ÁLGEBRA LINEAL - Año 2012

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1 UNIVERSIDAD NACIONAL DE RÍO CUARTO FACULTAD DE CIENCIAS ECONÓMICAS ÁLGEBRA LINEAL - Año 0 Notas de Cátedra correspondientes a la UNIDAD SIETE PROGRAMACIÓN LINEAL * INECUACIONES Se denomina inecuación a toda desigualdad que contiene una o más incógnitas. Resolver una inecuación consiste en hallar el conjunto de todos los valores que al ser reemplazados en la/s incógnita/s satisfacen la desigualdad. A la colección de todos esos valores se lo denomina conjunto solución. Para resolver una inecuación se deben tener en cuenta las siguientes propiedades. Propiedades de las desigualdades o Si a ambos miembros de una desigualdad se le suma o resta un mismo número real se obtiene otra desigualdad de igual sentido que la dada. En símbolos: sean a, b, c Є R y además, si a > b entonces a + c > b + c si a > b entonces a c > b c o Si ambos miembros de una desigualdad se multiplican o dividen por un mismo número real positivo se obtiene otra desigualdad del mismo sentido que la dada. En forma simbólica: sean a, b, c Є R y además, si a > b y c > 0 entonces a. c > b. c a si a > b y c > 0 entonces > c b c * Material elaborado en el año 0 y corregido en el año 0 por la Prof. María del Carmen REGOLINI. FCE. UNRC.

2 o Si ambos miembros de una desigualdad se multiplican o dividen por un mismo número real negativo se obtiene otra desigualdad pero de sentido contrario a la dada. Simbólicamente: sean a, b, c Є R y además, si a > b y c < 0 entonces a. c < b. c a si a > b y c < 0 entonces < c b c Nota. Las propiedades enunciadas anteriormente también son válidas para desigualdades del tipo <, ³ ó. INECUACIONES LINEALES De los distintos tipos de inecuaciones que pueden formularse sólo se hará referencia a las denominadas inecuaciones lineales. Inecuaciones lineales con una incógnita Una inecuación lineal con una incógnita es una epresión de la forma a > b con a, b Î R siendo a ¹ 0. Solución de una inecuación lineal es todo número real s que al ser reemplazado en la epresión correspondiente la verifica. La colección de todas las soluciones constituye el conjunto solución de la inecuación y se epresa simbólicamente por CS = { s ÎR a s > b es un enunciado verdadero } La representación gráfica del conjunto solución de una inecuación lineal con una incógnita se realiza en la recta real. Geométricamente es un intervalo. A tener en cuenta. Las inecuaciones lineales con una incógnita también se pueden definir empleando cualquiera de los signos de desigualdad: <, ³ ó.

3 La aplicación reiterada de las propiedades de las desigualdades transforma una inecuación en una sucesión de otras denominadas inecuaciones equivalentes finalizando en una desigualdad para la cual es factible identificar con precisión el conjunto solución. A partir de esto se dice que Dos inecuaciones son equivalentes si tienen el mismo conjunto solución. Cuando a > 0 el conjunto solución de la inecuación a > b es ì b ü CS = í s ÎR s > ý Obtenerlo!!!!!!!!!!!! î a þ En cambio, cuando a < 0 el conjunto solución de la inecuación a > b es b CS = ì í s ÎR s < î a ü ý þ Ejemplo En cada uno de los siguientes incisos se determina el conjunto solución de la inecuación correspondiente. I) 4 < < < 4 4 < < El conjunto solución de la inecuación 4 < 0 es { } CS = s ÎR s < Este conjunto también puede ser epresado empleando la notación de intervalo, así, CS (- ; ) =. Gráficamente el conjunto solución de la inecuación 4 < 0 se representa en la recta real de la siguiente manera 3

4 R 0 II) ( -5 ) ³ 5 (-5) (-5) - 3 El conjunto solución es CS { s R s -3 } = Î ³ o equivalentemente el intervalo cerrado en 3, es decir, CS = éë -3; ). Su representación gráfica es R -3 0 Inecuaciones lineales con dos incógnitas Una inecuación lineal con dos incógnitas y es una epresión de la forma a + a > b a 0 y a 0. con a i, b є R para i =, siendo El conjunto solución está formado por todos los pares ordenados de números reales (s, s ) que al ser reemplazados en la epresión correspondiente la satisfacen. Simbólicamente el conjunto solución de una inecuación lineal con dos incógnitas se epresa por { ( ) } CS = s, s ÎR a s + a s > b es un enunciado verdadero La representación gráfica de las inecuaciones lineales con dos incógnitas se realiza en el plano cartesiano R y geométricamente es un semiplano. 4

