Fundamentos de Derivados y Opciones. Notas de Clase

Transcripción

1 Notas de Clase Fundamentos de Derivados y Opciones Julián Franco Universidad Icesi,

2 Tabla de contenido 1. Introducción a los Activos Derivados Estructura de un Contrato de Futuros Peso/Dólar Diagramas de Utilidad Conceptos de Cobertura con Derivados Utilidad y Retorno de Inversión en opciones Proceso Lognormal Valoración de Derivados utilizando la Simulación de Montecarlo Valoración de Derivativos, modelo discreto Modelo de Black-Scholes (tiempo continuo) Estrategias de Inversión con opciones, acciones, futuros y bonos Convergencia Formula de Valoración de Opciones, Discreta vs. Black-Scholes Ejercicio de convergencia, usando Macros Como Calcular el Portafolio Insurance Opciones Reales, una introducción Ejercicios Generales

3 Fundamentos de Derivados y Opciones 1. Introducción a los Activos Derivados Activos Derivados Un activo o instrumento derivado es un activo cuyo valor se asocia, se desprende o es función de otro activo, llamado activo subyacente. Por ejemplo un futuro sobre café es un activo derivado cuyo valor depende del precio futuro del café. Es importante puntualizar que el valor del futuro de café es diferente al precio futuro del café. El valor del futuro está dado por el valor presente de la diferencia entre el precio forward o futuro pactado inicialmente, X, (aunque este valor se modifica, cuando estamos hablando de un futuro transado en bolsa) y el precio futuro del subyacente, F 0, en el momento en que se valora el futuro: ( ) donde T es el tiempo al vencimiento y k f es la tasa libre de riesgo. Los activos derivados más importantes son los forward (o contratos a plazo), los futuros y las opciones. A continuación se describen sus características. Forward (Contratos a Plazo) y Futuros Es un título que da a su poseedor el derecho y la obligación de comprar o vender un activo S, por un precio específico predeterminado, en una fecha particular. Denominaremos el precio específico predeterminado como Precio de Ejercicio X, aunque normalmente se conoce precio forward (futuro). El tiempo que transcurre hasta que se debe realizar la transacción lo denominaremos T. Ejemplo Suponga que usted suscribe un forward para comprar una acción de Ecopetrol por un precio de $4500 (X) para dentro de 30 días. Si en 30 días la acción de Ecopetrol se transa por $4600 (S T ) su utilidad será de $100 (S T X), obtenida al comprar un activo (cuyo valor es superior) por un precio inferior al de mercado. Por otro lado si en 30 días la acción de Ecopetrol se transa por $4400 la utilidad será negativa e igual a -$100, lo cual también equivale a S T -X. 3

4 Por lo que se deduce que una función que describe el pago de un forward es S T -X. Donde el subíndice T corresponde al momento del vencimiento. Forward S T 4600 X 4500 S T - X 100 Delta 100 S T Pago Pago Forward 400 S T -X ST Puesto que un futuro es en esencia lo mismo que un forward, esta función también aplica para los futuros. Recuerde que en cualquier transacción financiera existe una contraparte, cual es entonces el pago que recibe la contraparte, quién se comprometió a venderle a usted la acción de Ecopetrol en las condiciones antes descritas. Una conclusión que puede deducirse de estas funciones de pago es que los forward y los futuros son operaciones de suma cero, donde la utilidad de uno es la perdida del otro. En condiciones normales al suscribir un forward, o un futuro, ninguna de las contrapartes debe pagar una prima. Esto quiere decir que el valor esperado hoy de tal tipo de operación es cero. La diferencia entre forwards y futuros radica fundamentalmente en la intermediación. Mientras que el forward es una operación sin intermediarios, la compra y venta de futuros se realiza a través de instituciones similares a las bolsas de valores. Estas instituciones son las que organizan el mercado de futuros, produciendo estandarización en los tipos de activos sobre los que se pueden contratar futuros, el monto, el vencimiento, las garantías requeridas, el ajuste de cuentas y la forma de liquidación de los mismos. 4

5 En un contrato forward, por el contrario, no existen garantías mas allá de la credibilidad de la respectiva contraparte, sin embargo esta limitación también permite la versatilidad de los mismos en cuanto a montos y vencimientos. Opción Es un título que da a su poseedor el derecho, mas no la obligación, de comprar o vender un activo S (a veces también llamado activo subyacente) por un precio específico predeterminado X (precio de ejercicio), en o antes de una fecha particular T (fecha de expiración o vencimiento). Tipos de Opciones Call (Compra) Derecho de compra Put (Venta) Derecho de venta Cuando la opción se puede ejercer ANTES del vencimiento se conoce como una opción tipo Americano, cuando la opción solo se puede ejercer EN la fecha de vencimiento se conoce como tipo Europeo. A diferencia del forward (futuro) la opción es lo que se denomina un activo contingente, puesto que su utilidad no solo depende del precio futuro del activo subyacente, sino de una decisión que toma el poseedor del mismo. Otra diferencia más importante es que al comprar una opción se debe pagar una Prima, que se entrega a la contraparte (el emisor de la opción). Cuando calculamos el valor de una opción, en muchos casos estaremos calculando el valor de la prima. Ejemplo Opción CALL Continuamos con la acción de Ecopetrol. Suponga que usted acaba de comprar una opción Call sobre una acción de Ecopetrol. El precio de Ejercicio X es $4500 y el vencimiento es dentro de 30 días. Si en 30 días la acción de Ecopetrol se transa por $4600 (S T ), es óptimo ejercer la opción y comprar la acción, su utilidad será de $100 (S T X), obtenida al comprar un activo (cuyo valor es superior) por un precio inferior al de mercado. Por otro lado si en 30 días la acción de Ecopetrol se transa por $4400, no es óptimo ejercer la opción, ya que esta le da el derecho a comprar una acción por un valor superior al que 5

6 tendría que pagar si la comprara en el mercado de acciones, por lo tanto la opción expira sin ser ejercida y la utilidad será de cero. Si adicionalmente se incluye el pago de la Prima se obtienen los flujos netos que produce la compra de la opción. Cuál sería entonces una función que describe los pagos recibidos por la compra de una opción Call? Veamos: 1. S T > X: S T X 2. S T < X: 0 Una función que describe estos pagos es Máximo (S T -X,0). Opcion Call S T 4600 X 4500 C=Max(S T - X,0) 100 S T Pago Pago Opcion Call Max(S T -X,0) ST Como se observa la opción Call permite a su poseedor obtener utilidades en caso de un incremento en el precio del activo subyacente y limitar las perdidas en caso de una reducción. Naturalmente un esquema de pagos de este tipo tiene un valor, que en este caso es la prima que se pagó. Opción PUT Continuamos con la acción de Ecopetrol. Suponga que usted acaba de comprar una opción Put sobre una acción de Ecopetrol. El precio de Ejercicio X es $4500 y el vencimiento es dentro de 30 días. 6

7 Si en 30 días la acción de Ecopetrol se transa por $4600 (S T ), no es óptimo ejercer la opción, ya que esta le da el derecho a vender una acción por un valor inferior al que obtendría si la vendiera en el mercado de acciones, por lo tanto la opción expira sin ser ejercida y la utilidad será de cero. Por otro lado si en 30 días la acción de Ecopetrol se transa por $4400, es optimo ejercer la opción y vender la acción, su utilidad será de $100 (X S T ), obtenida al vender un activo (cuyo valor es inferior) por un precio superior al de mercado. Si adicionalmente se incluye el pago de la Prima se obtienen los flujos netos que produce la compra de la opción. Cual seria entonces una función que describe los pagos recibidos por la compra de una opción Put? Veamos: 3. S T > X: 0 4. S T < X: X - S T Una función que describe estos pagos es Máximo (X - S T,0). Opcion Put S T 4600 X 4500 C=Max(X-S T,0) 0 S T Pago Pago Opcion Put Max(X-S T,0) ST Como se observa la opción Put permite a su poseedor obtener utilidades en caso de una reducción en el precio del activo subyacente y limitar las perdidas en caso de un incremento. 7

8 Preguntas 1. Cuál seria la función de pago de los emisores de los instrumentos derivados aquí revisados? 2. Si usted pensara que es muy probable que el precio de la acción de Ecopetrol fuera a cambiar radicalmente en los próximos días, aunque no puede estar seguro de si a la baja o al alza, qué opción o combinación de opciones podría usted comprar o vender para obtener una utilidad sobre esta situación? Operaciones con opciones Put Protectivo Es un concepto de cobertura que resulta al implementar una estrategia sencilla de minimización de riesgo financiero que implica la combinación de posiciones largas (lo que quiere decir comprar) en las acciones o portafolio a asegurar y en una Opción Put; esta estrategia es conocida como Put Protectivo. El Put Protectivo tiene un horizonte que esta definido por el tiempo de maduración o vencimiento de la opción Put. Al comprar una acción S sabemos que el pago final recibido por la acción al momento de venderla (liquidar la posición) corresponde al precio spot S t (Pago = S t ), la Gráfica 1a nos muestra este comportamiento. Para calcular el pago neto se debe restar el costo inicial de la acción S 0. El pago neto se expresa como S t S 0. La gráfica 1b representa estos beneficios. Gráfica 1 a Pagos de una acción como función del Precio Spot S t Pago = S t Pago = S t S 0 b Pagos netos (o beneficios) por la compra de una Acción Precio de Compra (S 0 ) = 100 Repetimos la definición de la opción Put: Una opción Put es el derecho, mas no la obligación, de venta de un activo (en este caso una acción o portafolio de acciones) a un precio determinado, conocido como precio de ejercicio X, en una fecha futura determinada 8

9 conocida como fecha de vencimiento o de maduración. El tiempo hasta la expiración (o vencimiento) de la opción se denomina T. Cuando la opción puede ejercerse en cualquier momento entre su emisión y expiración se conoce como una opción tipo americano, en caso contrario la opción se denomina tipo europeo. Los pagos recibidos al ejercer la opción se observan en la gráfica 2a. Cuando el precio de ejercicio es superior al precio spot de la acción (X>S t ), el propietario de la opción la ejerce, pues puede vender la acción S a un valor mayor al del mercado. Su utilidad es entonces S t -X. Cuando X < S t el propietario no ejerce la opción, pues puede vender la acción a un precio mayor que el pactado en la opción, su utilidad en este caso es 0. En ambos casos debe restarse la prima pagada por la compra de la opción si se quiere obtener los pagos netos de la operación (Gráfica 2b). Una función que describe este comportamiento es Máximo (X S t,0) Pagos Put St Gráfica 2 a Pagos de una Opción Put en el momento de Ejercicio b Pagos netos (descontando la prima) de una Opción Put en el momento de ejercicio Precio de Ejercicio X =90 Precio de Ejercicio X =90 Pago = Max (X-S t,0) Prima = 10 Pago = Max (X-S t,0) - Prima La racionalidad que justifica la compra de una opción como la descrita anteriormente estriba en que se elimina la posibilidad de pérdidas más allá de un nivel pre-establecido por el precio de ejercicio X. Un ejemplo sencillo clarifica el concepto. Supóngase que se desea comprar una acción S cuyo precio actual es de COL$ 100. También se quiere eliminar la posibilidad de perdidas a un 10%, pero se desea conservar la posibilidad de ganancia que implica la valorización de la acción. 9

10 La limitación de las perdidas implica que se desea que en el momento de liquidar posiciones se pueda vender la acción S al menos por COL$ 90. Esto se consigue comprando una opción Put con precio de ejercicio X = COL$ 90. Ahora debemos analizar el resultado de combinar las dos posiciones (la compra de la acción S y de la opción Put). El análisis del resultado puede realizarse definiendo dos rangos (1: S t < X y 2: S t >X): Función Estrategia Opción Acción Rango Pagos Max(X-S t,0) Pagos Netos Max(X-S t,0) - P S t S t - S 0 S t < X S t > X S t < X S t > X Opción X - S t 0 X - S t - P - P + Acción S t S t S t - S 0 S t - S 0 = Total X S t X - S 0 - P S t - S 0 - P La combinación de las dos posiciones, la compra de la acción y del put, se muestra en la gráfica 3. Gráfica 3 a Pagos de una Opción Put y una acción en el momento de Ejercicio b Pagos netos (descontando la prima) de una Opción Put en el momento de ejercicio Precio de Ejercicio X =90 Precio de Ejercicio X =90 Pago = Max (X-S t,0) + S t Prima = 10 Pago = Max (X-S t,0) Prima + S t - S 0 Como se observa claramente el put protectivo (S+P), donde S es la acción y P es la prima un Put sobre 1 acción S, permite a su poseedor beneficiarse de un incremento en el precio de la acción y reducir las perdidas en caso de ocurrir lo contrario. La erogación inicial es S 0 + P 0, donde S 0 es el precio de compra de la acción y P 0 es la prima pagada por el Put. 10

