(x + y) + z = x + (y + z), x, y, z R N.

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1 TEMA 1: EL ESPACIO R N ÍNDICE 1. El espacio vectorial R N 1 2. El producto escalar euclídeo 2 3. Norma y distancia en R N 4 4. Ángulo y ortogonalidad en R N 6 5. Topología en R N 7 6. Nociones topológicas y métricas en R N Conjunto cerrado Topología relativa Interior, exterior y frontera de un conjunto Adherencia, acumulación y puntos aislados de un conjunto Conjunto acotado y conjunto compacto Sucesiones en R N Sucesión convergente Sucesión acotada Sucesión de Cauchy 18 Dado el cuerpo de los números reales R y un número natural N, R N denota el producto cartesiano de R consigo mismo N veces, es decir, el conjunto de todas las N-uplas de elementos de R: R N = {(x 1,..., x N ): x 1,..., x N R}. 1. EL ESPACIO VECTORIAL R N Sean (x 1,..., x N ) e (y 1,..., y N ) dos elementos de R N y sea α R. Se definen la suma y el producto por escalares en R N de la forma siguiente: (x 1,..., x N ) + (y 1,..., y N ) = (x 1 + y 1,..., x N + y N ), α (x 1,..., x N ) := α(x 1,..., x N ) = (αx 1,..., αx N ). Para simplificar escribiremos (x 1,..., x N ) = x e (y 1,..., y N ) = y. Veamos que ( R N, +, ) es un espacio vectorial sobre R. Los elementos del espacio vectorial R N se llaman vectores, y los del cuerpo base R escalares. Proposición 1.1. Se verifican las siguientes propiedades: (1) La suma en R N es asociativa: (2) La suma en R N es conmutativa: (x + y) + z = x + (y + z), x, y, z R N. x + y = y + x, x, y R N. (3) La N-upla 0 R N = (0, (N)..., 0) es el elemento neutro para la suma: x + 0 R N = x, x R N. 1

2 2 TEMA 1: EL ESPACIO R N (4) Todo elemento de R N tiene un elemento opuesto: x R N, x R N : x + ( x) = 0 R N. (5) El producto por escalares en R N es pseudoasociativo: α(βx) = (αβ)x, α, β R, x R N. (6) El producto por escalares en R N es distributivo respecto de la suma de escalares: (α + β)x = αx + βx, α, β R, x R N. (7) Existencia de elemento unidad: 1x = x, x R N. (8) El producto por escalares en R N es distributivo respecto de la suma en R N : α(x + y) = αx + αy, α R, x, y R N. El conjunto de vectores {e 1,..., e N } R N, donde ( ) e i = 0,..., 0, 1 (i), 0,..., 0 (i = 1,..., N), es una base de R N llamada base canónica. Por tanto, todo vector x = (x 1,..., x N ) R N se expresa de manera única como combinación lineal de los vectores de esta base en la forma x = N x ie i. Los números reales x 1,..., x N son las coordenadas de x respecto de la base canónica. Es natural usar resultados propios de un primer curso de Análisis Matemático en esta asignatura. Por ello haré referencia a veces a conceptos y propiedades que pueden encontrar en el libro: [0 ] C. Aparicio y R. Payá, Análisis Matemático I, Textos Universitarios, UGR, Es aconsejable comprobar aquellas afirmaciones no probadas que aparezcan en estos apuntes. No olviden el proberbio chino que dice: si miro, olvido; si leo, comprendo; si hago, aprendo. 2. EL PRODUCTO ESCALAR EUCLÍDEO La geometría euclídea del plano R 2 y del espacio R 3 (por ejemplo, los conceptos de longitud, distancia, ángulo y ortogonalidad) se pueden extender a R N con la ayuda del siguiente concepto. Definición 2.1. Se llama producto escalar euclídeo en el espacio vectorial R N a la aplicación (x, y) (x y) de R N R N en R definida por N (x y) = x i y i, x = (x 1,..., x N ), y = (y 1,..., y N ) R N. Sus propiedades básicas se deducen fácilmente de la definición. Proposición 2.2. El producto escalar euclídeo en R N es: (1) Lineal en la primera variable: (αx + βy z) = α(x z) + β(y z), α, β R, x, y, z R N. (2) Simétrico: (y x) = (x y), x, y R N. (3) Definido positivo: x R N, x 0 R N (x x) > 0.

3 TEMA 1: EL ESPACIO R N 3 El resultado anterior nos dice que el producto escalar euclídeo es, de hecho, un producto escalar en R N. Es el producto escalar usual de R N y se dice que ( R N, ( ) ) es un espacio prehilbertiano. Establecemos ahora algunas desigualdades muy útiles. Proposición 2.3. Se satisfacen: (1) La desigualdad de Young: ab 1 ( a 2 + b 2), a, b R. 2 (2) La desigualdad de Cauchy Schwarz: N x i y i N x 2 N i yi 2, x, y RN. (3) La desigualdad de Minkowski: N (x i + y i ) 2 N x 2 i + N yi 2, x, y RN. Demostración: (1) Sean a, b R. Tenemos: 0 (a + b) 2 = a 2 + 2ab + b (a2 + b 2 ) ab, 0 (a b) 2 = a 2 2ab + b 2 ab 1 2 (a2 + b 2 ), de donde (1/2)(a 2 + b 2 ) ab (1/2)(a 2 + b 2 ), esto es, ab (1/2)(a 2 + b 2 ). (2) Si x i = 0 para todo i {1,..., N} o y i = 0 para todo i {1,..., N}, entonces N x i y i = 0 = N x 2 N i yi 2. Supongamos que algún x i y algún y i son no nulos. Aplicando la desigualdad de Young a los N escalares: x i y a = N, b = i N (i = 1,..., N), x2 i y2 i se tiene x i y i N N x2 i y2 i ( 1 x 2 i 2 N + x2 i Sumando las N desigualdades anteriores se obtiene N x iy i N N 1 2 x2 i y2 i de donde se deduce: N x i y i N ( N x2 i N x2 i x 2 i y 2 i N y2 i + ) N yi 2. N y2 i N y2 i (i = 1,..., N). ) = 1,

