Teoría Electromagnética

Transcripción

1 José Moón Fundamentos de Teoía Electomagnética I. Campos Estáticos 3

2 Índice Geneal CAPÍTULO Intoducción al Análisis Vectoial. Intoducción. Escalaes Vectoes.3 Multiplicación Vectoial 5.4 Vectoes Base Componentes Vectoiales.5 Vectoes Unitaios Otogonales en un istema de Coodenadas Catesianas.6 Vectoes Otogonales Unitaios en un istema de Coodenadas Cilíndicas 3.7 istema de Coodenadas Esféicas. Vectoes Otogonales Unitaios 6.8 Poducto Punto (Escala) Poducto Cuz (Vectoial) 9.9 El Gadiente de una Función Escala de la Posición. La Divegencia el Rotacional en Coodenadas Catesianas 5. Integales de Línea, upeficie Volumen 7.. Integales de Línea 7.. Integales de upeficie 36. Definición Geneal del Gadiente de una Función Escala 39.3 Definición Geneal de la Divegencia de una Función Vectoial 4.4 La Divegencia en Coodenadas Catesianas 43.5 El Teoema de la Divegencia; Tubos de Flujo 45.6 Definición Geneal del Rotacional de una Función Vectoial 5.7 Teoema de tokes 55.8 Puntos de Fuente Puntos del Campo 6

3 ii.8. Fuentes Puntuales 63.9 El Teoema de Geen el Teoema de la Unicidad 65. Coodenadas Cuvilíneas Otogonales 67.. El Gadiente 69.. La Divegencia El Rotacional 7..4 El Laplaciano 7. El Teoema de Helmholtz 7. Integación de la Ecuación de Poisson 76.3 Ángulos ólidos 8.4 Resumen de las Definiciones Geneales paa el Gadiente, la Divegencia el Rotacional 83.5 Identidades Vectoiales 84 PROBLEMA 88 CAPÍTULO Campos Elécticos Estáticos. Intoducción 93. Le de Coulomb 93.3 Intensidad de Campo Eléctico 99.4 Campos Elécticos Poducidos po Distibuciones de Cagas 5.5 Líneas de Flujo Gáficas de los Campos.6 Densidad de Flujo Eléctico 4.7 Le de Gauss 7.8 Aplicaciones de la Le de Gauss.9 El Potencial Eléctico 8

4 iii. El Potencial Escala de una Distibución de Caga 3. Relación ente E V 33. El Dipolo Eléctico 4.3 Densidad de Enegía en el Campo Electostático 44 PROBLEMA 5 CAPÍTULO 3 Medios Mateiales en Campos Elécticos Estáticos 3. Intoducción Popiedades de los Mateiales Tipos de Coientes Conductoes Polaización en Dielécticos Constante Resistencia Dielécticas Dielécticos Lineales, Isótopos Homogéneos La Ecuación de Continuidad el Tiempo de Relajación Condiciones de Fontea Condiciones de Fontea paa la Densidad de Coiente Capacitancia Capacitoes Relación Resistencia Capacitancia Enegía en el Campo Electostático 9 PROBLEMA 98

5 iv CAPÍTULO 4 olución de Poblemas Electostáticos 4. Ecuaciones del Campo del Potencial 3 4. Distibuciones Aiales de Caga 4.3 El Dipolo Fomulación de Poblemas con Valoes de Fontea en Electostática Unicidad de la olución olución de la Ecuación de Laplace oluciones Fomales de la Ecuación de Laplace en Coodenadas Cilíndicas oluciones Fomales de la Ecuación de Laplace en Coodenadas Esféicas El Método de Imágenes 38 PROBLEMA 47 Capítulo 5 Magnetostática 5. Intoducción Le de Biot avat Le de Ampee Relación ente J H Densidad de Flujo Magnético El Potencial Vectoial Magnético Fuezas Paes Magnéticos 7

6 v 5.7. Fueza sobe un Elemento de Coiente Paes o Momentos de Tosión Magnéticos El Dipolo Magnético Magnetización Coientes de Magnetización Condiciones de Fontea El Potencial Magnético Escala Poblemas de Fontea en Magnetostática Inductancia e Inductoes Enegía Magnética 97 PROBLEMA 3 CAPÍTULO 6 PRINCIPIO GENERALE Y LA ECUACIONE DE MAXWELL 6. La Intensidad del Campo Eléctico Epeimento La Coiente Eléctica Algunas Popiedades de la Intensidad del Campo Eléctico Epeimento La Le de Gauss la Densidad del Campo Eléctico El Campo Magnético Epeimento La Densidad del Campo Magnético La Pimea Ecuación de Mawell Epeimento 5 33

7 vi 6.5. La Le de Faada La Intensidad del Campo Magnético Epeimento La egunda Le de Mawell Popiedades Macoscópicas de la Mateia Polaización Eléctica Magnética Medios Conductoes Los Potenciales Electomagnéticos Vectoiales Escalaes Condiciones de Fontea Flujo de Enegía en el Campo Electomagnético Ondas Electomagnéticas 346 PROBLEMA 347 BIBLIOGRAFÍA 35 Apéndice 35 istema de Unidades 35

