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1 Ls sgs: NOTS DE CLSE NÁLISIS EN INGENIERÍ MECÁNIC H so vls probs omo mrl poo áo ro los rsos l FIMEE l Uvrs Go. POR L COMISION DE SUPERCION CDEMIC DE L H. CDEMI DE L FIMEE. OCTUBRE DE 7. or: Dr. Lz oo glr Corés Clv fó N.ME.M.() I 7-

2 Msrí Igrí. Má álss Igrí NOTS DE CLSE. CURSO: NÁLISIS EN INGENIERÍ MECÁNIC Clv: Dr. Lz oo glr Corés Ooño 7 glr

3 Msrí Igrí. Má álss Igrí Í I. Álgbr Vorl Álgbr Vorl I- Fos Vorls Vrbl I- Drv Drol. I-7 Gr, Dvrg Rool I-7 Emplos I- II. Cállo Vrol Fols II- Eó Elr II-6 Lm Báso II-9 Vros II- Emplos II- Mlplors Lgrg Rsros II-7 III. Eos Dfrls Prls EDP Iroó EDP º Or Clsfó Emplos Dó EDP Soló D lmbr.. Spró Vrbls. Emplos Trsform Lpl.. Dfrs Fs III- III-8 III-9 III-5 III- III- III-5 III-55 III-6 IV. Mrs Forms Crás Drms Mrs. Forms Crás... Fos mrz r... Torm Cl-Hmlo IV- IV-5 IV- IV- V. Tsors (Opol) Coors Obls V- Coors Crvlís.. V- Trsformos V-6 Covó sm Es. V-7 Tsors. V-5 Drv Covr. V-9 Bblogrfí glr

4 Msrí Igrí. Má álss Igrí LGEBR VECTORIL Vor: Pr sros propósos vor spo Elo s b fo omo sgmo ll o ró mg s. F B Dsplzmo Frz, vlo, lró, Cmpo léro Cmpo mgéo Eslr: C q sólo pos mg. Volm, ms, mprr, s, rgí, rbo, mpo. L mg o log vor s oo omo l vlor bsolo l vor: Dspro s ró, vor log, o vlor bsolo, s l s llm vor ro. Dos vors so gls s llos l msm ró l msm mg. El gvo vor (-) s qél q é log pro ró ops l orgl. L sm os vors B sá f por l l l prllogrmo. B B -B (-B) B -B -B L sm (rs) os vors s oro vor. D s fó s v q: B B L sm vorl s omv sov: (BC) (B)C Vor por slr () ) > (posvo) álss Vorl I- glr.

5 Msrí Igrí. Má álss Igrí El vo vor () l msm ró so q pro s mg h mbo l form sg: > : mo vs. : Prmó lr. < < : Dsmó proporó l vlor. ) < (gvo) Pr vlors gvos, l vo vor () ró ops. S mg s mof l msm form q pr l so, sólo q érmos l slr -/ -/ PRODUCTO PUNTO Y CRUZ -PRODUCTO PUNTO: El proo po vors s slr gl l proo los vlors bsolos los os vors l oso l áglo r ss ros. B B osθ B Proó Sobr B osθ θ Proó B sobr El proo vors s gl l log o oro llos mlpl por l proó l oro sobr él. Sobrsl os sos prlrs: ) S o los vors, gmos, s log r, os B s smplf : B osθ Bosθ, l l s sm l proó, o ompo B l ró l vor ro. ) S B, os, obvm: q θ ; El proo po s omvo srbvo sobr l ó: álss Vorl I- glr.

6 Msrí Igrí. Má B B q l osθ s l msmo mbos sos. álss Igrí (B C ) B C S B, os l mos o los vors (, B ) s ro o B so prplrs. -PRODUCTO CRUZ: El proo vorl os vors B rprso B s vor V o vlor bsolo s l proo los vlors bsolos, B l so l áglo r llos ró s prplr l plo fo por B l ró v orllo ros rh q h so roo h B. B B θ B B sθ Y q B sθ s l proó B l ró prplr o, ors plbrs, s l lr l prllogrmo fo o B so bos po omú, sí l mg B omlm: B sθ, s gl l ár s prllogrmo. D l rló r l proo rz l ár s fál mosrr q l mlpló vorl s srbv sobr l ó: (BC) ( B) ( C) Y l mlpló vorl s NO omv: B -B S B, os o oro los vors, B s ro o B so prllos. VECTOR UNITRIO S f vor mg ro omo vor o r ró prsr. Por lo o, s p prsr l vor ro ê l ró l vor omo: Α ê Α álss Vorl I- glr.

7 Msrí Igrí. Má álss Igrí sí: ê S h vso q los vors ros s p fr lqr ró. S mbrgo, los vors ros más úls so qllos q ros mm orogols (oo oroorml), por mplo ls ros X, Y Z ls oors rss rglrs, os omúm por ˆ, ˆ kˆ. Z kˆ î ĵ Y X REPRESENTCIÓN DE UN VECTOR Lgo X, Y Zk rprs ls logs los vors X, Y Z s ros orrspo l los s. D l fó sm vorl s v q l vor q l org l po grl P(X,Y,Z) sá fo por: R R Xˆ Y ˆ Zkˆ E érmos ms grls, lqr vor s ompos lo lrgo los s ooros so, rspvm,, p srbrs: k Lgo s Eos B b b b k ± B ( ± b ) ( ± b ) ( ± b )k Clrm, os vors srá gls s sólo s, ss rspvs ompos so gls. Y q l proo po vors q so prplrs s ro, s q: k k álss Vorl I- glr.

8 Msrí Igrí. Má álss Igrí S mbrgo, plo l mg vor, s : k k D qí: B ( k) (b b b k) b b b plo l prop srbv, po smplfo E prlr, s B, s sí, s: ó z k B B B B z k B ( z k) (B B B z k) ( ) B ( ) B ( k) B z ( ) B ( ) B ( k) B z (k ) z B (k ) z B (k k) z B z B B z B z El áglo ompro r os vors B: Roro q B B osθ, rsolvo pr osθ,s : b b b osθ l l B m m B B b b b B Bosθ osθ ( B)/B ( B B z B z )/B l l B m m B B Emplo: ) Eorr l áglo r los vors - k B - k Cllmos prmro s proo slr: B (-k) (-k) ()(-)()()(-)() -- B - Lgo l mg vor:.7 álss Vorl I-5 glr.

9 Msrí Igrí. Má álss Igrí B 6.5 sí: osθ -/(.7)(.5) -/ θ96. Pr l proo rz los vors ros, k, s : kk - k k -k k -k Lgo s ob pr l proo rz os vors: B( k)(b b b k) ( b - b ) - ( b - b ) ( b - b )k El l s prsm l form p l rm: k B b b b El rár -omvo l proo rz orrspo sí l hho q rmbo os rglos rm mb l sgo l rm. TRIPLE PRODUCTO S los sgs sos: ( B)C ; (B C) ; (B C) ( B)C Es vor log s B vs l log C ró s l msm C ops sgú s B s posvo ó gvo. (B C) TRIPLE PRODUCTO ESCLR Gomérm, l rpl proo slr (B C) rprs l volm prllpípo rss, B C. D qí (B C), o vlor s sm l mg B C mlpl por l proó sobr B C, s mérm gl l volm l PRLELEPÍPEDO. más s mpl: (BC) B (C) C (B) [BC] (BC) (CB) Por qé? álss Vorl I-6 glr.

10 Msrí Igrí. Má álss Igrí E lqr rpl proo slr l po l rz p rmbrs s lrr l vlor l proo. [BC] [BC] s oó sr sf pr q, B C s prlls msmo plo. E prlr, s os fors rpl proo slr l msm ró, l proo s ro. Emplo: VOLUMEN DE UN PRLELEPIPEDO Dmosrr q l vlor bsolo (B C) s gl l volm prllpípo rss, B C. S l vor ro prplr l prllogrmo I, o l msm ró so q BC, h l s l rmo l prllogrmo I. C h I I BC B C sθ h osγ V [osγ][ B C sθ] Volm l prllpípo [lr (h)][ár l prllogrmo (I)] V ( )( BC ) V { BC } V (BC) L lr l prllogrmo s l proó l vor sobr BC. lgbrm, s srbmos: k; B b b b k; C k; S : (BC)( k) [(b -b )-(b -b )(b -b )k] (BC) (b -b )- (b -b ) (b -b ) Lo l s sm l form p l rm: [BC] b b b álss Vorl I-7 glr.

11 Msrí Igrí. Má álss Igrí Flm pr l rpl proo vorl, s : (BC) ( C)B - ( B)C más: (B C) ( B) C TRE DEMOSTRR Co l oomo l rpl proo slr vorl, los proos q volr ms rs vors p sr pos s fl: ( B ) (C D) [B (C D)] [(B D)C - (B C)D] IDENTIDD DE LGRNGE ( C)(B D) - ( D)(B C) smlrm: ( B) (C D) ( B D) C-( B C)D TRIPLE PRODUCTO VECTORIL [BD]C-[BC]D Emplos () S: 7 8 k B5 k Obr -B -B(7 8 k ) -(5 k) (7-5) (8-) (-)k -B - 9k () Dos los vors B, rmr C -B, Cáls so los osos rors C? D l fgr s : 5k Bk Eos: C-B-k Lgo: C ( ) / /.9 los osos rors: l /.9.95; m.86;.95 m-/ álss Vorl I-8 glr.

12 Msrí Igrí. Má álss Igrí () Dos los vors 78k B5k Drmr s sm l mg C C B Soló: CB(78k)(5k) C(75)(8)()k C85k l mg: C( 8 5 ) / /. () S: prk B8(pq)k C8q8q5k p, q, r so slrs sooos C B rmr p, q r. C B 8q8q5k(prk)[8(pq)k] 8q8q5k(p8)(rpq)k prr s ó s ob: 8q q 8q p8 p 5 rpq r 8 (5) Vor ro osos rors. ) Eprsr l vor V fó ss ompos rmr l vor ro ê v. b) Cáls so los osos rors l, m orrspos V los áglos rspvos α, β γ? v V/ V VV v álss Vorl I-9 glr.

13 Msrí Igrí. Má álss Igrí Soló: ) Ulzo vors ooros ros, l vor V s p prsr fó ss ompos rs omo: Vk L mg V p llrs fálm: V ( ) / Eos: ê v V/V ( k)/..8.9k b) Como l vor ro s p prsr l form: ê v lmk S ob: l osα. α 76º9 m osβ.8 β 7º osγ.9 γ º8 6) Ár prllogrmo -Hllr l ár l prllogrmo rmo por los vors: - k B - k Cllmos prmro l proo vorl B k B - [()()-()(-)]-[()()-(-)(-)][()()-(-)()]k - B 7-5k Lgo l ár l prllogrmo s sm l mg B: Ár B álss Vorl I- glr.