4 4 TEMA 1: EL ESPACIO R N Usando la desigualdad triangular del valor absoluto, obtenemos la desigualdad de Cauchy Schwarz: N x i y i N x 2 N i yi 2. (3) Si x i = 0 = y i para todo i {1,..., n}, entonces N (x i + y i ) 2 = 0 = N x 2 i + N yi 2. Si algún x i o y i es no nulo, usando la desigualdad triangular del valor absoluto y la desigualdad de Cauchy Schwarz se obtiene N (x i + y i ) 2 N x i (x i + y i ) + N y i (x i + y i ) N N (x i + y i ) 2 + N N (x i + y i ) 2. Dividiendo por N x 2 i yi 2 (x i + y i ) 2 obtenemos la desigualdad de Minkowski: N (x i + y i ) 2 N x 2 i + N yi NORMA Y DISTANCIA EN R N La noción de norma en R N es una generalización abstracta de la longitud de un vector de R 2. Definición 3.1. Una norma en R N es una aplicación x x, de R N en R, que verifica las siguientes propiedades: (1) Es no degenerada: x R N, x = 0 x = 0 R N. (2) Verifica la desigualdad triangular: x + y x + y, x, y R N. (3) Es absolutamente homogénea: αx = α x, α R, x R N. Se dice entonces que (R N, ) es un espacio normado. De la condición (3) se deduce que 0 R N = 0 y x = x. Entonces, por la condición (2), se tiene 0 = 0 R N = x + ( x) x + x = 2 x. Por tanto, una norma sólo toma valores reales no negativos. La siguiente desigualdad de la norma será usada frecuentemente. Proposición 3.2. Toda norma en R N satisface la desigualdad triangular inversa: x y x y, x, y R N.

5 TEMA 1: EL ESPACIO R N 5 Demostración: Si x, y R N, se tiene x = x y + y x y + y, de donde x y x y. Intercambiando x e y en esta desigualdad se obtiene y x y x, de donde x y = y x x y. Por tanto, x y x y x y, lo que equivale a x y x y. Presentamos la norma usual de R N. Proposición 3.3. La función x x 2 de R N en R, definida por x 2 = N x 2 i, x = (x 1,..., x N ) R N, es una norma en R N llamada norma euclídea. Demostración: Dados α R y x, y R N, se cumple: N x 2 = 0 x 2 i = 0 x 2 i = 0, i {1,..., N} x i = 0, i {1,..., N} x = 0 R N, αx 2 = N N (αx i ) 2 = α 2 x 2 i = α N x 2 i = α x 2, x + y 2 = N (x i + y i ) 2 N x 2 i + N yi 2 = x 2 + y 2, donde hemos usado la desigualdad de Minkowski. En particular, la norma usual de R es la definida por el valor absoluto: x 2 = x 2 = x, x R. También se suelen usar en R N la norma de la suma: y la norma del máximo: x 1 = N x i, x = (x 1,..., x N ) R N, x = máx 1 i N x i, x = (x 1,..., x N ) R N. Entre estas normas se cumplen las siguientes relaciones: x x 2 x 1 N x (x R N ).

6 6 TEMA 1: EL ESPACIO R N Definición 3.4. Se llama distancia euclídea de dos puntos x, y R N, y se escribe d(x, y), a la norma euclídea del vector x y. Por tanto, d(x, y) = x y 2 = N (x i y i ) 2. Ésta es la distancia usual de R N. En particular, la distancia usual en R es d(x, y) = x y, x, y R. Sus propiedades básicas se deducen directamente de la definición. Proposición 3.5. La distancia euclídea en R N verifica las siguientes propiedades: (1) Si x, y R N, entonces d(x, y) = 0 si, y sólo si, x = y. (2) Propiedad simétrica: d(x, y) = d(y, x), x, y R N. (3) Desigualdad triangular: d(x, z) d(x, y) + d(y, z), x, y, z R N. El resultado anterior refleja que la distancia euclídea es una métrica en R N. Es la métrica usual de R N y se dice que ( R N, d ) es un espacio métrico. A partir de este momento, cuando hagamos referencia al espacio normado R N, se entenderá, salvo mención en contra, que está provisto de la norma euclídea y la notaremos por si no hay confusión. 4. ÁNGULO Y ORTOGONALIDAD EN R N El concepto de ángulo de dos vectores del plano pueden extenderse a vectores de R N. Usando la desigualdad de Cauchy Schwarz podemos escribir: (x y) x y, x, y R N. En particular, si x e y son no nulos, se tiene (x y)/ x y 1 y como la función coseno es una biyección de [0, π] en [ 1, 1], podemos introducir el siguiente concepto. Definición 4.1. Dados dos vectores no nulos x, y R N, se define el ángulo formado por x e y como el único número θ [0, π] tal que cos θ = (x y)/ x y. También podemos extender la idea de perpendicularidad. Definición 4.2. Se dice que dos vectores x, y R N son ortogonales si (x y) = 0. Si A es un subconjunto no vacío de R N, se llama complemento ortogonal de A al conjunto A = { x R N : (x a) = 0, a A }. Si x, y R N son vectores no nulos, se llama proyección ortogonal de x sobre y al vector π y (x) = (x y) (y y) y.