8 Capítulo Intoducción al Análisis Vectoial. Intoducción La deducción de las elaciones ente las componentes del campo electomagnético se simplifica consideablemente si se usa análisis vectoial. Un vecto es una cantidad que equiee de tes númeos paa epesentalo en un sistema de coodenadas dado. Los tes númeos se denominan las componentes escalaes del vecto. Una ecuación vectoial epesenta tes ecuaciones que elacionan las componentes escalaes en una foma que es independiente de cualquie sistema de coodenadas en paticula. Además de su elegancia matemática, el análisis vectoial también pemite da una intepetación geomética a las ecuaciones. e veá que esto es de gan impotancia en la fomulación de las lees de la teoía electomagnética. En este capítulo se pesenta una evisión del análisis vectoial con énfasis en la notación, teoemas ecuaciones usadas en capítulos subsiguientes.. Escalaes Vectoes Paa nuestos popósitos, una cantidad escala es aquella cua descipción es completa al da un solo númeo; po ejemplo, si se dice que una caja mide de alto,5 m, se ha especificado completamente su altua. En paticula, aunque un escala puede se positivo, negativo o ceo, no involuca la idea de una diección en el espacio; po ejemplo, si se dice que la masa de un cuepo es, digamos, igual a kilos, a esta afimación no se le puede agega nada paa que la descipción de esa masa sea más completa. Po ello, la masa es un escala. En foma simila, la caga eléctica neta situada en un cuepo es un escala, que puede se positivo, negativo o ceo. La coodenada del cento de masa de un cuepo con elación a un maco de efeencia (sistema de coodenadas) dado po ejemplo metos es un escala. Así pues, un escala tiene magnitud solamente magnitud. i el valo numéico de un escala no depende de la selección del sistema de coodenadas que se esté usando, a este escala se le denomina un escala invaiante. De acuedo con esto, la masa de un cuepo la caga eléctica en un cuepo son escalaes invaiantes. Po oto lado, la coodenada de un punto, dada aiba como metos, no es un escala invaiante, poque

9 no tiende a pemanece igual a metos si se cambia el maco de efeencia. Una cantidad invaiante puede vaia con el tiempo puede se difeente en puntos difeentes del espacio, peo no es afectada si se cambia el maco de efeencia. Una vez que un escala ha sido identificado como invaiante, se le efeiá simplemente como un escala. Las cantidades escalaes asociadas con puntos individuales en el espacio (dento o fuea de cuepos mateiales) se denominan funciones escalaes de la posición o campos escalaes (más adelante se da un tatamiento más detallado al concepto de campo). Una cantidad vectoial o simplemente un vecto es aquella que equiee paa su descipción completa una magnitud, una diección una posición. Es deci, una cantidad física es un vecto si sólo si (a) tiene una magnitud numéica, (b) tiene una diección en el espacio (c) obedece la egla del paalelogamo paa la suma. i paa la caja mencionada anteiomente se quiee descibi una fueza ejecida sobe ella, entonces se necesita conoce la magnitud de la fueza, su diección su punto de aplicación. Otos ejemplos sencillos de vectoes son el desplazamiento, la velocidad la aceleación de una patícula. Ahoa bien, el concepto de una diección en el espacio no involuca un sistema de coodenadas. Como consecuencia, las tes popiedades dadas de los vectoes implican que el concepto de un vecto físico no está ligado a ningún sistema de coodenadas. in embago se debe menciona que los aspectos de diección posición de una cantidad vectoial implican la eistencia de un punto de efeencia, vale deci, un sistema de coodenadas. Peo, en el análisis vectoial, las opeaciones vectoiales son independientes del sistema de coodenadas utilizado, peo siempe se sobeentiende la eistencia de un sistema de coodenadas adecuado. El concepto de un campo necesita del concepto de una egión, aunque no se tataá de da una definición pecisa de egión, se tomaá el concepto intuitivo consideando a una egión como aquella pate de todo el espacio dento (o fuea) de una supeficie ceada (supeficie tidimensional). Este concepto puede etendese a egiones de una, dos n dimensiones. Es impotante compende que la fontea de la egión puede esta en el infinito, ocupando la egión todo el espacio; en este caso se descibe a la egión como una egión ilimitada o no acotada. Con la palaba campo eisten poblemas paa definila po su ambigüedad. Genealmente, las definiciones de un campo se dividen en dos clases pincipales: una de estas clases define a un campo como una egión del espacio dedicada a un uso deteminado o poseendo alguna caacteística distintiva; po ejemplo, un campo de béisbol, un campo paa semba maíz. La ota clase pincipal define a un campo como la influencia de algún agente en una egión, como ejemplos se pueden menciona un campo gavitatoio, un campo eléctico o un campo de tempeatuas. Nuesta definición especializada de un campo petenece a esta última clase. Un campo se define como la especificación de una cantidad paticula en todas las pates de una

10 3 egión, en todo instante t, ese valo descibe esa cantidad completamente (en el instante t). i la cantidad especificada es escala, se tiene un campo escala, si la cantidad es vectoial, se tiene un campo vectoial. La cantidad paticula que se especifica se denomina una cantidad del campo. Un campo es estático o estacionaio si es independiente del tiempo; un campo vaiable en el tiempo con fecuencia se denomina dinámico. Ninguna cantidad física pemanece constante indefinidamente, peo en peíodos de tiempo finitos (o cuando las vaiaciones con el tiempo son pequeñas), con fecuencias es conveniente considealas como estáticas. Cuando las vaiaciones en el tiempo son gandes peo lentas, se utiliza el témino cuasiestático. En geneal, los campos físicos son tidimensionales, dependiendo así de tes vaiables espaciales. La pesión de la atmósfea teeste es un campo tidimensional. Idealmente hablando, también ha campos bidimensionales unidimensionales; ejemplos de ellos son la densidad de pintua sobe la supeficie de una paed (bidimensional) la tensión en todos los puntos de la cueda de una guitaa (unidimensional). Ya se especificó que un escala es una cantidad que puede se epesentada po un númeo eal. Po ejemplo, la masa, longitud, tiempo tempeatua son escalaes. i se asocia un escala con cada punto de una egión R, se dice que eiste un campo escala en el inteio de R; es deci, un campo escala es completamente especificado po un solo númeo paa cada punto. Un ejemplo de un campo escala seía, po ejemplo, la distibución de tempeatua en un cuepo sólido. También se mencionó que una cantidad física se denomina una cantidad vectoial, o simplemente un vecto si, sólo si, tiene una magnitud numéica, una diección en el espacio, además, obedece la egla del paalelogamo paa la adición. También se dijo que como consecuencia de ello, estas tes popiedades implican que el concepto de un vecto físico no implica algún tipo de coodenadas. Cuando se usan coodenadas, un vecto es una cantidad que equiee de tes númeos paa epesentalo (espacio tidimensional). La velocidad de una patícula es un vecto se epesenta po las componentes de la velocidad u, u u3 con especto a un sistema de coodenadas dado. Desde un punto de vista geomético, esto implica que la velocidad posee tanto magnitud o longitud como también una oientación o diección. Geométicamente, un vecto es más fácil de visualiza. Po tanto, gáficamente un vecto A (los vectoes se indican en negitas o mediante una leta en la foma A ) se epesenta típicamente mediante un segmento diigido (Fig..). La longitud del segmento epesenta la magnitud A de A (aunque también se puede usa el símbolo A ) en una escala adecuada, la diección se indica po la punta de la flecha en un etemo del segmento; también puede definise po la diección de un vecto unitaio (vecto de longitud unitaia) adimensional â, el cual es colineal con A. Entonces A = a ˆA a ˆ =. Ha dos clases de vectoes: vectoes ligados vectoes libes. Los vectoes ligados tienen una posición fija. Po ejemplo, al tata con fuezas cuos puntos de aplicación o líneas de acción no pueden desplazase, es necesaio pensa en ellas como vectoes ligados. Un vecto libe es