5 A tener en cuenta. Las inecuaciones lineales con dos incógnitas también se pueden definir utilizando cualquiera de los siguientes signos de desigualdad: <, ³ ó. Para hallar el conjunto solución de la inecuación lineal a + a > b se aplican las propiedades de las desigualdades dadas anteriormente de tal forma que en el primer miembro quede una de las variables. Así, para la inecuación a + a > b restando en ambos miembros a se obtiene a > b - a Como a 0 antes de dividir ambos miembros por a se debe tomar en consideración si este número es positivo o negativo. Esto lleva a analizar las dos siguientes situaciones. Si b - a a > 0 entonces > a por lo que el conjunto solución Si ì CS = í s, s Î R s > î b - a s a es ( ) b - a a < 0 entonces < a ü ý þ el conjunto solución de la inecuación lineal queda epresado por ì CS = í s, s Î R s < î b - a s a ( ) ü ý þ En ambos casos el conjunto solución de la inecuación lineal ha sido obtenido en forma algebraica. Sin embargo, para el caso de las inecuaciones con dos variables se suele emplear el método gráfico porque permite una mejor visualización del conjunto solución. Para determinar en forma gráfica cuál es el semiplano que representa el conjunto solución de una inecuación lineal con dos variables se procede de la siguiente manera. Se debe considerar la ecuación que resulta al reemplazar el signo de la desigualdad en la inecuación por el signo igual obteniéndose la ecuación de una recta, denominada frontera del semiplano. Esta recta se representa en un sistema de coordenadas cartesianas ortogonales. 5

6 Teniendo en cuenta que uno de los aiomas de la Geometría establece que toda recta divide al plano en dos semiplanos uno a cada lado de la recta, cuál de estos semiplanos constituye el conjunto solución de la inecuación dada? Para determinarlo se elige, en forma arbitraria, cualquier punto del plano cartesiano R con la única condición que no pertenezca la recta. Se reemplazan sus coordenadas en la epresión de la inecuación, si se obtiene un enunciado verdadero dicho punto pertenece al conjunto solución de la inecuación lineal y también lo hacen todos los puntos que se encuentran en ese mismo semiplano. De lo contrario, el conjunto solución de la inecuación es el otro semiplano. Es importante efectuar las siguientes distinciones. El conjunto solución de las inecuaciones lineales con dos incógnitas del tipo y son semiplanos que incluyen la recta frontera y gráficamente la recta se representa con trazo lleno porque los puntos sobre ella pertenecen al conjunto solución. En cambio, para las restantes desigualdades el conjunto solución es un semiplano que no incluye la recta frontera y por lo tanto, se la debe dibujar con trazo discontinuo es decir, con una línea de puntos. Ejemplo Determinar gráficamente el conjunto solución de la inecuación lineal con dos variables + < 6 Para ello, lo primero que se hace es cambiar el signo menor que por el signo igual a, es decir, se escribe + = 6 que corresponde a la ecuación de la recta frontera y se la representa gráficamente en el espacio bidimensional con líneas de puntos porque al ser la desigualdad formulada con un signo menor estricto (<) los puntos que se encuentran sobre la recta no pertenecen al conjunto solución de la inecuación. Para determinar si el conjunto solución de la inecuación + < 6 es el semiplano que está por encima o el que se encuentra por debajo de la recta, se elige en forma arbitraria cualquier punto del espacio bidimensional para reemplazar sus coordenadas en la inecuación lineal dada. 6

7 Tomando, por ejemplo, el punto (0, 0) є R y sustituyendo sus coordenadas en la inecuación + < 6 se obtiene < 6. Efectuando la operación indicada en el primer miembro de la desigualdad se obtiene 0 < 6 que corresponde a un enunciado verdadero. Por tanto, el punto (0, 0) es solución de la inecuación lineal + < 6 como así también todos los pares ordenados de números reales que se encuentran en la misma región del plano que él. Como el conjunto solución de la inecuación + < 6 es el semiplano que no incluye la recta frontera se lo indica de la forma 6 6 X + X = 6 y la representación gráfica del conjunto solución de la inecuación + < 6 X 6 6 X Ecuación de la recta X + X = 6 7