11 El ejemplo anterior nos muestra que las posiciones en diferentes tipos de activos pueden combinarse o sumarse para producir utilidades (perfiles de pago) que favorezcan los intereses de su poseedor. Para los siguientes ejemplos nos concentraremos en hallar los resultados de combinar posiciones sin descontar los pagos iniciales (prima o compra del activo). Call Cubierto En este caso se combina la compra de una acción con la venta de un Call. Esta estrategia permite obtener utilidades de la venta de un Call, minimizando el nivel de perdidas en caso de un incremento en el precio de la acción mas allá del valor de la prima. Ya vimos en el ejemplo anterior la función de pago que se obtiene por la compra de una acción. La función de pago de la venta o emisión de un Call es el negativo de la obtenida por la compra del mismo. El Call Cubierto combina estas dos funciones. Veamos: Suponga que se adquiere una acción por $500 y no se desea mantenerla por un largo tiempo, se tiene la intención de venderla en cuanto su precio supere los $600. Existe alguna manera de incrementar la ganancia? La respuesta es si: Puesto que ya se posee la acción se puede emitir una opción Call con un precio de ejercicio de $600. El comprador de la opción solo la ejercerá cuando el valor de la acción exceda los $600, puesto que este era el valor de venta originalmente establecido, el emisor se siente satisfecho puesto que ha obtenido la ganancia establecida inicial y la ha incrementado con la prima recibida C 0. El análisis del resultado puede realizarse siguiendo la estrategia delineada para el Put Protectivo. Que sucede en caso de una reducción en el valor de la acción? A continuación se presenta la función de pago de la acción, donde no se ha descontado el valor de S 0 : Accion S T S 0 0 = S T - S Delta 100 S T Pago Pago Accion S T -S ST 11

12 En el caso de la venta o emisión de la opción se tiene (sin tener en cuenta la prima recibida): Venta Opcion Call S T 500 X 600 -C=Max(S T - X,0) 0 +C 0 0 = -C+C 0 0 S T Pago Pago Venta Opcion Call Max(S T -X,0)+C 0 ST Ahora se combinan (suman) las dos funciones, lo que resulta en el Call Cubierto: Call Cubierto S T - S C+C 0 0 = S T - S 0 -C+C S T Pago Pago Call Cubierto S T -S 0 -C+C ST 12

13 Paridad Put-Call Uno de los resultados más conocidos sobre las opciones europeas es la paridad Put-Call. Este resultado establece que el valor actual de un Put y una unidad del activo subyacente S son iguales al valor de un Call (sobre el mismo subyacente, idéntico precio de ejercicio X e igual vencimiento T) más el valor presente de un bono libre de riesgo de descuento puro con valor nominal de X, el precio de ejercicio, que madura en T. Esto es: Put 0 + S 0 = Call 0 + Pv(X) Si el subyacente fuera una acción que paga dividendos conocidos durante la vida de las opciones, la anterior ecuación se modifica a: Put 0 + S 0 = Call 0 + Pv(X) + Pv(Div) Cuando las opciones involucradas son americanas se obtiene la siguiente desigualdad: S 0 -X Call 0 - Put 0 S 0 - PV(X) Ejercicio temprano Se puede usar la paridad Put-Call para establecer particularidades respecto a la relación entre el valor de las opciones americanas y europeas. Analicemos el caso de las opciones Call, para esto re-expresamos la paridad de la siguiente manera, generalizando la expresión para cualquier momento t, entre la emisión y el vencimiento: Call t = S t - Pv(X) + Put t, adicionalmente Pv(X) = X.exp(-k f.(t-t)). Definamos Des(X) = X-Pv(X) = X.(1-exp(-kfT))>0 Luego Call t = S t X + Des(X) + Put t Valor Intrínseco Valor Temporal Por simple inspección podemos observar que el valor del Call siempre será superior al valor intrínseco, cuando S 0 X. Puesto que la única ventaja que un Call americano tiene sobre uno Europeo es su posibilidad de ejercicio temprano, y conociendo que la utilidad en este caso sería S t X, menor a la que se obtendría al venderlo, podemos concluir que no es óptimo ejercer el Call antes del vencimiento y que el valor de mercado de un Call americano es igual al de uno europeo. Este no es el caso para el Put. Se deja al lector interesado la argumentación para este caso. 13

14 Ejercicios Realizar el análisis anterior para las siguientes operaciones: Long Straddle: Compra de un Call y un Put sobre una acción con el mismo precio de ejercicio suponga que X = $500. Para que sirve? Forma (V) Spread: Compra de un Call con un precio de ejercicio de X 1 =450 y venta de un Call con un precio de ejercicio de X 2 =550. Los spreads son combinaciones de Calls (2 o mas) o Puts (2 o mas) exclusivamente, las cuales se compran o se venden (emiten). Forma (_/ ) Collar: Tenencia de una acción combinada con la compra de un put (X=400) y la venta de un call (X=600). Paridad Put-Call: Compare las siguientes estrategias, a. Put Protectivo: acción mas put con precio de ejercicio X b. Call con precio de ejercicio X mas la compra de bonos libre de riesgo (cero cupón) y valor nominal de X. Suponga una tasa libre de riesgo de k 0. Que conclusión se desprende, si no hay posibilidad de arbitraje. Compruebe que un Put americano vale más que uno europeo. Pruebe la relación de desigualdad Put-Call para opciones americanas

15 Swaps Un swap es un acuerdo entre dos empresas para intercambiar flujos de caja en el futuro. El acuerdo normalmente incluye los vencimientos de dichos intercambios y la forma de calcular su monto. Desde este punto de vista un contrato forward (a plazo) es un swap, con un solo plazo. Veamos un ejemplo. Un swap de moneda es un intercambio de flujos de caja en 2 monedas diferentes, normalmente envuelve dos bonos con similares vencimientos expresados en las 2 monedas transadas. Se intercambian los cupones y el principal. Suponga que General Motors ha emitido bonos denominados en yenes japoneses, debido a que las condiciones del mercado japonés son favorables. Sin embargo el grueso de sus ingresos esta denominado en dólares. Por otro lado Honda esta construyendo una fabrica en USA y requiere dólares, aunque el grueso de sus ingresos esta expresado en yenes. Como resultado de sus necesidades de efectivo y sus ingresos GM y Honda acuerdan un swap. GM recibirá yenes que le permitirán cubrir los cupones y el principal de los bonos que emitió en el mercado japonés y pagará dólares. Honda recibirá dólares y pagará en yenes en su mercado local. Pregunta Conceptual: Establezca que el valor esperado (presente o futuro) de un swap es cero. Para tal fin utilice los flujos que acompañan la emisión de dos bonos. Sea el bono a expresado en yenes (valor nominal 8000, cupón 5%) y el bono b expresado en US (valor nominal 100, cupón 7%). Suponga que la tasa actual es de 80Y/US y el comportamiento esperado de la misma responde al efecto Fisher. Compruebe que el valor neto de los intercambios es de cero

16 1.1 Estructura de un Contrato de Futuros Peso/Dólar Un contrato de futuros se establece cuando el comprador de los futuros y el vendedor de los mismos, cualquiera que sea el activo subyacente acuerdan su precio a la entrega, el número de contratos a intercambiar y el mes de entrega. En una bolsa establecida el vencimiento (entrega) de los contratos (la fecha en que el intercambio se debe realizar) se realiza en un día especifico (normalmente hacia el final de mes) de determinados meses. La cámara de compensación de la bolsa se encarga de realizar los ajustes a las diferentes posiciones abiertas en los diferentes contratos transados. Suponga que en Colombia existe una bolsa de futuros Peso/Dólar (TRM), que negocia contratos C de compraventa de dólares por un monto unitario de US$ , que maduran el 3er Miércoles de cada mes. Garantía La bolsa exige una garantía (Margin) en pesos igual a nxcxtrmx%n. Donde n es el numero de contratos abiertos, C es el tamaño del contrato y TRM es la tasa de cambio spot COL/US del día en que se pacta el futuro y %n es un valor que puede variar según la volatilidad de la divisa y que actualmente es igual al 5%. Esta garantía tiene el propósito de reducir el riesgo de no pago y cada contraparte debe suscribirla Ajuste de Garantía Si la garantía llegara a reducirse al 75% de su valor original, en virtud de las oscilaciones de la tasa de futuros, la contraparte afectada deberá reponerla a su nivel original, realizándose un ajuste de la garantía (Margin Call). Este nivel original es el establecido en la fecha de apertura del contrato, no el que resulta del nuevo precio de la divisa (Esta es una convención, no hay ninguna razón por la cual no pudiera realizarse de esta forma). Mecánica de operación Al cerrarse la operación, las contrapartes depositan la garantía. Al finalizar la rueda de ese día, la bolsa calcula los ajustes que deben realizarse a cada posición. Si F 0 identifica a la tasa a futuro pactada al cierre de la operación y F 1 a la tasa a futuro calculada por la bolsa al final del día, la perdida o ganancia para una posición larga (compra de futuros) es igual a n(c)(f 1 -F 0 ). La racionalidad de este calculo estriba en que F 1 es el precio de venta (o el valor final del activo subyacente) y F 0 el precio de compra. Estos valores normalmente se expresan en la moneda legal donde opera la bolsa de futuros. Naturalmente la posición corta es el espejo de la larga con lo que la perdida o ganancia de la posición larga es la ganancia o perdida de la corta (n(c)(f 0 -F 1 )). La cámara de compensación abona o descuenta este valor de la garantía depositada por cada contraparte. Al siguiente día la tasa de referencia es F1 y el calculo de la utilidad es n(c)(f 2 -F 1 ) para el comprador de futuros. Toda vez que las perdidas acumuladas reduzcan la garantía por debajo de la cota mínima aceptada (75%) la contraparte afectada deberá reponerla a su nivel original. Al vencerse el contrato de futuros las utilidades o pérdidas acumuladas para el comprador de futuros corresponden a: Utilidad nc n F i F i 1 lo cual se simplifica en F F 0 i 1 nc n. 16

17 Si recordamos que la tasa F n corresponde al precio spot de la divisa al vencimiento del futuro (S n ) 1, la formula para la utilidad total es: Utilidad nc S n F 0 Otra forma de contabilizar la utilidad corresponde a: Utilidad GF GI AG Donde GF corresponde al nivel final de la garantía (en caso de no existir ningún retiro), GI al depósito inicial y AG a los ajustes acumulados de la garantía. Ejemplo: Al finalizar la rueda (o al inicio de la rueda del siguiente día) de negociación de cierto día, 2 personas, Luís y Ana, acuerdan por intermedio de sus respectivos comisionistas entrar en un contrato de futuros Peso/Dolar. Luís acuerda comprar un (1) contrato de futuros a una tasa de COL/US y Ana acuerda venderlo. El contrato vence en 10 días. Al vencimiento del contrato la tasa de futuros ha oscilado de la siguiente manera: F t TC COL/US 0 2, , , , , , , , , , , Recuerde que un contrato de futuros se liquida diariamente. Encuentre la utilidad diaria de ambas posiciones, los cambios en los niveles de garantía, y los ajustes requeridos a las garantías, si es que se requieren. 1 De existir diferencia entre el precio futuro al vencimiento y el spot habría lugar a arbitraje. Si F n >S n se compran dólares en el mercado spot y se venden en el de futuros con ganancia inmediata, si F n <S n se realiza la operación contraria. 17

18 Caracteristicas del Contrato Contrato (C) 25,000 US %Garantia 5.00% Col Garantia US 1,250 TC Spot COL/US 2,820 Garantia COL 3,525,000 por contrato Ajuste Garantia 75.00% de Garantia inicial Aj. Garantia COL 2,643,750 por contrato Numero de contratos (n) 1 Encuentre los valores adecuados para cada casilla y realice un ejercicio similar para la posición opuesta. Util Diaria F t TC COL/US UD i = (F i - F i-1 )nc 0 2, ,525,000 3,525, , (F 1 -F 0 )nc = - 200,000 3,325,000-3,325, , , (F 2 -F 1 )nc = - 850,000 2,475,000 1,050,000 3,525,000-1,050, , : 175,000 3,700,000-3,700, , , : 875,000 4,575,000-4,575, , : 825,000 5,400,000-5,400, , , : 1,200,000 6,600,000-6,600,000 2,025, , : - 1,500,000 5,100,000-5,100, , , : - 150,000 4,950,000-4,950, , , : 750,000 5,700,000-5,700,000 1,125, , (F 10 -F 9 )nc = - 725,000 4,975,000-4,975, ,000 Utilidad Balance Final Garantia 4,975,000 - Ajustes de Garantia - 1,050,000 - Garantia Inicial - 3,525,000 = Utilidad 400,000 Directo (F 10 -F 0 )nc = 400,000 UD i = 400,000 Total AG 1,050,000 Luego UD i = (F 10 -F 0 )nc = (S 10 -F 0 )nc Comprobar esta igualdad Garantia Compra US Luis Ajuste Garantia (AG) Balance Garantia Utilidad acumulada 18

19 Plantilla Contrato de Futuros La siguiente plantilla, una derivación de la anterior, puede modificarse a voluntad para diferentes tipos de contratos. PERFIL DE PAGOS De UN FUTURO Posición Larga: 1 ro compra Monto C US$ 5,000 2 do venta Garantia pesos #COL COL$ 160 #Contratos Mantenimiento %M 87.50% Posicion n 3 +:Larga/- Corta Garantía en pesos GC COL$ 800,000 =C*#COL Gar. Total GT 2,400,000 =Abs(n)GC Mantenimiento MC COL$ 700,000 =%M*GC Mtto Total M 2,100,000 =Abs(n)MC Condición Retiro 1 1:Si,2:No U. diaria Fi TC COL/US UD i = Garantia Ajuste Larga Balance U i G i A i B i UA i =(F i -F i-1 )nc =B i-1 +U i =SI(G i <M,GT-G i,0) =G i +A i U i 0 2,400 2,400,000 2,400, ,420 + (F 1 -F 0 )nc = 300,000 2,700,000 (300,000) 2,400, , ,455 + (F 2 -F 1 )nc = 525,000 2,925,000 (525,000) 2,400, , ,415 + : (600,000) 1,800, ,000 2,400, , ,385 + : (450,000) 1,950, ,000 2,400, , ,450 + : 975,000 3,375,000 (975,000) 2,400, , ,465 + : 225,000 2,625,000 (225,000) 2,400, , ,500 + (F 7 -F 6 )nc = 525,000 2,925,000 (525,000) 2,400,000 1,500,000 Ganancia: U i = 1,500,000 Aj. T. Gar. (1,500,000) Ai (St-X)*Cont*n*Pos 1,500,000 B. F. Garantia 2,400,000 - Aj. T. Garantia 1,500,000 - Garantia Total - 2,400,000 = Utilidad 1,500,000 Utilidad acumulada 19