11 4 caacteizado completamente po su magnitud diección. En lo que sigue, se entiende que los vectoes son vectoes libes a menos que se especifique lo contaio. Dos vectoes libes son iguales si sus magnitudes, o longitudes, son iguales sus diecciones son las mismas, indifeentemente de los puntos en el espacio donde se dibujen. En otas palabas, una cantidad vectoial puede epesentase igualmente bien mediante cualquiea de los infinitamente muchos segmentos de líneas con la misma longitud la misma diección. Po ello, se acostumba deci que un vecto puede movese paalelo a sí mismo sin ningún cambio. La elación A = B significa que A B concuedan, peo no significa necesaiamente que las colas de las flechas que epesentan A B estén en el mismo punto. Las opeaciones matemáticas definidas paa escalaes, como la suma la multiplicación no son aplicables a vectoes, a que éstos tienen tanto magnitud como diección. De manea que se debe intoduci un conjunto de opeaciones vectoiales. Estas opeaciones son las eglas paa combina un vecto con oto vecto o un vecto con un escala. Ha vaias fomas de combina un vecto con oto vecto o un vecto con un escala. i c es un escala (númeo) positivo, la ecuación A = cb significa que la diección del vecto A es la misma que la de B la magnitud es c veces la de B. i c es negativo, la ecuación significa que la diección de A es opuesta a la de B su magnitud es c veces la de B. La suma o adición de un vecto A un vecto B se define mediante el vecto C = A + B, el cual foma un tiángulo ceado con A B, como se ilusta en la Fig..(a). e dice que el vecto C es la esultante o suma de los vectoes A B. Obsévese en la Fig..(b) que la suma A + B es el vecto que se obtiene conectando la cola del pime vecto con la punta del segundo vecto. Usando la egla del paalelogamo, es sencillo demosta gáficamente que la adición vectoial es conmutativa. En el álgeba vectoial se tienen entonces las siguientes eglas (c una constante): ( ) ca = Ac c A + B = ca + cb A + B = B + A También, la egla del paalelogamo es válida tanto paa los vectoes libes como paa los vectoes ligados. B C = A + B C = A + B A A B (a) (b) Figua.. Adición vectoial.

12 5 Paa obtene la difeencia ente dos vectoes, A B, es necesaio defini el negativo de un vecto. El vecto A se define mediante la ecuación A + ( A) =, tiene la misma magnitud que A peo la diección opuesta. El vecto sustacción B de A se define, como un caso especial de la adición, po la suma vectoial de A ( B). Gáficamente, también se puede demosta fácilmente que la adición vectoial es asociativa, es deci, A + ( B + C) = ( A + B) + C i A, B C son los tes lados de un paalelepípedo, entonces A + B + C es el vecto a lo lago de la diagonal más laga. Un vecto puede esolvese a lo lago de dos diecciones cualesquiea en un plano que lo contenga. La Fig.. muesta cómo se usa la egla del paalelogamo paa constui los vectoes A B que se suman paa foma C. C A C B Figua.. Descomposición de un vecto en un plano. En tes dimensiones, un vecto puede esolvese a lo lago de tes líneas no coplanaes cualesquiea. La Fig..3 muesta cómo un vecto puede se esuelto a lo lago de tes diecciones, hallando pimeo un vecto en el plano de dos de las diecciones luego esolviendo este nuevo vecto a lo lago de las dos diecciones en el plano..3 Multiplicación Vectoial Figua.3. Descomposición de un vecto en el espacio. El Poducto Punto o Poducto Escala. El ángulo ente dos vectoes se define como el meno ángulo a tavés del cual puede otase uno de los vectoes paa que su diección sea la misma que la del oto vecto. Puesto que un vecto posee magnitud diección, es posible defini

13 6 dos tipos de poductos. El poducto escala o poducto punto de A B se define mediante la ecuación AiB ABcos θ = AB (.) donde θ es el ángulo inteno o meno (a definido) ente A B cuando A B se dibujan cola con cola, donde B = Bcosθ epesenta la poección pependicula de B sobe A (Fig..4). p Obsévese que el poducto escala es también un escala (positivo, negativo o ceo) no tiene diección en el espacio. Debemos ecalca el hecho de que el poducto escala, como opeación con vectoes, Ai B, puede se evaluado sin efeencia a algún sistema de coodenadas en paticula. Como el poducto escala es un escala, claamente el poducto es conmutativo El poducto escala es distibutivo; es deci, p AiB = Bi A (.) ( ) Ai B + C = AiB + Ai C La demostación de esto se establece ápidamente con la auda de la Fig..5 obsevando que la ecuación anteio puede escibise como ADp A( Bp Cp ) Dp = Bp + C p. = + donde D B + C, que Casos especiales de poductos escalaes son: si los dos vectoes son paalelos, entonces θ = Ai B = AB. En paticula, Ai A = A. i A B son pependiculaes, entonces θ = 9 Ai B =. En esumen, B θ B p A Figua.4. El poducto escala Ai B. C B B p B+C C p D p A Figua.5. La le distibutiva paa el poducto escala.

