Vectores. Bases. Producto escalar, vectorial y mixto; y aplicaciones

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1 Mtemátics II Geometí del espcio Vectoes. Bses. Podcto escl vectoil mixto; plicciones Obsevción: L moí de los poblems eseltos continción se hn popesto en los exámenes de Selectividd.. Ddos los vectoes ( ) v ( ): ) Compeb qe v fomn n bse del espcio vectoil de los vectoes del plno. b) Encent ls componentes del vecto w ( 5) en l bse { v }. ) Los vectoes son linelmente independientes pes: λ( ) µ( ) ( ) λ µ ; λ µ λ µ λ µ L únic solción del sistem es λ µ. λ µ Los vectoes v fomn n sistem genedo pes clqie vecto (x ) pede ponese en fnción de ellos. En efecto: x x ( x ) () b( ) b x b x ; b x b) P w 5 5 ( 5) esto es x 5 se tiene: b. Lego w v. L compobción es inmedit: v ( ) ( ) ( ) ( ) ( 5) w.. Conside los vectoes de R : v ( ) v ( ) v ( k k ). ) Hll el único vlo de k p el cl estos vectoes no son n bse de R. b) P n vlo de k difeente del qe hs hlldo en el ptdo ) cáles son ls componentes del vecto w v v v en l bse { v v v }? ) Los vectoes no fomn bse cndo son linelmente dependientes; p ello el deteminnte socido debe se. k k 5 k 5 k b) Si k los vectoes { v v v } fomn n bse pes son linelmente independientes. En consecenci ls componentes de w v v v en fnción de es bse son ( ). José Mí Mtínez Medino

2 Mtemátics II Geometí del espcio José Mí Mtínez Medino. ) Se considen los vectoes: ( ) ( ) v ( ) v ( ). Demost qe p todo númeo el el vecto ) ( es combinción linel de tmbién de v v. b) Elegi tes vectoes linelmente independientes ente v v escibi el oto como combinción linel de ellos. ) En mbos csos debe cmplise qe el deteminnte fomdo po los tes vectoes vlg. ) ( es combinción linel de si. ) ( ) ( ) ( es combinción linel de v v si ) ( c) Como los vectoes v son linelmente independientes. H qe escibi v en fnción de v. Esto es encont ls constntes x z tles qe v x z v. O se: ( ) x( ) ( ) z( ) z x z x x Po Cme: x ; 5 ; z Lego: 5 v v

3 Mtemátics II Geometí del espcio. Sen A B C tes pntos del espcio tidimensionl qe veificn l elción CB CA ) Clcl el vlo qe tom k en l expesión AC k AB b) Si A(l ) B( 6 9) hll ls coodends del pnto C qe cmple l elción de ptid. ) De CB CA BC AC. Sstitendo en l igldd AC AB BC se tiene: AC AB BC AC AB AC AC AB AC AB b) AB ( 6 9) ( ) ( ) Si O ( ) entonces: OC OA AB ( ) (/ 5/) (/ /) Ls coodends del pnto C son (/ /). 5. Defini el podcto escl de vectoes ennci s elción con los conceptos de ánglo distnci ente pntos. Ddos dos vectoes v b ) w b ) se define: ( c ( c Podcto escl cnónico v w bb cc Podcto escl odinio v w v w cos( v w) Obvimente mbs definiciones son eqivlentes. v w De l segnd definición se dedce: cos( v w) v w El módlo de n vecto se define como: v v v b c L distnci ente dos pntos A B d(a B) es igl l módlo del vecto AB. Si ls coodends de esos pntos fesen A b ) B b ) entonces AB b b c ) d(a B ) ( c AB ( ( c ) ( b b ) ( c c) ( c José Mí Mtínez Medino

4 Mtemátics II Geometí del espcio 6. Ddos los vectoes ( ) v ( ) clcl: ) el podcto vectoil de v b) n vecto nitio otogonl v c) el áe del plelogmo qe tiene po ldos los vectoes v ) v ( ) v ( ) b) El vecto pedido es v 6 c) El áe del plelogmo viene dd po el módlo del podcto vectoil lego: A v. Clcl los vloes de x e p qe el vecto (x ) se otogonl los vectoes ( ) ( ). Debe cmplise qe: (x ) ( ) x (x ) ( ) x x / /. El vecto pedido es: (/ / ). 8. ) Sen v dos vectoes. Compob qe si ( v )( v ) entonces v. b) Clcle los vectoes nitios qe sen pependicles los vectoes ( ) v ( ) ) Si ( v ) ( v ) v v v v v v v (L solción v no es posible pes el módlo de n vecto siempe es mo o igl qe ceo.) b) El podcto vectoil de dos vectoes d n vecto pependicl mbos. Lego v ( 5) es pependicl los vectoes ddos. Los vectoes nitios pedidos son: v ( 5) ± ± v José Mí Mtínez Medino