8 Analíticamente el conjunto solución de la inecuación lineal + < 6 se epresa ( ) { } CS = s, s Î R s < 6 - s Obtenerlo!!!!!!!!!!! Este conjunto solución tiene infinitos elementos por qué? SISTEMAS DE INECUACIONES LINEALES En determinadas circunstancias es necesario considerar en forma simultánea dos o más inecuaciones lineales. De esta manera, se hace referencia a que las desigualdades conforman un sistema de inecuaciones lineales. El conjunto solución de este sistema está formado por las soluciones comunes a todas las inecuaciones, es decir, dicho conjunto es el resultado de la intersección entre los conjuntos solución de cada una de las inecuaciones lineales. Para resolver un sistema de inecuaciones lineales NO se utiliza ningún método algebraico que involucre en forma simultánea las inecuaciones sino que cada desigualdad lineal se analiza por separado para identificar su conjunto solución. Logrado esto se procede a efectuar la intersección entre todos. Sistemas de inecuaciones lineales con una incógnita La representación gráfica del conjunto solución de los sistemas de inecuaciones con una incógnita se efectúa sobre la recta porque corresponde a un subconjunto de los números reales. Dicho conjunto puede ser el conjunto vacío, un conjunto unitario o un intervalo. Ejemplo 3 Considerando, en forma simultánea, las dos inecuaciones lineales con una incógnita empleadas en el Ejemplo en los incisos I) y II) se formula el siguiente sistema de inecuaciones ì í î - 4 <

9 De acuerdo con lo obtenido en el Ejemplo, los conjuntos solución de cada una de las inecuaciones lineales consideradas son respectivamente, = { Î } y CS = { s Î R s ³ -3 } CS s R s < La intersección entre dichos conjuntos solución da por resultado { } { } CS = CS Ç CS = s ÎR s < Ç s Î R s ³ -3 { } { } CS = CS Ç CS = s ÎR s < Ù s ³ -3 = s Î R -3 s < y puede ser epresado como CS = éë -3; ) Si cada conjunto solución de las inecuaciones del sistema lineal se epresa como un intervalo al calcular la intersección entre ellos, el conjunto solución del sistema de inecuaciones lineales es ( ) é ) é ) CS = CS Ç CS = - ; Ç ë-3; = ë-3; Para obtenerlo gráficamente se representan sobre una misma recta cada uno de los conjuntos solución de las inecuaciones lineales y se destacan los puntos que tienen en común por ser los que corresponden a la intersección. R -3 0 Sistemas de inecuaciones lineales con dos incógnitas El conjunto solución de cada inecuación lineal con dos variables está formado por infinitos pares ordenados de números reales. Sin embargo, el conjunto solución de un sistema de tales inecuaciones y podría ser el conjunto vacío o un conjunto no vacío pero siempre incluido en R. 9

10 Ejemplo 4 Obtener, en forma gráfica, el conjunto solución de cada uno de los siguientes sistemas de inecuaciones lineales con dos variables. a) ì + y 50 y í ³ 0 î y ³ 0 b) ì y ³ í y ³ - î y ³ 0 c) ì í î ³ 3 0 y 5 + y < 0 Para hallar el conjunto solución del sistema de inecuaciones lineales con dos variables ì + y 50 y í ³ 0 î y ³ 0 se debe efectuar la intersección entre los conjuntos solución de las inecuaciones. Simbólicamente se epresa como { ( ) } CS = s,s Î R s +s 50 Ù s s Ù s ³ 0 Ù s ³ 0 Resulta dificultoso identificar, a simple vista, cuáles son los pares ordenados de números reales que le pertenecen. Las inecuaciones ³ 0 e y ³ 0 indican que las soluciones del sistema de inecuaciones lineales se encuentran en el primer cuadrante pero las desigualdades +y 50 Ù y establecen otras condiciones que también deben satisfacerse. De ahí, la importancia de utilizar el método gráfico. Cómo se obtiene gráficamente el conjunto solución del sistema de inecuaciones lineales? En el mismo espacio bidimensional se representan los conjuntos solución de cada inecuación y finalmente se buscan los pares ordenados de R que pertenecen en forma simultánea a todos los conjuntos solución. A los efectos de facilitar la representación gráfica, para cada inecuación se representa su recta frontera (con trazo lleno o en líneas de puntos, según 0