14 Msrí Igrí. Má álss Igrí 7) Ár ráglo -Drmr l ár l ráglo os vérs so (,,), (,,) (,,5) SOLUCIÓN: Pso q Ár/Bs(,B)/ B k B5k k B - k 5 B.7 Ár.7/ 5.5 (8) Eprsó vor por mo los vors ooros ros. Los vors B ls rs l prllogrmo mgs 65 rspvm, prsr B fó ss ompos lzo los vors ooros ros: Soló: ê (-5k)/ ê B (-55k)/5 sí: ê 65[(-5k)/]6-5k BBê B [(-55k)/5 ]-k álss Vorl I- glr.

15 Msrí Igrí. Má álss Igrí DISTNCI MÍNIM ENTRE UN PUNTO Y UN RECT 9) Drmr l s mím r l po (,,8) l r q ps por (,,) (,,5) SOLUCIÓN: L s mím r l po l r OB s l prplr D, rz s hs l r OB, l fgr. DB s( B) B s( B)/ B / Y omo: 5k B8k os: k B k 8 D mr q: B ( 9 6 ) ( 86) ( 5 ) ( 5) 5 sí: D 9/ álss Vorl I- glr.

16 Msrí Igrí. Má álss Igrí FUNCIONES VECTORILES DE UN VRIBLE S s slr vrbl s pr o los vlors lgú rvlo s vlor orrspo vor V, s q V s fó vorl. V()V ()V ()V ()k V() s o s sólo s ls rs fos slrs V (), V () V () so os S l vrbl p fó vorl V() mb Δ, l fó mbrá grl mg ró. Espífm pr rmo Δ s l rmo l vor: ΔVV(Δ)-V() [V (Δ)V (Δ)V (Δ)k]-[V ()V ()V ()k] ΔV ΔV ΔV k sí pr l rv fó vorl, s : V V(Δ)-V() ΔV lm lm Δ Δ Δ Δ O so ls ompos: V ΔV ΔV ΔV lm lm lm k Δ Δ Δ Δ Δ Δ V V V V k [o, k oss] L vró vor o rspo p ossr mbo mg, mbo ró ó mbos. D l úlm rló s p fr l frl fó vorl V() omo: V V V V k E prlr, pr l vor R zk álss Vorl I- glr.

17 Msrí Igrí. Má álss Igrí Dbo l org l po P(,,z), s R z z V(Δ) ΔV V() Irpró gomér fó vorl vrbl. * S Δ l ró ΔV qí l ró ΔV /Δ, s prom l ró l v g. Eso s, s vor g l rv, l l s l lgr goméro los pos rmos l vor V(). E prlr s l vrbl slr s l log ro s, m lgú po rfr sobr, s V ΔV r fsml lm lm s Δs Δs Δs ro fsml sí, s s s l log ro l rv f por los pos rmos los vors V(s), os V/s s g r. D l fó l rv fó vorl s ob l rv l sm, fr proo vors ls ls p obrs l állo orro o sólo spl o l or los fors, sí: (U±V) U V ± ( B) B DEMOSTRCIÓN: (B) (Δ)B(Δ)-()-B() lm Δ Δ álss Vorl I- glr.

18 Msrí Igrí. Má álss Igrí (Δ)-() B(Δ)-B() lm lm Δ Δ Δ Δ B (ϕv) ϕ V V ϕ B ( B) B DEMOSTRCIÓN: ( B) (Δ) B(Δ)-() B() lm Δ Δ (Δ) B(Δ)-(Δ) B()(Δ) B()-() B() lm Δ Δ (Δ) [B(Δ)-B()] [(Δ)-()] B() lm lm Δ Δ Δ Δ B B (U V) U V V U [UVW] U V W VW U W UV álss Vorl I-5 glr.

19 Msrí Igrí. Má álss Igrí [U(VW)] U V W (VW) U W U V Emplo: Do Q ( 8 ) 5k, obr V l q V Q / V Q / 6 8 álss Vorl I-6 glr.

20 Msrí Igrí. Má álss Igrí EL OPERDOR (NBL) RΔR C R Q( Δ, Δ,z Δz) ΔR P(,,z) S φ fó slr posó q prmrs rvs prls o rspo,, z lg rgó l spo s R zk (vor l org l po P). S os movmos P po ro Q( Δ, Δ,z Δz), l fó φ mbrá Δφ o vlor o l állo s: Δφ (φ/)δ (φ/)δ (φ/z)δz ε Δ ε Δ ε Δz o ε o Q P, s r, o Δ, Δ Δz ro. S vmos l mbo Δφ por l s Δs ΔR r P Q, s ob l m l rzó l l mb φ o os movmos P Q: Δφ φδ φδ φδz Δ Δ Δz ε ε ε Δs Δs Δs zδs Δs Δs Δs sí, s φ(,,z) rprs l mprr l po P(,,z), os Δφ/Δs rprs l rzó promo mbo l mprr l ró l ál Δs s mo. Lgo o Q P, s l rv φ l ró PQ o smplm l rv rol φ. φ φ φ φz s s s zs P ors q l prmr for o los proos l lo rho p sólo φ l oor l l l rv φ s vl. s vz l sgo for s p φ p sólo l ró l l l rv s ll. Eso sgr q φ/s p rprsrs omo l proo po os vors, o q p sólo φ ls oors P, l oro q p sólo sobr l ró s, sí: álss Vorl I-7 glr.

21 Msrí Igrí. Má álss Igrí φ φ z ˆ φ ˆ φ kˆ k k s z ˆ ˆ ˆ φ ˆ φ ˆ φ ˆ s s s z R s ( ) L fó vorl φ ˆ φ ˆ φ kˆ z S oo omo l gr φ ó smplm gr φ ( φ ) rprsrs. sí l ó ( ) p φ ( gr φ) s R s Vor ro R φ s ΔS POR DEFINICIÓN ES L LONGITUD DE ΔR sí l proo ( R / s) φ s sm l proó gr φ l ró R/s. gr φ l prop q s proó lqr ró s gl l rv φ s ró. * El gr φ lqr po P s prplr l sprf vl φ l l ps rvés s po. gr φ p sólo ls props ríss φ, sí : gr φ φ ˆ φ ˆ φ kˆ z ˆ, ˆ kˆ p rmplzrs por lqr oro oo vors ros mm prplrs sí omo (φ/), (φ/) (φ/z) srá rmplzos por ls rvs rols φ lo lrgo los vos s. El gr fó s srb frm l form oprol sg: gr φ ˆ ˆ kˆ φ z álss Vorl I-8 glr.

22 Msrí Igrí. Má álss Igrí álss Vorl I-9 glr. l vor oprol slm s o por l símbolo (NBL) sí: z k ˆ ˆ ˆ ( 6 ) o s oó: gr φ φ s φ φ s R φ φ R Tmbé, s φ s fó vrbl smpl l l s vz s fó,, z os : k z ˆ ˆ ˆ φ φ φ φ k z ˆ ˆ ˆ φ φ φ k z ˆ ˆ ˆ φ φ (φ/) El rár vorl l opror sgr q mbé s osr los proos po rz los ls pr omo for. S F kˆ F ĵ F î F s vor s ompos so fols,, z so o ls sgs ombos: ( ) k F F F k z F ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ

23 Msrí Igrí. Má álss Igrí álss Vorl I- glr. z F F F l l s oo omo l DIVERGENCI l vor F, : ( ) k F F F k z F ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ F F k z F F z F F ˆ ˆ ˆ / / / ˆ ˆ ˆ F F F z k El l s oo omo l ROTCIONL F mbos, l vrg l rool rpros físs q sf ss ombrs. DIVERGENCI: Má flos Rzó pér por volm. Eó o v ó v flo omprsbl. ROTCIONL: L vlo glr rpo q gr formm s gl ½ l rool l vlo ll lqr po l rpo Ω /( v ) Los rslos plr l opror vrs ombos fos slrs vorls s prs ls sgs fórmls: φ φ φ v v v ( )v v v φ φ φ ( ) v v v ( ) v v v v v φ l rool l gr φ s ro.

24 Msrí Igrí. Má álss Igrí v l vrg l rool v s ro. ( v) ( v) v ( v) v z EL OPERDOR DE LPLCE Ess fórmls so váls sólo pr l form rs l opror l ó ror. Dfrs fórmls s org o s prs érmos ssms oors ms grls. TRNSFORMCIÓN DE COORDENDS Cosr os ssms oors rglrs rfr z z o l msmo org pro gro o o rspo l oro: p(,, z) P( ', ', z') Ls oors msmo po P l spo so (,,z) (,,z ) rspo o los ssms. Ls os rsformó s oors ors so: l l l z l l l z ( ) z l l l z E o l k (, k,, ) rprs los osos rors los s, z rspo,, z. S los orígs mbos ssms oors o o, s so ls os rsformó so: l l l z l l l z () z l l l z So (,, ) ls oors l org o l ssm z rspo l z álss Vorl I- glr.

25 Msrí Igrí. Má álss Igrí Ls prmrs os rsformó f roó pr ls sgs os roó rsló. El movmo más grl rpo rígo p sr sro por roó rsló lror ( l orllo ). L prmr rsformó s om mbé rsformó orogol. Físm fó slr po o mpo slr φ (,, z ), prlrz po o b sr p ls oors l msmo (por mplo l mprr). álss Vorl I- glr.

26 Msrí Igrí. Má álss Igrí álss Vorl I- glr. EJEMPLOS DICIONLES: Wl C.R. v Egrg Mhms, 6 h. M Grw Hll, 995 REF. [], Cpílo 5, Sos P.- Do U k, V k, W k, ) ( ) ( ) ( k R W R V R U r R. Rlzo los proos, o q k R R R R z ˆ ˆ ˆ Z Y X z R R R R k R R k R U ˆ) ˆ ˆ ( ) ( Z Y X z R R R R k R R k R V ˆ) ˆ ˆ ( ) ( Z Y X z R R R R k R R k R W ˆ) ˆ ˆ ( ) ( Eos [ ] [ ] [ ] ˆ ) ( ˆ ) ( ˆ ) ( k R R R R R R R R R Y X Z Y X Z Y X Iglo érmos Z Y X R R R () Z Y X R R R () Z Y X R R R () rso () () rso () {()*(-)} 5 R Eos R R z z z z R R R R R R R s k R ˆ 5 ˆ

27 Msrí Igrí. Má álss Igrí 5. P.- Dmsr por méoos vorls q: áglo sro smírlo s áglo ro. θ D l fó B BC B BC osθ D l fgr s obsrv q: sso B b BC b Eos B BC ( ) ( ) Sso B BC osθ pro bo q l fg. s obsrv q rprs l ro l smírlo r Co so osθ, os θ 9 U sg mosró srí l sg: B (, r) θ rˆ r ˆ B rˆ r ˆ ( r,) r r (r,) D l fó B B sθ B r r ˆ r r ˆ r r kˆ kˆ( r r ) r kˆ álss Vorl I- glr.