7 TEMA 1: EL ESPACIO R N 7 Ejemplo 4.3. Por la linealidad del producto escalar, es claro que el vector x π y (x) es ortogonal a y. Dado un vector no nulo (a, b, c) R 3, el complemento ortogonal de A = {(a, b, c)} es A = { (x, y, z) R 3 : ((x, y, z) (a, b, c)) = 0 } = { (x, y, z) R 3 : ax + by + cz = 0 }. La ecuación ax + by + cz = 0 representa geométricamente un plano que pasa por el origen. 5. TOPOLOGÍA EN R N Definición 5.1. Sean a R N y r R +. La bola abierta en R N de centro a y radio r es el conjunto B(a, r) = { x R N : x a < r }. La bola cerrada en R N de centro a y radio r es el conjunto B(a, r) = { x R N : x a r }. La esfera en R N de centro a y radio r es el conjunto S(a, r) = { x R N : x a = r }. En particular, para a = 0 R N y r = 1, los conjuntos B(0 R N, 1) = { x R N : x < 1 }, B R N := B(0 R N, 1) = { x R N : x 1 } y S R N := S(0 R N, 1) = { x R N : x = 1 }, se denominan bola unidad abierta, bola unidad (cerrada) y esfera unidad de R N, respectivamente. Observe que las bolas son conjuntos no vacíos ya que contienen al menos un punto: el centro de la bola. Evidentemente, B(a, r) = B(a, r) S(a, r) para cualesquiera a R N y r R +. Ejemplo 5.2. En el espacio euclídeo R, las bolas son intervalos: B(a, r) =]a r, a + r[:= {x R: a r < x < a + r}, B(a, r) = [a r, a + r] := {x R: a r x a + r}. Es decir, B(a, r) (B(a, r)) es el intervalo abierto (cerrado) en R de extremos a r y a + r. En los espacios euclídeos R 2 y R 3, las bolas son círculos y esferas, respectivamente. No obstante, el aspecto geométrico de las bolas depende de la norma que se considere: Ejemplos 5.3. (1) En el espacio ( R 2 ), 1, la bola abierta B1 ((a 1, a 2 ), r) es el rombo abierto con diagonales paralelas a los ejes de coordenadas y vértices que equidistan r del centro (a 1, a 2 ): B 1 ((a 1, a 2 ), r) = { (x, y) R 2 : x a 1 + y a 2 < r }. La bola cerrada B 1 ((a 1, a 2 ), r) es el rombo cerrado { (x, y) R 2 : x a 1 + y a 2 r }. (2) En el espacio euclídeo R 2, la bola abierta B 2 ((a 1, a 2 ), r) es el círculo abierto en el plano de centro (a 1, a 2 ) y radio r: B 2 ((a 1, a 2 ), r) = { (x, y) R 2 : (x a 1 ) 2 + (y a 2 ) 2 < r 2}.

8 8 TEMA 1: EL ESPACIO R N La bola cerrada B 2 ((a 1, a 2 ), r) es el correspondiente círculo cerrado { (x, y) R 2 : (x a 1 ) 2 + (y a 2 ) 2 r 2}. (3) En el espacio ( R 2, ), la bola abierta B ((a 1, a 2 ), r) es el cuadrado abierto cuyos lados son paralelos a los ejes y cuyos vértices distan r del centro (a 1, a 2 ): B ((a 1, a 2 ), r) = { (x, y) R 2 : máx { x a 1, y a 2 } < r }. La bola cerrada B ((a 1, a 2 ), r) es el cuadrado cerrado { (x, y) R 2 : máx { x a 1, y a 2 } r }. Definición 5.4. Se dice que un conjunto A R N es abierto si A es vacío o si para cada a A, existe un r a > 0 tal que B(a, r a ) A. Se dice que un conjunto U R N es un entorno de un punto x R N si existe r > 0 tal que B(x, r) U. Ejemplo 5.5. Toda bola abierta B(a, r) de R N es un conjunto abierto, pues si x B(a, r), entonces s = r x a > 0 y B(x, s) B(a, r). En efecto, si y B(x, s) se tiene que y a y x + x a < s + x a = r. En particular, los intervalos abiertos de R son conjuntos abiertos en R, ya que para cualesquiera a, b R con a < b se tiene que ( a + b ]a, b[ = B 2, b a ). 2 Es un ejercicio interesante mostrar que el conjunto A = { (x, y) R 2 : x > 0 } es abierto. El siguiente resultado recoge las propiedades características de los conjuntos abiertos. Proposición 5.6. Se verifican las siguientes afirmaciones: (1) El conjunto vacío y el conjunto R N son abiertos. (2) La unión de toda familia de conjuntos abiertos es un conjunto abierto. (3) La intersección de cualquier familia finita de conjuntos abiertos es un conjunto abierto. Demostración: (1) R N es abierto ya que B(x, r) R N para cualesquiera x R N y r R +. Por definición el vacío es abierto. (2) Sea {G i : i I} una familia de conjuntos abiertos de R N. Si i I G i =, entonces i I G i es abierto. En otro caso, dado x i I G i existe i 0 I tal que x G i0. Por ser G i0 abierto, existe r R + tal que B(x, r) G i0 y así B(x, r) i I G i. Esto prueba que i I G i es abierto. (3) Sea n N y {G 1,..., G n } una familia de abiertos de R N. Si i I G i =, entonces i I G i es abierto. En caso contrario, sea x n G i. Para cada i {1,..., n}, por ser G i abierto, existe r i R + tal que B(x, r i ) G i. Sea r = mín {r 1,..., r n }. Es claro que B(x, r) n G i y por tanto n G i es abierto. Observaciones 5.7. (1) La propiedad (3) no se verifica para intersecciones arbitrarias. Por ejemplo, n N ]a 1/n, a + 1/n[= {a} no es abierto ya que ]a r, a + r[ no está contenido en {a} para cualquier r > 0.