14 7 AB si θ = A B = si θ = 9 AB si θ = 8 i (.3) A A = i A (.4) Una aplicación impotante del poducto punto es su utilización paa detemina la componente de un vecto en la diección de oto vecto. Po ejemplo, en la Fig..5, la magnitud de la componente de B en la diección de A viene dada po la elación Ai B A, el vecto componente de B en la diección de A es entonces AiB A AiB B = = A (.5) A A A e deduce también que la componente vectoial de B pependicula a A es entonces B A B. = El Poducto Cuz o Poducto Vectoial. El poducto vectoial o poducto cuz, denotado po C = A B, es ota combinación paticula de los dos vectoes A B, se define po el vecto cua magnitud es C = AB sen θ (.6) po el equeimiento de que A, B C fomen un sistema deecho; es deci, C tiene la diección de avance (la nomal al plano fomado po A B) de un tonillo de osca deecha confome A es otado hacia B (ve la Fig..6). El poducto vectoial puede escibise como A B = nˆ ABsen θ = A B p (.7) C ˆn B θ B p A Figua.6. El poducto vectoial A B.

15 8 donde ˆn es un vecto unitaio nomal al plano que contiene al pa A B Bp es el vecto fomado po la poección de B sobe un plano nomal a A. Geométicamente, la magnitud A B es el áea de un paalelogamo fomado po A B como sus lados (Fig..6). Es sencillo deduci, a pati de la definición, que el poducto vectoial no es conmutativo, es deci, que el vecto B A está en la diección contaia a la del vecto A B, como consecuencia, A B B A, o lo que es lo mismo, A B = B A. El poducto vectoial de dos campos vectoiales, dígase F G, es a su vez un campo vectoial. e denota po F G se constue calculando en todo punto P el poducto vectoial de los vectoes F G. El poducto vectoial es distibutivo; es deci, A ( B + C) = A B + A C (.8) La demostación se puede establece tomando un plano nomal a A poectando B, C B + C sobe este plano (Fig..7). El vecto A Bp se obtiene a pati de Bp giándolo 9º en una diección antihoaia multiplicándolo po A. Po tanto, vemos que el tiángulo I es giado a tavés de 9º que, luego de multiplica po A foma el tiángulo II, e obtiene entonces que la Ec. (.8) se deduce a pati de la Ec. (.7). A ( B + C) p = A Bp + A B p Cuando se multiplican tes vectoes, no todas las combinaciones de los poductos punto cuz tienen significado. Los únicos dos poductos de tes vectoes que tienen sentido se eplican a continuación. Uno de ellos, que ocue con fecuencia es el poducto escala tiple, ( ) A cos BC sen Ai B C = α θ A C p A (B + C) p II A A B p (B + C) p B p I C p Figua.7. La le distibutiva paa el poducto vectoial.

16 9 B C α A C θ B Figua.8. El poducto escala tiple. El lado deecho de la elación anteio epesenta el volumen del paalelepípedo fomado po los vectoes A, B C, siempe que α π (Fig..8). i α > π, se puede eemplaza A po A conclui que el poducto escala tiple epesenta el volumen negativo del paalelepípedo fomado po los vectoes A, B C. Puesto que el volumen no cambia si se intecambian los vectoes A, B C en una foma cíclica, se tiene que Ai( B C) = Ci( A B) = Bi ( C A) (.9) Una segunda identidad vectoial de gan impotancia es el poducto vectoial tiple, ( ) ( ) ( ) Paa demosta la elación dada po la Ec. (.), se toma A B C = AiC B Ai B C (.) A = A + A p n donde los vectoes Ap An son, espectivamente, las componentes de A paalela nomal al plano P que contiene a B C. e tiene entonces que se ve que D está en el plano P (Fig..9). D Ap ( B C) = A ( B C) A p α C ( A p C ) B B β ( A p ) B C A n D Figua.9. El poducto vectoial tiple.

17 La magnitud de D está dada entonces po ( ) ( )( ) ( )( ) D = A BC sen β α = A C cos α Bsenβ A Bcosβ C sen α p p p donde los ángulos α β son como se muestan en la figua. La epesión anteio puede escibise en función de poductos escalaes como D D = ( A pic) B ( A pib) C i D Puesto que Ap es pependicula a D, se deduce que ( i ) ( i ) A C B A B C = D + A p p p donde es un escala desconocido. Paa detemina, se multiplica escalamente la ecuación anteio po Ap. Esto poduce = se obtiene ( pi ) ( pi ) D = A C B A B C Paa completa la demostación de la Ec. (.4), ahoa basta con obseva que AiC = A ic AiB = A i B p p.4 Vectoes Base Componentes Vectoiales Los vectoes base son un conjunto de vectoes seleccionados como una base paa epesenta todos los demás vectoes. La idea es constui cada vecto a pati de la adición de vectoes en la diección de los vectoes que foman las bases. Po ejemplo, el vecto en la Fig.. puede escibise como la suma de los tes vectoes u, u u3, cada uno en la diección de los vectoes base e, e e3, de modo que u = u + u + u 3 u u 3 e 3 u u e e Figua.