28 Msrí Igrí. Má álss Igrí B r sso r r rsθ r r sθ sθ θ 9 5. P.- Er vor ro prplr los vors -k -5-k. To los vors ˆ ˆ kˆ B 5ˆ ˆ kˆ Dfo l plo q form B omo B s oo q l vor rsl srá vor prplr ho plo por lo o los vors q lo oform. î ˆ kˆ B ˆ ( ) ˆ( 5) kˆ( ) C 5 C ˆ 6kˆ C ˆ C C C ( ˆ ˆ kˆ) 5 C ( ˆ ˆ kˆ) bo q l plo mbé lo p formr B C 5 5. P. Er l s l po (6,,) l plo q ps por (,,) prplr k. ( 6,, ) (,, ) P P ˆ ˆ kˆ álss Vorl I-5 glr.

29 Msrí Igrí. Má álss Igrí El plo ps por l po (,,) l vor orml l plo s ˆ ˆ kˆ Do R pr l plo R s l Po rés D l fórml mosr l problm ( R R ) R R R R ( 6 ) ˆ ( ) ˆ ( ) 5 ˆ kˆ Eos kˆ ( 5 k) ( ) ( ˆ ˆ k) P) Er ) [BC], b) (BC), ) (B)C, ) l volm l prllpípo q omo los C, -C B, ) l volm l prllpípo q omo los C, - C C, f) (B)(CD), g) (B)(CD). Los vors so; ˆ ˆ 5kˆ B 5ˆ ˆ kˆ C ˆ 7 ˆ kˆ D ˆ ˆ kˆ ) 5 [ ] ( ) ( ) ( ) BC álss Vorl I-6 glr.

30 Msrí Igrí. Má álss Igrí b) ( BC ) lzo l ( BC ) ( C) B ( B)C C ( ˆ ˆ 5kˆ ) ( ˆ 7 ˆ kˆ ) 7 B ( ˆ ˆ 5kˆ ) ( 5ˆ ˆ kˆ ) 5 ( BC ) 9( 5ˆ ˆ kˆ ) ( )( ˆ 7 ˆ kˆ ) 5ˆ 8 ˆ 6kˆ 6ˆ 8 ˆ 6kˆ ( BC ) 6ˆ ˆ kˆ 9 7 ) ( B ) C B 5 ( ) ˆ ( 5) kˆ ( 5) 5 - kˆ - B ˆ 65 ˆ 7kˆ ˆ ( B ) C ˆ ( 66 9) ˆ ( 5 8) kˆ ( 9 66) ĵ 7 kˆ - ( B ) C 7ˆ 8 ˆ 57kˆ ) C ˆ 7 ˆ kˆ C 6ˆ ˆ 9kˆ B 5ˆ ˆ kˆ V ( 8) 7( 8 5) ( 5) V ) C ˆ 7 ˆ kˆ C 6ˆ ˆ 9kˆ C ˆ 7 ˆ kˆ 7 ; V 6 9 ( 6) 7( 6) ( ) 7 V 5 f) ( B) ( CD) B ˆ 65 ˆ 7kˆ álss Vorl I-7 glr.

31 Msrí Igrí. Má álss Igrí C D ˆ ĵ kˆ 7 - ˆ k - ( 7 ) ˆ ( 8) ˆ( ) CD ˆ ˆ 8kˆ ( B) ( CD) ( ˆ 65 ˆ 7kˆ) (ˆ ˆ 8kˆ) ( B) ( CD) ˆ ˆ kˆ g) ( B) ( CD) 65 7 ( 97 8) (6 ) k(56 95) 8 ( B) ( CD) 8ˆ 55 ˆ 65kˆ 5. P7.- El vor posó príl p l mpo sá o por r () 6 8 k. Er oos los vlors pr los ls l movmo p s ) prllo k b) prplr -56k. L posó s: L vlo s: r () 6ˆ ˆ 8 ˆ r ( ) 6ˆ kˆ ) S l movmo s prllo ˆ k r ˆ ĵ kˆ 6 álss Vorl I-8 glr.

32 Msrí Igrí. Má álss Igrí ( ) ˆ ( ) ˆ ( ) 8 6 k ˆ 8 6 sgo b) S s prplr B ˆ 5 ˆ 6kˆ r B ( 6ˆ ˆ kˆ ) ( ˆ 5 ˆ 6kˆ ) ± ± 8 5. P.- Er l gr ls sgs fos. () z (b) z () s ( z) () z () b z f f f ˆ f ˆ kˆ z ( ) ˆ ( ) ˆ () f z z ( z) kˆ z f ˆ z ˆ kˆ ( ˆ ˆ ˆ) f z k z ( ) ˆ z (b) ( ) ˆ z f ( ) kˆ z zˆ z ˆ z f z z kˆ ( ˆ ˆ ˆ) z f z z k álss Vorl I-9 glr.

33 Msrí Igrí. Má álss Igrí () f f s( z)ˆ z os( z) ˆ os( z) kˆ () f z ( s( z) ) ˆ ( s( z) ) ˆ ( s( z) ) f ( z) ˆ ( z) ˆ ( z) z ( z) ˆ ( z) ˆ ( )kˆ b ( ) ˆ b () ( ) ˆ b f z z ( z ) kˆ z b ˆ b ˆ b f z b z z kˆ b ˆ b ˆ f z kˆ kˆ kˆ 5.5 P.- L mprr T so sbl sólo sá por l mpo slr ( z). ()Er vor mg oz l mám rzó mbo T l po (,,). (b) Cl s l rzó mbo T l po (,,) l ró l vor k? ) T T T z P ( ) φ ( ),, φ R φ R r ˆ ˆ ˆ r rk s s T T T ˆ ˆ kˆ z ˆ ( z) ˆ ( z)kˆ Eos pr l po (,,) T ˆ ˆ kˆ Vor q mmz l mbo T l po o álss Vorl I- glr.

34 Msrí Igrí. Má álss Igrí b) l ó: φ s T s R T s R ˆ ˆ kˆ R o s R R T s T s T s T s ( ( ) ( ) ) ( ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ k) z z k ( ) ( ˆ ˆ ) ˆ ˆ ˆ k k ( 8 ) 8 6 / 6 6 l vlor l rv rol 5.5 P9.- Cll l vrg l rool o los mpos vorls sgs: ( ) ˆ( ) () z s z os ˆ ( ) ˆ ( os ) F z s z ˆ Dvrg: F F F ˆ s ˆ kˆ z [( z s) ˆ ( z os ) ˆ ] z ( z s) [ ( z os ) ] ( ) álss Vorl I- glr.

35 Msrí Igrí. Má álss Igrí Rool: F ˆ ĵ ( z s) - ( z - os) kˆ z [ z ( z os ) ] ˆ - [ z ( z s) ˆ ( z os ) ] ( z s) kˆ F ˆ ˆ EJERCICIOS PROPUESTOS 5. (8, ) 5. (8,7, ) 5. (, 7, 6) 5. (, 9) 5.5 (7,, 5). álss Vorl I- glr.

36 Msrí Igrí. Má álss Igrí CÁLCULO VRICIONL INTRODUCCIÓN Com o los problms q s sro rmr los mámos los mímos r fó f ( ) [o z f (, ) ], o fr srg los problms físos l s hllr los VLORES MÁXIMOS MÍNIMOS géro spl mgs, llms FUNCIONLES. Es r, s bs rmr l fó q mmz o mmz q p o o más vrbls ps, so ls fos oo o. FUNCIONL: mg vrbl o vlor s rm m l ló o vrs fos. El CÁLCULO VRICIONL s los méoos q prm hllr los vlors mámos mímos los fols. Los problms q s g vsgr l mámo o l mímo fol, s om PROBLEMS VRICIONLES. El állo vros s hrrm mmá úl pr l so problms OPTIMIZCIÓN. -D fó lolzr l posó ss vlors rmos l mg ésos (opmzó mg). -D grl f rmr l gro q l h mím l vlor l grl (opmzó form) Mhs ls l má l fís s r l frmó q ro fol b lzr s mámo o s mímo l proso osro (PRINCIPIOS VRICIONLES DE L MECÁNIC o L FÍSIC). Los rs problms sgs rro gr fl l srrollo l állo vrol : PROBLEM DE BRQUISTÓCRON (696 Broll J.) E s problm s g rmr l rv q os pos os B, q o pr msm r vrl, q pos l prop q po mrl s sl por h rv s l po hs l po B l mor mpo posbl. Es fál vr q l lí slzmo más rápo o srá l r q los pos B, psr q és s l s más or r hos pos, q l movrs por s r l vlo mrá form rlvm l. S, mbo, s om rv q b más brsm r l po, os, q l mo s lrg, gr pr l rorro srá o gr vlo. Cállo Vrol II- glr.

37 Msrí Igrí. Má álss Igrí PROBLEM DE LS GEODÉSICS: qí s p rmr l lí mor log q φ,, z os pos os r sprf ( ) -PROBLEM ISOPERIMÉTRICO: S p hllr lí rr log l q lm l ár mám S.(Es lí s l rfr) Oro so q p lso rrs l állo lml s rfr l problm: os ls rvs svs q P (, ) o P (, ) orr qll log mím (RECT). l rlor l állo vrol o állo lml p sgrs lo sg: CÁLCULO CÁLCULO VRICIONL MXIMIZR }FUNCIONES MINIMIZR MXIMIZR }FUNCIONLES MINIMIZR U fol s rgl q sg úmro rl úo fó oo, o omo o fos. Y hmos ro o mhs fols sros sos rors mmás, por r lgos mplos:. Pr vlor fo fó f f, l prsó [ g( ) ] f s fol o omo s l oo os ls fos g ls q sá o l omo g g ( ) sá l omo f. b. ( ) f s fol, pso q s rgl q sg úmro rl úo fó f q s grbl sobr [ b]. Los ofs Forr,. Cállo Vrol II- glr.