9 TEMA 1: EL ESPACIO R N 9 (2) Por la propiedad (2), toda semirrecta abierta de R es un conjunto abierto: ], a[= n N ]a n, a[, ]a, + [= n N]a, a + n[ (a R). La proposición 5.6 nos dice que la familia T formada por todos los conjuntos abiertos de R N, T = { A R N : a A, r a > 0 / B(a, r a ) A } { }, es una topología en R N llamada topología de la norma euclídea. Es la topología usual de R N y se dice que ( R N, T ) es un espacio topológico Conjunto cerrado. 6. NOCIONES TOPOLÓGICAS Y MÉTRICAS EN R N Definición 6.1. Se dice que un conjunto A R N es cerrado si su complementario R N \A es abierto. Los conceptos de conjunto cerrado y conjunto abierto no son excluyentes. Por ejemplo, R N es abierto y cerrado a la vez. También existen conjuntos que no son abiertos ni cerrados como, por ejemplo, el conjunto (0, 1] en R. Ejemplos 6.2. Sean a R N y r > 0. Son conjuntos cerrados de R N : (1) El conjunto {a} formado por un único punto. Tenemos que mostrar que R N \ {a} es abierto. Sea x 0 R N \ {a}. Entonces s := x 0 a > 0. Si x B(x 0, s), entonces x a ya que si fuese x = a se tendría s = a x 0 < s, una contradicción. Luego B(x 0, s) R N \{a}. (2) La bola cerrada B(a, r). Veamos que R N \B(a, r) = { x R N : x a > r } es abierto. Sea x 0 R N tal que x 0 a > r. Entonces s := x 0 a r > 0. Si x B(x 0, s) se tiene que r = x 0 a s < x 0 a x x 0 x a y por tanto B(x 0, s) R N \B(a, r). (3) La esfera S(a, r), pues R N \S(a, r) = B(a, r) (R N \B(a, r)) es unión de abiertos. Los intervalos y semirrectas cerradas de números reales son conjuntos cerrados en R, porque [a, b] = R\ (], a[ ]b, + [) (a, b R, a < b), ], a] = R\]a, + [ (a R), [a, + [ = R\], a[ (a R). Las siguientes propiedades de los conjuntos cerrados se deducen de las propiedades características de los abiertos y de las conocidas igualdades de la teoría de conjuntos: R N \ i I A i = (R N \A i ), R N \ i I i I A i = i I(R N \A i ). Proposición 6.3. Se verifica: (1) El conjunto vacío y el conjunto R N son cerrados. (2) La unión de toda familia finita de conjuntos cerrados es un conjunto cerrado. (3) La intersección de toda familia de conjuntos cerrados es un conjunto cerrado. Demostración: (1) Los conjuntos y R N son cerrados, puesto que sus respectivos complementarios, R N \ = R N y R N \R N =, son abiertos.

10 10 TEMA 1: EL ESPACIO R N (2) Sea {F 1,..., F n } una familia finita de conjuntos cerrados. Entonces, para cada i = 1,..., n, el conjunto R N \F i es abierto. Como R N \ n F i = n (RN \F i ) y la intersección finita de abiertos es un abierto por la proposición 5.6, se sigue que R N \ n F i es abierto y, por tanto, n F i es cerrado. (3) Sea {F i : i I} una familia de cerrados. Puesto que cada conjunto R N \F i es un abierto de R N, R N \ i I F i = i I (RN \F i ) y la unión de cualquier familia de abiertos de R N es un abierto de R N por la proposición 5.6, se tiene que R N \ i I F i es un abierto y, por tanto, i I F i es un cerrado. Observación 6.4. La unión de cualquier familia de conjuntos cerrados no siempre es un cerrado. Por ejemplo, a [0,1[ [ a, a] =] 1, 1[ no es cerrada. Como los puntos son cerrados y la unión finita de cerrados es un cerrado, es inmediato: Corolario 6.5. Los subconjuntos finitos de R N son cerrados Topología relativa. Definición 6.6. Sea A un subconjunto de R N. Se dice que un conjunto B A es abierto en A, o bien un subconjunto abierto de A, si existe un conjunto abierto G en R N tal que B = A G. Observaciones 6.7. (1) Como consecuencia, un conjunto B A es cerrado en A si, y sólo si, B = A F donde F es un subconjunto cerrado de R N. (2) Un subconjunto abierto (cerrado) de A no es, en general, abierto (cerrado) en R N. Por ejemplo, el conjunto [0, 3) es abierto en [0, 5), pero no es abierto en R. No obstante, se comprueba fácilmente que si B es abierto (cerrado) en A y A es abierto (cerrado) en R N, entonces B es abierto (cerrado) en R N Interior, exterior y frontera de un conjunto. Definición 6.8. Sea A un subconjunto de R N y x un punto de R N. Se dice que x es un punto interior de A si existe una bola de abierta de centro x contenida en A. El conjunto formado por todos los puntos interiores de A se llama interior de A y se denotará por Int(A). Se dice que x es un punto exterior de A si existe una bola abierta de centro x contenida en el complementario de A. El conjunto de los puntos exteriores de A se llama exterior de A y se denotará por Ext(A). Se dice que x es un punto frontera de A si toda bola abierta de centro x contiene puntos de A y de R N \A. El conjunto de los puntos frontera de A se llama frontera de A y se denotará por Front(A). Luego un subconjunto A de R N clasifica los puntos de R N en tres clases de acuerdo con la posición de los puntos respecto del conjunto. Proposición 6.9. Sea A R N. Los conjuntos Int(A), Ext(A) y Front(A) son disjuntos dos a dos y su unión es R N.

