonales de orden demuestra que AB = BA. [ ] 05. a) Demuestra que la matriz A = verifica una ecuación del tipo A + αa + βi = 0, determinando α y β (I denota la matriz identidad). b) Utiliza el apartado anterior para calcular la inversa de A. 06. Considera la matriz A = a a) Encuentra el valor de a, tal que (A I) = 0. b) Calcula la matriz inversa de A para el valor obtenido en el apartado anterior. 07. Una matriz cuadrada A tiene la propiedad de que A = A + I donde I es la matriz unidad: a) Demuestra que A admite inversa y obtenla en función de A. [ ] + m t b) Dada la matriz B =, halla los valores de m para los que se verifica que m B = B + I, y escribe la matriz inversa de B para dichos valores. 08. Calcular los siguientes determinantes de orden : a) c) e) 0 b) d) f ) g) 0 3 h) Calcular los siguientes determinantes de orden 3: a) c) b) d) e) f ) Calcular los siguientes determinantes de orden 4: 0 a) b) Calcular el valor del siguiente determinante: a b c d + a + b c d a b + c d a b c + d. Sean A y B las siguientes matrices: A = x 3 + x x 5 B = x 3 x x x sabiendo que el determinante de B vale 7, utiliza las propiedades de los determinantes para calcular el valor del determinante de A.

25 5 3. Sea A una matriz cuadrada de orden que verifica A = A. Calcula razonadamente los posibles valores del determinante de A. 4. Si la matriz A = a b c d e f g h i tiene determinante n, averigua el valor del determinante de las siguientes matrices: 6d 4e f B = 3g h i C = d + f e f + e a + c b c + b 9a 6b 3c g + i h i + h 5. Resolver la ecuación: x + x + x + = 0 x x x 3 6. Calcular el rango de las siguientes matrices: A = 0 B = Calcular el rango de: C = D = Hallar el rango de la siguiente matriz: cos α sen α 0 sen α cos α Calcular la inversa de las siguientes matrices: [ ] 4 a) 6 b) 0 0 c) Dadas las matrices: [ ] A =, B = a) Es cierto que AB = BA? b) Calcula, si es posible, la inversa de AB.

26 6. Sea sen x cos x 0 A = cos x sen x 0 sen x + cos x sen x cos x Para qué valores de x existe la matriz inversa de A?. Calcula dicha matriz inversa. [ ] [ ] 3. Dadas las matrices A = y B =, halla para qué valores de m la matriz B + ma no 0 tiene inversa. 3. Calcula los parámetros a, b y c para los cuales: a B = b rango(b) = 3 c 4. Encuentra, en función de los valores del parámetro a, el rango de la matriz: A = a a a a a a 5. Estudia según los valores de x, el rango de la matriz x 0 A = x x x 0 x 6. Calcula el rango de la matriz A según los diferentes valores del parámetro real a: 0 a A = a a) Demuestra que la matriz A = a b, tiene inversa si y solo si los parámetros a y b a son nulos. b) Calcula A cuando a = b =. 8. Se consideran las matrices: A = 0 k B = 0 [ k 0 ] a) Discute en función de los parámetros que pueda tomar el parámetro real k, si la matriz AB tiene inversa. b) Discute, en función de los valores de k, si la matriz BA tiene inversa. 9. a) Demuestra que A A I = 0, siendo: A = 0 I =

27 7 b) Calcula A utilizando el apartado anterior o de cualquier otra forma 30. Resuelve la ecuación matricial AXB = C, siendo: [ ] [ ] [ ] 0 0 A =, B =, C = Calcula la matriz A sabiendo que se verifica la igualdad: A = Encuentra la matriz A que verifique la ecuación AX + B = C, siendo: A = B = C = Dadas las matrices: A = 0 B = halla la matriz X dada por AXA = B. 34. Considera las matrices: 0 A = 0 B = a) Determina si A y B son inversibles y, si lo son, calcula la matriz inversa. b) Resuelve la ecuación matricial BA A = AB X. 35. Resuelve la ecuación matricial B(A + I) = AXA + B, siendo: 3 A = 4 B = Halla las matrices simétricas de orden tales que A = A. 37. Resuelve la ecuación: x x x x x 0 x x 0 x = 0 x x Calcular AB y BA siendo A y B las matrices: A = [ 3 ] 3 B = Calcular A n siendo A =