38 Msrí Igrí. Má álss Igrí p π f ( ) os p p b p π f ( ) s p p so fols, o q so fórmls o rgls q sg vlors méros úos fó pró q ssfg ls oos Drh.. Pr vlor l prsó '' ' L( ) ( ) ( ) ( ) s fol o omo s l oo os ls fos q s os vs frbls. 5. L fló mám l rmo vg volzo q s oblg vbrr por mo rg rmó w( ) sω s fol o omo s l oo os ls fos msbls srbó rg w ( ) l 6. L rgí pol V EI( ) '' ( ) q s lm vg flo s fol o omo s l oo os ls rvs msbls fló ( ). l 7. L rgí é vg vbr T ω ρ( ) ( ) s ω lqr s prlr s fol o omo s l oo. os ls rvs msbls fló ( ) U fol q s srá ll s : b b (, ' ) F(,, ' ) Cállo Vrol II- glr. I F, () E prlr, s hllr l fó,, l omo os ls fos om frbls q ssf ls oos los rmos ( ) ( b) q mm o mm I. PRINCIPIOS VRICIONLES Los prpos vrols so ls hrrms más poross pr formlr ls os movmo ssms GDL ssms oos o lr omprsó sobr lqr promó hh r l proso rvr ls os. El állo vros s méoo poroso pr l soló problms vros mpos, lgos mplos so: ESTÁTIC Y DINÁMIC DE CUERPOS RÍGIDOS ELSTICIDD (EN GENERL) VIBRCIONES ÓPTIC OPTIMIZCIÓN

39 Msrí Igrí. Má álss Igrí El állo vros s l rmó rml (MÁXIMO o MÍNIMO) o vlors soros (PUNTO DE INFLEXIÓN) FUNCIONLES. U FUNCIONL p frs omo fó fos. Co lo l l állo vrol p srs pr rsolvr problms opmzó rors. Ls bss s ópo fro s por los hrmos Broll mpors orbos fro hhs por Elr, Lgrg, Wrsrss, Hmlo Bolz. Fg. Pos rmls f ( ) PROBLEM DE CÁLCULO DE VRICIONES U problm smpl l orí l állo vros p sblrs l sg mr, s rsros: Er fó ( ) q MINIMICE l fol (grl) (,, ', ' ') F () o F so FUNCIONLES (fos ors fos) ( ) ' ( ) '' ( ) E má, l fol slm pos sgfo físo lro. Por mplo l má sólos formbls, l rgí pol ( π ) g l rgl l fol (π s fó ls ompos l splzmo, v w, ls ls, s vz, so fos ls oors, z ). L grl () sá f l rgó o omo [, ]. S los vlors fos sobr ls frors ( ) ( ). Éss s oo omo ls oos fror l problm. () s ; Uo los promos q p srs pr rsolvr l problm l. Cállo Vrol II- glr.

40 Msrí Igrí. Má álss Igrí pr l problm o prs l fol érmos ls solos vs.. Compr los vlors os pr ls frs solos vs.. Er l soló orr l problm omo l soló prlr v l l h q l fol pos rmo o vlor soro.. Slo sr os o solos vs ( ) El promo mmáo so pr slor l soló orr úmro solos vs s llm CÁLCULO DE VRICIONES. VLORES ESTCIONRIOS FUNCIONLES rprsrs Clqr soló v ( ) l v l soló ( ) p () () Soló Tv Soló E ( ) ( ) ( ) soló soló vró v l vró (s r ) s f omo fsml, mbo rbrro pr vlor fo l vrbl (s r, pr ). qí s l OPERDOR VRICIONL (smlr l opror frl ). L opró vró s omv l gró rvó ( F ) ( F ) ( ) Tmbé, fmos l vró fó vrs vrbls o fol mr smlr l állo lml l frl ol fó. F F F F F ' ' ' ' ' ' vró pr vlor fo () Cállo Vrol II-5 glr.

41 Msrí Igrí. Má álss Igrí Cállo Vrol glr. II-6 hor, osrrmos l vró ( ) orrspoo vros l soló. S bsmos l oó l l s sor, ommos l oó (sr) omo qll q l l prmr rv (smlr mmzr o mmzr fos smpls állo orro) ' ' ' ' ' ' F F F F () ( ) ( ) ' ' ' ' ' ' F F F F F () ( ) ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' F F F F F F F (5) sí ( ) ' '' '' ' '' ' F F F F F F Y q s rbrr, o los érmos b glrs ro. ' ' ' F F F (7) ( ) '' ' F F (8) ' '' F (9) L ó (7) s l ó frl gobr pr l problm o s llm l ECUCIÓN DE EULER o EC. EULER-LGRNGE. Ls os (8) (9) ls CONDICIONES DE FRONTER. Ls oos q sbl ls s. (8) (9) s oo omo CONDICIONES DE FRONTER NTURL (S lls so ssfhs s llm oos fror lbrs ). S ls oos fror NO so ssfhs, brímos r;

42 Msrí Igrí. Má álss Igrí ( ) ( ) '( ) '( ) pr q s ssfhs ls os (8) (9). Éss s llm CONDICIONES DE FRONTER FORZDS O GEOMÉTRICS. Dsg q l. (7) l pág prv p rrs s F o p l prsó; F F ' (7) CSOS ESPECILES DE L EC. (7) F ) S l fó F o volr mr plí, os l. (7) F F s r ; k F ) S F o volr mr plí, l rv prl s fó solo. To soló rá l form o l. s fó k. s fó ll. ) P vrfrs por fró q : F F F F F F S F o volr form plí, os l ó Elr-Lgrg s smplf. U prmr gró s ó omo rslo F F K v) S l gro F l grl F(,, ) fó ( ) h, o rspo, os. (, ) (,, ) h(, ) h(, ) h h s l rv ol lg (8) (, ) Cállo Vrol II-7 glr.

43 Msrí Igrí. Má álss Igrí Eso prb q l vlor s p, q b mplr ls oos. rmo ( ) ( ) Pr s so l ó Elr-Lgrg s lz omo; h h h F ; por hpóss o so h h h F ; F ' h h ( F ' ) Y q h h s q F ( F ) ' Comro Db rs o sgr q l. (7) o s oó sf pr q rm l grl (I) l. (8) o.(). U soló l. Elr-Lgrg, o oos rmo pr-fs, p or vlor soro pro o srm mámo o mímo; ú s rmo orr, és p sr rlvo o bsolo. E lgos sos lsv porí obrs solos form mplí lo l s vz rrí ss omplos. Ess obsrvos sgr l s profzr más l orí mmá, pro form plos lmls l állo vros so o s sro form sr. sí q pomos r r profzr l orí mor os orrmos spos práos l m lo l spés oo s sro obvo prpl. Pr so más llo (Rgor Mmáo) oslr.. Glbr. Clls of Vros, Mhml ssoo of mr,9.. Wsok R. Clls of Vros, M Grw Hll, NY, 95.. Lzos C. Th Vrol Prpls of Mhs, Dovr, h, 97. Cállo Vrol II-8 glr.

44 Msrí Igrí. Má álss Igrí LEM BÁSICO DEL CLCULO DE VRICIONES. S pr fó o η ( ) s φ ( ) η( ) η η ( ) ( ) so φ ( ) fó o [ ] ( ) φ ho sgmo.,, os Pr probr lo ror, spog q φ ( ) φ ' ( ) > ó φ( ' ) <, os s ' pr l l φ() η() η Dfmos η ( ), l q ' ' ( ) ( ) ( ) ' ' ' ' ' ' No q η ( ) s om frbl, sso ' pr l so q ( ) > or l hpóss, lgo ( ). φ ( ) <. ' ( ) ( ) ( ) ( ) ' ' η φ ( ) ' φ φ { } ' l rslo l grl s posvo lo l φ Iglm s p obr s rslo s s spo Cállo Vrol II-9 glr.

45 Msrí Igrí. Má álss Igrí VRICIONES Spog q F (,, ' ) s fol f sobr oo fos { ( ) } srrollrmos prsó pr l mbo F orrspo mbo sgo pr vlor fo ( ) S s mb ( ) l fó ϕ( ) ( ) εη( ) ε p l mbo εη ( ) lo llmrmos vró lo ormos por lgo l vlor mbo ϕ '( ) s pr l vró ( ) εη ( ) '( ) εη ( ) '( ) εη' ( ) ' orrspo sos mbos s ΔF F (, εη, ' εη' ) F(,, ' ) S srrollmos l prmr érmo l sgo mmbro srrollo Mlr pos ε, s ΔF F F F ' F F ' F ' ε! ' (,, ' ) η η' ε η ηη' η... F(,, ' ) Dspro los érmos ε o po, s Δ F F ηε F η' ε ' E form qvl Δ F F F ' ' Por logí o l frl fó, l úlm prsó s f omo l vró * l fol F s o F. Cállo Vrol II- glr.

46 Msrí Igrí. Má álss Igrí Cállo Vrol glr. II- *Por sr logí o l frl fó rs vrbls, s porí hbr spro l fó ' ' F F F F S mbrgo s b rorr q l fol s l vlor ( ) ',, F vlor prlr s r, o s h vrr l állo F por osg D pso s obsrv q s form más smpl, l frl fó s promó prmr or l mbo l fó m q vrí lo lrgo rv prlr, mrs q l vró fol s promó prmr or l mbo l fol, vlor prlr, m q vrmos rv rv. Rsl rs mpor hr or q ls vros p llrs m ls msms rgls q s pl ls frls. ( ) F F F F ± ± ** ( ) F F F F F F F F F F F F F ( ) F F F ** ( ) ( ) ( ) ' ',, ' ',, F F F F F F Δ ε η εη η ε εη D o srrollo vz más érmos pos ε, roro q εη ' ' εη, s ob ( )... ' '... ' ' F F F F F F F F F F Δ ε η η ε η η ' ' ' ' F F F F F F F F F F D l fó ( ) ( ) [ ] εη ' Q sbl: L rv l vró s gl l vró l rv S s fol más fó s rí por mplo pr ( ) ' ',,, v F, os l vró és s f ' ' ' ' v v F F v v F F F

47 Msrí Igrí. Má álss Igrí Cosérs hor q s l fol (,, ' ) vró s grl F(,, ' ) lgo I ( ) F(,, ' ) b F q s s oor l ( ) I( ) ΔI I εη S los líms I o p, s ΔI b F b (, εη, ' η' ε ) F(,, ' ) b b [ F(, εη, ' η' ε ) F(,, ' )] ΔF(,, ) ' sí b I F(,, ' ) L grl l vró s gl l vró l grl. l U oó sr pr q l fol I g rmo s q s vró s b I F gro l úlmo érmo por prs, o F ' v b ( ) b b ( F' ) F' F' b b (,, ' ) ( F F ' ' ) F F' ( ) omo s spo q εη( ) ( ) s l b bo ls oos sls sobr ( ) o b, q F ' ssf ls oos rls l fror, lo q h q s l sos pos, s I b F ( F ) ' ( ) F' Como hmos vso q F s oó sr pr l s rmo I, s ol q I mbé s ro lqr rmo I. Ivrsm, pso q s vró rbrr, l oó I mpl q Cállo Vrol II- glr.