20 1.2 Diagramas de Utilidad Es usual con los activos derivados trabajar con funciones de pago. Estas funciones de pago son aplicaciones al plano cartesiano (X-Y) de los resultados de las operaciones (o posiciones) con este tipo de activos. La función de X o variable independiente es asignada al precio del activo subyacente (S T ), en muchos casos una acción. La variable dependiente Y es el resultado de la estrategia de inversión. Ejemplo: Suponga que usted abre un contrato de compra de futuros sobre el activo S a un precio X el cual se vence en el periodo T. Su utilidad al vencimiento Y será f(s T ) = S T -X. El diagrama de utilidad es la expresión gráfica de esta ecuación. En los diagramas de utilidad se pueden combinar los pagos de diferentes activos sea que estos se compren (posición larga) o se vendan (posición corta). A continuación se explica el procedimiento para realizar tal tarea en Excel. Graficando Forwards La ganancia final de una opción depende del precio final del activo subyacente. Para un forward la ganancia al vencimiento es: 2. S T - X, cuando se compra el forward (Posición larga). 3. X - S T, cuando se vende el forward (Posición corta). Graficaremos la posición larga. Para graficar la ganancia del forward como función del precio de la acción al vencimiento S T podemos acudir a la función de tabla de datos de Excel, para encontrar la ganancia final del forward para diferentes valores de S T. La tabla de datos permite hallar el resultado de una formula o modelo cuando una o dos variables que la definen toman diferentes valores. En este caso la función o modelo es S T -X y la variable independiente es S T. Para tal fin deben organizarse los datos de la siguiente forma: 20

21 Ahora debe seleccionarse la zona de la tabla de datos (encerrada entre los bordes oscuros) e invocar el comando [Herramientas de Datos/ Análisis Y si/tabla de datos], que muestra el siguiente menú de dialogo. En este caso la variable que cambia es S T (la columna izquierda del área seleccionada) ubicada en la celda B3 de la formula básica. Para este ejemplo sencillo no existen cambios para una segunda variable, luego el menú debe llenarse así: Una vez finalizado el procedimiento el siguiente es el resultado: Gráfica Excel provee las herramientas para graficar este resultado: 21

22 Graficando Opciones La ganancia final de una opción depende del precio final del activo subyacente. Para una opción Call se tienen las siguientes posibilidades: 4. S T >X, en este caso es óptimo ejercer la opción y la ganancia corresponde a la diferencia entre el precio de compra X y el valor de mercado S T. Considere que usted vende la acción inmediatamente después de ejercer la opción, su ganancia corresponde al precio de venta menos el precio de compra: S T -X. 5. S T <=X, en este caso la opción no se ejerce, puesto que es mas barato comprar la acción en el mercado que ejerciendo la opción, su ganancia corresponde a 0. Una función que representa la ganancia en todo el rango de valores de S es Max (S T -X,0). Esta función esta definida en el Excel y por lo tanto puede usarse para graficar la ganancia al vencimiento de la opción Call. Para graficar la ganancia de la opción como función del precio de la acción al vencimiento S T acudimos nuevamente a la función de tabla de datos de Excel, para encontrar la ganancia final de la opción para diferentes valores de S T. En este caso la función o modelo es Max (S T -X,0) y la El estructura del modelo es similar al del variable es S T. forward. Por tal motivo solo se presenta el resultado final y la gráfica: 22

23 Ejercicios 1. Realice un ejercicio similar para una opción Put con X (precio de ejercicio) de $ Cuál es el resultado de comprar una opción Put con precio de ejercicio de $1800 y comprar una opción Call con el mismo precio de ejercicio? En este caso una condición es que las dos opciones maduran simultáneamente (aunque esta condición no aplica si la opciones son tipo americano). 3. Al comprar una opción se debe pagar una prima. Asuma que este valor es $40. Incorpore este cambio en su modelo

24 1.3 Conceptos de Cobertura con Derivados El concepto de cobertura puede entenderse fácilmente cuando un agente combina 2 posiciones diferentes: 1) la posición, natural, que implica la exposición al riesgo; 2) la posición en el derivado que implica una exposición opuesta al riesgo. El resultado puede implicar una eliminación total o parcial del riesgo o, mejor aún, una exposición al riesgo limitada al lado positivo ( up side ) del mismo. Cobertura de una posición larga Examinemos la exposición natural al riesgo, suponiendo, inicialmente, una posición larga. Sin pérdida de generalidad asumamos que el agente ha emitido una factura o cuenta por cobrar (CxC) en otra divisa que se hará efectiva en algún momento en el futuro, por ejemplo 90 días. Supóngase, además, que el agente considera que una tasa de cambio, que llamaremos precio de equilibrio (P eq ), no le produce ni ganancias ni perdidas en lo relativo a la exposición al riesgo cambiario. Esto implica que el agente al considerar esta venta al exterior considera que P eq es el valor adecuado que debe recibir por sus productos. La ganancia (o pérdida) que el agente recibiría por su exposición cambiara por cada unidad de la divisa es: P 90 -P eq, donde P 90 es el precio de mercado de la divisa el día 90, al cual se liquida una transacción en el mercado spot. Si el precio de equilibrio es $1,000 y el precio de liquidación de la divisa, cuando se paga la factura y se convierte a moneda local, es $1,100, la utilidad por divisa es $100. Por el contrario si el precio de liquidación es $900, la pérdida es $100. Gráficamente Utilidad P eq Pt CxC 24

25 a. Cobertura tomando posición en Forwards o Futuros Esta exposición puede compensarse hoy tomando una posición corta en forwards 2 (-F) o vendiendo futuros de esa divisa. Si la tasa pactada de venta, o precio de ejercicio, es X, la ganancia (o pérdida) que el agente recibiría por cada unidad de divisa es: X-P 90. Si X es $1,000 y el precio de liquidación de la divisa es $1,100, la pérdida por divisa es $100. Por el contrario si el precio de liquidación es $900, la utilidad es $100. Gráficamente Utilidad X Pt F Las posiciones combinadas son entonces CxC F= P 90 P eq + X P 90 = X P eq, lo cual es constante para cualquier P 90. Si X es igual a P eq, lo ideal, el resultado de la cobertura es cero, lo que implica una indiferencia total al riesgo. 2 Esto implica un contrato para vender la divisa en un momento específico en el futuro, en este caso en 90 días. Los contratos forward y los futuros son esencialmente el mismo contrato, solo difieren en su parte operacional: Los forward se liquidan al vencimiento, mientras que los futuros son liquidados parcialmente en forma diaria. 25

26 Gráficamente Utilidad X Pt -150 P eq CxC -F CxC + -F Si el precio de mercado es de $1,100, al combinar las ganancias de la cuenta por cobrar de $100 (P 90 -P eq =$1,100-$1,000) con las pérdidas del forward -$100 (X-P 90 =$1,000-$1,100), el resultado neto es 0. Si el precio de mercado es de $900, al combinar las pérdidas de la cuenta por cobrar -$100 (P 90 -P eq =$900-$1,000) con las ganancias del forward $100 (X- P 90 =$1,000-$900), el resultado neto también es 0. Como ya se dijo, esta posición es perfectamente neutral al riesgo. b. Cobertura tomando posición en Opciones Sin embargo, el caso anterior descarta la posibilidad de obtener utilidades en caso de que la tasa al vencimiento (P 90 ) haya evolucionado favorablemente en relación a la posición del agente. Una alternativa que permite aprovechar esta coyuntura, en caso de presentarse, es la compra de opciones de venta (Put). En este caso el poseedor de la opción obtiene un derecho de venta de la divisa en el día 90, pero no la obligación 3. Esto significa que el agente solo vende la divisa a la contraparte al precio establecido (X) si le conviene hacerlo, lo cual sucede cuando el precio de mercado es inferior al precio de ejercicio; en este caso su utilidad es igual a la de la venta del forward X-P 90. Por el contrario, si el precio de mercado es superior al precio de ejercicio, el agente simplemente no hace uso del derecho, y vende las divisas en el mercado spot; en este caso la utilidad de la opción es cero. Por supuesto, por este derecho de venta el agente debe pagar una prima a la contraparte. Se puede entonces plantear la siguiente tabla para describir la utilidad de una opción de venta: { Esta función se describe mejor como Max(X-P t,0), a la que se le resta la prima pagada por la opción. 3 Esta es una opción de venta Europea, la cual solo puede ejercerse el día del vencimiento. Existen opciones que pueden ejercerse durante la vida de la opción, estas opciones se denominan Americanas. 26

27 Gráficamente Utilidad X Pt Put La gráfica anterior supone que el precio de ejercicio es $1,000 e incluye la reducción en la utilidad por una prima pagada de $30. Al combinar las posiciones en la cuenta por cobrar y la opción de venta (Put), obtenemos: {, lo cual se simplifica a { Si X=P eq, como es el caso de nuestro ejemplo, el agente ha limitado sus pérdidas, cuando el precio de la divisa cae por debajo de X, a 0 (X-P eq =$1,000 -$1,000) menos la prima; mientras que si el precio sube por encima de X, su utilidad es P 90 -P eq, menos la prima. 27

28 Gráficamente Utilidad X Pt -150 P eq CxC Put CxC + Put La gráfica anterior supone que el precio de ejercicio es $1,000 e incluye la reducción en la utilidad por una prima pagada de $30. El caso merece una explicación un poco más detallada, si, por ejemplo el precio de mercado de la divisa al vencimiento es $1,100, la utilidad por la cuenta por cobrar es $100 (P 90 -P eq = $1,100 - $1,000); la opción vence sin ser ejercida por lo que su utilidad es 0, y la utilidad combinada sigue siendo $100 menos la prima. En caso de un precio de la divisa de $900, se tiene una utilidad negativa por la cuenta por cobrar de -$100 (P 90 -P eq = $900 - $1,000); la opción se ejerce, puesto que el agente vende óptimamente a la contraparte la divisa a un precio superior al del mercado, y se genera una utilidad de $100 (X-P t =$1,000 - $900), al combinar ambas la utilidad es 0, con lo que el agente ha eliminado el riesgo de down side, pero aprovecha la subida de precio de la divisa. 28

29 Cobertura de una posición corta Examinemos la exposición al riesgo de una posición corta. Sin pérdida de generalidad asumamos que el agente tiene una cuenta por pagar (CxP) en otra divisa que se hará efectiva en algún momento en el futuro, por ejemplo los 90 días del caso anterior. Supóngase, además, que el agente considera, al igual que antes, que una tasa de cambio, que llamaremos precio de equilibrio (P eq ), no le produce ni ganancias ni perdidas en lo relativo a la exposición al riesgo cambiario. Esto implica que el agente al considerar esta compra al exterior considera que P eq es el valor adecuado que debe pagar por lo que ha adquirido. La ganancia (o pérdida) que el agente recibiría por su exposición cambiara por cada unidad de la divisa es: P eq -P 90, donde P 90 es el precio de mercado de la divisa el día 90, al cual se liquida una transacción en el mercado spot. Si el precio de equilibrio es $1,000 y el precio de liquidación de la divisa, cuando el agente adquiere la divisa y paga la factura, es $1,100, la pérdida por divisa es $100. Por el contrario si el precio de liquidación es $900, la utilidad es $100. Gráficamente Utilidad P eq Pt CxP a. Cobertura tomando posición en Forwards o Futuros Esta exposición puede compensarse hoy tomando una posición larga en forwards (+F) o comprando futuros de esa divisa. Si la tasa pactada de venta, o precio de ejercicio, es X, la ganancia (o pérdida) que el agente recibiría por cada unidad de divisa es: P 90 - X. Si X es $1,000 y el precio de liquidación de la divisa es $1,100, la utilidad por divisa es $100. Por el contrario si el precio de liquidación es $900, la pérdida es $

30 Gráficamente Utilidad X Pt F Las posiciones combinadas son entonces CxP + F= P eq P 90 + P 90 X= P eq X, lo cual es constante para cualquier P 90. Si X es igual a P eq, lo ideal, el resultado de la cobertura es cero, lo que implica una indiferencia total al riesgo. Gráficamente Utilidad X Pt -150 P eq CxP F CxP + F Si el precio de mercado es de $1,100, al combinar las pérdidas de la cuenta por pagar de - $100 (P eq P 90 =$1,000 $1,100) con las ganancias del forward $100 (P 90 X = $1,100 $1,000), el resultado neto es 0. Si el precio de mercado es de $900, al combinar las ganancias de la cuenta por cobrar $100 (P eq P 90 =$1,000 $900) con las pérdidas del forward -$100 (P 90 X = $900 $1,000), el resultado neto también es 0. Como ya se dijo, esta posición es perfectamente neutral al riesgo. 30