28 40. Dadas las matrices A = P B = AP. 4. Se considera la matriz: 0 A = [ ] 4 6 y B = [ ] 4 3, hallar una matriz P simétrica y regular tal que 6 5 Probar que B = I + A + A es la matriz inversa de I A. 4. a) Averiguar para qué valores del parámetro t, la matriz A = 0 0 t 3 no tiene inversa. 4 t b) Calcular, si es posible, la matriz inversa de A para t =. 43. Sin desarrollar el determinante probar la igualdad: a a a = (a + 3)(a ) a 44. Calcular el siguiente determinante: 3 x x x x 3 x x x x 3 x x x x Hallar el rango de la matriz A según los valores del parámetro a: A = a a a a 0 a 46. Calcular el valor del parámetro k para que el rango de la matriz A sea igual a : A = k a) Averiguar para qué valores del parámetro k admite inversa la matriz A: A = 0 3 k b) Hallar la inversa de A para k =. 48. Dada la identidad matricial: [ ] X = a) Cuáles son las dimensiones de las matrices soluciones e la identidad anterior? b) Calcula una solución. 49. a) Halla razonadamente los valores del parámetro p para los que la matriz A tiene inversa: p 0 0 A = p + 0 p b) Halla la inversa para p =.

29 9 Sistemas de ecuaciones lineales 50. Escribir en forma matricial y resolver matricialmente los siguientes sistemas: x y = 4 3x + 4y = x y + z = x 3y + z = x + y + z = 3 5. Aplicar la regla de Cramer para resolver los siguientes sistemas: x y + z = 3 y + 3z = 5 3x + y = x + y z = 5 5x y + 5z = 6 x + 4y + z = 0 x y 3z = x y + z = 0 x + y + z = 3 x + y z = 9 x y + 4z = 4 x y + 6z = 5. Estudia la compatibilidad del siguiente sistema aplicando el teorema de Rouché: x + y + z = x + y + z = 3x + 3y + 3z = Estudia la compatibilidad del sistema: x + y + z = x + y + z = 3x + 3y + 3z = De los siguientes sistemas, analiza la compatibilidad y resuelve los que sean determinados: 8x + y + 4z = 9 5x y + 4z = 6 x + y = 6x y + 3z = 6 6x + 8y = 0 x 5y 5z = 4 x + y + z = 3x 4y = 5 7x y 3z = Sean S y S dos sistemas de ecuaciones lineales con la misma matriz de coeficientes: a) Justifica con un ejemplo que uno de los sistemas puede ser compatible y el otro incompatible. b) Si ambos sistemas son compatibles, puede uno ser determinado y otro indeterminado?. Razona tu respuesta. 56. Discute y resuelve según los valores del parámetro los siguientes sistemas: x y = a ax + 3y = 4 3x y = x + y = 5 3x ay = a 5x + ay = 7 x + ay z = x + y az = x y z = a 57. Discute y resuelve según los valores del parámetro los siguientes sistemas: (m + )x + y + z = 3 x + y + mz = 4 x + my + z = 58. Dado el sistema: x + y + z = λx + 3y + z = 7 x + y + (λ + )z = 5 (a + )x + y + z = x + y + (a + )z = 3 x + (a + )y + z = a) Clasifica el sistema según los valores del parámetro λ. b) Resuelve el sistema cuando sea compatible indeterminado. λx + y + z = ( λ )x ( + λ)z = λ ( + λ)y =