48 Msrí Igrí. Má álss Igrí ( F ) ' F so os rprs sm l ó q hbímos o ( F ) ' F F F ' Eó Elr Cállo Vrol II- glr.

49 Msrí Igrí. Má álss Igrí Emplos ) Qé rv q los pos P ( ) ( ), P l log más or?, qí, l rsps s obv, sbr, l sgmo P P, pro rsl rs vrfr s hho goméro lml, por mo l állo vros. Por spso, lo q s q hr s rmr l fó q mm l grl L pr s grl, l ó Elr s s lo l s r spo gro ' ( ' ) ( ' ) ' ( ' ) ' m m b Por spso, ls oss m b s rm por l oó q s r b psr por P P. Por mplo s fál vrfr q, m, l p l r q br los pos P P s: m Y X Y X plo l oó P plo l oó P hor rso s ob m b m b ( m b) ( m b) m( ) Flm spo m, s ob Y m X Y X Cállo Vrol II- glr.

50 Msrí Igrí. Má álss Igrí ) 6. P7 Qé rv q los pos P : (, b) P : (, b) ár l grr lror l? E s so mos q mmzr l grl gr l sprf mor S π s π ( ' ) D o, bmos rsolvr l ó Elr π ' ( ' ) ( ' ) llvo bo l rvó smplfo, obmos s fl l ó frl pr rsolvrl hmos ( ') pr obr ' ' ' ' ' ' l l s ó sprbl gro ' ' ( ' ) ( ') ' [ ( ' ) ] l l ó ( ') l prr lo q s ol q ' ó Cállo Vrol II-5 glr.

51 Msrí Igrí. Má álss Igrí gro vm osh o osh Como P P sá oloos smérm rspo l, s q l rv rqr mbé b sr smér rspo l. D o,, sí osh Pr rmr, s l ó b osh ) E q rvs p lzr s rmo l fol? π [ ( ) ] ( ' ) [ ] v ( ) s so l ó Elr l form π, [ ' ] ( ) o '' L ó frl ror l soló fmlr os s Ulzo ls oos fror, s p lzrs sólo l rv s, por osg, l rmo Cállo Vrol II-6 glr.

52 Msrí Igrí. Má álss Igrí ) PROBLEM DE L BRQUISTÓCRON (Voblo grgo; brqsos q sgf más oro roos mpo) Drmr l rv q os pos os B por l l l movrs po mrl g s l po hs l po B mpo mímo (l rozmo l rss l mo s spr) Ubqmos l org oors l po, l form horzol, l vrlm h bo. L vlo movmo l po mrl s s v g qí s hll l mpo vro l splzmo l po s l posó (,) hs l posó B (, ) ( ( ) ) g ( ' ) ( ) ( ) Como F p sólo ' grl gl F(, ' ) F l ó Elr l prmr F F ' ' smplfo ( ' ) ( ' ) ( ' ) ( ) [ ( ' ) ] [ ] o ( ' ) Iroo l prámro, ho ' g, s ob s g ( os ) s os s ' g s ( s ) por lo o, form prmér l ó l rv bs s: ( os ) Cállo Vrol II-7 glr.

53 Msrí Igrí. Má álss Igrí ( s ) ( os) s om q s s rsformr l prámro m l ssó, pso q pr s, s ob l ó fml los l form hbl so s os ( ) ( ) l ro l rfr q r, l l s rm l oó q l lo ps por l po ( ) B, s moo l BRQUISTÓCRON s lo. Cállo Vrol II-8 glr.

54 Msrí Igrí. Má álss Igrí Cállo Vrol glr. II-9 5) 6. P (Wl C.R. v Egrg Mhms, 6 h. M Grw Hll, 995) Er l ó l rv q los pos (,) (,) lo lrgo l l l grl ( ) s mímo. Ho, l grl p srbrs ( ) F F qí ( ) ( ) [ ] ( ) ( ) ( ) [ ] ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) C C ; ; ( ) ( ) ( ) E. rfr k Pr l so prlr los pos os ( ) ( ),, ; ; P P ( ) ( ) ( ) k k

55 Msrí Igrí. Má álss Igrí Cállo Vrol glr. II- 6) 6.5 P7 Ero Vros Do ( ) ( ). ' ',, F Clúls F Δ F pr, ε os vrfíqs l. F F F F Δ ' ' ( ) [ ] ( ) ( ) ( ) [ ] Δ F '! ' ' ' ' ' ε η ηη η ε η η ε η εη ; [ ] ( ) [ ] ε η η ε ε ε η ε ' ' ' ; ηε [ ] [ ] ' ' ηε ηε ε ε ; ' ' ε η [ ] [ ] ε η ε ε η ε F F F F F ' ' ' ' ; ( ) ( ) [ ]ε ε ε ' [ ]ε ' ε

56 Msrí Igrí. Má álss Igrí PRINCIPIO DE HMILTON Y EC. DE EULER-LGRNGE El állo vros s l bs pr l ó l prpo Hmlo l ó Elr-Lgrg. q l ª l Nwo, F m, bs pr l plmo mhos problms l ám, s rfmos grlzos q o fr proporo méoos q más fvos. E s úlm só s rá brv srpó os sos méoos: EL PRINCIPIO DE HMILTON L ECUCIÓN DE LGRNGE E l rso ám vz s s o mor ll sos méoos sí omo ls plos problms l ám. El prpo Hmlo mbé llmo prpo mím ó, sbl q l movmo ssm máo s l q l ovrsó rgí s mím. Lo l mpl q l sg grl vlor mímo. L () Do L T V s oo omo l Lgrgo l ssm, so T l rgí é V l rgí pol, l grl () mbé s l llm Igrl ó. Pr ssms gro lbr o, l Lgrgo s fó l oor grlz q, s rv o rspo l mpo q l mpo, L( q, q, ). Lgo omo s rqr q l grl ó s mím s p srbr L l ó ( L F ) prs s ob l EC. DE EULER-LGRNGE L q L q s ó s oo omo l ó Lgrg pr ssms osrvvos s s ó movmo. Clqr oo oors q f omplm l ofgró l ssm s llm oors grlzs l úmro éss s l gro lbr. Cállo Vrol II- glr.

57 Msrí Igrí. Má álss Igrí Por mplo l pélo obl l fgr oors grlzs θ θ por lo o gro lbr. l θ m l θ m Emplos 7) Esblr l ó movmo l ssm ms-rsor s fró omo omo oor grlz, oslor rmóo. T m V k L T V m k L k, L ( m ) m sso l ó Elr-Lgrg, s ob k m, m k Es ó rsl sr l oo ó vbró, q o gl fl s p obr l ª l Nwo. 8) Como sgo mplo l pló l ó Lgrg osérs l pélo smpl obg s. movmo. E s so l oor grlz s θ l Lgrgo s L( θ, θ, ) ml θ mgl osθ Do s omó omo vl rfr l po pvo L mglsθ θ L ( ml θ ) ml θ θ Cállo Vrol II- glr.

58 Msrí Igrí. Má álss Igrí sso l ó Elr-Lgrg mglsθ ml θ g θ l s θ * s mplo smpl s o s lg m los s l plr l ª l Nwo porí omplrs lgo l problm 9) Uso ls os Lgrg obégs l ssm os frls q srb ls vbros bs l orsó l ssm sos oplos lásm q s msr l fgr E s so ls oors grlzs so lo áglos orsó sos, sí s T [ I θ I θ I θ I θ ] mbé, omo l rgí pol lm somo orsó s s V mólo ( áglo orsó) θ o los [ kθ k ( θ θ ) k ( θ θ ) k ( θ θ ) k ( θ θ ) kθ ] o, ls os Lgrg [ L (,θ,)] L θ L θ θ s ob (vr pág. II-7): - ;,,,, (B) Cállo Vrol II- glr.

59 Msrí Igrí. Má álss Igrí sí Iθ I I θ k kθ k ( θ ) ( θ θ ) k ( θ θ ) θ θ k θ θ k θ θ Iθ k ( θ θ ) kθ ( ) ( ) Ess os so fáls sblr por mo méoos lmls bsos l ª l Nwo(. Nwo-Elr), form plbl l orsó, pro l so ls os Lgrg lm l s omprobr los sgos los vrsos momos orsó, lo q vs rsl omoo. ) Emplo Opmzó (Ro S. Rf. []): DISEÑO DE UN SÓLIDO DE REVOLUCIÓN PR RRSTRE (DRG) MÍNIMO hor osrmos l problm rmr l form sólo rvoló pr rrsr mímo. E l so grl, ls frzs rs sobr rpo sólo rsláos líqo p l form l rpo l vlo rlv mr m ompl. S mbrgo, s l s l flo s sfm pqñ, l prsó orml( P ) o sobr l rpo sólo p promrs por [M.J. Forr, 968] ρ P ρv s θ (E) s l flo v vlo l flo rlv l rpo sólo θ áglo r l ró l vlo l flo l g l sprf[fg] Fg. Fg. Cállo Vrol II- glr.

60 Msrí Igrí. Má álss Igrí Y q l prsó ú orml l sprf, l ompo l frz o r, [fg.], p srbrs sobr l sprf rb log ro ( ) o P (PRESIÓN NORML)(RE)sθ [ ] sθ ( ρv s θ ) π ( ' ) (E) '. L frz ol rrsr, P, sá por l grl l ó (E) P v s θ ( ' ) L o πρ (E) L Log l rpo. Pr smplfr los állos, spogmos q '<< l q sθ sí l ó (E) p promrs por ' ( ' ) ' ( ' ) L P πρ v (E5) hor l problm rrsr mímo p sblrs omo; o Eorr ( ) l l MINIMICE l rrsr P o por l. (E5) so l oó q ( ) ssfg ls oos los rmos ( ) ( L) R (E6) ompro l fol P l. (E5) o l. (), s F (,, ', '' ) πρ v ( ' ) (E7) L ó Elr-Lgrg, (7) q orrspo s fol s; [ ] (E8) ( ') ( ' ) ls oos fror, s. (8) (9), s r ; L [ ( ' ) ] (E9) Cállo Vrol II-5 glr.

