6.5 ECUACIÓN DE LA RECTA QUE PASA POR DOS PUNTOS

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1 6.. Gáficas de ectas usando m b Po ejemplo, paa gafica la ecta Maca el valo de b (odenada al oigen) sobe el eje, es deci el punto (0,). A pati de ese punto, como la pendiente es, se toma una unidad a la deecha unidades hacia abajo, así se obtiene el punto (,). Uniendo ambos puntos obtenemos la gáfica deseada. 4 4 EJERCICIO Repesenta las ectas de ecuaciones: a) b) c ) 6.4 ECUACIÓN DE LA RECTA SI SE CONOCE UN PUNTO Y LA PENDIENTE Si conocemos de una ecta que pasa po un punto ( 0, 0 ) tiene pendiente m, podemos obtene ota epeón paa su ecuación. Como el punto ( 0, 0 ) petenece a la ecta veifica su ecuación m b, es deci 0 m0 b, despejando se obtiene b 0 m0, eemplazando en la ecuación geneal queda m ( 0 m0 ) de donde m( 0 ) 0 o la epeón equivalente: 0 m( 0 ) ECUACIÓN PUNTO-PENDIENTE: 0 m( 0 ) Ejemplo : Da la ecuación de la ecta que pasa po (,4) tiene pendiente m=. Usamos la foma PUNTO-PENDIENTE 4 ( ) de donde. Ejemplo : Da la ecuación de la ecta que pasa po (-, -) tiene pendiente ( ) ( ) de donde 6. ECUACIÓN DE LA RECTA QUE PASA POR DOS PUNTOS. Paa detemina la ecuación de una ecta conocemos dos puntos ( 0, 0 ) (, ) que petenecen a ella, calculamos la pendiente 0 m empe que 0. 0 usando la ecuación PUNTO-PENDIENTE obtenemos: ECUACIÓN DE LA RECTA QUE PASA POR DOS PUNTOS: 0 0 ( 0 ) 0 0

2 0 0 ( 0 ) 0 0 Obsevación: Si 0, la ecta que une los puntos ( 0, 0 ) (, ) está en poción vetical. Las ectas veticales no epesentan funciones, su ecuación es del tipo = constante. Po ejemplo, la ecuación de la ecta que pasa po (,) (,) es =. En paticula la ecuación = 0 coesponde al eje. Ejemplo : Obtene la ecuación de la ecta que pasa po P(6,) Q(-,). 0 Usamos 0 ( 0 ) m Luego la ecuación es : - ( 6) Ejemplo : a) Enconta la fómula paa calcula la cantidad de agua que queda cada día, en una epesa que piede agua de manea unifome, la cantidad inicial es de 0 millones de litos los datos diaios son: Día Millones de litos de agua b) Si continúa la pédida de 0 millones de litos po día, en cuánto tiempo se quedaá vacía la epesa? c) Cuándo tendá 0 millones de litos? a) Conocemos los puntos (, 0) (, 0). Como la pédida es unifome una función lineal descibe la tuación. mide el tiempo en días; los litos de agua, en millones. La ecuación es: C() epesa la cantidad de agua de la epesa en días. 0 La fómula buscada es: C( ) 0 0 b) Quedaá vacía cuando la cantidad de agua sea ceo. Es deci C()=0. Resolviendo la ecuación: Quedaá vacía a los días medio. c) Paa esponde debemos esolve la ecuación: C()= La epesa tendá 0 millones de litos de agua cuando pasen 0 días. 4

3 Ejemplo : Obtene la ecuación de la ecta que cota al eje en a al eje en b. Se desea enconta la ecuación de la ecta que pasa po los puntos (a,0) (0,b) con a0 ; b0. Usamos la ecuación geneal de la ecta que pasa po dos puntos. b a opeando : b a a de donde a b a b ab b a ab (ab En algunos casos es útil esta foma de la ecuación de la ecta. b a 0), dividiendo po ab se obtiene : a b Usando esta foma de epeón, la ecuación que coesponde al poblema de la epesa es: de esta foma taza su. 0 gáfica es inmediato, a que basta maca los puntos de cote con los ejes =. e = 0 luego uni con una ecta ECUACIÓN DE LA RECTA QUE CORTA AL EJE EN =a Y AL EJE en =b a b llamada foma segmentaia de la ecta Ejemplo 4: Gafica. Es sencillo, a que conocemos que cota al eje en = - al eje en =. - equivale a Ejemplo : Dada la ecta de ecuación: da su epesentación gáfica. Teniendo en cuenta lo anteio, la ecuación se tansfoma en: luego la ecta cota al eje en al eje en. po lo cual la epesentación gáfica se obtiene de inmediato, se deja al lecto el tazado.