18 Cada uno de los vectoes u, u u3 es paalelo a uno de los vectoes base puede escibise como un múltiplo escala del vecto base coespondiente. Denotando po u, u u3 estos multiplicadoes escalaes, se tiene entonces que El vecto oiginal puede ahoa escibise como u u u = u e = u e = u e u = u e + u e + u e (.) 3 3 su epesentación se muesta en la Fig... Los multiplicadoes escalaes u, u u3 se conocen como las componentes de u en la base descita po los vectoes base e, e e3. i los vectoes base son vectoes unitaios, entonces las componentes epesentan las longitudes, espectivamente, de los tes vectoes u, u u3. i los vectoes base son vectoes unitaios son mutuamente otogonales, entonces la base se conoce como una base otonomal, euclídea o catesiana. u u3e ˆ3 e 3 e u e ˆ ue ˆ e Figua.. Componentes de un vecto u en función de vectoes base..5 Vectoes Unitaios Otogonales en un istema de Coodenadas Catesianas Paa la descipción algebaica de vectoes, se intoduce un sistema de coodenadas paa el maco de efeencia, aunque es impotante tene en mente que la magnitud diección de un vecto son independientes del maco de efeencia. En un sistema de coodenadas catesianas, z, un vecto abitaio u se puede epesenta en función de sus componentes escalaes u, u uz, que son las magnitudes de las poecciones del vecto u sobe los ejes, z, espectivamente, los tes vectoes base unitaios aˆ, aˆ a ˆ (Fig..), los cuales tienen las z diecciones (positivas) de los ejes, z, espectivamente (Fig..3): u = aˆ u + aˆ u + u a ˆ (.) z z La epesentación del vecto u po una flecha sugiea una segunda posibilidad. La flecha u u, u, u. Entonces, si se está de acuedo en comienza en el oigen temina en el punto ( z )

19 que el vecto comienza en el oigen, el etemo positivo puede especificase dando las u, u, u de la punta de la flecha. coodenadas catesianas ( z ) a ˆ z a ˆ z a ˆ w v u Figua.. Vectoes unitaios en coodenadas catesianas. El sistema mostado en la figua es uno de mano deecha donde el pulga de la mano deecha apunta en la diección de z si los dedos son tales que epesentan una otación alededo del eje z desde hasta. Este sistema puede cambiase a un sistema de mano izquieda invitiendo la diección de cualquiea de las líneas de coodenadas su vecto base asociado. Los vectoes unitaios tienen las siguientes popiedades:. Tienen longitud unitaia. Po ello,. on mutuamente otogonales. Es deci, aˆ i aˆ = aˆ iaˆ = aˆ i aˆ = z z aˆ i aˆ = aˆ iaˆ = aˆ i aˆ = z z 3. Como se indicó, foman un sistema deecho (esto es, se igen po la egla de mano deecha). Es deci, aˆ aˆ = aˆ aˆ aˆ = aˆ aˆ aˆ = a ˆ z z z Eo! Eo! z Eo! a ˆ a ˆ z α γ a ˆ u β a ˆ z u z a ˆ u a ˆ u

20 3 z a ˆ z u a ˆ a ˆ a ˆ z u z a ˆ u a ˆ u Figua.3. Un sistema de coodenadas catesianas. e deduce entonces que paa obtene las componentes u, u uz cuando se da u, sólo se tiene que multiplica escalamente a u po aˆ, aˆ a ˆ, espectivamente. Po ejemplo, z u = ui aˆ Obseve también que el poducto escala de un vecto po sí mismo, poduce la magnitud del vecto al cuadado, es deci, u = u = ui u = u + u + uz La longitud difeencial en coodenadas catesianas es un vecto se define como dl = aˆ d + aˆ d + a ˆ dz z Usando paa la magnitud del vecto, la Fig..3 muesta que las coodenadas de la punta de la flecha la magnitud están elacionadas po = cos α, = cos β, z = cos γ (.3) Aquí cosα, cosβ cos γ se denomina los cosenos de diección. El áea de una supeficie difeencial d es una cantidad vectoial con una magnitud d igual al poducto de dos longitudes difeenciales su diección se denota mediante un vecto unitaio en la tecea diección. En coodenadas catesianas, las áeas son entonces d ˆ = ad dz (plano z) d = aˆ d dz (plano z) d = aˆ d d (plano ) z z (.4) Un volumen difeencial es igual al poducto de tes longitudes difeenciales: dv = d d dz (.5)

21 4 Una cantidad vectoial de paticula impotancia es el vecto de posición o de desplazamiento (o adio vecto) de un punto P con coodenadas (,, z) se define como la distancia diigida desde el oigen O hasta P, es deci, = aˆ + aˆ + za ˆ (.6) z.6 Vectoes Otogonales Unitaios en un istema de Coodenadas Cilíndicas En la solución de muchos poblemas del campo se encontaá que las coodenadas catesianas no siempe son las más convenientes que algunas veces son pefeibles, po ejemplo, las coodenadas cilíndicas o esféicas. La Fig..4 ilusta las coodenadas cilíndicas ρ, φ, z las cuales están elacionadas con las coodenadas catesianas,, z po las ecuaciones la elación invesa es = ρcos φ, = ρsen φ, z = z (.7) ρ = +, φ = tan, z = z (.8) Los ecoidos de las vaiables son ρ <, φ < π < z <. Los vectoes unitaios en coodenadas cilíndicas son aˆ, ˆ ˆ ρ aφ a z, espectivamente, localmente en cualquie punto P ellos foman un sistema otogonal deecho. e debe señala que aˆ a ˆ dependen de φ. Un vecto u en coodenadas cilíndicas puede escibise como la magnitud de u es u = u ˆ u ˆ u z ˆ ρaρ + φaφ + a z (.9) ρ φ u = ui u = u + u + u z ρ φ El vecto de posición OP mostado en la Fig..4 tiene componentes en ρ z solamente. Así pues, = OP = ρ aˆ + za El vecto de posición depende implícitamente de φ a que a ˆ ρ depende de φ. Po tanto, cuando se da un vecto de posición, es necesaio especifica que a ˆ ρ está a un ángulo φ. Mediante poección otogonal de aˆ a ˆ sobe aˆ, a ˆ se pueden obtene las siguientes elaciones: ρ ρ ˆ z φ

