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1 INTRODUCCIÓN ESCUELA DE INGENIERÍA CIVIL Parte de la matemática útil para físicos, matemáticos, ingenieros y técnicos. Permite presentar mediante las ecuaciones de modelo matemático diversas situaciones físicas. CURSO: FÍSICA Docente: Eduar Rodríguez B. SESIÓN 2: ÁLGEBRA VECTORIAL 1 VECTORES Y ESCALARES VECTORES Y ESCALARES 1. ESCALARES: Se representan por un número real y su correspondiente unidad. Ejm: La masa el tiempo; la temperatura. 2. VECTORES: Para expresarse necesitan de un módulo, dirección y un sentido Ejm: La velocidad, el desplazamiento, la fuerza, etc. 3. TENSORIALES: Aquellas que tiene una magnitud, múltiples direcciones y sentidos. Ejem: El esfuerzo normal y cortante, la presión. Definición y representación. 5 VECTORES 6 ELEMENTOS DE UN VECTOR 1. Dirección: Gráficamente viene representada por la recta soporte. En el plano por un ángulo y en el espacio mediante tres ángulos FÍSICA - Docente: E. Rodríguez 1

2 ELEMENTOS DE UN VECTOR 2. sentido: Es el elemento que indica la orientación del vector. Gráficamente viene representada por la cabeza de flecha. 8 PROPIEDADES DE LOS VECTORES 1. Vectores iguales. Aquellos que tienen sus tres elementos idénticos 3. Módulo: Representa el valor de la magnitud física a la cual se asocia. Gráficamente viene representado por la longitud del segmento de recta 2. Vector opuesto: Aquel vector que tiene la misma magnitud y dirección pero sentido opuesto 9 SUMA DE VECTORES Considere dos vectores A y B como se muestra. 10 RESTA DE VECTORES Considere dos vectores A y B como se muestra. El vector suma se puede determinar mediante la regla del paralelogramo o del triángulo. La magnitud de la resultante R se determina mediante la ley de cosenos- El vector suma se puede determinar mediante la regla del paralelogramo o del triángulo. La magnitud del vector diferencia D es 1. Conmutatividad PROPIEDADES DE LOS VECTORES PROPIEDADES DE LOS VECTORES 2. Asociatividad FÍSICA - Docente: E. Rodríguez 2

3 13 SUMA VECTORIAL Para sumar varios vectores se utiliza la ley del polígono (aplicación sucesiva de la ley del paralelogramo o del triángulo) 15 VECTORES UNITARIOS DESCOMPOSICIÓN VECTORIAL 1. EN EL PLANO En el espacio. Cualquier vector puede descomponerse en tres componentes α β γ α β γ α β γ FÍSICA - Docente: E. Rodríguez 3

4 20 VECTOR UNITARIO EJEMPLOS Es un vector colineal con el vector original Tiene un módulo igual a la unidad Se define como el vector dado entre su módulo correspondiente es decir Graficar las siguientes fuerzas: EJEMPLOS 22 Dadas las siguientes fuerzas: Determinar: a) 2 - b) c) -3 Encontrar el módulo y el vector unitario correspondiente a las siguientes fuerzas: EJEMPLOS EJEMPLOS Graficar las siguientes fuerzas: Dadas las siguientes fuerzas: Determinar: a) 2 - b) c) -3 FÍSICA - Docente: E. Rodríguez 4

5 25 Encontrar el módulo y el vector unitario correspondiente a las siguientes fuerzas: Halle los ángulos directores de las siguientes fuerzas: El producto escalar o producto punto de dos vectores A y B El producto escalar es conmutativo 2. El producto escalar es distributivo 3. Producto de un escalar por el producto escalar 4. Producto escalar entre la suma de dos vectores por un tercer vector Producto escalar de dos vectores unitarios iguales Producto escalar de dos vectores en forma de componentes Entonces tenemos 5. Producto escalar de dos vectores unitarios diferentes. 6. Producto escalar de dos vectores 8. Si el producto escalar de dos vectores es nulo. Entonces dichos vectores son perpendiculares FÍSICA - Docente: E. Rodríguez 5

6 31 32 Dadas las siguientes fuerzas halle a)f.f N 6 4 b)f.f c)f.f d F.F Encuentre los ángulos entre las fuerzas mostradas combinando cada una de ellas Comprobar cuál de las siguientes fuerzas son paralelas Determine el ángulo θ entre las colas de los dos vectores Determine el ángulo θ entre el eje y de la barra y el alambre AB 36 PRODUCTO VECTORIAL El producto escalar o producto cruz de dos vectores A y B, es un tercer vector C el cual es perpendicular al plano formado por los dos vectores y cuya magnitud es igual al producto de sus magnitudes multiplicado por el seno del ángulo entre ellos y cuyo sentido se determina mediante la regla de la mano derecha. La notación del producto cruz es FÍSICA - Docente: E. Rodríguez 6

7 37 REGLA DE LA MANO DERECHA Primera forma: Tome la mano derecha y oriente el dedo índice con el primer vector y el dedo corazón el segundo vector, el dedo pulgar extendido nos da el vector producto de ambos. Segunda forma: curve los dedos de la mano derecha tendiendo a hacer girar al primer vector hacia el segundo; el dedo pulgar extendido nos da el vector producto. 38 PRODUCTO VECTORIAL 1. El producto vectorial no es conmutativo 2. El producto vectorial es distributivo 3. Multiplicación de un escalar por el producto vectorial. 4. Multiplicación vectorial de vectores unitarios PRODUCTO VECTORIAL 5. El producto vectorial de dos vectores en componentes es Dadas las siguientes fuerzas halle 7. Si el producto vectorial es nulo entonces los dos vectores son paralelos. a)f x N 6 4 b)f xf c)f xf d F xf 41 Comprobar cual de las siguientes fuerzas son perpendiculares: gracias FÍSICA - Docente: E. Rodríguez 7