31 b. Cobertura tomando posición en Opciones Análogamente al caso anterior, la cobertura con forwards (o futuros) descarta la posibilidad de obtener utilidades en caso de que la tasa al vencimiento (P 90 ) haya evolucionado favorablemente en relación a la posición del agente. Una alternativa que permite aprovechar esta coyuntura, en caso de presentarse, es la compra de opciones de compra (Call). En este caso el poseedor de la opción obtiene un derecho de compra de la divisa en el día 90, pero no la obligación. Esto significa que el agente solo compra la divisa a la contraparte al precio establecido (X) si le conviene hacerlo, lo cual sucede cuando el precio de mercado es superior al precio de ejercicio; en este caso su utilidad es igual a la de la compra del forward P 90 -X. Por el contrario, si el precio de mercado es inferior al precio de ejercicio, el agente simplemente no hace uso del derecho, y compra las divisas en el mercado spot; en este caso la utilidad de la opción es cero. Por este derecho de compra el agente debe pagar una prima a la contraparte. Se puede entonces plantear la siguiente tabla para describir la utilidad de una opción de compra: { Esta función se describe mejor como Max(P t -X,0), a la que se le resta la prima pagada por la opción. Gráficamente Utilidad X Pt Call La gráfica anterior supone que el precio de ejercicio es $1,000 e incluye la reducción en la utilidad por una prima pagada de $30. Al combinar las posiciones en la cuenta por pagar y la opción de compra (Call), obtenemos: {, lo cual se simplifica a 31

32 { Si X=P eq, como es el caso de nuestro ejemplo, el agente ha limitado sus pérdidas, cuando el precio de la divisa sube por encima de X, a 0 (X-P eq =$1,000 -$1,000) menos la prima; mientras que si el precio cae por debajo de X, su utilidad es P eq -P 90, menos la prima. Gráficamente Utilidad X Pt -150 P eq CxP Call CxP + Call La gráfica anterior supone que el precio de ejercicio es $1,000 e incluye la reducción en la utilidad por una prima pagada de $30. Si el precio de mercado de la divisa al vencimiento $900, la utilidad por la cuenta por pagar es $100 (P eq -P 90 = $1,000 - $900); la opción vence sin ser ejercida por lo que su utilidad es 0, y la utilidad combinada sigue siendo $100 menos la prima. En caso de un precio de la divisa de $1,100, se tiene una utilidad negativa por la cuenta por pagar de -$100 (P eq -P 90 = $1,000 - $1,100); la opción se ejerce, puesto que el agente compra óptimamente a la contraparte la divisa a un precio inferior al del mercado, y se genera una utilidad de $100 (P t -X=$1,100 - $1,000), al combinar ambas la utilidad es 0, con lo que el agente ha eliminado el riesgo de down side, pero aprovecha la bajada de precio de la divisa. Cabe preguntarse por qué es tan popular el uso de los futuros y los forwards vs. las opciones en lo que se refiere a cobertura. La respuesta es la prima, usualmente el cambio en el valor del subyacente debe ser relativamente muy grande para que el agente con cobertura termine en punto de equilibrio. En nuestro ejemplo, el precio de la divisa debe subir o bajar $30 antes de que el agente, empiece a obtener utilidades. Naturalmente un subyacente con mucha volatilidad puede subir o bajar mucho de precio. Sin embargo, la volatilidad también incrementa el valor de la prima. 32

33 Práctica de Excel El siguiente instructivo permite deducir el desempeño de las diferentes estrategias planteadas en este capítulo A B C D E F G H 1 CxC Pt CxC -F CxC + -F P t X 1000 Delta Peq Prima Utilidad CxC -100 =Pt-Peq F 100 =X-Pt CxC + -F

34 El área sombreada de gris es una tabla de datos (Datos/Análisis Y si/tabla de Datos), que cambia con Pt, Posteriormente se pueden graficar los resultados en forma independiente o conjunta como se muestra en la sección anterior. Para cada estrategia descrita en el texto aplican las siguientes fórmulas: 1. Cuenta por cobrar y Forward corto A B C 1 CxC P t 900 X 1000 Peq 1000 Prima 30 Utilidad =B1 =B2-B4 =Pt-Peq -F =B3-B2 =X-Pt =A7&" + "&A8 =SUMA(B7:B8) 34

35 2. Cuenta por cobrar y Opción de Venta A B C 2 CxC P t 900 X 1000 Peq 1000 Prima 30 Utilidad =B1 =B2-B4 =Pt-Peq Put =MAX(B3-B2,0)-B5 =Max(X-Pt,0)-Prima =A7&" + "&A8 =SUMA(B7:B8) 3. Cuenta por pagar y Forward largo A B C 3 CxP P t 900 X 1000 Peq 1000 Prima 30 Utilidad =B1 =B4-B2 =Peq-Pt F =B2-B3 =Pt-X =A7&" + "&A8 =SUMA(B7:B8) 4. Cuenta por pagar y Opción de Compra A B C 4 CxP P t 900 X 1000 Peq 1000 Prima 30 Utilidad =B1 =B4-B2 =Peq-Pt Call =MAX(B2-B3,0)-B5 =Max(Pt-X,0)-Prima =A7&" + "&A8 =SUMA(B7:B8) 35

36 1.4 Utilidad y Retorno de Inversión en opciones En capítulos anteriores se definió la función de utilidad para las opciones de compra y de venta. Es usual descontar el valor de la prima al mostrar la utilidad neta, ignorando el hecho de que son flujos que se dan en periodos de tiempo no coincidentes. Al llevar el pago de la prima al momento del vencimiento t, a la tasa libre de riesgo kf, se elimina el problema. Luego, al vencimiento la utilidad por la compra de una opción de compra o de venta sería: Utilidad Opción de Compra = ( ) ( ) Utilidad Opción de Venta = ( ) ( ) C0 y P0 son el valor de las primas pagadas por la opción de compra y la opción de venta, respectivamente, recibidas en el momento 0. La expresión exp(kft) denota el factor que convierte los valores anteriores a valor futuro 4. Opción de Compra Puesto que una opción de compra genera más utilidades potenciales cuando el precio de ejercicio es menor, se infiere que la prima pagada por una opción tal es mayor que la prima de una opción equivalente, que solo difiere de la primera por tener un precio de ejercicio superior. Este hecho se observa en la gráfica a continuación para una opción de compra (Call) con las siguientes condiciones: Valor del subyacente en el momento de compra S 0 =100 Tiempo al vencimiento t=3/12 años Tasa libre de riesgo kf=3.0% Precio de ejercicio X= 90 hasta 110 en incrementos de 5 y sus correspondientes primas 5 : X C(0) Esta es una tasa continua. 5 Las primas están calculadas con la fórmula de Black-Scholes. Se asume adicionalmente un tiempo al vencimiento de 0.25 años y volatilidad de 35%. Esto también aplica para las primas de la opción de venta de la siguiente sección. 36

37 20 Utilidad Call ,00 85,00 90,00 95,00 100,00 105,00 110,00 115,00 120, La gráfica ilustra la utilidad de una opción de compra (Call) al vencimiento para diferentes precios de ejercicio y expresando las primas pagadas a valor futuro. Como se observa la más costosa es la que tiene un precio de ejercicio más bajo, compensado por el hecho de que es la primera que ante un cambio favorable del precio, un incremento del valor del subyacente al vencimiento, obtiene utilidades positivas. Si la utilidad neta es dividida por la inversión, la prima pagada expresada a valor futuro, tenemos el retorno de la inversión, como se observa a continuación: 37

38 250% Retorno Call 200% 150% 100% % 0% -50% 80,00 85,00 90,00 95,00 100,00 105,00 110,00 115,00 120,00-100% -150% Es interesante observar que a pesar de ser la más costosa, la opción con precio de ejercicio de 90 es la menos agresiva de todas. La razón de este comportamiento es que el inversionista que elige esta opción en realidad asume un menor riesgo que el inversionista que opta por la opción con precio de ejercicio mayor. Opción de Venta Igual tipo de análisis puede realizarse para la opción de venta (Put). Como la utilidad potencial crece con precios de ejercicio inferiores, las primas son mayores entre mayor sea el precio de ejercicio. Este hecho se observa en la gráfica a continuación para una opción de venta (Put) con condiciones similares a las anteriores: Valor del subyacente en el momento de compra S 0 =100 Tiempo al vencimiento t=3/12 años Precio de ejercicio X= 90 hasta 110 en incrementos de 5 y sus correspondientes primas: X P(0)

39 20 Utilidad Put ,00 85,00 90,00 95,00 100,00 105,00 110,00 115,00 120, De manera análoga como sucede con la opción de compra, la opción de venta con el mayor potencial de utilidad, en este caso la de mayor precio de ejercicio, es la más costosa. Esto se compensa frente a variaciones favorables del subyacente al vencimiento. Igualmente, al graficar el retorno se obtiene: 350% Retorno Put 300% 250% 200% 150% % 50% 0% 80,00-50% 85,00 90,00 95,00 100,00 105,00 110,00 115,00 120,00-100% -150% 39

40 La opción más costosa, como antes, es la menos agresiva de todas. Al elegir esta opción el inversionista asume un riesgo menor que el inversionista que opta por la opción con precio de ejercicio menor. Adicionalmente debe observarse que la rentabilidad de este tipo de inversiones puede llegar, en el peor de los casos, a -100%, una perdida completa; lo que muestra a las claras lo agresivo de este tipo de operaciones. 40

41 Práctica en Excel Opción de Compra El objetivo es observar numérica y gráficamente el impacto de diferentes precios al vencimiento, St, en la utilidad neta de una posición larga en una opción de compra (Call). Inicialmente se almacena el precio al vencimiento St en la celda C7. Los precios de ejercicio en incrementos de 5 se almacenan en el rango C8:G8. En las celdas C9 a G9 se formula la utilidad de la opción Max(St-X,0), con la precaución de fijar la celda C7. La fórmula almacenada en la celda C9 es =MAX($C$7-C8,0), al copiarla hacia la derecha hasta la celda G9, se calculan las funciones de utilidad para los diferentes precios de ejercicio. En las celdas C11 a G11 se proyecta a valor futuro el precio de la prima y en las celdas C12 a G12 se calcula la utilidad neta. En ambos casos se usan las fórmulas ya descritas A B C D E F G Call Delta X 5 Fecha 01/11/2009 Utilidad kf 3.0% t 0.25 años Sigma 35.0% Vto 31/01/2010 S St 100 X Call VI(t):Max(St-X,0) Prima(0) C(0) Prima(t) C(0)*e(kf*t) Utilidad Call =VI(t)-Prima(t) Una vez calculada la utilidad para diferentes precios de ejercicio se evalúa el efecto que sobre ella tiene diferentes valores del activo subyacente al vencimiento (St). Esto se puede realizar a través de una tabla de datos. Para esto se toman valores de St entre 80 y 120, en incrementos de 2.5, los cuales se guardan en el rango B13:B29. Para calcular el resultado de la posición se selecciona el rango B12:G29 y a través de la tabla de datos (Datos/Análisis Y si/tabla de datos) se define la celda C7, donde se almacena St, como la variable independiente que cambia entre los valores ya definidos. Los resultados se grafican como se mostró previamente. 41

42 Para el cálculo de la rentabilidad dividimos la utilidad sobre la inversión: ( ( ) ( )) ( ) ( ) ( ). Estos valores se almacenan en las celdas C33 a G33, en el mismo orden anterior. En el rango B34:B50 se guardan los valores para St entre 80 y 120, análogamente al paso anterior, y finalmente con la función tabla se calculan las rentabilidades seleccionando el rango B33:G50, con la celda de entrada C7, que es la celda donde se almacena el valor de St. 42

43 Opción de Venta La única diferencia con el caso anterior es la utilidad de la opción. En este caso se debe almacenar en las celdas C9 a G9 la función Max(X-St,0), la fórmula almacenada en la celda C9 es =MAX(C8-$C$7,0). En todo lo demás se procede como en el caso anterior A B C D E F G Put Delta X 5 Fecha 01/11/2009 Utilidad kf 3.0% T 0.25 años Sigma 35.0% Vto 31/01/2010 S St 100 X Put VI(T):Max(X-St,0) Prima(0) P(0) Prima(T) P(0)*e(kf*T) Utilidad Put =VI(T)-Prima(T) 43

44 2. Proceso Lognormal El proceso lognormal presupone que el precio de un activo nunca puede ser negativo. El precio del activo tiene una tendencia (normalmente creciente) estable a lo largo del tiempo, sin embargo sus valores puntuales son esencialmente aleatorios. El supuesto fundamental plantea que la distribución de probabilidad de los retornos continuos es normal, así: (2-1) [ ] es el precio del activo en el periodo t, el retorno en el periodo. Esto implica que ~ r t St t ln S t t Puesto que asumimos que la distribución de r t t es normal se tiene: Distribución de [( ) ] Por lo que podemos re-expresar (1), como: (2-2) [( ) ] con Z ~ ~ N 0,1 Si disponemos de series históricas de los precios de los activos podemos hallar los parámetros y usando las siguientes formulas, que resultan de (2): * ( )+ [( ) ]=( ) * ( )+ [( ) ]= Finalmente se obtiene: ( ) [ ( )] ; [ ( )] Sabemos que t=t/n, donde T implica el horizonte sobre el cual se calculan los parámetros y n el número de periodos en el que se divide. T es usualmente igual a un año, tomando el valor de T = 1, por lo que t=1/n*, n* puede tomar el valor de 12 (si los datos son mensuales), alrededor de 242 (si los datos son diarios, solo días hábiles), 365 (si los datos son diarios, días calendario), etc. 44