61 Msrí Igrí. Má álss Igrí L. (E8) p srbrs omo o [ ] ( ' ) ( ' ) ( ' '' ) ( ') ' ' ' (E) Es ó, o grmos vz, ( ) ( ') C k (E) o ks l os gró. Igro. (E), s ob ( ) ( K ) (E) K k k / / k k k / ( k k) ; K k K k L pló ls oos fror R K L K D qí l form l sólo q rrsr mímo sá o por l ó ( ) R L Cállo Vrol II-6 glr.

62 Msrí Igrí. Má álss Igrí MULTIPLICDORES DE LGRNGE Y RESTRICCIONES S l vrbl NO s por omplo p so q q ssfr lg(s) oó(s) rsró, l problm p sblrs omo sg: Er l fó ( ) l q l grl s l oó F(,, ' ) mímo () h * (,, ' ) o h p sr fó grl. El vlor soro problm állo vros rsrgo p orrs so MULTIPLICDORES DE LGRNGE. PROBLEMS CON RESTRICCIONES El opo lr rsros p grlzrs. l l problm orr ls fos (,, z), (,, z),, (,, z) q h q l fol s soro so ls v f,, z,,,,,,, v m rsros (),, z,,,,,, h h m, z,,,,,,, El méoo los mlplors Lgrg oss omr vros l fol () ( f h h mhm )v v () o so hor fos l posó. E l so spl o o más ls h so oos grls, ls sos so oss. Cállo Vrol II-7 glr.

63 Msrí Igrí. Má álss Igrí ) Emplo. l l movmo l príl l plo lo. l M s Y Uso Lgrg-Mlplors V rgí pol mgh mg T rgí é mv ms θ L ms mg s, oors grlzs. ( l s) sθ φ Rsró holoóm. U form lr pr obr los mlplors l., sí omo l ó movmo s ; L L φ Q q q q NC E. Elr-Lgrg érmos los mlplors (rsros) ls frzs (grlzs) o sobr l ssm. L L φ L L φ ; s s s L L L ms ; ms s s L L mg s φ s sθ φ mg ms sθ mg ms mgsθ Cállo Vrol II-8 glr.

64 Msrí Igrí. Má álss Igrí ) P6- (Grwoo D. Rf. []) Ls príls m m sá rsrgs movrs s fró l plo l q m prm sobr l horzol m sobr l vrl. Ls príls sá os por brr s ms log l. Obg l ó movmo so mlplors Lgrg. Mlplos Lgrg L L q q φ lsθ φ l osθ φ Q q ; ; T m V mg m,, θ oors grlzs L L L m ; m ; θ L L L m ; m ; θ φ φ φ ; ; l osθ θ φ φ φ ; ; lsθ θ L L L ; mg ; θ sso;,, (,,θ ) m m ( ) ( ) ( ) ; m mg ( ) ( ) ; m - mg - ( ) ( l osθ ) ( lsθ ); losθ - lsθ m m mg más lsθ ; l osθ ; l θ osθ ; l θsθ ; l θ sθ l θ osθ l θ osθ l θsθ Cállo Vrol II-9 glr.

65 Msrí Igrí. Má álss Igrí sí m ( l θ sθ l θ osθ ) m( l θ sθ l θ osθ ) ( l θ osθ l θsθ ) mg m( l θ osθ l θ s ) mg m θ so l. o pr s ob ( θ sθ l θ os θ ) l osθ m( l θ osθ l θs θ g) m l l θ glsθ lsθ θ g l sθ Dsg q s l ó oslor rmóo! Cállo Vrol II- glr.

66 Msrí Igrí. Má álss Igrí ) (P. Hmlo) Uso l prpo Hmlo z l. movmo l sg ssm-ms-rsor g ( T V ) ( mυυ k m) mv k mg M Hs qí l or vrol h so prso érmos rs vrbls ( υ,, ) ss vros. S ro los rqrmos goméros υ υ ( ) ; Sso l or vrol gro érmo (l q l l rv) I. V. mυ m υ k mg ( mυ) k mg m k mg Pr plr los mlplors Lgrg, rgrsmos l ó l o l rsró gomér: I. V. m S ro l rsró k mg ; I. V. m k mg ( ) Cállo Vrol II- glr.

67 Msrí Igrí. Má álss Igrí o () mlplor Lgrg s p rprr omo frz, o (osr) l rpró rbo sro pr sgrr q l rsró s ssfh. Flm, gro por prs... I V m m mg {[ m mg ] ( k ) } k rsolvo l ssm m mg k m mg k obmos l. movmo érmos l vrbl Cállo Vrol II- glr.

68 Msrí Igrí. Má álss Igrí ) DISEÑO ÓPTIMO DE UN LET DE ENFRIMIENTO (Ro S. Rf.[]) Ls ls frmo so ss rors pr rmr l rzó rsfr lor sprf l (pr) flo r. mo, srá rés orr l form ópm (só vrbl TPERED ) l l ( só rsvrsl rglr ) pr ms ol spf l l rsfr l mám rgí lor. (PROBLEM ISOPERIMÉTRICO) L ofgró l l s msr l fg..7. Tomo l rfr [] S T T o ls mprrs l pr l mb, rspvm, l mprr l l lqr po, T ( ), p prsrs form msol omo ( ) T T ( ) T T (E.) l q ( ) ( ). Pr formlr l problm, prmro srbmos l ó bl lor pr lmo frl,, l l. FLUJO DE CLOR QUE ENTR POR CONDUCCIÓN FLUJO DE CLOR QUE SLE POR CONDUCCIÓN Y CONVECCIÓN k k hs ( ) (E.) o; k ov érm l h of rsfr lor ár l só rsvrsl l l ( ) por ho l S ár sprfl l lmo frl l l ( ') por ho ( ) prof (lr) l l lqr só Cállo Vrol II- glr.

69 Msrí Igrí. Má álss Igrí srbo k k k (E.) oo q, l. (E.) p smplfrs k h ( ) ' (E.) Por smpl pomos spor q '<< sí k h (E.5) L lor spo l l l mo r por mpo sá o por: H L h (E.6) spoo q l flo lor l rmo lbr l l s ro. Y q l ms l l sá spf omo m, mos ρ m L (E.7) s l ρ hor l problm p formlrs omo: Eorr ( ) q mm l grl l. (E.6) s l ó rsró (E.7). Y q ( ) l. (E.7) s vrbl mbé, p prsrs érmos ( ) so l ó bl lor (E.5). Igro l. (E.5) r los líms L, obmos L ( ) ( ) h ( ) k (E.8) spoo q l flo lor l rmo lbr s ro. L. (E.8) h L ( ) ( ) k (E.9) Cállo Vrol II- glr.

70 Msrí Igrí. Má álss Igrí sso l.(e.9) (E.7), l problm vrol p rformlrs (rplrs) omo: Eorr ( ) q mm so l rsró L O ( ) H h (E.) * h L L h (,, ' ) ρ ( ) m k (E.) Es problm p rsolvrs so l méoo los mlplors Lgrg. El fol I orr s rml sá o por I L L L * ( ) ρ H h h ( ) ( ) k () (E. ) Mlplor Lgrg Compro l. (E.) o l. () ormos q F(,, ' ) h hρ k ' L ( ) (E.) L. Elr- Lgrg,.(7), hρ ' ' h k () ' L ( ) ( ) () ' ' (E.) Es ó gro-frl brá rsolvrs pr orr l soló ( ) so p vrfrs q l.(e.) ssf l.(e.). E s ( ) ρ k (E.5) Cállo Vrol II-5 glr.

71 Msrí Igrí. Má álss Igrí Cállo Vrol glr. II-6 El prfl spsor l l p obrs l. (E.9) omo: ( ) ( ) k k k h k h L L ' ρ ρ ( ) k L k L k h ρ ρ ρ (E.6) o ( ) L k L k h ρ ρ (E.7) ( ) kρ h (E.8) ( ) k h k k h ρ ρ (E.9) El vlor (mlplor Lgrg) s rm l. (E.7) ( ) L L L m L ρ ρ ( ) k hl k hl L L L m π ρ (E.) ( ) k hl L m k hl ρ ρ (E.) sso l. (E.) l. (E.6) s ob l soló.

72 Msrí Igrí. Má álss Igrí FUNCIONLES DE L FORM F(,,,...,, ', ',..., ' ) Pr obr ls oos srs rmo l fol l po más grl v [,,..., ] F(,,,...,, ', ',..., ' ) o oos fror s pr os ls fos ), ( ),..., ( ) ( ), ( )..., ( ) vrrmos sólo ls fos ( ),,..., o ls más vrbls. Eos l fol v [,,..., ] fó q p sólo fó vrbl, por mplo ( ) v [,,..., ] v [ ] s rsform l po osro. Por osg, l fó q rlz l rmo b ssfr l ó Elr F F ' Como s rzomo s plbl lqr fó (,,..., ) ssm os frls sgo or F F ' (,,..., ) s ob l q rm, grl, fml p -prámros rvs grls l spo,,,..., q s l fml rmls l problm vrol o S, prlr, l fol p sólo os fos ( ) ( ) ó ( ) ( ) os: v [ ( ), z( ) ] F(,, z, ', z' ) ( ), z ( ) z, ( ), z ( ) z o s, s rm lgo l rv lb ( ), z( ) sólo ( ) fo z ( ) z ; z fg,, os, vro, mbmos sr rv moo q s proó l plo Cállo Vrol II-7 glr.

73 Msrí Igrí. Má álss Igrí o z o vrí, s r, l rv prm oo l mpo l lro proó z z, fg.. ( ) álogm, fo ( ) vro z ( ) prmz oo l mpo l lro proó ( ) ssm os Elr F F' F z Fz', vrmos l rv moo q s. Eos obmos U mplo lo rprs l. Elr-Lgrg pr ssms -gros lbr.(b), pág. II-. Fg. Fg. Cállo Vrol II-8 glr.