4 6.6 RECTAS PARALELAS Y PERPENDICULARES En la figua obsevamos que las ectas s tienen la misma inclinación, no se cotan, es deci son paalelas. t foman al cotase un ángulo ecto, es deci son pependiculaes. Lo mismo s t. s En geneal, dos ectas son paalelas tienen la misma pendiente, ecípocamente, dos ectas tienen igual pendiente son paalelas. Dos ectas son pependiculaes sólo sí el poducto de sus pendientes es -, o dicho de ota foma la pendiente de una, es la ecipoca cambiada de gno de la ota. t m b Dos ectas : e m b son son paalelas pependiculaes m m m m, o sea m m Ejemplo : Las guientes ecuaciones coesponden a ectas paalelas. Ambas tienen pendiente m =. Como ejecicio, gafica ambas en un mismo stema cateano. Ejemplos : La pendiente de cualquie ecta hoizontal es ceo. Obseva las ectas,, de la figua. Ejemplo : Dada la ecta que se muesta en la figua, detemina la ecuación de la ecta: - a) paalela a pase po (,-) b) paalela a tenga odenada al oigen c) pependicula a cote al eje en 0 - a) La pendiente m de la ecta de la figua es. llevada a la foma m b, queda. La ecuación pedida es b) m = ; b = la ecuación es. c) La pendiente de la ecta buscada es - pasa po, 0. La ecuación es: Se deja como ejecicio paa el lecto dibuja en un mismo stema de ejes las ectas obtenidas en a) b) c). 6

5 Ejemplo 4: Selecciona ente las guientes ecuaciones, las que epesentan ectas pependiculaes. ; ; ; ; 0. 4 La segunda última ecuación veifican que el poducto de sus pendientes es -., po lo tanto son ectas pependiculaes. Como ejecicio, calcula las pendientes de las otas ectas compoba ha paalelas. 6. FORMA GENERAL DE LA ECUACIÓN DE UNA RECTA Todas las fomas de ecuaciones de ectas que hemos visto pueden ponese como una epeón del tipo: a b c 0, con a,b,c R, se llama foma geneal de la ecuación de la ecta. Obsevación: Ésta es la epeón de una ecuación lineal con dos incógnitas (se estudió en el capítulo ) la epesentación gáfica es una ecta. Se tiene una función lineal empe que sea b 0. Paa los casos a 0 b = 0, seán ectas paalelas al eje, no coesponde a la gáfica de una función. Ejemplo: Detemina la pendiente la odenada al oigen de la ecta 0 pendiente Despejando obtenemos: po lo tanto odenada al oigen Paa epesentala, se pueden utiliza los datos de la pendiente la odenada al oigen o dando valoes enconta las coodenadas de puntos que satisfagan la ecuación. Si hacemos - 0 el punto (,) petenece a la ecta Paa el punto (0, ) petenece a la ecta Macando luego uniendo con una ecta los puntos de coodenadas (,) 0, obtendemos la epesentación de gáfica de la ecuación INTERSECCIÓN DE RECTAS El poblema geomético de detemina el punto de intesección de dos ectas es equivalente al poblema algebaico de esolve un stema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas. a b c 0 Dadas dos ectas en foma geneal el punto intesección o de cote P(,) a b c 0 se encuenta sobe ambas ectas es la solución del stema de ecuaciones. Se pueden pesenta los guientes casos: Que las ectas no tengan ningún punto en común (ectas paalelas no coincidentes).