11 TEMA 1: EL ESPACIO R N 11 Demostración: Si x Int(A) Ext(A), entonces existen r 1, r 2 R + tales que B(x, r 1 ) A y B(x, r 2 ) R N \A. Entonces x A (R N \A), absurdo, y por tanto Int(A) Ext(A) =. Sea x Int(A) Front(A). Entonces existe r R + tal que B(x, r) A, es decir B(x, r) (R N \A) = y por tanto, x / Front(A) lo que contradice la hipótesis. Luego Int(A) Front(A) =. Supongamos que x Ext(A) Front(A). En tal caso existe r R + tal que B(x, r) R N \A de donde B(x, ε) A =. Por tanto x / Front(A) y esto no puede ser. Así Ext(A) Front(A) =. Proposición Sea A un subconjunto de R N. Entonces Int(A) es el mayor conjunto abierto contenido en A. Como consecuencia se tiene: (1) Int(A) es la unión de todos los conjuntos abiertos contenidos en A. (2) A es abierto si, y sólo si, A = Int(A). Demostración: Si Int(A) =, entonces Int(A) es un conjunto abierto contenido en A. En otro caso, sea x Int(A). Entonces existe r > 0 tal que B(x, r) A de donde x A y así Int(A) A. Para cada y B(x, r), por ser B(x, r) abierto, existe r y > 0 tal que B(y, r y ) B(x, r), luego B(y, r y ) A y por tanto y Int(A). Hemos probado que B(x, r) Int(A) y por tanto Int(A) es abierto. En cualquier caso Int(A) es un conjunto abierto contenido en A. Sea G R N un conjunto abierto tal que G A. Si G =, entonces G Int(A). En otro caso, sea x G. Por ser G abierto, existe r > 0 tal que B(x, r) G. Luego B(x, r) A y por tanto x Int(A). Así pues G Int(A). Luego Int(A) es el mayor conjunto abierto contenido en A. Probemos ahora las consecuencias. (1) Sea B la unión de todos los conjuntos abiertos contenidos en A. Como Int(A) es un conjunto abierto contenido en A, entonces Int(A) B. Por otra parte, como B es un conjunto abierto contenido en A y el Int(A) es el mayor conjunto abierto contenido en A, se tiene que B Int(A). Luego Int(A) = B. (2) Si A es abierto, entonces A Int(A) ya que Int(A) es el mayor conjunto abierto contenido en A y, como siempre Int(A) A, se sigue que A = Int(A). Recíprocamente, si A = Int(A), entonces A es abierto por serlo Int(A). De la definición se deduce que Ext(A) = Int(R N \A) y como el interior de cualquier conjunto es abierto, se sigue que el conjunto Ext(A) es abierto. Por otra parte, el conjunto Front(A) es cerrado ya que los conjuntos Int(A) y Ext(A) son abiertos y Front(A) = R N \(Int(A) Ext(A)). Así hemos probado: Proposición Para cada A R N, Ext(A) es abierto y Front(A) es cerrado Adherencia, acumulación y puntos aislados de un conjunto. Definición Sea A un subconjunto de R N y x un punto de R N. Se dice que x es un punto de adherencia de A si toda bola abierta de centro x contiene puntos de A. Se llama adherencia (cierre o clausura) de A al conjunto formado por todos los puntos de adherencia de A y se denotará por A.