11 corresponda) y se indica por medio de flechas apoyadas sobre ella cuál de los dos semiplanos es el que corresponde al conjunto solución. Finalmente, se sombrea el conjunto intersección que representa el conjunto solución del sistema de inecuaciones lineales en dos variables. Para el inciso a) de este ejemplo, se considera la recta + y = 50 y se la representa en el espacio bidimensional con trazo lleno porque forma parte del conjunto solución de la inecuación lineal + y 50. A continuación se elige, arbitrariamente un punto de este espacio que no esté sobre la recta, por ejemplo, el punto (0, 0), se reemplazan sus coordenadas en la inecuación + y 50 obteniéndose Como 0 50 es un enunciado verdadero se concluye que tanto el punto (0, 0) como así también todos los que se encuentran en el mismo semiplano con respecto a la recta pertenecen al conjunto solución de la inecuación lineal. Se emplea un procedimiento similar con las restantes inecuaciones lineales del sistema. Realizando la intersección entre todos los conjuntos solución de las inecuaciones lineales se obtiene el siguiente gráfico 50 C B 0 A 0 50 y = 0 = y = 0 + y = 50

12 Geométricamente, el conjunto solución del sistema de inecuaciones lineales ì + y 50 y í es el triángulo cuyos vértices son A, B y C. ³ 0 î y ³ 0 Las coordenadas de los puntos A = (0, 0) y C = (0, 50) se pueden identificar directamente del gráfico pues al menos una de ellas se encuentra sobre alguno de los ejes. Sin embargo, para obtener las coordenadas del vértice B se debe resolver el sistema de ecuaciones lineales ì + y = 50 í por cualquiera de los métodos algebraicos desarrollados a î = y lo largo de la Asignatura. Comprobar que las coordenadas del vértice B son æ ö ç ; è 3 3 ø b) La epresión simbólica del conjunto solución del sistema de inecuaciones ì y ³ lineales con dos variables í y ³ - es î y ³ 0 { ( ) } CS = s, s Î R s ³ -s +6 Ù s ³ s - Ù s ³ 0 Comprobar que la representación gráfica de este sistema de inecuaciones es la región que se encuentra sombreada en el siguiente gráfico 6 y= - 3 y= 0 - y= - + 6

13 Geométricamente, el conjunto solución es un subconjunto de puntos de R que conforman un conjunto no vacío. c) El conjunto solución del sistema de inecuaciones lineales queda epresado por ì í î ³ 3 0 y 5 + y < 0 { ( ) } CS = s, s Î R s ³ 3 Ù 0 s 5 Ù s + s < 0 La representación gráfica de este sistema de inecuaciones lineales con dos variables permite advertir claramente que el conjunto solución es el conjunto vacío, pues NO eisten pares ordenados de números reales que verifiquen de manera simultánea todas las inecuaciones lineales del sistema. Así, CS =Æ y está contenido en R (Gráfico ). Comprobarlo!!!!!!!!!! 5 y = 5 3 y = 0 Gráfico = 3 + y = 0 Aclaración. En el Gráfico se han indicado los conjuntos solución de cada inecuación lineal sin embargo en él no eiste ninguna región sombreada ya que esa es la forma de indicar que el conjunto solución del sistema de inecuaciones lineales con dos incógnitas es el conjunto vacío. 3

14 CONJUNTOS DE PUNTOS En lo que sigue se denomina punto a cualquier elemento del espacio vectorial R n. Los puntos o vectores de este espacio se epresan con letras mayúsculas de imprenta y sus elementos por medio de n-uplas de números reales. Segmento de recta o segmento lineal El segmento de recta que une dos puntos distintos P y P que pertenecen al espacio n-dimensional es el conjunto de puntos de R n que son combinación lineal convea de P y P. Este conjunto se denota por P P y se epresa simbólicamente mediante n { } P P = X ÎR X = lp + ( - l) P Ù 0 l En la epresión X = l P + ( - l ) P cuando l = 0 se obtiene X = P y para l = el resultado es X = P. Comprobarlo!!!!!!!!!! Los puntos P y P se denominan etremos del segmento. Para cualquier otro valor de l tal que 0 <l< se obtienen todos los puntos comprendidos entre P y P es decir, los puntos interiores del segmento P P. Conjunto conveo Sea S un conjunto de puntos contenido en el espacio R n. El conjunto S es conveo si para todo par de puntos del conjunto S el segmento de recta que ellos determinan está incluido en el conjunto S. Ejemplo 5 En la Figura, los conjuntos de puntos S, S y S 3 representan conjuntos conveos. S S S 3 Figura 4