22 5 z â z P â φ O z â ρ φ ρ Figua.4. Coodenadas cilíndicas. aˆ = aˆ cos φ aˆ sen φ, aˆ = aˆ sen φ + a ˆ cos φ ρ φ ρ φ Estas ecuaciones pueden usase paa conveti la epesentación de un vecto en coodenadas catesianas a su epesentación en coodenadas cilíndicas. Po ejemplo, u = aˆ u + aˆ u + u aˆ z z ( cos sen ) + ( sen cos ) = aˆ u φ + u φ aˆ u φ + u φ + aˆ u ρ z z Las componentes de u en las diecciones de ρ φ en coodenadas cilíndicas son entonces u = u cos φ + u sen φ, u = u sen φ + u cos φ φ En foma maticial, se escibe la tansfomación del vecto u de coodenadas cilíndicas a catesianas como u cos φ sen φ uρ u = sen φ cosφ u φ uz uz la invesa de esta tansfomación se obtiene como uρ cosφ sen φ u u φ = sen φ cos φ u uz uz (.) (.) La Fig..5 muesta un volumen difeencial en coodenadas cilíndicas. La longitud difeencial en este sistema está dada po dl = aˆ d ˆ d ˆ ρ ρ + aφρ φ + a z dz (.)

23 6 dz z d ˆ z = a zρdρdφ d = a ˆ dρdz ρdφ dz φ d = a ˆ ρdφdz ρ ρ dv = ρdρdφ dz φ O φ ρ dρ ρdφ Figua.5. Elemento de volumen en coodenadas cilíndicas. El poducto de cualquie pa de longitudes difeenciales es igual a la magnitud del áea de una supeficie difeencial con una nomal que apunta en la diección de la tecea coodenada. Así pues, d = aˆ ρdφdz (supeficie cilíndica φ z) ρ d = aˆ dρdz (plano ρ z) φ d z ρ φ = aˆ ρ dρ dφ (plano ρ φ) z (.3) El volumen difeencial es el poducto de las tes longitudes difeenciales, es deci, dv = ρ dρ dφ dz (.4) Ejemplo. Epesa el campo vectoial dado en coodenadas catesianas po en coodenadas cilíndicas. A (,, z) = ( + )( aˆ ˆ + a ) 3 ( + + )( + ) olución: En pime luga se sustituen en la elación anteio los vectoes unitaios aˆ función de los vectoes unitaios en coodenadas cilíndicas aˆ a ˆ : ρ φ a ˆ en aˆ = cos φaˆ sen φaˆ aˆ = sen φ aˆ + cos φaˆ ρ ρ φ φ se obtiene

24 7 ( + ) ( + + )( + ) ( + ) ( + + )( + ) A = 3 φ + φ + 3 φ + φ ( cos sen ) ( sen cos ) la cual tiene todavía una foma combinada. A continuación se eemplaza po ρsen φ, se usa la elación + = ρ se obtiene ρ cos φ + ρ sen φ A ( ρ, φ ) = sen cos cos sen 3 ρ φ φ + ρ φ φ ( + ρ ) ρ que al simplifica da como esultado aˆ aˆ ( ) ρ cos φ + ρ sen φ + 3 ρ φ + ρ φ ( + ρ ) ρ cos A ( ρ, φ ) = + ρ ( sen cos ) + φ.7 istema de Coodenadas Esféicas. Vectoes Otogonales Unitaios a ˆ φ aˆ φ ρ φ aˆ ρ ρcos φ po En el sistema de coodenadas esféico, un punto se específica en el espacio en foma única po las vaiables, θ φ, como se muesta en la Fig..6. La coodenada descibe una esfea de adio centada en el oigen. El ángulo θ se mide tomando como efeencia el eje z positivo descibe una supeficie cónica con su ápice en el oigen, el ángulo φ es el mismo que en el sistema cilíndico. Los ecoidos de las vaiables son: < θ < π φ < π Los vectoes unitaios en un sistema de coodenadas esféicas son aˆ, aˆ a ˆ, localmente, θ φ en cualquie punto P, foman un sistema deecho de coodenadas otogonales (Fig..6). El vecto a ˆ está en la diección adial, a ˆ θ está en un plano que contiene al eje z al punto P está diigido en la diección ceciente de θ. El vecto aˆ φ es nomal a este plano está diigido en el sentido ceciente de φ. Obseve que los vectoes unitaios en cualquie punto P dependen de las coodenadas θ φ. La elación ente las coodenadas de P en coodenadas esféicas catesianas puede obtenese poectando a P sobe los ejes, z. e obtiene así que = sen θcos φ, = sen θsen φ, z = cosθ (.5)

25 8 Los vectoes base unitaios aˆ, aˆ a ˆ obedecen las elaciones θ φ aˆ aˆ = aˆ, aˆ aˆ = aˆ, aˆ aˆ = a ˆ (.6) θ φ θ φ φ θ un vecto u en coodenadas esféicas puede epesase como La magnitud de este vecto es u = u aˆ + u aˆ + u a ˆ (.7) θ θ φ φ u i (.8) = u u = u + u + u θ φ El vecto de posición OP hasta el punto con coodenadas (, θ, φ) es simplemente = ˆ a (.9) peo siempe teniendo en mente que a ˆ depende implícitamente de θ φ. Las epesiones paa los vectoes coespondientes a la longitud, supeficie volumen difeenciales, dl, d dv, son espectivamente dl = aˆ d + aˆ dθ + aˆ sen θdφ ( ) ( ) ( ) aˆ sen supeficie esféica d = θdθdφ θ φ d = aˆ sen θ d dφ supeficie cónica φ θ θ d = aˆ d dθ plano θ φ φ = θ θ φ dv sen d d d θ φ (.3) z z θ aˆ φ P aˆ θ aˆ dθ θ d sen θdφ dv = sen θ d dθ dφ dθ O φ dφ φ Figua.6. Coodenadas esféicas volumen en coodenadas esféicas.