30 Dado el sistema: mx + y = m 3x y = m x + y + z = 4 a) Estudia su compatibilidad según los valores de m. b) Resolverlo para m = 0. c) Sustituir la tercera ecuación por otra de manera que el sistema resultante sea compatible indeterminado para cualquier valor de m. 60. Dado el sistema: x + y + z = a x + y az = a x + 3y + z = a a) Discutirlo en función del parámetro a. b) Resolverlo en el caso a Dado el sistema: x + ay z = x + y + az = 0 3x + (a + )y z = a a) Discutirlo en función del parámetro a. b) Resolverlo para a =. 6. Dados tres números x, y, z, sabemos lo siguiente; el primero y el segundo suman 0; el primero y el tercero suman ; la suma de los tres es cero y, para terminar, el primero multiplicado por un número k mas el doble de la suma del segundo y el tercero da. a) Qué se puede decir del valor de k? b) Cuánto valen los tres números? 63. Dado el sistema: x + my + m z = x + my + mz = m x + m y + m z = m a) Discutirlo según los valores del parámetro m. b) Resolverlo en los casos en los que sea compatible. 64. Determinar el valor del parámetro a para que el sistema x + y + z = a x y + z = x 3y + z = 0 sea compatible indeterminado. 65. Discutir, según los distintos valores del parámetro m, y resolverlos en los casos en que sean compatibles, los sistemas: a) x + y z = 4x y + z = m 3x y + mz = 4 b) x + y + z = x + 3y + z = 3 mx + 0y + 4z =

31 3 c) d) x + y + 3z = x + my + 3z = x + ( + m)y + 6z = 3 x + y + z = m x + ( + m)y + z = m x + y + ( + m)z = 0 e) f ) x + y + z = m x + y mz = m x + 3y + z = m x + my z = x + y + mz = 0 3x + (m + )y z = m 66. Dado el sistema: λx + y + z = 0 λx y + z = 0 x λy + z = 0 a) Obtener los valores del parámetro λ para los cuales el sistema tiene soluciones distintas de x = y = z = 0. b) Resolver el sistema para λ = Estudia los siguientes sistemas homogéneos según los valores del parámetro a y resuélvelos en los casos en que sea posible: x + y + 3z = 0 x + ay + 3z = 0 3x + y + 6az = 0 x 3y + z = 0 x ay 3z = 0 5x + y z = 0 5x + y z = 0 x + ay 3z = 0 3x + 5y z = 0 x ay + 3z = 0 x + ay z = 0 x + z = Discute y resuelve según los valores del parámetro k el sistema: kx + 3y = 4 3x y = x y = k 69. Dado el sistema x + y + z = 3 x + ky + z = 3 kx 3z = 6 a) Discutir el sistema según los distintos valores de k. b) Resuélvase el sistema en el caso en que tenga infinitas soluciones. c) Resuélvase el sistema para k = 3. d) Sustituir la primera ecuación por otra, de manera que el sistema sea compatible indeterminado para cualquier valor de k. e) Añadir una ecuación al sistema de manera que resulte incompatible para todo valor de k. 70. En un cajero automático se introducen billete de 0, 0 y 50 euros. El número total de billetes es 30 y el total del dinero euros. Se sabe que el número de billetes de 0 euros es α veces los billetes de 50 euros. a) Calcula el número de billetes de cada tipo suponiendo que α =. b) Para α = 3, qué ocurre con la situación del cajero planteada? c) Si α = 3 y se tuvieran 00 billetes en el cajero cuánto dinero debería haber para que sea posible una composición del cajero?