12 12 TEMA 1: EL ESPACIO R N Se dice que x es un punto de acumulación de A si toda bola abierta de centro x contiene puntos de A distintos de x. El conjunto formado por todos los puntos de acumulación de A se llama conjunto derivado de A y se designará por A. Observe que Front(A) = A (R N \ A). La siguiente proposición es muy útil para determinar la adherencia de un conjunto. Proposición Para cada conjunto A R N se verifica que A = A A. Demostración: Sea x A A. Si x A, entonces x B(x, r) A para todo r R + y por tanto x A, mientras que si x A, entonces B(x, r) (A\{x}) para todo r > 0, lo que implica que B(x, r) A para todo r > 0 y así x A. Por otra parte, sea x A fijo y sea r R + arbitrario. Entonces B(x, r) A. Si x / A, entonces x / B(x, r) A. Luego tiene que existir un punto z B(x, r) A tal que z x. Por tanto B(x, r) (A\{x}) y como r era arbitrario, se sigue que x A. En el siguiente resultado caracterizamos la adherencia de un conjunto por medio de los conjuntos cerrados y a los conjuntos cerrados por medio de la adherencia. Proposición Sea A un subconjunto de R N. Entonces A es el menor conjunto cerrado que contiene a A. Como consecuencia se tiene: (1) A es la intersección de todos los conjuntos cerrados que contienen a A. (2) A es cerrado si, y sólo si, A = A. Demostración: Sabemos que A A por la proposición Como R N \A = { x R N : r > 0 / B(x, r) A = } = { x R N : r > 0 / B(x, r) R N \A } = Int(R N \A) es abierto, entonces A es cerrado. Sea F R N un conjunto cerrado tal que A F. Entonces R N \F es un conjunto abierto tal que R N \F R N \A. Como Int(R N \A) es el mayor conjunto abierto contenido en R N \A, se sigue que R N \F Int(R N \A), pero Int(R N \A) = R N \A, luego A F. Por tanto A es el menor conjunto cerrado que contiene a A. (1) Sea B la intersección de todos los conjuntos cerrados que contienen a A. Como A es un conjunto cerrado que contiene a A, entonces B A. Por otra parte, como B es un conjunto cerrado que contiene a A y A es el menor conjunto cerrado que contiene a A, entonces A B. Así pues A = B. (2) Si A es cerrado, entonces A A ya que A es el menor conjunto cerrado que contiene a A y como siempre A A, se tiene A = A. Recíprocamente, si A = A, entonces A es cerrado ya que A lo es. Veamos que un conjunto es cerrado si contiene a todos sus puntos de acumulación. Proposición Un conjunto A R N es cerrado si, y sólo si, A A.

13 TEMA 1: EL ESPACIO R N 13 Demostración: Si A es cerrado, entonces R N \A es abierto. Sea x A y supongamos que x R N \A. Entonces existe r R + tal que B(x, r) R N \A de donde B(x, r) (A\{x}) =. Esto nos dice que x / A lo que es absurdo. Por tanto, x A. Recíprocamente, si A A entonces R N \A R N \A. Sea x R N \A. Como x R N \A, existirá r > 0 tal que B(x, r) A = de donde B(x, r) R N \A. Luego R N \A es abierto y A es cerrado. Sabemos que A A, pero un punto de adherencia no es necesariamente un punto de acumulación. Puede ocurrir que exista una bola abierta de centro x cuyo único punto común con A sea x. Este tipo de puntos que son adherentes pero no son de acumulación se llaman puntos aislados. Definición Sea A un subconjunto de R N. Se dice que un punto a A es un punto aislado de A si existe algún r > 0 tal que B(a, r) A = {a}. Notaremos por Aisl(A) al conjunto de los puntos aislados de A. Observe que A = A Aisl(A) y A Aisl(A) = Conjunto acotado y conjunto compacto. Definición Se dice que un conjunto A R N es acotado si A es vacío o existe una constante α > 0 tal que x α para todo x A. Se dice que un conjunto A R N es compacto si A es cerrado y acotado. Intuitivamente, un subconjunto de R N está acotado si está contenido en una bola centrada en el origen. Ejemplos (1) R N no está acotado. Si lo estuviese, existiría un α > 0 tal que n = ne 1 α para todo n N lo que es imposible. (2) Toda bola (esfera) de centro a y radio r en R N está acotada. En efecto, como x x a + a < r + a, x B(a, r), entonces B(a, r) está acotada. De la misma forma se prueba que B(a, r) y S(a, r) están acotados y como también son cerrados, entonces B(a, r) y S(a, r) son conjuntos compactos. La idea de acotación puede extenderse a aplicaciones: Definición Sea A un subconjunto no vacío de R N. Se dice que una aplicación f : A R M está acotada si existe una constante α > 0 tal que f(x) α para todo x A. 7. SUCESIONES EN R N Definición 7.1. Se llama sucesión de elementos de R N a toda aplicación de N en R N. Si f : N R N es una sucesión y para cada natural n, notamos x n = f(n), se dice que x n es el término n-ésimo de la sucesión f. Se suele escribir {x n } para representar a la sucesión f.

14 14 TEMA 1: EL ESPACIO R N Dadas dos sucesiones de elementos de R N, {x n } e {y n }, se dice que {y n } es una sucesión parcial de {x n } si existe una aplicación σ : N N estrictamente creciente tal que y n = x σ(n) para todo n N. En general, una sucesión en R N se denota por {x n } n N = {(x n (1),..., x n (N))} n N donde para cada i {1,..., N}, {x n (i)} n N es una sucesión de números reales. Si σ : N N es estrictamente creciente, es fácil mostrar por inducción que σ(n) n para todo n N [0, lema 2.8] Sucesión convergente. Definición 7.2. Se dice que una sucesión {x n } de puntos de R N es convergente si existe un punto x R N con la siguiente propiedad: ε R +, m N: n m x n x < ε. En tal caso se dice que la sucesión {x n } converge al punto x en R N y escribiremos {x n } x. Veamos que el punto x al que converge una sucesión convergente es único: Proposición 7.3. Sea {x n } una sucesión convergente de elementos de R N. Entonces existe un único punto x R N tal que {x n } converge a x. El tal punto x recibe el nombre de límite de la sucesión {x n } y se escribe x = lím x n para indicar simultáneamente que la sucesión {x n } es convergente y que su límite es x. Demostración: Sean x, y R N tales que {x n } converge a x y a y. Sea ε R + arbitrario. Entonces m 1 N: n m 1 x n x < ε 2, m 2 N: n m 2 x n y < ε 2. Sea m = máx{m 1, m 2 }. Si n m, entonces se tiene x y x x n + x n y < ε. Como ε era arbitrario, resulta x y 0 [0, lema 1.36], por tanto, x y = 0 y x = y. Ejemplos 7.4. Para cada x R N, la sucesión constante {x n }, definida por x n = x para todo natural n, converge a x. En cambio, si x, y R N son distintos, la sucesión {x n } dada por no converge. x n = x (n = 2k 1, k N), x n = y (n = 2k, k N) Veamos que la convergencia de una sucesión se transmite a cualquier sucesión parcial suya. Proposición 7.5. Toda sucesión parcial de una sucesión convergente de elementos de R N es convergente y tiene el mismo límite.