26 9 Mediante la poección otogonal de los vectoes unitaios aˆ, aˆ a ˆ sobe los vectoes unitaios aˆ, aˆ a ˆ se pueden obtene las elaciones siguientes: θ φ z las elaciones invesas: aˆ = aˆ sen θcosφ + aˆ cos θcosφ aˆ sen φ aˆ = aˆ sen θsen φ + aˆ cosθsen φ + aˆ cos φ aˆ = aˆ cos θ aˆ sen θ z θ ( sen ) θ θ aˆ = aˆ sen θcosφ + aˆ sen θsen φ + aˆ cos φ z aˆ = aˆ cosθcos φ + aˆ cos θsen φ aˆ sen φ θ z aˆ = aˆ φ + aˆ cosφ φ φ φ (.3) (.3) Estas ecuaciones se pueden usa paa conveti la epesentación de un vecto en coodenadas catesianas en su epesentación en coodenadas esféicas. Po ejemplo, u = aˆ u + aˆ u + aˆ u z z ( u u u ) aˆ θ ( u cos cos u cos sen uz sen ) aˆ φ ( u sen u cos ) = aˆ sen θcos φ + sen θsen φ + cos θ z + θ φ + θ φ θ + φ + φ Las componentes de u en coodenadas esféicas son entonces u = u sen θcosφ + u sen θsen φ + u cos θ z ( ) u = u cosφ + u sen φ cos θ u sen θ θ z u = u sen φ + u cos φ la cual se puede escibi en foma maticial como φ u sen θcosφ sen θsen φ cos θ u u θ = cosθcosφ cos θsen φ sen θ u uφ sen φ cos φ uz (.33) la tansfomación invesa da u sen θcos φ cos θcos φ sen φ u u = sen θsen φ cosθsen φ cosφ u θ uz cos θ sen θ uφ (.34) En cualquie caso, si las componentes de los vectoes en un sistema también dependen de las coodenadas, también tienen que tansfomase según las elaciones espectivas.

27 .8 Poducto Punto (Escala) Poducto Cuz (Vectoial) i A B son dos vectoes, es fácil veifica po la le del coseno que A B = A + B A B cosθ (.35) donde θ es el ángulo ente los dos vectoes, θ π. Po tanto, A B cos θ = A + B A B En coodenadas catesianas el lado deecho de esta ecuación es ( A + A + Az ) + ( B + B + Bz ) ( A B ) + ( A B ) + ( Az Bz ) = ( AB + AB + AzBz ) (.36) con esto se demuesta que cos θ = AB + AB + AzBz A B (.37) Esta cantidad es mu conveniente se define como el poducto punto ente dos vectoes A B: AiB = A B + A B + Az Bz (.38) = A B cosθ En coodenadas cilíndicas esféicas, la Ec. (.38) se conviete en AiB = A B + A B + A B φ φ z z = A B + A B + A B ρ ρ θ θ φ φ (.39) Las dos definiciones en la Ec. (.38), po supuesto, son equivalentes. Ejemplo. (a) i = 3ˆ + ˆ ˆ A a a a B = aˆ aˆ + a ˆ, calcula Ai B. z z (b) Calcula ( a ˆ ˆ ˆ ) ( 3 ˆ ˆ + a az az a ) olución: (a) Ai B = 3 + ( ) + ( ) =. i. (b) ( a ˆ ˆ ˆ ) ( ˆ ˆ ) ( ˆ ˆ ˆ ) ( ˆ ˆ ˆ a az ak a a a az a a az ) + i 3 = + i + 3 = 3 = 5.

28 Ejemplo 3. Halle el ángulo ente los vectoes (a) aˆ + aˆ + a ˆ e aˆ + aˆ a ˆ, (b) aˆ + aˆ a ˆ e aˆ aˆ + a ˆ. z olución: z z 3 z (a) ean los vectoes A = aˆ + aˆ + a ˆ B = aˆ + aˆ a ˆ. Entonces A = 3, B = 3 z Ai B = + =. Po tanto, (b) Del Ejemplo (a), ( a ˆ ˆ ˆ ) ( ˆ ˆ ˆ a az a a az ) 3 z θ = cos.3 adianes ( = 7º'). cos θ =, ( ) 3 + i + =, o sea que cos θ = po tanto θ = π/. Obseve que el poducto punto de dos vectoes es un númeo (escala), no es un vecto. Algunas veces también se llama el poducto escala (no confundi esto con la multiplicación escala) o poducto inteno. Paa el poducto cuz, o poducto vectoial, la definición opeacional en coodenadas catesianas es ( A B A B ) ( A B A B ) ( A B A B ) A B = aˆ + aˆ + a ˆ (.4) z z z z z La foma cíclica de la Ec. (.4) pemite epesa el poducto cuz en la foma de un deteminante como aˆ ˆ ˆ a a z aˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ aφ az aρ aθ aφ A B = A A Az = A Aφ Az = Aρ Aθ Aφ (.4) B B B B z Bφ B z Bρ Bθ B φ donde los dos últimos deteminantes en la ecuación anteio coesponden al poducto cuz en coodenadas cilíndicas esféicas, espectivamente. En la Ec. (.4) se sobeentiende que el deteminante se debe epandi po la pimea fila. Ejemplo 4. La Le de enos. Paa el tiángulo de la Fig..7, demuéstese que sen α senβ sen γ = = A B C olución: El áea del tiángulo es igual a A B = ABsen γ. La misma áea también se obtiene de la elación A C = ABsenβ. Po tanto, ABsen γ = ABsenβ 3