74 Msrí Igrí. Má álss Igrí 5) Emplo: Hllr los rmls l fol π [ ( ) z( ) ] [, ' z' z] v ( ), z ( ) π π z El ssm os frls Elr l form '' z z'' lmo ls fos soos, por mplo, z, s ob soló s oo ( ) v q os s z ' ' z os s lzo ls oos fror, s hll por lo o,, s z s Cállo ls oss: os s z os s ( ), z ( ) Cállo Vrol II-9 glr.

75 Msrí Igrí. Má álss Igrí Cállo Vrol glr. II- π π z Rso s ; ( ) s z s ; ( ) z s π π s z s z s s Pr Pr z π π π π Rso

76 Msrí Igrí. Má álss Igrí Eros Propsos: [ ] ) Hllr l rml pr l sg fol: v[ ( ) ] ( ) So ls CF sgs; ( ), ( ) ( ) ( ) Rf.[] (Wl C.R. v Egrg Mhms, 6 h. M Grw Hll, 995): Pág 87 (9,,, 9 ) Pág (, 5, 9) Pág (9 ) Cállo Vrol II- glr.

77 Msrí Igrí. Má álss Igrí ECUCIONES DIFERENCILES PRCILES Eó frl prl, EDP, ó q o ls rvs prls o más vrbls ps o rspo más vrbl p. Mhos fómos físos s srb m os frls rvs prls (ssms oos), omo s fmlr s l ssm físo s lz bo l sposó prámros oros os os rsl EDO. E s pílo, s lzrá qlls os q srg omúm l grí l fís. S rá l so mo o ll l ó rs os frls prls, prr prpos físos. Eos, ooo ls forms q s prs o más fr, s vsgrá los méoos soló s pló problms spífos. EDO, m báss ( ) Spró vrbls Prmro s rslv l pr homogé. Igro mbos mmbros ( D ) ; m ± l ( ) k Y p ; q o, sí Y C s C os Es. Dfrls Prls III- glr.

78 Msrí Igrí. Má álss Igrí FENÓMENO FÍSICO OSCILCIÓN MODELO ICONICO LEYES FÍSICS ª LEY DE NEWTON MODELO MTEMÁTICO F m EDO prámros oros EDP oo SOLUCIÓN INTERPRETCIÓN DE L SOLUCIÓN Dgrm sqmáo l so fómo físo Es. Dfrls Prls III- glr.

79 Msrí Igrí. Má álss Igrí EN L FORMULCIÓN MTEMÁTIC DE PROBLEMS PLICDOS PUEDEN SURGIR ECUCIONES DIFERENCILES COMO: k MECÁNIC: OSCILDOR RMÓNICO CLOR, ELECTRICIDD, ERODINÁMIC, NÁLISIS DE ESFUERZOS, OTROS CMPOS U m m U PROBLEM DE L TRYECTORI DE VUELO DE UN COHETE. EI w( ) INGENIERI CIVIL: TEORI DEFLEXIÓN DE VIGS. I I bi R s w CIRCUITO ELECTRICO DE C (BIOLOGÍ O ECONOMI) W SUSPENSIÓN DE CBLES. H V V V ELECTRIDD, CLOR, ERODINÁMIC, TEORÍ DE POTENCILES. U U R U CONDUCCIÓN DE CLOR, DIFUSIÓN DE NEUTRONES EN UN PIL TÓMIC. Y Y VIBRCIÓN DE CUERDS, BRRS, Y L PROPGCIÓN DE SEÑLES ELECTRICS. φ φ φ F (, ) NÁLISIS DE ESFUERZOS. Es. Dfrls Prls III- glr.

80 Msrí Igrí. Má álss Igrí INTRODUCCIÓN: ( LGUNOS CONCEPTOS BÁSICOS Y EJEMPLOS ) Ls formlos mmás problms q volr os o más vrbls ps o ECUCIONES DIFERENCILES PRCILES, EDP, omo o porí sprr, l roó más vrbls ps h l m ls EDP más omplo q l ls EDO. ) EDP ss solos Dgmos q soló EDP s rló plí o mplí r ls vrbls q o o rvs l l ssf l ó. E ros sos m smpls p obrs soló form m. - Por mplo, osr l ó frl, prl prmr or U soló pr s ó srí. ( ) U INTEGRCIÓN PRCIL U φ ( ) o φ (os gró) s fó rbrr. - Como sgo mplo, osr l EDP º or U prmro r-srbmos U hor grmos prlm o rspo, mo os. U φ ( ) Es. Dfrls Prls III- glr.

81 Msrí Igrí. Má álss Igrí o φ (os gró) s fó rbrr. Igro vm prlm, s ob: U f ( ) φ( ) o f ( ) φ ( ) Como rslo sos os mplos smpls, s obsrv q mrs ls EDO solos q volr oss rbrrs, ls EDP solos q volr fos rbrrs. ECUCIONES DIFERENCILES PRCILES LINELES DE º ORDEN L EDP ll grl sgo or ls vrbls, (), ps X Y s ó l form. U U U U U B C D E FU G X XY Y X Y o, B, C, D, E, F G so fos X Y. S G (X, Y) pr o (X,Y), l ó s r : U U U U U B C D E FU ( ) X XY Y X Y Pr l ó ( ) s sbl los sgs orms básos los ls so álogos los sblos pr ls EDO. TEOREM Hpóss: S f, f,..., f solos l ó ( ) rgó R l plo Colsó: L ombó ll f f... f s mbé soló l ó ( ) l rgó R. U ls mpor los EDP lls º or so ls os lls homogés º or o ofs oss. Es. Dfrls Prls III-5 glr.

82 Msrí Igrí. Má álss Igrí U U U b ( ), b, oss. X XY Y L plbr homogé qí s rfr l hho q oos los érmos l ó o rvs l msmo or. S bsrá solos l. ( ) l form U f( m ), ( ) Do f s fó rbrr s rgmo m s os. Dfro (), s ob U X m f '' ( m) U XY mf '' ( m) ( ) U Y f '' ( m) sso l.() s ob m f ( m ) bmf ( m ) f ( m ), ó f ( m ) [ m bm ] sí f ( m ) srá soló l.( ) s m ssf l ó rá m bm ( 5 ) hor s sro osrr los sgs ro sos l ó ( ) ), ls rís l ó rá ( 5 ) s ss. ), ls rís l ó rá ( 5 ) s gls. ), b. v), b,. - Cso ) S ls rís ss m m. Eos l ó ( ) ls solos: f ( m ) g ( m ), Es. Dfrls Prls III-6 glr.

83 Msrí Igrí. Má álss Igrí Do f g so fos rbrrs ss rspvos rgmos. Por spso q: f ( m ) g ( m ), Es mbé soló l ó ( ). - Cso ) S m l ríz obl (ríz rp). Eos l ó ( ) l soló f ( m ), o f s fó rbrr s rgmo. más p mosrrs q s so l ó ( ) mbé l soló g ( m ), o g s fó rbrr s rgmo. D qí l soló l ó ( ) s: f ( m ) g ( m ), - Cso ) qí l ó rá s r : bm qí sólo h ríz. S m s ríz, l ó ( ) l soló f ( m ), o f s fó rbrr s rgmo. Posrorm p vrfrs or vz q s so g (), o g s fó rbrr solm, s mbé soló l ó ( ). sí l soló l ó ( ) s: f ( m ) g ( ) - Cso v) qí l ó rá s r, lo l o s posbl. sí s so o s solos l form prs por l ó ( ). S mbrgo, s so l ó frl s m smpl: ó gro prlm o rspo os vs, s ob: f( ) g( ) o f g so fos rbrrs solm. sí l soló l ó ( ) s: f ( ) g ( ) To ó l form () o ofs oss sá sólo ls ro gorís brs los sos ) v). sí l ó ( ) smpr soló l l volr os fos rbrrs. Emplo : Er soló : 5 6 L ó rá lr ( 5 ) orrspo s ó frl s: Es. Dfrls Prls III-7 glr.

84 Msrí Igrí. Má álss Igrí m 5m 6 Cs rís so: m m. Por lo o l so ) sí l soló srá: U f ( ) g ( ) L l o fos rbrrs. Emplo : Er soló : L ó rá (5) orrspo s ó frl s: m m Y s ó l ríz obl m. Por lo o s s mplo l so ). C soló l form: U f ( ) g ( ). Flzmos s só lsfo ls os l form () los sos spls los ls los ofs, B, C, D, E F so oss rls. S lsrrá s lsfó o lgs ls fmoss os l fís-mmá. DEFINICIÓN: L ECUCIÓN DIFERENCIL PRCIL LINEL DE º ORDEN. U X U B XY U C Y U D X U E Y FU o, B, C, D, E F so oss rls s oo omo: ) Hprból s B C >, ) Prból s B C, ) Elíp s B C <, Es. Dfrls Prls III-8 glr.

85 Msrí Igrí. Má álss Igrí Emplos: ) Hprból:, B, C - Cso spl l ó o msol más ls solos rors, so ), p vrs q soló l form f ( ) g ( ) ), B C Prból: Cso spl l ó lor msol (ó ó fsó). 5), B, C Elíp: Eos LPLCE BI-DIMENSIONL. más s homogé por lo o: U f ( ) g ( ) Emplos Rf.[] (Wl C.R. v Egrg Mhms, 6h. M Grw Hll, 995) 6). P.- Pr q los vlors s ls sgs os Hprból, Prból o Elíp? ) ( ) b) ( ) SOLUCIÓN: ) D ro l ó grl B C D E F Bo l spso q f (, ) Es. Dfrls Prls III-9 glr.

86 Msrí Igrí. Má álss Igrí Ifo B C ( ) Pr rmr o s prból, Hprból o Elíp bs o rmr: β C S s mor ro Hprból S s gl ro Prból S s mor ro Elíp Eos: ( ) ( )( ) ( ) [ ] B C ó l prábol S s vr l rv lz s po ms bo, omo s rs, sá splz os h bo. Por lo o l ó s prból pr oos los vlors los pos (, ) l prábol Es líp pr oos los pos (, ) fr l prábol. Es hprból pr oos los pos (, ) ro l prábol. 7). P.- Rslv ls sgs EDP: ) ) Soló: ) Es. Dfrls Prls III- glr.

87 Msrí Igrí. Má álss Igrí S propo omo soló: f ( m) S ob: m f '' ( m) f '' ( m) mf '' ( m) l ssr ) m f '' f '' ( m) mf ''( m) f ''( m) ( m)[ m m ] D qí solo: m b m l rsolvr m m m,,, ( ) ( ) ( )( ) ( ) ± ± 6 ± 6 6 ± 6 6 m 6 6 m 6 6 Por lo o l soló q omo: ( ) Cf Cf Es. Dfrls Prls III- glr.