45 (2-3) ( ) * ( )+ ; * ( )+ Con esta expresión podemos hallar los parámetros de un proceso lognormal para un activo particular con base en los datos históricos y simular series de precios de activos con estos parámetros. Veamos 1. Cálculo de la media y varianza anualizada: En la tabla Tabla 2-1 se listan los precios de final de semana y mes del ADR 6 de Ecopetrol y se calcula su retorno de manera discreta y continua. Es usual en la práctica de negocios el uso de retornos y tasas discretas, aun cuando la manipulación de las tasas discretas genera las diferencias entre tasas nominales y efectivas. Este problema desaparece cuando se usan tasas continuas. El retorno discreto se calcula como, su contraparte continua es ( ). A menor t la diferencia entre estos retornos se reduce. Tabla 2-1 Precios y retornos mensuales y semanales ADR de Ecopetrol, de 03/2009 a 04/2013 Retornos discretos y continuos, no todos los periodos se muestran Rentabilidad y Varianza Retorno Retorno Mes-año Mes (t) Precio Discreto Continuo 03/ / % =(St+1/St) % =ln(st+1/st) 05/ % : 16.48% : 06/ % : 9.15% : 07/ % : 12.11% : 08/ % : % : 09/ % : 5.63% : 10/ % : % : 11/ % : 2.70% : 12/ % : % : 01/ % : 0.39% : 01/ % : 2.24% : 02/ % : % : 03/ % : % : 04/ % : % : 6 ADR: American Depositary Receipt. Un ADR representa 1 o más acciones de una empresa no estadounidense, originalmente listada en otro país, que se negocian en bolsas de EE. UU. 45

46 Retorno Retorno Sem-año Semana (t) Precio Discreto Continuo 30/03/ /04/ % =(St+1/St) % =ln(st+1/st) 13/04/ % : 1.03% : 20/04/ % : 3.39% : 27/04/ % : 0.93% : 04/05/ % : 10.45% : 11/05/ % : % : 18/05/ % : 5.06% : 26/05/ % : 3.40% : 01/06/ % : 6.29% : 08/06/ % : 4.25% : 16/02/ % : 2.19% : 22/02/ % : 3.50% : 01/03/ % : 3.57% : 08/03/ % : 0.93% : 15/03/ % : % : 08/04/ % : % : 15/04/ % : % : 22/04/ % : % : Ahora calculamos la media y la varianza de este título, tanto con datos mensuales como semanales: Mensual n 12 t =1/n Discreto Continuo Retorno ' = t 2.51% =promedio(ri) 2.20% =promedio(ri) P =P0.(1+ ')^ =P0.exp( '.49) Qué pasa? ' 2.22% =(P49/P0)^(1/49) % =ln(p49/p0)/49 Equivalencia d ' 2.22% =exp( c ')-1 (Anual) 30.15% =(1+ ' d-mes )^n % = ' c-mes.n 30.15% =exp( c ')-1 = t c-mes.n Con datos mensuales, n es 12 y t es el inverso de n. Al calcular el retorno discreto promedio mes encontramos que esta estimación no es correcta, puesto que al aplicar la fórmula de valor futuro discreta [F=P(1+ ) n ] con el valor hallado de =2.51% el valor estimado de la acción para el mes 49 sería de 54.19, y no de 47.14, que es el valor correcto. La tasa correcta se halla despejando de la fórmula de valor futuro, lo cual resulta en un valor de 2.22% (discreta). Como se ve en el cálculo equivalente con retornos continuos, el problema es inexistente para esta metodología. La fórmula de valor futuro continua [F=Pexp( n)] entrega el valor correcto usando el promedio de las tasas continuas, que es de 2.20%. Este valor coincide cuando en la ecuación de valor futuro despejamos ( =ln(p0/p49)/49). Incidentalmente podemos hallar la equivalencia entre tasas continuas y discretas, puesto que para cualquier frecuencia de datos se cumple que 1+ d =exp( c ). Finalmente se observa que la ecuación 46

47 (3) solo se cumple para retornos continuos, = c.n, eliminando la diferencia entre tasas efectivas y nominales, esto significa que el promedio de los retornos continuos si estima correctamente la media que es 2 /2, mientras que el promedio de los retornos discretos debe ser corregido, puesto que solo estima. El cálculo se repite para frecuencias semanales. Aquí solo cabe anotar que al convertir las tasas semanales a anuales encontramos, como es de esperar, los mismos valores. El número de semanas por año no es exactamente 52. Para calcular el número exacto de semanas en el periodo multiplicamos 12 por el número de semanas en el periodo dividido por el número de meses en el mismo: 12x212/49. Semanal n =12.#Sem/#Mes t =1/n Discreto Continuo Retorno ' = t 0.58% =promedio(ri) 0.51% =promedio(ri) P =P0.(1+ ')^ =P0.exp( '.212) Qué pasa? ' 0.51% =(P212/P0)^(1/212) % =ln(p212/p0)/212 Equivalencia d ' 0.51% =exp( c ')-1 (Anual) 30.15% =(1+ ' d-sem )^n % = ' c-sem.n 30.15% =exp( c ')-1 = t c-sem.n 47

48 Gráfica 2-1 Evolución precio del ADR de Ecopetrol. Nota: La línea azul solo presenta los datos mensuales En el caso de los retornos la estimación no cambia dependiendo de la frecuencia de muestreo, puesto que el retorno solo depende de los datos iniciales y finales. Esto no sucede para el caso de la varianza; como se ve en la gráfica Gráfica 2-1, una menor frecuencia de muestreo soslaya importante información respecto a la variabilidad. A continuación se calcula la volatilidad de los retornos mensuales, usando tanto los retornos discretos como los continuos. Volatilidad Muestral (Datos Mensuales) Discreto Continuo Var. Mes 2 m'= 2 m. t 0.49% =var(ri) 0.49% =var(ri) 2 año mes'.n mes'.n Desv. Mes m 7.03% 2 m') 1/2 6.99% 2 m') 1/2 año 24.36% mes '.n 1/ % mes '.n 1/2 48

49 Volatilidad Muestral (Datos Semanales) Discreto Continuo Var. Sem 2 m'= 2 m t 0.09% =var(ri) 0.09% =var(ri) 2 año m'.n m'.n Desv. Sem m 2.98% 2 m') 1/2 3.05% 2 m) 1/2 año 21.49% sem '.n 1/ % sem '.n 1/2 Al calcular la varianza (muestral o poblacional), usando los retornos discretos o continuos, encontramos que el valor hallado para los datos semanales es diferente, y posiblemente más cercano a la realidad, que el hallado con datos mensuales. Finalmente, con el cálculo de la varianza se puede mejorar el cálculo del retorno discreto, aplicando la siguiente corrección, que reporta un valor muy cercano a la realidad: Corrección Retorno Discreto (Datos Mensuales) Retorno d ' 2.26% = '- 2 /2 Corrección Retorno Discreto (Datos Semanales) Retorno d ' 0.53% = '- 2 /2 49

50 Simulación de una Trayectoria de Precios En esta sección se usarán los cálculos previos para simular una trayectoria de precios de un año, con frecuencia semanal (52 semanas) para el ADR de Ecopetrol. Los datos básicos son: Parámetros de Simulación ADR Ecopetrol Media ( ) 1.58% Desviación ( ) 21.99% t S % semana Con la media y la desviación simulamos una posible realización de la trayectoria de precios del ADR de Ecopetrol implementando la ecuación (2-1): [ ] en forma sucesiva. Con base en los parámetros previos valores se desarrolla el siguiente modelo. Primero se calcula [ ], posteriormente [ ] y así sucesivamente hasta llegar a T. Periodo Fecha Z Precio 0 22/04/ /04/ <--=S 0.EXP( t+z. t 1/2 ) 2 06/05/ <--=S 1.EXP( t+z. t 1/2 ) 3 13/05/ /05/ /05/ /06/ /06/ /06/ /06/ /07/ Los valores en la columna Z son números aleatorios que responden a una distribución normal estándar. Programas cuantitativos tales como Matlab o Mathematica tienen la capacidad de generar una serie de este tipo. Otra posibilidad es recurrir a Excel, usando la función de generación de números aleatorios, procedimiento que detallamos a continuación. En primer lugar seleccionamos [Datos/Análisis de Datos] lo cual despliega la siguiente pantalla: 50

51 Al seleccionar generación de números aleatorios debemos a continuación definir el número de variables (columnas) y la cantidad de datos (52 semanas), además de la distribución deseada (Normal, media = 0, desviación = 1) y la celda donde se desea ubicar el primer dato: La grafica resultante se muestra a continuación; los datos simulados no pretenden generar un resultado cercano a los datos reales, puesto que apenas son una realización, entre muchas posibles, de un proceso aleatorio, por lo que su poder predictivo es nulo: 51

52 Gráfica 2-2 Trayectoria simulada precio del ADR de Ecopetrol. Intervalo de confianza 90% Predicciones Aunque el modelo lognormal no predice una trayectoria particular puede usarse para establecer rangos de posibles realizaciones, intervalos de confianza, futuras con una probabilidad definida (Hull, 2008). Se trabaja en este caso con el logaritmo del precio, que según los supuestos del modelo lognormal, tiene una distribución normal. Por ejemplo, los valores de una variable y, en un tiempo x (e.g. 6 meses) estarán entre ymax y ymin con una certeza del z%. A continuación se plantea un modelo que permite tal tipo de cálculos. Siguiendo con el ADR de Ecopetrol, podemos estimar el intervalo de confianza con probabilidad del 90% en 6 meses de la siguiente manera. En primer lugar se estima el valor esperado del precio, en términos del logaritmo, en un tiempo T: ( ). Este valor es 3.86, el cual equivale a un valor de US al calcular la exponencial. La volatilidad acumulada semestral es Puesto que la variable Z es normal estándar, podemos estimar su realización en los límites superior e inferior del rango superior estimando el inverso de la distribución normal estándar para una probabilidad del 95% (Excel: +/- INV.NORM.ESTAND(95%)). El resultado es Desv=1.64 desviaciones 52

53 estándar. En otras palabras entre y desviaciones estándar se encontrarán el 90% de las realizaciones de la variable. Al multiplicar este valor por la volatilidad acumulada (0.16), obtenemos el Delta o la magnitud en la que se afecta el valor esperado, =0.26, hacia abajo y hacia arriba. Estos valores son, en términos del logaritmo de la variable, los límites inferior y superior, Ln(S T min) y Ln(S T max), respectivamente, del intervalo de confianza esperado. Los valores esperados S T min y S T max, se obtienen nuevamente al calcular la exponencial. Intervalo de Confianza T Ln(S T ) 1/2 Seis meses 3.86 Ln(S 0 )+ T E(S T ) Exp(Ln(S T )) Desviación Semestral Acumulada T 1/ Probabilidad Certeza 95.00% Cola Superior Desv N -1 (Pr=95%) =INV.NORM.ESTAND(H9) Valores Extremos Delta 0.26 Desv. T 1/2 Ln(S T min) 3.61 Ln(S T )-Delta Ln(S T max) 4.12 Ln(S T )+Delta S T min S T max Exp(Ln(S T min)) Exp(Ln(S T max)) En la Gráfica 2-2, se incorporaron los valores S T min y S T max para T variando entre 0 y 1 año. Este cálculo se puede realizar en Excel usando [Datos/Análisis Y si/tabla de Datos] definiendo como variable independiente a T, los valores se reportan a continuación: 53

54 Intervalo de Confianza 5.00% 95.00% Fecha T /04/ /05/ /06/ /07/ /08/ /09/ /10/ /11/ /12/ /12/ /01/ /02/ /03/ /04/

55 Simulación de Trayectorias Se presenta en este acápite un procedimiento y una macro 7 que permite simular 3 trayectorias aleatorias. Ahora continuamos con la generación de trayectorias aleatorias y la envolvente de probabilidad (90%) entre 0 y 26 semanas. La hoja de cálculo luce de la siguiente forma: E F G H I J K L M N t z1 z2 z3 Tray1 Tray2 Tray3 Media Min Max En las columnas F a H tenemos números aleatorios generados de la misma manera que en la sección anterior. Las columnas I a K contienen las trayectorias de precios producto de las realizaciones de los números aleatorios. En la columna L se tiene el valor medio de la variable (Equivalente a la celda B14, nótese que el valor en la semana 26 coincide con el valor calculado previamente). En las columnas M y N tenemos los valores mínimo y máximo que determinan el rango del 90% de probabilidad (Equivalentes a las celdas B24 y B25, respectivamente) 7 Una macro es un programa en VBA que automatiza o realiza cálculos diferentes a los pre-programados por Excel. 55

56 A continuación se muestran las fórmulas para los cálculos de estos valores para la semana 1, estas fórmulas se repiten hasta la semana 26: I J Tray1 Tray2 =B8 =I5 =I5*EXP($B$4*$B$7+F6*$B$5*$B$7^(1/2)) =J5*EXP($B$4*$B$7+G6*$B$5*$B$7^(1/2)) K L Tray3 Media =J5 =K5 =K5*EXP($B$4*$B$7+H6*$B$5*$B$7^(1/2)) =$L$5*EXP($B$4*$E6/$B$6) M Min =L5 =$L$5*EXP($B$4*$E6/$B$6-$B$19*$B$5*($E6/$B$6)^(1/2)) N Max =M5 =$L$5*EXP($B$4*$E6/$B$6+$B$19*$B$5*($E6/$B$6)^(1/2)) Gráficamente el resultado es el siguiente: 56