6 Ejemplo: () (s) 0 El stema como vimos en el capítulo es incompatible o inconstente, no tiene solución. s - Que las ectas tengan un punto en común (ectas que se cotan en un único punto). Ejemplo: (s) 0 s el punto P(,) es la intesección de las ectas, en este ejemplo P,. Resolviendo el stema =/ e =/. El stema es compatible deteminado, tiene solución única. P - Que las ectas tengan infinitos puntos en común (ectas coincidentes). Ejemplo: () (s) Si gaficamos las ectas s, se puede compoba que son coincidentes; po lo tanto la intesección es el conjunto infinito de puntos que petenecen a cualquiea de ellas. El stema es compatible indeteminado. s - Paa esolve gáficamente un stema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas e, despeja la vaiable de ambas ecuaciones gafica las ectas. La solución es el punto intesección de las ectas en el gáfico. Ejemplo: Ana Luis son hemanos quieen llega juntos a casa de su made paa dale un obsequio. Ana vive a km. de la casa de la made se diige hacia allí en automóvil, a una velocidad constante de 60 km/h. Luis vive en la misma uta, peo a 0 km más ceca de la casa de su mamá. Va en moto a una velocidad constante de 40 km/h. Combinan el encuento po teléfono ambos hemanos salen multáneamente de sus domicilios. Al cabo de cuánto tiempo se podujo el encuento? El encuento se podujo eactamente al llega a la casa de la made? gáfica: Damos nombe a las vaiables: t: tiempo que tadan Ana Luis en encontase. d: distancia ecoida po Ana en el tiempo t. d 0: distancia ecoida po Luis en el tiempo t. 8

7 d 60 t Planteando las ecuaciones obtenemos d 0 40 t equivalente a d 60 t d 40 t 0 Cada ecuación es una función lineal de vaiable independiente t. Paa obtene la epesentación gáfica, calculamos algunos valoes paa Ana Luis los anotamos en una tabla. Ana t (hoas) d (km) d(km) Luis t (hoas) d (km) ,4 0, 0,6 0, 0,8 t(hoas) El punto común de ambas funciones es (0.,0), punto intesección de las ectas encuento de los hemanos. En el gáfico vemos que el encuento ente los hemanos se poduce a la media hoa, a una distancia d=0 km. Faltaban km paa llega a la casa de la made. analítica del stema 60 t 40 t 0 60 t 40 t 0 t 0. hoas de la pimea ecuación: d km Se encuentan a los 0 minutos no en la casa de la made 6.9 FUNCIONES DEFINIDAS POR TROZOS Ejemplo: : Se pone a calenta un ecipiente con agua. La tempeatua del agua vaía según el tiempo tanscuido de acuedo a los datos del gáfico. a) Cómo enconta una fómula paa la función epesentada? b) Calcula e intepeta T(), T() T(9). a) Obsevamos que el gáfico se compone de dos segmentos de ecta, uno paa los valoes compendidos ente 0 oto paa los valoes de t maoes que. La poción del gáfico que coesponde a 0 t es un tozo de la ecta que pasa po los puntos (0,0) (,00); paa t es una pate de una ecta hoizontal de ecuación T 00. T(ºC) t(minutos) 9

8 Deteminamos la ecuación de la ecta T mt b que pasa po los puntos (0,0) (,00), 00 0 b 0; m 8 Resulta T t 8 t 0 paa 0 t 0 La fómula de la función T(t) que mide la tempeatua del agua en función del tiempo t está compuesta po dos pates lineales se epesa así: T t 8 t t t b) Paa calcula T se utiliza T t 8 t 0 poque T Significa que a los minutos el agua está a una tempeatua de 64ºC. Paa calcula T se utiliza T t 8 t 0 poque 0 T se utiliza T t 00 poque 9 T 9 00 Paa obtene T Queda paa el lecto intepeta T() T(9). Ejemplo : Repesenta la función: f( ) Obseva que en cada intevalo, la función se define po un segmento de ecta. Paa descibi estas gáficas es fundamental tene en cuenta el intevalo que coesponde a cada epeón. Ejemplo : a) Da la fómula de la función g() epesentada en el gáfico. b) Calcula g(4) g(.99). a) g ( ) Funciones fomadas po tozos constantes se llaman escalonadas. b) Po la pate a) tenemos: g(4) = ; g(.99) =. Obsevamos que en =, = 4 en = 6 se poduce un salto. La función en cada uno de esos puntos está pefectamente deteminada po un único valo, indicado en el gáfico po un punto elleno. 40