32 3 7. Eva, Marta y Susana son tres amigas que se comprometen a leer El Quijote este verano. Cada una por separado y en función del tiempo de que disponen. Deciden leer el mismo número de páginas cada día hasta terminar la obra. Eva leerá diariamente 5 páginas más que Marta y ésta 6 páginas más que Susana. Por ello Eva terminará la obra dos semanas antes que Marta, y ésta, 30 días antes que Susana cuál es el número total de páginas de la obra cervantina? 7. Una familia dispone de 80 euros mensuales para realizar la compra en una carnicería. El primer mes compra 0 kg de carne de pollo, 6 kg de carne de cerdo y 3 kg de carne de ternera y le sobran 5, euros. El mes siguiente adquieren 0 kg de carne de pollo, 7 kg de carne de cerdo y kg de carne de ternera, y le sobran 5, euros. El tercer mes compran kg de carne de pollo, 6 kg de carne de cerdo y kg de carne de ternera, abonando un total de 7 euros y 30 céntimos. Suponiendo que no ha variado precio de la carne en estos meses cuánto cuesta el kilo de cada uno de estos tipos de carne? 73. En una clase de segundo de bachillerato, por cada tres alumnos que estudian Tecnologías de la Información, diez estudian Comunicación Audiovisual, y por cada dos alumnos que estudian Tecnologías de la Información, tres estudian Francés. Calcular el número de alumnos que cursan cada una de las materias mencionadas, sabiendo que en la clase hay 35 alumnos y que cada uno de ellos sólo está matriculado en una de las asignaturas. 74. En una tienda de ropa se liquidan los pantalones que han quedado sin vender en la temporada. Los hay de tres tipos: - Sin defecto, todos al precio de 0 euros. - Con defecto no apreciable, con una rebaja del 0 % sobre el precio de los anteriores. - Con defecto apreciable, con una rebaja del 60 % sobre el precio de los que no tienen defecto. Hay 70 pantalones para vender. El precio total de todos ellos es de 80 euros y los que tienen defecto suponen el 40 % de los que no lo tienen. Cuántos pantalones hay de cada clase? 75. En una papelería entran tres clientes: el primero compra cuatro lapiceros y seis gomas de borrar y paga,60 euros; el segundo compra cinco lapiceros y tres bolígrafos y paga,45 euros y el terdero paga,30 euros por cinco gomas de borrar y dos bolígrafos. a) Averigua el precio de cada uno de los productos. b) Cuánto deberá pagar otro cliente por cinco lapiceros, cinco gomas de borrar y diez bolígrafos? 76. Una fábrica de perfumes dispone de 600 litros de un producto A y 400 litros de otro producto B. Mezclando los productos A y B se obtienen diferentes perfumes. Este año se quieren preparar dos clases de perfumes: el de la primera clase llevará tres partes de A y una de B, y será vendido a 50 euros el litro, y el de la segunda clase llevará los productos A y B al 50 % y será vendido a 60 euros el litro. a) Cuántos litros de cada clase de perfume se podrán preparar? b) Qué ingresos totales se obtendrán por la venta de la totalidad de los productos fabricados? 77. En una tienda de regalos se adquiere un libro y una pulsera. La suma de los precios que marcan los dos productos es de 35 euros, pero el dependiente informa al cliente que los libros están rebajados el 6 %, y las pulseras el % por lo que, en realidad debe pagar 3,40 euros. a) Qué precio marcaban el libro y la pulsera? b) Qué precio se ha pagado finalmente por cada uno de esos dos productos?