15 Para determinarlo, se eligen dos puntos cualesquiera que pertenecen al conjunto y se advierte que el segmento de recta que ellos determinan está formado únicamente por puntos que también pertenecen al mismo conjunto. Esto debe ocurrir para todos los pares de puntos del conjunto. Comprobarlo tomando otros pares de puntos de cada uno de los conjuntos de la Figura!!!!!!!!!!!. En cambio, los conjuntos de puntos de la Figura son no conveos pues para algunos pares de puntos del conjunto considerado el segmento de recta que ellos determinan no está formado eclusivamente por puntos que pertenecen al conjunto. S 4 S 5 S 6 Figura A tener en cuenta. Un conjunto conveo no contiene huecos y su frontera no es dentada en ningún punto. Propiedades de los conjuntos conveos El conjunto vacío es un conjunto conveo. Todo conjunto unitario es un conjunto conveo. El espacio R n es un conjunto conveo. La intersección de conjuntos conveos es un conjunto conveo. La unión de conjuntos conveos NO necesariamente es un conjunto conveo. Hiperplano Un hiperplano es un conjunto de puntos de R n que satisface 5

16 n n {( L n) L n n } H =,,, Î R c + c + + c = a; aîr, C ÎR Ù C ¹q C = c,c, L,c ÎR donde ( ) n n En el espacio bidimensional el hiperplano H está formado por todos los puntos de la recta de ecuación c + c = a. Para n = 3, el hiperplano H corresponde a todos los puntos que se encuentran en el plano de ecuación c + c + c3 3= a. En definitiva, un hiperplano es la generalización al espacio n-dimensional del concepto de recta en R o de plano en R 3. Semiespacio Todo hiperplano divide al espacio n-dimensional en dos semiespacios uno a cada lado. Los semiespacios se clasifican en cerrados o abiertos. Un semiespacio cerrado es un conjunto de puntos de R n que verifica n {( L ) L } S =,,, Î R c + c + + c a ; aîr n n n Si en la definición anterior se reemplaza el signo menor o igual que por el de la desigualdad mayor o igual que el semiplano cerrado queda epresado por n {( L ) L } S =,,, Î R c + c + + c ³ a ; a ÎR n n n En cambio, los semiespacios abiertos se epresan simbólicamente por ó n {( L ) L } S =,,, Î R c + c + + c < a ; aîr 3 n n n n {( L ) L } S =,,, Î R c + c + + c >a; aîr 4 n n n también denominado semiespacio asociado al hiperplano. 6

17 Los semiespacios cerrados incluyen el hiperplano mientras que los abiertos no. Esta es la única diferencia que presentan y se evidencia en el signo de la desigualdad utilizada. Semiespacio es la generalización al espacio n-dimensional del concepto de semiplano en R. Hiperplano soporte Es el hiperplano denotado por H S que tiene uno o más puntos en común con un conjunto conveo S Ì R n pero con la particularidad de que el conjunto S está totalmente incluido en uno de los dos semiespacios que el hiperplano determina. En la Figura 3 se ehiben ejemplos de hiperplanos soporte. H S H S Figura 3 En cambio en la Figura 4 el hiperplano H no corresponde a un hiperplano soporte. Analizarlo!!!!!!!!!!!!!! S H Figura 4 7

18 Punto interior Un punto P que pertenece a un conjunto S Ì R n es un punto interior de S si todo entorno de P suficientemente pequeño contiene sólo puntos del conjunto S. Punto frontera Un punto Q que pertenece a un conjunto S Ì R n es un punto frontera de S si cualquier entorno de Q por pequeño que sea contiene puntos que no pertenecen al conjunto S. Punto etremo Dado un conjunto conveo S Ì R n, X Î S es un punto etremo o vértice del conjunto S cuando no es posible epresarlo como combinación lineal convea de otros dos puntos distintos del conjunto S. En símbolos, X Î S es un punto etremo de S si $ / X, X Î S, X ¹ X : X = l X + ( - l) X con 0 <l< Los valores de l comprendidos entre 0 y impiden que un punto etremo de un conjunto sea un punto interior del conjunto. El conjunto de todos los puntos etremos de un conjunto S es un subconjunto del conjunto de todos los puntos frontera de S. Sin embargo, el conjunto de los puntos frontera y el conjunto de los puntos interiores de un conjunto S son disjuntos pues la intersección entre ellos es el conjunto vacío. Conjunto abierto Un conjunto S Ì R n es abierto si está formado sólo por los puntos interiores. Conjunto cerrado Un conjunto S Ì R n es cerrado si contiene todos sus puntos frontera. dos conjuntos distintos no son necesariamente disjuntos. Las palabras distintos y disjuntos no son sinónimos. 8