9 Ejemplo 4: Una compañía de teléfonos paa hace una llamada de San Luis a Villa Mecedes coba 0 centavos ($ 0.0) paa inicia la comunicación, se puede habla hasta minutos. A pati de ese momento, cada minuto cuesta centavos ($0.). Gafica la función que elaciona la vaiable duación de la llamada con costo de la misma. Se hace una llamada a V.Mecedes de minutos 0 segundos cuánto se paga?. COSTO ($),,0, 0, 0, DURACIÓN (minutos) Se paga $.. Tene en cuenta que una comunicación de 8 minutos cuesta lo mismo. Obsevación: En los etemos de cada segmento de la gáfica, el cículo blanco indica que el punto no petenece a la gáfica el cículo nego que petenece. Los saltos que pesenta la gáfica se llaman discontinuidades de la función. Ejemplo : Repesenta la función definida po 0 f ( ) 0 Esta función se llama función valo absoluto de se la denota =- = De la definición vemos que es negativa se le cambia de gno paa hacela potiva, es potiva se deja su valo FUNCION VALOR ABSOLUTO Dada f( ), una función, podemos condea f el valo absoluto de la función f, ésta es una función que agna valoes no negativos, po lo que, los valoes de f() son negativos, basta con multiplicalo po. (Recoda la definición de valo absoluto de un númeo eal dada en el capítulo. Este hecho, en el gáfico de f de f(), especto del eje, quedando fijas las imágenes potivas. se taduce en una efleión de las imágenes negativas Así, po ejemplo, la gáfica de =se obtiene a pati de la gáfica de la función identidad, de la guiente foma: 4

10 = = - = Ejemplos : Repesenta. =-- =+ La ecta =+ pasa de negativa a potiva cuando. La pate de la ecta que queda po debajo del eje, debe queda po encima cuando se hace el gáfico del valo absoluto. - f() = + tazo continuo con foma de V Ejemplos : Dada la gáfica de f. Hace la gáfica de f f La pate negativa de la gáfica debe pasa a potiva, en este caso f es negativa en el intevalo (-,). 0 Po lo cual un gáfico apoimado de es el adjunto. f

11 6. FUNCIONES CUADRATICAS Este tipo de funciones apaece con mucha fecuencia en aplicaciones de la matemática. Po ejemplo, una función que popociona la altua s de un objeto que cae en función del tiempo t se llama función de poción. Si no se condea la estencia del aie, la poción de un objeto que cae admite el modelo cuadático: s(t ) gt v 0t s0 donde g denota la aceleación de la gavedad, v 0 la velocidad inicial s 0 la altua inicial. (En la Tiea la constante g vale apoimadamente -9,8m/s ) Una función cua epeón es: f ( ) a b c, a 0, con a, b c númeos eales, se llama función cuadática. Estas funciones están definidas paa todo númeo eal, es deci su dominio es R. La epesentación gáfica es una cuva llamada paábola, los puntos del plano que veifican la ecuación a b c, a 0 constituen la gáfica. Paa familiaizanos con las gáficas de las funciones cuadáticas, las pincipales caacteísticas popiedades, condeaemos: Caso : En a b c, tomamos a =, b = 0 c = 0, se obtiene la ecuación. Veamos algunos valoes paticulaes en la tabla guiente: = = 4 -/ /4 0 0 / / El gáfico es una cuva continua. La vaiable puede toma cualquie valo eal, po lo tanto el dominio de esta función es R. Como el cuadado de un númeo es empe potivo o ceo, el conjunto imagen son los númeos eales maoes o iguales que ceo. Caso : Gaficas de paábolas de ecuación a. Tomando los casos paticulaes a = ; a = ; a = / ; a = -; a = - a = -/, obtenemos la familia de paábolas del dibujo. Nota que a 0, las paábolas se aben hacia aiba, tienen un mínimo en 0. Si a 0, las paábolas se aben hacia abajo, en este caso las cuvas tienen un máimo en 0. Todas son méticas con especto al eje. Esto gnifica que el punto (, ) está sobe una cuva, también lo está el punto de coodenadas (-, ). Po ejemplo paa la cuva (-, ) petenecen a ella. los puntos (, ) El único punto que petenece al eje de metía también a la paábola se llama vétice. Todas las paábolas del dibujo tienen vétice V(0, 0) = =- = = =- = 4

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