57 Gráfica 2-3 Trayectorias simulada modelo lognormal. Intervalo de confianza 90% Precio Trayectorias 150,00 140,00 130,00 120,00 110,00 100,00 90,00 Semanas 80, Tray1 Tray2 Tray3 Media Min Max Generación automática de una serie de Precios El proceso anterior puede automatizarse fácilmente a través de una macro simple. La macro transcrita a continuación permite generar tres series de números aleatorios. Para tal fin se crean dos rangos de nombres: 1) Noal, F6:H31, donde se guardan los números aleatorios; 2) celi, F6, la celda inicial. A continuación se transcribe la macro: Sub Macro1() ' ' Macro1 Macro ' Aleator ' ' Acceso directo: Ctrl+Mayús+A ' Application.ScreenUpdating = False Sheets("Hoja1").Select Range("Noal").Select 57

58 ' Range(Selection, Selection.End(xlDown)).Select Selection.ClearContents Application.Run "ATPVBAEN.XLAM!Random", ActiveSheet.Range("celi"), 3, 26 _, 2,, 0, 1 Sheets("Gráfico1").Select Application.ScreenUpdating = True End Sub Ejercicios 1. Estime cuales son los valores mínimo y máximo para un intervalo de confianza del 80% dentro de 4 meses para una variable similar a la del ejemplo previo. 2. Genere 4 trayectorias de precios, el valor medio y la envolvente para un intervalo de confianza del 95% entre 0 y 1 año, para una variable con precio inicial de 500, volatilidad del 25% y un retorno esperado del 14%. 3. Valoración de Derivados utilizando la Simulación de Montecarlo Las herramientas desarrolladas en las secciones anteriores nos permiten estimar el valor de un derivado a través de una simulación. Se valorarán en este caso opciones de compra (Call) y venta (Put) europeas a 6 meses sobre el ADR de Ecopetrol, con un precio de ejercicio de 50. Puesto que son derivados europeos, solo pueden ejercerse al vencimiento. Una opción de compra (Call) se ejerce si el precio de ejercicio X es inferior al precio de vencimiento del subyacente S T, la utilidad es en este caso de S T -X, la opción no se ejerce si X es superior a S T, este resultado se esquematiza como el máximo entre S T -X y 0: Max(S T - X, 0). Para la opción de venta (Put) la utilidad es máximo entre X-S T y 0: Max(X-S T, 0) 8. Asumiremos que la volatilidad de los retornos es 21.99%, manteniéndose en los valores estimados previamente, la tasa libre de riesgo es del 4% y el precio actual de la acción es $ Parámetros de Simulación ADR Ecopetrol Tasa libre de riesgo (k f ) 4% Desviación ( ) 21.99% Media ( ) 1.58% =k f - 2 /2 T Fecha 0 22/04/2013 Fecha T 21/10/2013 S años 8 Ver (2010) y Benninga (2008). 58

59 Puesto que nuestro interés es simular los precios al vencimiento (en 0.5 años), modificamos el procedimiento previo para obtener el valor final tal que [ ]. Es importante destacar que = k f - 2 /2. La razón de este ajuste es que no tenemos mejor información sobre el retorno esperado de la acción que la tasa libre de riesgo. Ya que el objetivo es una muestra representativa de los posibles valores finales, repetimos el cálculo un número suficiente de veces tal, que obtengamos la distribución de. La similitud de la distribución de la muestra y la teórica para 3,000 realizaciones de se presenta en el gráfico 4. 59

60 Gráfica 4 Distribución Muestra vs. Normal Histograma de frecuencia de la muestra vs. distribución normal teórica simulaciones Se calculan sucesivamente S T y el valor del derivado al vencimiento. Puesto que la expectativa más razonable respecto al rendimiento del activo es la tasa libre de riesgo, expresamos =k f - 2 /2. A continuación se presentan 2 realizaciones, de las 3000 requeridas, de S T : Periodo Precio (S T ) <--=S 0.EXP(.T+..T 1/2 ) <--=S 0.EXP(.T+..T 1/2 ) En la gráfica 5 se incorpora la distribución de valores finales de S T a los cálculos previos. La línea rosada (graficada sobre el momento del vencimiento de los derivados) presenta esta distribución. Los valores superiores al precio de ejercicio son aquellos en los cuales es óptimo ejercer la opción de compra (Call), los valores inferiores al precio de ejercicio son aquellos en los cuales es óptimo ejercer la opción de venta (Put). Los valores de los derivados que corresponden a las realizaciones de los precios arriba mostrados se presentan a continuación. Si el precio final del subyacente es 45.95, el resultado para la opción de compra es Max( , 0)=0 ; si el precio final es 62.66, el resultado es Max( ,0)= Los cálculos correspondientes a la opción de venta se calculan en forma análoga: Call Put Periodo Max(S T -X,0) Max(X-S T,0)

61 Gráfica 5 Evolución ADR Ecopetrol Las líneas verde (semana) y azul oscura (mes) representan la evolución del precio histórico del ADR de Ecopetrol. Las líneas roja (95% superior) y violeta (5% inferior) representan la evolución del intervalo de confianza del 90%, la línea azul clara es una posible realización del precio. La línea horizontal punteada negra representa el precio de ejercicio X. La línea vertical negra representa el momento del vencimiento de los derivados T. Finalmente, la curva rosada representa la distribución de los valores de S T al momento del vencimiento. Habiendo obtenido los valores finales, los promediamos. Encontramos así el valor esperado del derivado, así: Valor esperado en T de la opción de compra (Call): ( ) Valor esperado en T de la opción de venta (Put): ( ) Puesto que el retorno esperado del subyacente es k f, el valor futuro (VF) se descuenta a esta tasa: Valor esperado en 0 de la opción de compra (Call) o venta (Put): ( ) A continuación se estiman los valores futuro y presente de los derivados analizados: 61

62 Valor Futuro, V F Valor Presente, V 0 Black- Scholes Call Put En la tabla anterior se presentan los valores obtenidos con la simulación con los valores obtenidos con la fórmula de Black-Scholes, la cual se describirá en secciones posteriores. Como se observa los resultados por ambos métodos son muy cercanos. 62

63 4. Valoración de Derivativos, modelo discreto Los activos derivados pueden valorarse suponiendo que en el futuro inmediato solo pueden darse 2 estados, en uno de esos estados (U) el valor del activo subyacente es superior al valor actual, mientras que en el otro (D) el valor del activo subyacente es inferior a su valor actual. S 1U = S 0 u S 0 S 1D = S 0 d Bajo nuestro supuesto u>1>d. Suponga además que se desea invertir en un portafolio P sin riesgo. Para tal fin se invierte (Largo) en acciones y se vende (corto) un call. Para descartar una solución trivial suponemos que se cumple que X, el precio de ejercicio, es tal que S 0 u>x>s 0 d. El valor (costo) actual de tal estrategia es P 0 = S 0 c 0. El objetivo es encontrar el valor de que haga que el valor del portafolio no varíe en ninguno de los 2 estados posibles. En el estado U el valor del portafolio P 1U es S 0 u Max(S 0 u X, 0), por lo que tenemos P 1U = S 0 u S 0 u + X En el estado D el valor del portafolio P 1D es S 0 d Max(S 0 d X, 0), por lo que tenemos P 1D = S 0 d Puesto que nuestro propósito es que el portafolio tenga 0 riesgo, se debe cumplir que P 1U = P 1D S 0 u S 0 u + X = S 0 d Resolviendo, tenemos que = (u X/S 0 )/(u d). Puesto que este valor de genera un portafolio sin riesgo, es correcto descontarlo a la tasa libre de riesgo r, por lo que su valor presente es (usando su valor en el estado D) S 0 d e -rt. Esto a su vez debe ser el valor de la estrategia hoy: S 0 d e -rt = S 0 c. Al despejar tenemos que c = S 0 (1- d e -rt ). Ejercicio Resuelva este modelo para un Put. Generalización La estrategia delineada en los párrafos anteriores permite valorar cualquier derivativo f. Sea 0 S 0 f 0 el costo del portafolio hoy, compuesto por 0 unidades del activo subyacente y la 63

64 venta de f. Sean f 1U y f 1D los respectivos valores futuros en los estados U y D del derivativo f. El valor de es el que resuelve 0 S 0 u f 1U = 0 S 0 d f D1 0 =(f 1U f 1D )/[S 0 (u d)] (Ec. 4.1) Con este valor para 0 se garantiza un portafolio libre de riesgo. El valor presente del portafolio debe ser igual, en ausencia de arbitraje, al valor (costo) inicial del mismo: ( 0 S 0 u f 1U ) exp(-rt) = 0 S 0 f 0 f 0 = S 0 + (f 1U 0 S 0 u) e -rt (Ec. 4.2 a) En el caso del estado D esta igualdad se expresa como f 0 = 0 S 0 + f 1D 0 S 0 d) e -rt (Ec. 4.2 b) Aunque será evidente en secciones posteriores, es conveniente observar que las ecuaciones 4.2 nos muestran que el valor del derivativo es igual a invertir en 0 unidades del activo subyacente S y en un bono libre de riesgo con valor nominal de f 1U 0 S 0 u ó f 1D 0 S 0 d. Definamos p = (e rt d)/(u d) y expresemos f en función de p, f 1U y f 1D. El resultado es f 0 = e -rt [pf 1U +(1-p) f 1D ]. (Ec. 4.3) Aunque p es una probabilidad neutral al riesgo, el inversionista promedio, averso al riesgo, también debe aceptar el valor de f hallado por este procedimiento. La razón es que el valor de f hallado garantiza la ausencia de arbitraje, independientemente de las preferencias del inversionista. Ejercicio Compruebe que, sí p = (e rt d)/(u d), f 0 = e -rt [pf 1U +(1-p) f 1D ]. Formulación Alternativa de la Valoración para 2 periodos En este caso el objetivo es duplicar los pagos futuros del derivativo a través de un portafolio que incluye 0 unidades del activo subyacente S y la inversión en bonos libres de riesgo B. Los supuestos del modelo son: 1. Existen 2 periodos, el periodo inicial donde se suscribe el derivado y el periodo final donde el derivado expira. El tiempo transcurrido entre estos periodos es t. 64

65 2. El activo subyacente S, cuyo valor actual es S 0, solo puede tomar 2 valores futuros (lo que es equivalente a decir que el futuro solo tiene dos estados U y D): S 1U o S 1D. Podemos expresar S 1U = S 0 u y S 1D = S 0 d. Los factores u y d estan asociados a la volatilidad del activo subyacente ya conocido 3. Existe un bono cero cupón o de descuento puro sin riesgo, la tasa libre de riesgo se denomina r. Esta tasa se compone continuamente, lo que implica que el valor futuro de un bono con valor de B 0 en el siguiente periodo es igual a B 0 exp(rt), independiente de si el estado es U o D. La tasa normalmente se expresa en términos anuales por lo que si el tiempo transcurrido entre el periodo 0 y el 1 es 1 año, el valor de t es igual a 1. Si el horizonte es menor, t corresponde a la fracción anual o porcentaje transcurrido. (Si el tiempo hasta la expiración es de 5 meses, t = 5/12). B 1U = B 0 e rt B 0 B 1D = B 0 e rt 4. Se cumple que u > e rt > d. Bajo el principio de no arbitraje, 2 activos que tengan pagos futuros idénticos deben tener el mismo precio hoy. Sean f 1U y f 1D los pagos futuros en cada estado del derivativo, los cuales para una opción Put corresponden a: f 1U = Max[X-S 0 u,0] f 1D = Max[X-S 0 d,0] Sean 0 el número de unidades del activo subyacente y B 0 el monto de la inversión en el bono libre de riesgo que componen el portafolio. Para cada estado se debe cumplir que: f 1U = 0S 0 u + B 0 e rt f 1D = 0S 0 d + B 0 e rt Este es un sistema de 2 ecuaciones con 2 incógnitas, los valores de 0 y B 0. Despejamos las incógnitas y encontramos que 0 = (f 1U f 1D )/[S 0 (u d)] (Ec. 4.1) B 0 = e -rt (f 1D u f 1U d)/(u - d) (Ec. 4.4) Observese que 0 es el mismo valor hallado previamente, cuando el valor del derivativo se dedujo como parte de un portafolio sin riesgo. El valor hoy del derivativo corresponde al valor de la inversión en el activo subyacente 0 S 0 más el valor de la inversión en el bono libre de riesgo B 0. 65

66 Sea f 0 el valor del derivativo en el momento 0, según los supuestos previos se tiene que f 0 = 0 S 0 + B 0 (Ec. 4.5) Reemplazando 0 y B 0 con los valores hallados en las ecuaciones 4.1 y 4.4 se tiene f 0 = (f 1U f 1D )/(u d) + e -rt (f 1D u f 1U d)/(u - d) Lo que se convierte en (al multiplicar y dividir la primera expresión por e rt ) f 0 = [(f 1U f 1D )e rt + (f 1U u f 1D d)]/[(u - d)e rt ] Reagrupando términos se tiene f 0 = [(f 1U (e rt d) + f 1D (u e rt )]/[(u - d)e rt ] Definamos p = (e rt d)/(u-d) (1-p) = (u e rt )/(u-d) Se obtiene así f 0 = e -rt [pf 1U + (1-p)f 1D ] (Ec. 4.3) Como se mencionó en la sección previa este método se conoce como valoración neutral al riesgo. Ejercicio Observe las ecuaciones 4.2 y las ecuaciones 4.4 y 4.5. Compruebe que B 0 = e -rt (f 1D u f 1U d)/(u - d) = (f 1U 0 S 0 u)e -rt = f 1D 0 S 0 d)e -rt Las probabilidades en un mundo neutral al riesgo Debido a que en este mundo conocemos los pagos futuros de cada activo existente con certeza absoluta podemos hallar el valor esperado del derivativo, si conocemos la probabilidad de ocurrencia de cada estado. Esta probabilidad puede hallarse si analizamos el activo subyacente S. Para cualquier activo se cumple f i 1 pf i 1U 1 p f i 1D En particular para el activo subyacente tenemos: S i 1 psu i d 1 p S i Adicionalmente podemos plantear que en un mundo neutral al riesgo el valor futuro del rt activo subyacente debe ser Si 1 Sie, combinando las 2 últimas ecuaciones podemos hallar el valor de p 66