19 Conjunto acotado y conjunto no acotado Un conjunto S Ì R n es acotado si eiste un número real positivo tal que para todo punto X Î S se cumple: + + L + r n. En caso contrario, el conjunto S es no acotado. Nota. Lo anterior significa que un conjunto de puntos es acotado si puede encerrarse dentro de un círculo suficientemente grande centrado en el origen. Conjunto poliédrico conveo Se denomina conjunto poliédrico conveo en R n al conjunto que resulta de la intersección de dos o más semiespacios cerrados en el espacio n- dimensional. Conjunto poliédrico conveo es la generalización al espacio n-dimensional del concepto de polígono conveo cuando n =. Ejemplo 6 El triángulo ABC C B A que representa el conjunto solución del sistema de inecuaciones lineales ì + y 50 y í ³ 0 î y ³ 0 correspondiente al Ejemplo 4 a) es un polígono conveo 9

20 acotado y cerrado. Los vértices A, B y C son los únicos puntos etremos del conjunto. Todos los puntos ubicados en los segmentos AB, BC y CA son puntos frontera y los restantes puntos del triángulo son puntos interiores. Ejemplo 7 En la Figura, los conjuntos S y S son polígonos conveos acotados mientras que S 3 es un conjunto conveo pero no un polígono y además está acotado. (Analizarlo con las definiciones!!!!!!!!!!) El primer cuadrante del espacio bidimensional es un conjunto conveo poliedral no acotado. PROGRAMACIÓN LINEAL La programación lineal es un modelo de optimización que permite encontrar el máimo o el mínimo de una función en problemas que admiten determinadas suposiciones de linealidad. Todo problema de programación lineal consta de variables de decisión, una función objetivo, un conjunto de restricciones y condiciones de no negatividad. Las primeras representan las decisiones que se deben tomar y tienen un efecto directo sobre el objetivo además, pueden ser controladas por el encargado de la decisión. La función objetivo es una función que debe ser maimizada o minimizada. El conjunto de restricciones son las limitaciones que restringen los valores permisibles de las variables de decisión. Las condiciones de no negatividad hacen referencia a que las variables de decisión deben ser positivas o cero. La función objetivo y las restricciones describen relaciones lineales que implican aditividad y homogeneidad. Tanto la función objetivo como el conjunto de restricciones dependen de las variables de decisión y de determinados parámetros 3. 3 Un parámetro es un coeficiente dado que el encargado de tomar la decisión no puede controlar y que tampoco cambia cuando la solución sea implementada. 0

21 Las restricciones se pueden epresar matemáticamente mediante inecuaciones o ecuaciones. Una desigualdad menor o igual que impone un límite superior a alguna relación entre las variables de decisión y se utiliza por lo general en los problemas de maimización. En cambio, una desigualdad mayor o igual que atribuye un límite inferior a cierta relación entre las variables de decisión y se emplea frecuentemente en los problemas de minimización. Cuando una restricción se formula como una ecuación se la considera una relación obligatoria. El conjunto de restricciones y las condiciones de no negatividad determinan una región factible que representa todas las combinaciones permisibles de las variables de decisión; cada punto dentro de ella se denomina solución factible y en alguno o algunos de estos puntos la función objetivo alcanzará -en caso que eista- el valor óptimo, es decir, el máimo o el mínimo. Formulación general de los programas lineales La epresión simbólica de un problema de programación lineal para maimizar una función objetivo z con n variables de decisión,,..., n sujeta a un conjunto de m restricciones y a las condiciones de no negatividad de las variables de decisión es: Maimizar z= c + c + L + c n n sujeta a: ì a + a a n n b a + a a n n b M í a + a a b î j ³ 0 j n m m mn n m donde los c j con j n constituyen los coeficientes de las variables de decisión en la función objetivo y los b i para i m son constantes que representan las restricciones impuestas.

22 De manera similar, un programa de minimización de una función objetivo z con n variables de decisión,,..., n sujeta a un conjunto de m restricciones y a las condiciones de no negatividad de las variables de decisión se puede epresar simbólicamente por: Minimizar z= c + c + L + c n n sujeta a: ì a + a a n n ³ b a + a a n n ³ b M í a + a a ³ b î j ³ 0 j n m m mn n m donde los c j con j n constituyen los coeficientes de las variables de decisión en la función objetivo y los b i para i m son constantes que representan requerimientos. z puede ser epresada como una función de varias variables de la siguiente manera z f (,,..., ) =, es decir, z es la variable dependiente y las n variables de decisión,,..., n constituyen las variables independientes. A tener en cuenta. En general, en los problemas de minimización las restricciones son del tipo ³ y en los de maimización. Sin embargo, en estos problemas pueden coeistir desigualdades de diferentes tipos y aún ecuaciones. Hacia un método de resolución Los problemas de programación se pueden resolver empleando el método gráfico o un método algebraico. En el primer caso, sólo cuando haya dos o tres variables de decisión. En cambio, el método algebraico conocido como método simple puede ser utilizado para cualquier número de variables de decisión y no será tratado en esta Asignatura.