33 33 Problemas de selectividad: Matrices y Sistemas. 78. Calcular las edades actuales de una madre y sus dos hijos sabiendo que hace 4 años la edad de la madre era 5 veces la suma de las edades de los hijos en aquel momento, que dentro de 0 años la edad de la madre será la suma de las edades que los hijos tendrán en ese momento y que cuando el hijo mayor tenga la edad actual de la madre, el hijo menor tendrá 4 años. 79. Calcular el rango de la matriz A según los diferentes valores del parámetro real a: A = 0 a a Se considera el siguiente sistema lineal de ecuaciones, dependiente del parámetro real a: x y = ax + y + z = 0 x y + az = (a) Discutir el sistema según los valores de a. (b) Resolver el sistema para a =. (c) Resolver el sistema para a =. 8. Se considera el sistema de ecuaciones lineales dependiente del parámetro real λ: x + y + λz = λ y z = λ x + λy + z = λ (a) Discutir el sistema según los valores del parámetro λ. (b) Resolver el sistema en los casos en que sea posible. (c) En el caso λ =, indicar la posición relativa de los tres planos cuyas ecuaciones forman el sistema. 8. Para cada valor del parámetro real a se consideran los tres planos siguientes: Se pide: π : x + y + az = ; π : x + ay + z = ; π 3 ; ax + y + z = 3 (a) Calcular los valores de a Para los cuales los tres planos anteriores contienen una recta común. (b) Para los valores de a calculados, hallar unas ecuaciones cartesianas de dicha recta común. 83. Sea A una matriz real cuadrada de orden n que verifica la igualdad A = I, siendo I la matriz identidad de orden n. Se pide: (a) Calcular A en términos de A. (b) Expresar A n en términos de A e I, para cualquier número natural n. (c) Calcular A para que A = I, siendo A la matriz: [ ] A = 0 a 84. Se considera el sistema de ecuaciones: (m + )x + (m )y z = 3 mx y + z = x + my z = Se pide:

34 34 (a) Resolverlo para m =. (b) Discutirlo para los distintos valores de m. 85. Comprobar aplicando las propiedades de los determinantes la propiedad: a ab b a a + b b = (a b)3 86. Encontrar un número real λ 0 y todas las matrices B de dimensión (distintas de la matriz nula) tales que: [ ] [ ] λ B = B Se considera el sistema lineal de ecuaciones: 3x + 4y + 3z = 9 mx + y + z = 5 x + y + z = Se pide: (a) Determinar los valores de m para que el sistema tenga solución única. (b) Resolverlo para m =. 88. (a) Sean A y B dos matrices invertibles que verifican la igualdad A + B = AB. Comprobar que entonces se tiene la fórmula: (I B) = B A donde I denota la matriz identidad. (b) Dada la matriz: [ ] A = hallar la matriz B para la cual se verifica A + B = AB. 89. Dado el sistema: ( a)x y + 4z = 0 x ( + a)y + z = 0 x + ay z = 0 (a) Estudiar la compatibilidad según los valores del parámetro real a. (b) Resolver el sistema lineal anterior en el caso en que sea compatible indeterminado. 90. Dadas las matrices: A = B = (a) Hallar A. (b) Hallar la matriz X tal que: AXA t = B donde A t significa la traspuesta de A.

35 35 9. (a) Dado el sistema: x + y = 3x y = escribir una tercera ecuación de la forma ax + by = c, distinta de las anteriores, de manera que el sistema de tres ecuaciones y dos incógnitas resultante siga siendo compatible. (b) Dado el sistema: x + y z = x + y + z = escribir una tercera ecuación de la forma αx + βy + γz = distinta de las dos anteriores, de manera que el sistema de tres ecuaciones y tres incógnitas resultante sea compatible indeterminado. 9. Dadas las matrices: A = 0 0 B = (a) Determinar la matriz inversa de B. (b) Determinar una matriz X tal que A = BX. [ ] (a) Si A es una matriz tal que A =, cuál es el valor del determinante de A? 0 0 (b) Calcular un número k tal que: ([ ] 3 4 k [ ]) 0 = 0 [ ] (a) Discutir según los valores del parámetro real λ el sistema: λx + 3y + z = λ x + λy + λz = x + y z = (b) Resolverlo para λ =. 95. Dado el sistema de ecuaciones: (m )x + y + z = 3 mx + (m )y + 3z = m x + y + (m )z = 4 (a) Discutirlo según los valores de m. (b) Resolverlo cuando sea compatible indeterminado. 96. (a) Resolver el sistema de ecuaciones: x + y + 3z = x + y z = (b) Hallar dos constantes α y β de manera que al añadir al sistema anterior una tercera ecuación 5x + y + αz = β el sistema resultante sea compatible determinado.