88 Msrí Igrí. Má álss Igrí ) L soló omplmr (homogé) s rm por: () Propoo omo soló: f ( m) S q: m f '' f '' ( m ) ( m ) mf '' ( m) l ssr () forzo f '' m ( m)[ m m ] m ( m )( m ) m m L soló pr l pr homogé s: ( ) f ( ) f pr orr l soló prlr ( ) s q: ( ) ( )( ) D DD D D D D D Por lo o s q: ( D D)( D D) * ; s l sg form Es. Dfrls Prls III- glr.

89 Msrí Igrí. Má álss Igrí ( D D) p p ( ) p - ( ) p ( D D) q p q q - ( ) q q 7 7 ( ) 7 * por lo o l soló ompl s: ( ) f ( ) f - 7 Comprobó* 7 7 ; 7 ; 7 [] Es. Dfrls Prls III- glr.

90 Msrí Igrí. Má álss Igrí Es. Dfrls Prls glr. III- [] [] 7 ; 7 l ssr )

91 Msrí Igrí. Má álss Igrí DEDUCCIÓN DE LS ECUCIONES Uo los prmros problms q s borro mplo ls os frls prls f l l vbró r flbl sr. lm, l bo s 5 ños, sg so mplo l pr r, l so ls EDP. VIBRCIÓN DE UN CUERD Y f (,,, ) Δ ( ) w Δ Δ m g Δ l X ELEMENTO DIFERENCIL w ( ) pso l r por log T só l r (, ) r s f,, rg srb, mg por log s spo s fó oo,, l vlo rsvrsl. SUPOSICIONES ) Los pos l r s mv ró prplr l posó qlbro plo. ) L r s lmo flbl ( o h oposó l momo flo ). ) L só l r s m os. ) No h fró r. Dl grm rpo lbr pr l lmo frl r plo l. L Nwo, s : F -T osα T osα T osα T osα T l posó qlbro α α T T F m Es. Dfrls Prls III-5 glr.

92 Msrí Igrí. Má álss Igrí Es. Dfrls Prls glr. III-6 -T sα T sα ( ) f,,, Δ ( ) ( ) ( ) g w Δ Δ ρ ( ) vo r T ( ) Δ T F T T,,, os Ts os T s α α α α ( ) T g w Δ ; α [ ] Δ ( ) T F Δ,,, ( ) T g w Δ vo r Δ Δ Δ ( ) T F,,, ( ) T g w omo l lím áo Δ Δ Δ Δ lm ( ) T F,,, ( ) T g w El rslo fl s os q l fló (, ) r s ssf l ó frl prl: ( ) ( ) ( ) F w g w Tg,,, ( )

93 Msrí Igrí. Má álss Igrí E l morí ls plos l pso l r por log w() s os, s ls frzs rs so sprbls, (vbró lbr) l ó ( ) s r l ECUCIÓN UNIDIMENSIONL DE OND. ( ) Tg w Ls msos so: ( frz)( lró) ( ML / T )( L / T ) L pso / log T ( ML / T )( / L) Es r, ls s so vlo. El sgfo so qrá lro l sg só. Es. Dfrls Prls III-7 glr.

94 Msrí Igrí. Má álss Igrí VIBRCIÓN EN BRRS (Cállo Vrol) * Dó: Prpo Hmlo X Δ μ ε (, ) (, ) ( ) P, P P (, ) L rgí Pol μ V Κ Κ F V P, (, ) P(, ) ε ( ) P (, ) σ ; σ E ε (, ) ( ) ε (, ) σ E (, ) ( ) P E sí: V P P ( ) (, ), E ( ) V P E (, ) ( ) ( ) ( ) σ E (, ) E ε ( ) E (, ) ε E (, ) E( ) Es. Dfrls Prls III-8 glr.

95 Msrí Igrí. Má álss Igrí L rgí é T ρ ( ) (, ) T ( ) μ ρ Dl Prpo Hmlo ( T ) V l ρ( ) E( ) () Tomo l rgí Cé ρ ρ( ) ρ( ) ρ( ) q l lm báso l vró los rmos s ro Pr l rgí pol sí l. () E E( ) ρ ρ E ( ) ( ) Dl lm báso l llo vros ( ) E( ) ; s ρ, E s. E L ρ T ρ E Es. Dfrls Prls III-9 glr.

96 Msrí Igrí. Má álss Igrí VIBRCIÓN TORSIONNTE EN EJES Sposos ) Tos ls sos rsvrsls l s osrv pls r l roó ) C só rsvrsl gr lror s ro grv ) L form só rsvrsl grl s prám rlo plo l ó Nwo-Elr l lmo frl o grm rpo lbr s msr l Fg. b), s ΣM Iα M (, ) M (, ) M (, θ, θ ) F, (, ) M (, ) J ( ) MOMENTO POLR DE INERCI ρ g θ M F (,, θ, ) θ J θ ( ) g ρ Δ Δ Δ Δ θ D rss mrls, l momo orsó rsmo rvés só rsvrsl lqr somo orsó s proporol l áglo gro por log, s r, l p l rv ( θ, ) s só rsvrsl. M θ θ τ GJ( ) ; τ GJ ( ) Rgz l orsó sí l ó vbró p srbrs GJ θ ( ) F(, θ, θ, ) I( ) G mólo l or θ Es. Dfrls Prls III- glr.

97 Msrí Igrí. Má álss Igrí E l morí ls plos lmls, los s so só rsvrsl rlr form, s o s momos orsó rors (VIBRCIÓN LIBRE), s r l ó vbró : θ θ GJ I ó GJ I θ θ ECUCIÓN OND UNIDIMENSIONL Vbró Vgs Z, w f (, ) f (, ) M (, ) M (, ) M (, ) o o' w(, ) w(, ) V (, ) V (, ) V (, ) l Vg Fló Sposos -L so rsvrsl s smér o rspo l plo rg. -El movmo lqr po orr plo prllo l plo rg. -Pqños splzmos ( z l ). -Ls sos rsvrsls s m pls prplrs ( ) l plo ro. σ E C M(,) Momo flo V (,) Frz or f (,) Frz por log. L ó movmo l ró z s: w ( V V ) f (, ) V ρ ( ) (, ) ρ s L ó momo lror q ps por O s: ( M M ) ( V V ) f (, ) M Es. Dfrls Prls III- glr.

98 Msrí Igrí. Má álss Igrí Es. Dfrls Prls glr. III- Ho M M V V Smplfo osro sólo pos ( ) ( ) ( ) ( ) w f V,,, ρ ( ) ( ),, V M Uso M V s llg ( ) ( ) ( ) ( ) w f M,,, ρ D l orí lml vgs I; momo r l só rsvrsl l vg lror l Y. Sso s ob l ó movmo pr l vbró forz l vg. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) f w w EI,,, ρ pr vg só form ( ) ( ) ( ) f w w EI,,, ρ so s frzs rs (VIBRCION LIBRE) w w o EI ρ ( ) ( ) ( ),, w EI M

99 Msrí Igrí. Má álss Igrí VIBRCIÓN DE UN MEMBRN z Hpóss ) El movmo lqr po l mmbr s prplr l plo. ) L ms por ár s fó l posó (, ); w(, ). ) L só s form, s l msm oos los pos os ls ros. ) L mmbr s olm flbl. T Δ Δ, T Δ α D f (,, z, z, ) Δ α Δ T Δ C α Δ, Δ B T Δ Δ α, Δ Δ ELEMENTO DIFERENCIL MEMBRN Es. Dfrls Prls III- glr.

100 Msrí Igrí. Má álss Igrí Cllo os ls ompos rsvrsls, (z) ls frzs só q ú rvés ls frors lmo bmsol ípo l mmbr plo l ª l Nwo l ms s lmo, s q l fló l mmbr z(,, ) ssf l ó. E ls fgrs T qvl P. z Tg w z z (, ) w(, ) g F (,, z, z, ) () q ( T osα T osα ) F Δ Δ Δ ( T os α T os ) T Δ Δ α ( T osα T osα ) F Δ Δ Δ ( T os α T os ) T Δ Δ α F z ( T sα T sα ) Δ ( T sα T sα ) Δ F(, z, z, ) Δ Δ Δ Δ, ΔΔ w (, ) g z ΔΔ Dvo r ( ΔΔ ) T s llg : z z F T (,, z, z, ) (, ) w Tg z S l pso por ár l mmbr s l msmo oos los pos, s o s frzs rs, vbró lbr, os l ó () s r l ECUCIÓN BIDIMENSIONL DE OND. z z z (5) Tg w l gl q l so l r vbr ls msms msos. Es. Dfrls Prls III- glr.

101 Msrí Igrí. Má álss Igrí Y q l. () s EDP Or o sí omo, s rqr C.I C.F pr orr l soló. w (,,) w (, ) w (,,) w (, ) } C.I (6) Ls Coos fror so los sgs pos;. S l mmbr sá f lqr po (, ) sobr lgú sgmo l fror. w (,, ),. S l mmbr sá lbr pr l fló rsvrsl (z) po (, ) os l ompo frz l ró z brí sr ro. w P (,, ) w ( ), rv w o rspo ró orml l fror l po Es. Dfrls Prls III-5 glr.

102 Msrí Igrí. Má álss Igrí FLUJO DE CLOR; ) El lor fl l ró q r l mprr b) L rpz l q fl l lor rvés ár s proporol l gr mprr, gros por s, l ró prplr l ár. (CONDUCTIVIDD TERMIC K) ) L lor g o pr por rpo o mb s mprr s proporol l ms l rpo l mbo l mprr. (CLOR ESPECÍFICO, C) Cosr l sólo oor l fgr (lmo fsl) ms s: Δm ρδδδz g S Δ l mbo l mprr q orr l lmo l mpo Δ, os por ), l lor lmo s mpo s ΔH ΔmΔ ρδδδzδ g l rpz l q s sá lmo l lor s promm. ΔH Δ ρ Δ ΔΔΔz g Δ () El lor q pro l mbo Δ l mprr prov os fs: l lor p grrs oo l rpo (mos léros, qímos,.) rpz oo por volm f(,, z, ). L rpz l l l lmo sá rbo lor s f s: f (, z, ) ΔΔΔz, () l lmo p gr lor vr l rsfr lor rvés ss vrss rs. Elmo ípo volm rgó flo rmsol lor H D E Δz Δ B G F Δ Es. Dfrls Prls III-6 glr.

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