67 e rt pu rt e d p u d 1 p d El valor actual del derivativo se halla de la misma forma, solo que ahora ya conocemos el valor de p. El valor del derivativo en el periodo i es: f e i rt pf i 1U 1 p f i 1D 67

68 Valoración Multi-periodo El valor del derivativo puede calcularse de manera más precisa si el tiempo hasta la maduración se subdivide en varios periodos. A mayor numero de periodos mas preciso es el cálculo. Suponga que el tiempo hasta el vencimiento del derivativo es T, el cual se expresa en años, y se desea subdividirlo en n periodos. La duración de cada periodo t es T/n. El supuesto anterior sobre la variación de precios se mantiene. Para cada periodo futuro el precio del activo subyacente solo puede incrementarse en u o reducirse en d. Se cumple que u>e rt >d. La probabilidad neutral al riesgo es nuevamente p = (e rt -d)/(u-d) El proceso de variación del activo subyacente para tres periodos se presente en le siguiente árbol de nodos: S 1UUU S 0 u 3 S 1UU S 0 u 2 S 1U S 0 u S 1UUD S 0 u 2 d S 0 S 1UD S 0 ud S 1D S 1UDD S 0 d S 0 ud 2 S 1DD S 0 d 2 S 1DDD S 0 d 3 Bajo estas condiciones es claro que la probabilidad p no cambia entre los periodos. La valoración del derivativo se realiza desde el vencimiento hasta el periodo 0 en un proceso que se esquematiza, en el caso de un call europeo at-the-money, así: 68

69 f 3UUU S 0 u 3 -X f 2UU [pf 3UUU +(1-p)f 3UUD ]e -rt f 1U [pf 2UU +(1-p)f 2UD ]e -rt f 3UUD S 0 u 2 d-x f 0 [pf 1U +(1-p)f 1D ]e -rt f 2UD [pf 3UUD +(1-p)f 3UDD ]e -rt f 1D [pf 2UD +(1-p)f 2DD ]e -rt 0 f 3UDD f 2DD [pf 3UDD +(1-p)f 3DDD ]e -rt f 3DDD 0 Notese que en el periodo 3 (nuestro n) los valores de f 3 corresponden a los valores finales de la opción, los cuales llamamos valores intrínsecos en secciones posteriores. Para el periodo 2 los valores de f 2 corresponden a la valoración neutral al riesgo de f 3 en sus diferentes estados. El proceso se repite hasta llegar al periodo 0. Es posible por este método encontrar formulas para los valores de opciones call y put europeas, para n periodos: c p 0 0 e e rtn rtn n i 0 n i 0 La expresión n p i i n p i n i i n i 1 p Max S u d X,0 i n i i n i 1 p Max X S u d,0 n n! i k! n i! Ec. 4.4 Ec. 4.5, siendo n el número de periodos e i el número de subidas, corresponde a una combinatoria que expresa el número de caminos por los cuales puede llegarse a uno de los valores (nodos) del último periodo. Por ejemplo para llegar a f 3UUD es 3 posible seguir las rutas UUD, UDU o DUU, por lo que 3, lo que puede comprobarse 2 fácilmente aplicando la fórmula. Cuando n tiende a infinito las ecuaciones 4.4 y 4.5 tienden a los valores reportados por la fórmula de Black-Scholes, siempre que se defina a u σ t -σ t e y d e. 9 La fórmula también converge si 2 2 r- 2 t σ t r- 2 t σ t u e y d e 69

70 Derivados Americanos y Exóticos La metodología planteada en la sección anterior se extiende fácilmente a derivativos de ejercicio temprano, como las opciones americanas, y derivativos exóticos, por ejemplo opciones americanas con precios de ejercicio variable. Una opción americana puede ser ejercida antes del vencimiento por lo que en cada periodo debe examinarse si es conveniente ejercerla o esperar un periodo adicional. Para este propósito es conveniente introducir un árbol de nodos para los valores intrínsecos del derivativo. A continuación se presenta el árbol para un call americano at-the-money f i 3UUU S 0 u 3 -X f i 2UU S 0 u 2 -X f i 1U S 0 u-x f i 3UUD S 0 u 2 d-x f 0 f i 2UD 0 f i 1D f i 3UDD 0 0 f i 2DD 0 La valoración del derivativo se realiza de manera similar a la planteada para la europea, solo que en cada nodo que no corresponda al periodo final n o al periodo 0 debe efectuarse la comparación entre el valor hallado por el método neutral al riesgo, el cual es el valor presente de los pagos futuros del derivativo, y el valor intrínseco; el valor seleccionado corresponde al mayor de los dos. De nuevo los valores del periodo final n son los valores intrínsecos del derivativo al vencimiento. La función Max (Máximo) permite evaluar en cada nodo si conviene ejercer la opción o es mejor esperar otro periodo. f i 3DDD 0 70

71 Veamos f 3UUU S 0 u 3 -X f 2UU Max(f i 2UU,[pf 3UUU +(1-p)f 3UUD ]e -rt ) f 1U Max(f i 1U,[pf 2UU +(1-p)f 2UD ]e -rt ) f 3UUD S 0 u 2 d-x f 0 [pf 1U +(1-p)f 1D ]e -rt Max(f i 2UD,[pf 3UUD +(1-p)f 3UDD ]e -rt ) f 2UD f 1D Max(f i 1D,[pf 2UD +(1-p)f 2DD ]e -rt ) 0 f 3UDD f 2DD Max(f i 2DD,[pf 3UDD +(1-p)f 3DDD ]e -rt ) f 3DDD 0 71

72 Ejemplo 1: Calcule el valor de una opción Put Americana por el método de valoración neutral al riesgo para un activo subyacente con precio actual de 100, un precio de ejercicio de 103, con un tiempo para la maduración de 2 meses. La tasa libre de riesgo es de 9% anual y la volatilidad anualizada es del 40%. Utilice dos periodos (n =2). En este caso T = 2/12 y t =T/n. Escriba los parámetros del modelo y encuentre los factores que determinan la evolución de los precios del activo subyacente: t, u, d, exp(rt), p: A B C D E Put Americano Parametros S X 103 T <--=2/12 n 2 subperiodos r 9% =sigma 40% t =T/n <--=C5/C6 u=exp( t 1/2 ) Factores del d=1/u Modelo e(rt) p=(e rt -d)/(u-d) <--=EXP(C8*C9^(1/2)) <--=1/C <--=EXP(C7*C9) <--=(C12-C11)/(C10-C11) Establezca ahora la evolución de precios del activo subyacente, desde el periodo 0 hasta el periodo 2: S A B C D E F S UU2 : us U1 uu: <--=D17*C10 S U1 us 0 u: <--=C18*C10 S 0, S UD2 : S 0, ds U ud: <--=D17*C11 S D1 : ds 0 d: <--=C18*C11 S DD1 : ds D1 dd: <--=D19*C11 Encuentre los valores del derivativo (tipo europeo) iniciando desde el periodo final regresando hasta el periodo 0: 72

73 A B C D E F G Put Europeo P UU2 : Max(S UU2 -X,0) - <--=MAX($C$4-E16,0) P U1 : e -rt (pp UU2 +(1-p)P UD2 ) <--=(E25*$C$13+E27*(1-$C$13))/$C$12 P U0 : e -rt (pp U1 +(1-p)P D1 ) <--=MAX($C$4-E18,0) P D1 : e -rt (pp UD2 +(1-p)P DD2 ) <--=(E27*$C$13+E29*(1-$C$13))/$C$12 P DD2 : Max(S DD2 -X,0) <--=MAX($C$4-E20,0) =(D26*$C$13+D28*(1-$C$13))/$C$12 Proceda ahora a hallar los valores que reportaría un ejercicio temprano del derivativo: A B C D E F Ejercicio Anticipado <--=MAX($C$4-D17,0) <--=MAX($C$4-D19,0) Compare los cursos de acción y seleccione la mejor alternativa (el máximo valor), para finalmente encontrar el valor en el periodo cero del derivativo: A B C D E F Put Americano: Comparacion valores <--=MAX(D35,D26) <--=(D42*$C$13+D44*(1-$C$13))/$C$ <--=MAX(D37,D28) La respuesta final es: B C Put Respuesta

74 Ejemplo 2 La siguiente hoja de Excel muestra la valoración de este mismo derivativo suponiendo 3 periodos. A diferencia del ejercicio anterior, se opta por comparar en una sola celda los valores intrínsecos y neutral al riesgo: A B C D Put Americano Parametros S r 9% X 103 Sigma 40% T n 3 Factores t u d e rt p <--=B5/B <--=EXP(D4*B9^(1/2)) <--=1/B <--=EXP(D3*B9) <--=(B12-B11)/(B10-B11) A continuación se calculan los cambios en el precio del activo subyacente y el valor intrínseco de la opción: A B C D E F G S i / f i uuu: <--=D18*$B$10 - <--=MAX($B$4-E15,0) uu: u: udu: <--=D18*$B$ <--=MAX($B$4-E21,0) S 0 : ud: d: udd: <--=D30*$B$ <--=MAX($B$4-E27,0) dd: ddd: <--=D30*$B$ <--=MAX($B$4-E33,0) 74

75 Ahora hallamos el valor del put europeo: Y finalmente el americano: A B C D E F G Put Europeo <--=MAX($B$4-E15,0) - <--=(E39*$B$13+E45*(1-$B$13))/$B$ <--=MAX($B$4-E21,0) =(D42*$B$13+D48*(1-$B$13))/$B$ <--=(E45*$B$13+E51*(1-$B$13))/$B$12 =(C45*$B$13+C51*(1-$B$13))/$B$ <--=MAX($B$4-E27,0) <--=(E51*$B$13+E57*(1-$B$13))/$B$ <--=MAX($B$4-E33,0) A B C D E F G H Put Americano <--=MAX($B$4-E15,0) - <--=MAX(D19,(E62*$B$13+E68*(1-$B$13))/$B$12) <--=MAX($B$4-E21,0) =MAX(C22,(D65*$B$13+D71*(1-$B$13))/$B$12) <--=MAX(D25,(E68*$B$13+E74*(1-$B$13))/$B$12) =MAX(B25,(C68*$B$13+C74*(1-$B$13))/$B$12) <--=MAX($B$4-E27,0) <--=MAX(D31,(E74*$B$13+E80*(1-$B$13))/$B$12) <--=MAX($B$4-E33,0) 75

76 Los precios hallados para el put son: n 2 3 Europeo Americano Los valores hallados para el cálculo con 3 periodos son más exactos. Modelo Risk Neutral para Divisas Opciones Europeas El modelo risk neutral se modifica de tal manera que (r rf)t e d p u d. El parámetro rf es la tasa libre de riesgo del país cuya moneda es el activo subyacente. En el caso de una opción por dólares americanos, es la tasa libre de riesgo de ese país. Opciones Americanas Se procede de igual manera que en el ejercicio anterior. 76

77 4.a Ejercicios 1. Resuelva para 2 subperiodos, con vencimiento a 2 meses B C D E Put Americano Parametros S X 103 n 12 subperiodos anuales r f 9% =sigma 40% Factores t =1/n <--=1/C5 u=exp( t 1/2 ) d=1/u e(r f t) =(e(rft)-d)/(u-d) <--=EXP(C7*C9^(1/2)) <--=1/C <--=EXP(C6*C9) <--=(C12-C11)/(C10-C11) 2. Resuelva el ejercicio anterior con 3 subperiodos con el mismo tiempo al vencimiento 3. Opciones Exóticas a. Ejercicio Suponga un opcion PUT cuyo precio de ejercicio es variable. Los datos del activo subyacente son: El tiempo al vencimiento es de 3 meses S u 1.1 d 0.95 rf 6% ea (1+rf)^t = t 1 meses Precio de Ejercicio X1 X2 X b. Ejercicio Suponga un opcion CALL cuyo precio de ejercicio es variable. Los datos del activo subyacente son: El tiempo al vencimiento es de 3 meses S u 1.1 d 0.95 rf 6% ea (1+rf)^t = t 1 meses Precio de Ejercicio X1 X2 X Se cumple para este caso la paridad Put-Call? 77

78 Plantilla 1 William Sharpe (Premio Nobel Economía de 1990) fue el primero en sugerir el modelo binomial. Cox, Ross y Rubinstein (1979) y Rendleman y Bartter (1979) publicaron sendos papers, derivándolo de manera formal. La siguiente plantilla recoge los conceptos básicos de esos primeros modelos: Valoración Opciones file: Binomial portafolio sin riesgo S r f 10% X 200 T 0, S S 1u S 0 u 215 f 1u 15 Call: Max(S 0 u-x,0) 0 Put: Max(X - S 0 u,0) S 1d S 0 d 180 f 1d 0 Call: Max(S 0 d-x,0) 20 Put: Max(X - S 0 d,0) 0 S 0 u-f 1u = 0 S 0 d-f 1d 0 =(f 1u -f 1d )/(S 0 u-s 0 d) 0 0, Call -0, Put Portafolio sin riesgo 0 1 U 0 S 0 u-f 1u 77, Call -122, Put P 0 = 0 S 0 u-f 1u )exp(-r f T) 74, Call -118, Put Monto inversión acciones 0 S 0 85, Call -114, Put Valor Derivativo P 0 = 0 S 0 -f 0 Despejando f 0 = 0 S 0 -P 0 11, Call 4, Put Modelo Risk-Neutral (Comprobación) D 0 S 0 d-f 1d 77, Call -122, Put u= S 1u /S 0 1,08 exp(r f T) 1,03 d= S 1d /S 0 0,90 p= (exp(r f T)-d)/(u-d) 0,77 1-p 0,23 f 0 = (f 1u p+(1-p)f 1d )/exp(r f T) 11, Call 4, Put Paridad Put-Call S 0 +Put 0 204,544 PV(X)+Call 0 204,544 78