15 TEMA 1: EL ESPACIO R N 15 Demostración: Sea {x n } una sucesión convergente de R N y sea {y n } una sucesión parcial de {x n }. Entonces existe una aplicación estrictamente creciente σ de N en N tal que y n = x σ(n) para todo n. Sea x = lím x n. Entonces, dado ε > 0 arbitrario, existe m N tal que si n m, entonces x n x < ε. Si n m, como σ(n) n para todo n, se tiene σ(n) m y así y n x = xσ(n) x < ε lo que prueba que lím y n = x. La convergencia en R N equivale a la convergencia por coordenadas. Proposición 7.6. Una sucesión {x n } n N de elementos de R N es convergente en R N si, y sólo si, cada sucesión {x n (i)} n N (i = 1,..., N) es convergente en R. Además, en caso afirmativo, lím x n = (lím x n (1),..., lím x n (N)). Demostración: Si {x n } es convergente en R N, existe x = (x(1),..., x(n)) R N tal que {x n } x. Sea ε > 0. Se tiene: m N: n m x n x = N x n (i) x(i) 2 < ε. Para cada i {1,..., N}, si n m se cumple que x n (i) x(i) x n x < ε y por tanto la sucesión {x n (i)} n N converge a x(i) en R. Recíprocamente, supongamos que cada sucesión {x n (i)} n N (i = 1,..., N) es convergente en R, es decir para cada i {1,..., N} existe x(i) R tal que {x n (i)} n N x(i) en R. Entonces, dado ε > 0, para cada i {1,..., N} existe m i N tal que n m i x n (i) x(i) < ε N. Sea m = máx{m i : i = 1,..., N}. Si n m se tiene que x n x = N x n (i) x(i) 2 < N ε 2 N = ε, lo que prueba que {x n } converge a x en R N. El siguiente resultado refleja la buena avenencia de la convergencia de sucesiones con las operaciones suma y producto por escalares, y la norma en R N. Proposición 7.7. Sean {x n } e {y n } sucesiones de puntos de R N y {α n } una sucesión de números reales. Sean x, y R N y α R. (1) Si {x n } converge a x e {y n } converge a y, entonces {x n + y n } converge a x + y. (2) Si {α n } converge a α y {x n } converge a x, entonces {α n x n } converge a αx. (3) Si {x n } converge a x, entonces { x n } converge a x. Demostración: Para (1) observe que (x n + y n ) (x + y) x n x + y n y (n N).

16 16 TEMA 1: EL ESPACIO R N Para (2) tenga en cuenta que α n x n αx = (α n x n α n x) + (α n x αx) α n (x n x) + (α n α)x = α n x n x + α n α x β x n x + α n α x para todo n N, donde β = sup { α n : n N}, que existe porque la sucesión {α n } está acotada. Finalmente, (3) se deduce de la desigualdad: x n x x n x para todo n. El siguiente resultado pone de manifiesto que en R N podemos estudiar cualquier noción y propiedad topológica mediante el uso de sucesiones. Proposición 7.8. (caracterización secuencial de la adherencia). Sea A un subconjunto de R N y x un punto de R N. Entonces x A si, y solo si, existe una sucesión {x n } de puntos de A que converge a x. Demostración: Supongamos que x A. Entonces para cada natural n, existe un punto x n A tal que x n x < 1/n. De la desigualdad anterior se deduce que la sucesión {x n } converge a x. Recíprocamente, sea {x n } una sucesión en A que converge a x. Dado ε R +, existe m N tal que x n x < ε si n m y por tanto el conjunto B(x, ε) A es no vacío. Esto prueba que x A. Corolario 7.9. (caracterización secuencial de los conjuntos cerrados). Un conjunto A R N es cerrado si, y sólo si, toda sucesión convergente de puntos de A tiene su límite en A. Demostración: Si A es cerrado y {x n } es una sucesión en A tal que lím x n = x, entonces, por la proposición 7.8, x A y como A es cerrado, x A. Recíprocamente, supongamos que A contiene el límite de toda sucesión convergente de puntos de A. Sea x A. Por la proposición 7.8 existe una sucesión {x n } en A que converge a x. Por hipótesis, x A. Por tanto, A = A y A es cerrado. Procediendo como en la proposición 7.8, Proposición (caracterización secuencial de la acumulación). Sea A R N y x R N. Entonces x A si, y solo si, existe una sucesión {x n } de puntos de A, distintos de x, convergente a x Sucesión acotada. Definición Se dice que una sucesión {x n } de puntos de R N es acotada si existe una constante α > 0 tal que x n α para todo n N. La acotación en R N equivale a la acotación por coordenadas.