23 A continuación se hace referencia al modo de resolver un problema de programación lineal en el espacio bidimensional 4 una vez que ha sido formulado. En el espacio bidimensional se representa gráficamente el conjunto de restricciones y las condiciones de no negatividad con el propósito de identificar la región factible y sus puntos etremos. Las condiciones de no negatividad indican que siempre la región factible se encuentra en el primer cuadrante. Cada una de las restricciones es un semiplano que incluye la recta frontera si está epresado con una desigualdad del tipo ³ ó. La región factible - obtenida de la intersección entre las condiciones de no negatividad y todas las restricciones- es un conjunto conveo cuyos puntos etremos surgen de la intersección entre las rectas frontera y de éstas con los ejes cartesianos. De esta forma, todos los puntos interiores y frontera de la región factible cumplen las restricciones y las condiciones de no negatividad y la función objetivo evaluada en alguno de ellos puede alcanzar valores más altos o más bajos. De todos los puntos de la región factible los mayor importancia son los puntos etremos porque en alguno/s de ellos la función alcanza el óptimo en caso que eista. Una vez representada la región factible se traza en el mismo gráfico una recta denominada representativa de la función objetivo. Para dibujarla se asigna a z un valor arbitrario y se procede a desplazarla paralelamente por los puntos etremos y se determina cuál de ellos hace que la región factible quede totalmente incluida en un semiplano porque en dicho punto etremo la función objetivo alcanza el óptimo. Determinado el punto etremo que optimiza la función objetivo se calculan sus coordenadas y se evalúa la función objetivo en él. 4 Resolver un problema de programación lineal en el espacio tridimensional puede resultar muy complicado y no será tratado ni eigido en esta Asignatura. 3

24 Ejemplo de aplicación 5 Una empresa fabrica dos productos que han de procesarse en los departamentos I y II. El producto A requiere 6 horas por unidad del departamento I y 3 horas por unidad del departamento II, mientras que, el producto B requiere 4 horas por unidad del departamento I y 0 horas por unidad del departamento II. El tiempo de producción con que se cuenta para la próima semana es de 0 horas para el departamento I y de 80 horas del departamento II. La utilidad marginal que se obtiene con cada producto A y B es de $45 y $55 respectivamente. Determinar el número de unidades que hay que elaborar de cada producto con el objetivo de maimizar la ganancia. Resolución Las variables de decisión deben responder a cuántas unidades de cada producto deben elaborarse y venderse. Es por ello que se definen por: : el número de unidades elaboradas y vendidas del producto A : el número de unidades elaboradas y vendidas del producto B La información proporcionada acerca del tiempo -en horas- requerido para la fabricación de cada producto, la disponibilidad en cada departamento y respecto del margen de utilidad se resume en la siguiente matriz Producto A Producto B Capacidad disponible Departamento I 6 h. por unidad 4 h. por unidad 0 horas Departamento II 3 h. por unidad 0 h. por unidad 80 horas Margen de utilidad $45 por unidad $55 por unidad 5 Etraído y adaptado del teto BUDNICK, Frank: Matemáticas aplicadas para Administración, Economía y Ciencias Sociales. Tercera edición. McGraw-Hill. ISBN.: (990), páginas

25 A partir ella se establecen las restricciones del problema y la función objetivo que debe ser maimizada. La cantidad de horas totales utilizadas en la fabricación de ambos productos en el departamento I no debe ser mayor que 0 horas. Además, para los productos A y B se requieren 6 y 4 horas, respectivamente. La información anterior se representa por medio de una inecuación lineal con dos variables de la siguiente manera De manera similar, teniendo en cuenta que la disponibilidad en horas del departamento II es de 80 horas y los requerimientos en horas para cada producto se formula la inecuación Eisten otras restricciones implicadas en las definiciones de las variables de decisión. Cada una de ellas representa una cantidad de producción que no puede ser negativa, con lo cual se debe epresar que ³ 0 y ³ 0. La función objetivo que debe ser maimizada es z = Con estos elementos se está en condiciones de formular el siguiente problema de programación lineal. Formulación del modelo Sean las variables de decisión : el número de unidades elaboradas y vendidas del producto A : el número de unidades elaboradas y vendidas del producto B Ma z = Sujeta a ì í ³ 0 î ³ 0 5