79 Plantilla 2 Modelo binomial de 2 periodos Valoración de Opciones Parametros S 0 u =exp( *t^(1/2) X d =1/u r f Local exp((r f -r f1 )t) r f1 Foranea exp(r f t) T p =(exp((r f -r f1) t)-d)/(u-d) Sigma 1-p Periodos t =T/n Evolución de Precios S 2uu =S 0 u 2 f 2uu S 1u =S 0 u f 1u S 0 f 0 S 2ud =S 0 ud f 2ud S 1d =S 0 d f 1d S 2dd =S 0 d 2 f 2dd Opción f 2uu f 2uu f' 1u [pf 2uu +(1-p)f 2ud ]/exp(r f t) f' 1u Max([pf 2uu +(1-p)f 2ud ]/exp(r f t),f 1u ) Europea f' 0 [pf' 1u +(1-p)f' 1d ]/exp(r f t) f 2ud Americana f' 0 Max([pf' 1u +(1-p)f' 1d ]/exp(r f t),f 0 ) f 2ud f' 1d [pf 2ud +(1-p)f 2dd ]/exp(r f t) f' 1d Max([pf 2ud +(1-p)f 2dd ]/exp(r f t),f 1d ) f 2dd f 2dd 79

80 Plantilla 3 Modelo binomial de 3 periodos Modelo Binomial, 3 periodos Parametros S 0 1, u =exp(.t^(1/2) ) X 1, d =1/u r f 5% Local exp((r f-r f1)t) r f1 3% Foranea exp(r ft) T 0.50 p =(exp((r f-r f1)t)-d)/(u-d) n 3 1-p 30% Sigma Delta Periodos Factor t =T/n Evolución de Precios S 0 S 1u=S 0u S 2uu=S 0u 2 S 3uuu=S 0u 3 S 1d=S 0d S 2ud=S 0ud S 3uud=S 0u 2 d S 2dd=S 0d 2 S 3udd=S 0ud 2 S 3ddd=S 0d 3 X 0 X 1 X 2 X 3 f 0 f 1u f 2uu f 3uuu f 1d f 2ud f 3uud f 2dd f 3udd f 3ddd Opción f' 0 f' 1u f' 2uu f 3uuu f' 1d f' 2ud f 3uud f' 2dd f 3udd f 3ddd Europea [pf' 1u+(1-p)f' 1d]/ exp(r ft) [pf' 2uu+(1-p)f' 2ud]/ exp(r ft) [pf' 2ud+(1-p)f' 2dd]/ exp(r ft) [pf 3uuu+(1-p)f 3uud]/ exp(r ft) [pf 3uud+(1-p)f 3udd]/ exp(r ft) [pf 3udd+(1-p)f 3ddd]/ exp(r ft) f 3uuu f 3uud f 3udd Americana Mx([pf' 1u+(1-p)f' 1d]/ Mx([pf' 2uu+(1-p)f' 2ud]/ Mx([pf 3uuu+(1-p)f 3uud]/ exp(r ft),f 0) exp(r ft),f 1u) exp(r ft),f 2uu) Mx([pf' 2ud+(1-p)f' 2dd]/ exp(r ft),f 1d) Mx([pf 3uud+(1-p)f 3udd]/ exp(r ft),f 2ud) Mx([pf 3udd+(1-p)f 3ddd]/ exp(r ft),f 2dd) f 3ddd f 3uuu f 3uud f 3udd f 3ddd 80

81 5. Modelo de Black-Scholes (tiempo continuo) Black, Scholes (1973) y Merton (1973) derivaron la fórmula para valorar opciones europeas en tiempo continuo. Su argumento básico es que en cualquier momento se puede replicar el valor de una opción como una inversión de 0 unidades del activo subyacente S 0 y una inversión con monto B 0 en el activo libre de riesgo, el activo subyacente se comporta siguiendo el modelo lognormal de precios, anteriormente discutido. Tenemos entonces que el valor del derivado f 0 es: f 0 = 0.S 0 + B 0 (4) En tiempo continuo estos valores se modifican permanentemente. El valor de 0 puede interpretarse como la sensibilidad de la prima de la opción al valor del subyacente. Para el caso de la opción de compra europea (Call), los valores de 0 y B 0 son: 0 = N(d 1 ), B 0 = - X.e -kf.t N(d 2 ) Para el caso de la opción de venta europea (Put), los valores de 0 y B 0 son: 0 = -N(-d 1 ), B 0 = X.e -kf.t N(-d 2 ) Las expresiones N(.) representan la distribución normal estándar acumulada. Los términos d 1 y d 2 están definidos como: d 1 = [Ln(S 0 /X)+(k f + 2 /2)T]/( T 1/2 ) d 2 = d 1 - T 1/2 Los valores de S 0, X, k f, y T son el precio actual del subyacente, el precio de ejercicio, la tasa libre de riesgo, la volatilidad y el tiempo al vencimiento, respectivamente. Call Europeo: Valor esperado de la función: MAX(S T -X,0) C 0 =S 0 N(d 1 ) - Xe -kf.t N(d 2 ) Put Europeo: Valor esperado de la función: MAX(X-S T,0) P 0 = Xe -rt N(-d 2 ) - S 0 N(-d 1 ) 81

82 Ejemplo A B C D E F Put Europeo Parametros n Subperiodos 2.00 S X 103 T r f 9% Sigma 40% D1 D2 N(D1) N(D2) C P Calculo directo 12 subperiodos ano <--=B5/B <--=(LN(B6/B7)+(B9+(1/2)*B10^2)*B8)/(B10*B8^(1/2)) <--=B13-B10*B8^(1/2) <--=DISTR.NORM.ESTAND(B13) <--=DISTR.NORM.ESTAND(B14) <--=B6*B16-B7*EXP(-B9*B8)*B17 Parity <--=B19+B7*EXP(-B9*B8)-B6 -D <--=-B13 -D <--=-B14 N(-D1) N(-D2) P <--=DISTR.NORM.ESTAND(B26) <--=DISTR.NORM.ESTAND(B27) Formula <--=B7*EXP(-B9*B8)*B30-B6*B Modificaciones simples a la fórmula de Black-Scholes Otras fórmulas también han sido desarrolladas para evaluar opciones europeas sobre acciones que pagan dividendos: 1. Pago de Dividendos en periodos discretos y conocidos Los dividendos se descuentan del valor actual de la Acción: toma el valor de S 0 en las fórmulas anteriores, que se aplican sin cambios adicionales, d 1 también debe ajustarse en consecuencia. 2. Flujo continuo de Dividendos Este flujo continuo se expresa a una tasa q de tal manera que: 82

83 También debe ajustarse d 1. Asimismo esto aplica a una opción sobre divisas donde k f1 es la tasa libre de riesgo del país cuya divisa se puede adquirir o vender y la tasa de cambio esta expresada en Moneda local sobre moneda extranjera: 3. Cuando la opción es de venta (Call) americana y paga dividendos se puede aplicar la aproximación de Black. En este caso el valor de la opción es el máximo entre una opción europea con vencimiento en T, que paga dividendos, como el caso anterior, y una opción europea con vencimiento en t - m-1, siendo este término el instante anterior al pago del último dividendo. Lo que implica que para la segunda opción, donde t max =t m Opciones sobre futuros. El valor de S 0 se modifica a Ejercicio. Calcule el valor de una opción de compra por 1 dólar americano a 3 meses. La opción es at-the-money. Identifique las tasas libre de riesgo apropiadas para cada país (Colombia y E.E. U.U.) y la volatilidad del dólar. 83

84 Ejercicio de Valoración Neutral al Riesgo y Black-Scholes Encuentre el valor de las opciones Call y Put europea y americana para la compra de una divisa cuyo valor en moneda local es de El tiempo al vencimiento es 4 meses (0.33 años). La volatilidad de los cambios de precio de la divisa es de 30% (anual). Las tasas libre de riesgo en el país local y el país de origen de la divisa son 8% y 3% continuas, respectivamente. Calcule el valor de las opciones utilizando un árbol de 3 periodos. Calcule estos mismos valores utilizando la fórmula de Black-Scholes, para ambos métodos compruebe la paridad Put-Call. 84

85 Valoraciòn Derivativos Put Black-Scholes Parametros S0* S t N(-di) X 1000 u d % kf 8% d d % k1 3% exp((kf-k1)t) Sigma 30% exp(kft) Put T p Paridad Black-Scholes n 3 1-p P0+S0* PV(X)+C Arbol ST Valor Intrinseco X Delta Valoración Put Put0Am Paridad S0*+P PV(X)+C

86 Valoraciòn Derivativos Call Black-Scholes Parametros S0* S t N(di) X 1000 u d % kf 8% d d % k1 3% exp((kf-k1)t) Sigma 30% exp(kft) Call T p n 3 1-p Arbol ST Valor Intrinseco X Delta Valoración E Call Call0Am

87 6. Estrategias de Inversión con opciones, acciones, futuros y bonos Existen diferentes estrategias de inversión con los activos derivativos y sus subyacentes. El resultado de estas estrategias (pago) puede ilustrarse como función del valor del subyacente en el momento t. Usualmente t corresponde a T, que identifica el vencimiento de los títulos involucrados en la estrategia. El estudiante interesado en la inversión en activos derivativos puede construir un modelo que le permita entender el resultado de diferentes combinaciones al vencimiento. Si, adicionalmente, en la plantilla se involucran macros que permitan valorar opciones americanas (aproximación binomial) y europeas (Black-Scholes) aparte de futuros o forwards también se podrán valorar calendar spreads u otras combinaciones que incluyan derivados que no aún no se hayan vencido y que permitan evaluar la posibilidad de una liquidación temprana. A continuación se delineará como se construye tal modelo. 1. Funciones de utilidad para cada los tipos de activos involucrados al vencimiento: a. Futuro o forward: (Largo) S T -X F,T1, (Corto) X F,T 1 -S T. X F,T 1 es el precio pactado del futuro (ejercicio) en el vencimiento T 1 y S T es el precio en el momento de estudio. b. Call: (Largo) Max(S T -X,0), (Corto) -Max(S T -X,0). c. Put: (Largo) Max(X-S T,0), (Corto) -Max(X-S T,0). d. Bono: X. X es el valor nominal del bono. e. Subyacente: S T. S T es el es el precio en el momento de estudio. 2. Antes del vencimiento se pueden valorar los activos usando las siguientes fórmulas a. Forward: S T - X F,T 1.exp(-k f.t), donde k f es la tasa libre de riesgo y t es el tiempo que resta al vencimiento (T 1 -T). En este caso S T corresponde al precio en el momento de la valoración. b. Opciones: Fórmula de Black-Scholes o aproximación binomial. Ver macros más adelante c. Bono: exp(-k f.t).x Estructura del Modelo 1. Área de parámetros, los significados de los símbolos son los usuales. La utilidad se evalúa en t1. Algunas posiciones no maduran aún, pudiendo madurar en t2 y t3. Todos pueden ajustarse a voluntad. 2. También se definen los valores de S 0, S t1, X1 a X4, que son el valor del subyacente hoy, en t1 y diferentes valores de precios de ejercicio, respectivamente. 3. La tasa libre de riesgo y la volatilidad (Sigma) también pueden modificarse. 4. X F,t1 y X F,t2 son los precios de ejercicio de los forward, calculados llevando S 0 a los respectivos vencimientos a la tasa libre de riesgo (e.g. X F,t1 =S 0.exp(k f.t 1 )). De esta forma no debe pagarse por el forward, dado que su valor presente es 0. 87

88 Funciones básicas El modelo incorpora el cálculo de las primas o la inversión en activos. Se pueden elegir 16 tipos de inversiones, el subyacente, bonos, forwards y opciones europeas. La columna H define si al calcular el resultado de la estrategia de inversión se consideran las primas pagadas o la inversión realizada (para el caso del subyacente y el bono). Las primas de las opciones se llevan a valor futuro (t1) para que todos los flujos correspondan al mismo momento. Las primas se calculan con la fórmula de Black-Scholes. Combinación de posiciones En la siguiente tabla, celdas azules de la columna B, se definen las posiciones que se toman. Si se agregan números enteros positivos implica que se han tomado posiciones largas (compra) en los activos referenciados; si el número es negativo las posiciones son cortas (venta). El valor de -1 en la celda B34, implica que se vendió una unidad del subyacente. El valor de 0.5 en la celda B37 significa que se compró medio forward, con vencimiento en t2, y precio de ejercicio X F,t2. El valor de 1 en la celda B38 implica que se compró un Call con vencimiento en t1 y precio de ejercicio X1. Las celdas en la columna D 88

89 presentan la utilidad de cada posición particular, evaluado para S t1. El resultado global está en la celda D50. Resultados En la siguiente tabla de datos se calculan los resultados hasta para cuatro de las posiciones individuales y la utilidad total para diferentes valores de S t1. En la celda D52 se calcula el monto total de la inversión en el momento 0. Los resultados gráficos también se presentan. 89