5 Mtemátics II Geometí del espcio 5 9. Sen los pntos A( ) B( ) C( 5 ) D( ). ) Peb qe los cto pntos están en el mismo plno. (Hll l ección de dicho plno.) b) Demest qe el polígono de vétices consectivos ABCD es ectánglo. c) Clcl el áe de dicho ectánglo. ) Los cto pntos peteneceán l mismo plno si los vectoes AB AC AD son linelmente dependientes. Estos vectoes son: AB ( ) ( ) ( ) AC ( 5 ) ( ) ( ) AD ( ) ( ) ( ) Como los vectoes efectivmente son linelmente dependientes. El plno qe deteminn viene ddo po ejemplo po el pnto A po los vectoes AB AC. S ección es: x t h x t h x z z h z Obsevción: Pede vese qe los cto pntos ddos cmplen l ección del plno. b) El cdiláteo seá ectánglo si los vectoes AB BC AB AD son otogonles. Como: AB ( ) BC ( ) AD ( ) se tiene: AB BC AB AD ( ) ( ) Po tnto se tt de n ectánglo. c) Al ttse de n ectánglo s speficie se hll mltiplicndo s bse po s lt. L bse pede se el módlo de AB; l lt el módlo de AD. Po tnto AB ; AD S AB AD NOTA: L speficie tmbién podí hllse medinte el podcto vectoil: S AB AD José Mí Mtínez Medino

6 Mtemátics II Geometí del espcio 6. Si A B C son los pntos de coodends ( ) ( ) ( ) espectivmente ) Clcl el áe del tiánglo qe fomn los pntos A B C. b) Detemin el ánglo qe fomn los vectoes AB AC. ) El áe del tiánglo de vétices A B C viene dd po S AB AC Como AB ( ) ( ) ( ) AC ( ) ( ) ( ) se tiene: AB Lego: S AC () b) Po el podcto escl: AB AC cos AB AC AB AC el ánglo qe fomn es de 6º.. Si v son vectoes otogonles de módlo hll los posibles vloes del pámeto el p qe los vectoes v v fomen n ánglo de 6º. Los vectoes v fomn bse otogonl. Entonces podemos expes: v ( ) v ( ) Como cos( v ( ) ( ) v ) cos 6º ( ) ±. Hll l speficie del tiánglo de vétices P ( ) Q ( ) R. El tiánglo está detemindo po los vectoes PQ ( ) RQ (/ / /) S speficie seá: S PQxRQ El podcto vectoil es: PQ RQ ( / / ) / / / 56 9 José Mí Mtínez Medino

7 Mtemátics II Geometí del espcio. Compeb qe los pntos A ( ) B ( 5 ) C ( 5) D ( ) son coplnios. De todos los tiánglos qe se peden consti teniendo como vétices tes de esos cto pntos cál es el de mo áe? Hll el vlo de dich áe. Seán coplnios si los vectoes AB AC AD son linelmente dependientes. Vemos: AB ( 5 ) ( ) ( 5 ) AC ( 5) ( ) ( ) AD ( ) ( ) ( ) Como los vectoes AC AD son popocionles AD AC los tes vectoes son linelmente dependientes. (Tmbién pede vese qe el deteminnte socido esos vectoes vle.) Si AD AC los pntos A C D está linedos como se indic en l fig. El tiánglo de mo speficie qe pede constise es el de vétices A B D. S speficie es: S AB AD (6 ) Lego S 6 ( ) 6 El podcto vectoil AB AD 5 (6 ). Compeb si los pntos ( ) ( ) ( 5) están linedos. En cso negtivo detemin l ección del único plno qe los contiene. Sen A ( ) B ( ) C ( 5). Como los vectoes AB ( ) AC ( 5 ) son linelmente independientes (se ve de mne inmedit pes ss coodends no son popocionles) los pntos no están linedos. x L ección del plno qe deteminn es: 5 x z José Mí Mtínez Medino