26 Representación gráfica de la región factible El conjunto de restricciones y las condiciones de no negatividad conforman un sistema de inecuaciones lineales cuyo conjunto solución determina la región factible del problema planteado. Las condiciones de no negatividad 0 y 0 hacen que la representación gráfica sólo tenga sentido en el primer cuadrante. Los conjuntos solución de cada inecuación lineal y representan las distintas combinaciones de los dos productos que pueden fabricarse sin sobrepasar las 0 y 80 horas respectivamente. En el siguiente gráfico se ehibe la región factible X 30 8 D C A B 0 60 X A continuación se debe representar en el mismo sistema cartesiano la función objetivo z = Como esta función tiene tres variables, una dependiente y dos independientes no se podría graficar en el espacio bidimensional, es por ello que a z se le debe asignar un valor arbitrario, por ejemplo, z = 495. De esta forma se obtiene la recta representativa de la función objetivo, denotada en el gráfico por RFO cuya ecuación es 495 = y debe ser graficada en el espacio bidimensional junto con la región factible. 6

27 D C 9 A B RFO 495 = 45 X + 55 X Para determinar el punto óptimo de la función z, la recta RFO debe ser desplazada paralelamente -en el sentido que produzca un aumento de la función objetivo, porque se pretende encontrar un máimo- haciéndola pasar por los puntos etremos de la región factible y elegir aquel punto etremo que deje a la región factible completamente incluida en un semiplano. D C A B 7

28 En el gráfico anterior se puede apreciar que cuando la recta RFO pasa por los puntos etremos B y D la región factible no está totalmente incluida en un semiplano. En cambio, cuando la recta RFO pasa por el punto etremo C toda la región factible queda incluida en un semiplano; esto permite concluir que la función objetivo z alcanza el óptimo en dicho punto etremo. Con lo cual se deben determinar las coordenadas de C y evaluar la función objetivo en él para determinar el valor máimo de z. Las coordenadas de C son C = (0; 5) obtenerlas!!!!!!!!. La función objetivo z evaluada en C alcanza el valor z (C) = z éë(0; = 5) ùû = 75 Por lo tanto, la mayor ganancia de z asciende a $75 y se obtiene cuando se elaboran y venden 0 unidades del producto A y 5 unidades producto B. Queda como ejercicio para el lector comprobar que si se evalúa la función objetivo en cualquier otro punto de la región factible -interior, frontera u otro punto etremo distinto de C- la ganancia es menor que la obtenida en el punto etremo C. El propósito en los problemas de programación lineal es determinar los valores que toman las variables de decisión que maimizan o minimizan una función objetivo sujeta a una conjunto de restricciones o condiciones. Tanto la función objetivo como las restricciones son lineales en las variables de decisión. La epresión programación lineal está referida a las aplicaciones en problemas de planeación o de asignación de recursos. El conjunto solución de las restricciones determina la región factible y cualquier punto en ella se denomina solución factible. La región factible es siempre un conjunto conveo que puede ser vacío o no vacío y además, estar acotado o no. 8

29 Si la región factible es no vacía y está acotada entonces la función objetivo alcanza un valor máimo (o mínimo) en alguno de sus puntos etremos. A tal punto se lo denomina solución óptima. En cambio, si la región factible es no vacía y no acotada si la función objetivo tiene un valor máimo (mínimo) entonces dicho valor se alcanza en un punto etremo 6. Si la función objetivo alcanza el óptimo en más de un punto etremo de la región factible entonces se dice que tiene soluciones óptimas múltiples que se encuentran en todos los puntos que son combinación lineal convea de los puntos etremos. La bibliografía utilizada para la realización de estas Notas de Cátedra puede ser consultada en el Programa vigente de la Asignatura. IMPORTANTE Se solicita a toda persona que lea este teto y detecte algún tipo de error, por más sencillo que parezca, que lo informe a la autora para que lo analice y lo corrija. De esta manera, lectores y usuarios del material podrán contribuir a la presentación de un trabajo bien elaborado y además, tendrán la oportunidad de retribuir a quien ha realizado este material con la única intención de facilitar el aprendizaje del Álgebra Lineal. Muchas gracias. María del Carmen Regolini 6 En este caso podría ocurrir que la función objetivo no tenga solución óptima. 9

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