17 TEMA 1: EL ESPACIO R N 17 Proposición Una sucesión {x n } n N de elementos de R N está acotada en R N si, y sólo si, para cada i {1,..., N} la sucesión {x n (i)} n N está acotada en R. Demostración: Si {x n } n N está acotada en R N, existe un α > 0 tal que x n α para todo n N. Para cada i {1,..., N} se tiene que x n (i) N x n (i) 2 = x n α, n N, y, por tanto, la sucesión {x n (i)} n N está acotada en R. Recíprocamente, supongamos que para cada i {1,..., N}, la sucesión {x n (i)} n N está acotada en R. Entonces, para cada i {1,..., N}, existe un α i > 0 tal que x n (i) α i para todo n N. Se sigue entonces que x n = N x n (i) 2 N αi 2, n N y por tanto la sucesión {x n } n N está acotada en R N. Una primera relación entre las sucesiones acotadas y convergentes de R N es la siguiente Proposición Toda sucesión convergente de puntos de R N está acotada. Demostración: Sea {x n } una sucesión en R N y sea x R N tal que {x n } x. Entonces existe m N tal que x n x < 1 si n m. Luego x n < 1 + x para todo n m. Sea r = máx { x 1,..., x m }. Tomando α = máx {1 + x, r} se tiene x n α para todo n N. En sentido contrario, por ejemplo, {( 1) n } es una sucesión acotada y no convergente de números reales. No obstante, es conocido que toda sucesión acotada de números reales admite una sucesión parcial convergente (teorema de Bolzano Weierstrass en R) [0, teorema 2.26]. Ahora extenderemos este importante resultado a los espacios euclídeos R N mediante un sencillo argumento de inducción. Teorema (teorema de Bolzano Weierstrass en R N ). Toda sucesión acotada de elementos de R N admite una sucesión parcial convergente. Demostración: Para cada natural N se define la proposición P N siguiente: Toda sucesión acotada de elementos de R N admite una sucesión parcial convergente. Claramente, la demostración consiste en probar que P N es cierta para todo natural N, lo cual haremos por inducción. Sabemos que P 1 es cierta por el teorema de Bolzano Weierstrass para el caso real. Admitamos que P N es cierta y demostremos que P N+1 lo es. Sea {x n } = {(x n (1),..., x n (N), x n (N + 1))} una sucesión acotada de elementos de R N+1. Entonces {(x n (1),..., x n (N))} es una sucesión acotada de elementos de R N. Como P N es cierta, esta última sucesión admite una sucesión parcial {(x σ1 (n)(1),..., x σ1 (n)(n))}

18 18 TEMA 1: EL ESPACIO R N convergente en R N. Como la sucesión {x σ1 (n)(n +1)} está acotada y P 1 es cierta, {x σ1 (n)(n +1)} tiene una parcial convergente {x σ2 (σ 1 (n))(n +1)}. Además, la sucesión {(x σ2 (σ 1 (n))(1),..., x σ2 (σ 1 (n))(n))} es convergente. Aplicando la proposición 7.6, {(x σ2 (σ 1 (n))(1),..., x σ2 (σ 1 (n))(n), x σ2 (σ 1 (n))(n + 1))} es una sucesión parcial convergente de {x n } y de esta manera, P N+1 es cierta. Corolario (caracterización secuencial de los conjuntos acotados). Un conjunto A R N es acotado si, y sólo si, toda sucesión de puntos de A tiene una sucesión parcial convergente a un punto de R N. Demostración: Si A es acotado y {x n } es una sucesión en A, entonces {x n } está acotada en R N y, por el teorema de Bolzano Weierstrass, {x n } tiene una sucesión parcial convergente en R N. Recíprocamente, si A no está acotado en R N, entonces para cada natural n existe x n A tal que x n > n. Sea σ : N N una aplicación estrictamente creciente cualquiera. Se sigue que x σ(n) > σ(n) n para todo n. Supongamos que {x σ(n) } converge a un punto x R N. Entonces existe m N tal que xσ(n) x < 1 para todo n m de donde n < xσ(n) < 1 + x para todo n m, una contradicción. Por tanto {x σ(n) } no converge en R N. Combinando los corolarios 7.9 y 7.15 deducimos el siguiente Corolario (caracterización secuencial de los conjuntos compactos). Un conjunto A R N es compacto si, y sólo si, toda sucesión de puntos de A tiene una sucesión parcial convergente a un punto de A Sucesión de Cauchy. Definición Se dice que una sucesión {x n } de puntos de R N es una sucesión de Cauchy si verifica la siguiente condición: ε R +, m N: p, q N, p, q m x p x q < ε. Como la proposición 7.18 se prueba que ser una sucesión de Cauchy en R N equivale a ser una sucesión de Cauchy por coordenadas. Proposición Una sucesión {x n } n N de elementos de R N es una sucesión de Cauchy en R N si, y sólo si, para cada i {1,..., N} la sucesión {x n (i)} n N es de Cauchy en R. Usando las proposiciones 7.6 y 7.18 y el teorema de completitud de R [0, teorema 2.29] se deduce que el espacio normado euclídeo R N es completo, es decir, es un espacio de Banach. Teorema (teorema de completitud de R N ). En R N, una sucesión es convergente si, y sólo si, es de Cauchy.

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