29 sen γ e deduce entonces que C sen γ sen α =. En consecuencia, C B sen β =. En foma simila se puede demosta que B sen α senβ sen γ = = A B C B α C γ β A Figua.7 Usando la epesión del deteminante paa el poducto vectoial, es mu sencillo demosta Ai B C viene dada po que la fómula paa el poducto escala tiple ( ) A ( B C) A A A z i (.4) = B B Bz C C C z.9 El Gadiente de una Función Escala de la Posición Un ejemplo de una de las cantidades físicas elacionada con los campos vectoiales es el campo eléctico. Como éste es un ejemplo de lo que se denomina una función vectoial, esta pate del análisis comienza con un beve esumen del concepto de función. Una función de una vaiable, genealmente escita como = f(), es una egla que establece cómo asocia dos númeos cómo detemina el valo asociado. Las funciones de más de una vaiable también son eglas paa asocia conjuntos de númeos. Po ejemplo, una función de tes vaiables, designada w = F(,, z), indica cómo asigna un valo a w dados los valoes de, z. Como un ejemplo, una función P(,, z) podía da la pesión atmosféica en cualquie punto (,, z) en el espacio. Estas funciones son funciones escalaes; el esultado de intoduci en f() es el númeo (escala) = f(); lo mismo se puede deci paa la función w = F(,, z). La genealización a funciones vectoiales es diecta. En tes dimensiones, una función vectoial es una egla que establece cómo asocia un vecto con cada punto (,, z) en el espacio. Un ejemplo es la velocidad de un fluido. Designando esta función como v(,, z), ella especifica la apidez del fluido también la diección del flujo en el punto (,, z). En geneal, una función vectoial F(,, z) especifica una magnitud una diección en todo punto (,, z)

30 3 en alguna egión del espacio. e puede gafica una función vectoial como una colección de flechas (Fig..8), una paa cada punto (,, z). La diección de la flecha en cualquie punto es la diección especificada po la función vectoial, su longitud es popocional a la magnitud de la función. z Figua.8 El concepto del gadiente está elacionado con el difeencial de un campo escala, digamos U, asociado con el desplazamiento desde un punto P hasta un punto Q, el cual no está necesaiamente en un entono del punto P. upóngase que la difeencia de la función escala U ente los dos puntos cecanos Q:( +, +, z + z) P:(,, z) es U: Esta ecuación puede escibise como (,, ) (,, ) U = U + + z + z U z (,, ) U (, +, z + z) U (, +, z + z) U (,, z + z) (,, z + z) U (,, z) U = U + + z + z Removiendo los cochetes, se obtiene (,, ) (,, ) + U (, +, z + z) U (,, z + z) + U (,, z + z) U (,, z) U = U + + z + z U + z + z Con la definición de deivada pacial, la ecuación anteio se puede escibi como U U U U = + + z z (.43) El vecto de desplazamiento de P a Q es, po supuesto, se puede veifica ápidamente que = aˆ + aˆ + z a ˆ z

31 4 De manea que U U U ˆ ˆ ˆ U U U ( ˆ ˆ ˆ a + a + a z + + z z ) = + + z z i a a a z U U U U ˆ ˆ ˆ = a + a + a z z i (.44) El vecto ente paéntesis se denomina el gadiente de U usualmente se escibe como gadu o U, donde se define al opeado como como el opeado nabla, donde aˆ ˆ ˆ + a + az (.45) z U U U U = aˆ ˆ ˆ + a + a z (.46) z Ésta es una opeación vectoial obedece la misma convención que la notación de deivada. Lo que se va a difeencia debe colocase a la deecha de. Cuando opea sobe una función escala, se tansfoma en un vecto U con magnitud diección bien definidas. También tiene un significado físico. El significado geomético del vecto U se entiende mejo cuando se pasa al límite confome tiende a se selecciona a d como un desplazamiento en la supeficie U = constante. e conclue entonces que Uid = gadui d = sin impota cuál sea la diección de d. Así que U es un vecto nomal a la supeficie U = constante. Como la distancia más cota ente dos supeficies vecinas U = c U = c + dc está en la diección de la nomal a la supeficie, se puede deci que en todo punto de la supeficie, el vecto U tiene la misma diección que la mao tasa de cambio de U. El gadiente de una función se escibe fecuentemente en foma opeacional como gadu = U = aˆ ˆ ˆ + a + a z U z donde la epesión ente paéntesis se identifica con la a dada en la Ec. (.45). En la ec.. se da una eplicación más detallada de la opeación gadiente.

32 5 Paa conveti la Ec. (.46) en epesiones en los otos sistemas de coodenadas, se comienza con el sistema cilíndico usando las elaciones de coodenadas dadas po ρ = +, tan φ = Entonces, difeenciando la función U con especto a, se obtiene U U ρ U φ U z = + + ρ φ z U sen φ U = cos φ ρ ρ φ donde se usó el hecho de que z = puesto que z es otogonal a. e puede usa un pocedimiento simila paa obtene una epesión paa U en función de ρ φ. i se usan también las elaciones paa los vectoes base aˆ = aˆ cosφ a ˆ sen φ aˆ = aˆ sen φ + a ˆ cosφ, la Ec. (.46) se conviete en ρ φ ρ φ U U U U = aˆ ˆ ˆ ρ + aφ + a z (.47) ρ ρ φ z Un pocedimiento simila conduce a la epesión paa el gadiente en coodenadas esféicas: U U U U = aˆ ˆ ˆ + aθ + a φ (.48) θ sen θ φ Ejemplo 5. Halla el gadiente de f (, θ, φ ) = cos θ 5φ +. olución: (a) f (,, z) = + z. (b) f ( ρ, φ, z) = ρsen φ. (c) (a) (b) (c) f f f f = aˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ + a + az = a + a + a z. z f f f f = aˆ ˆ ˆ sen ˆ cos ˆ ρ + aφ + az = φ aρ + φa φ. ρ ρ φ z f f f 5 f = aˆ ˆ ˆ cos ˆ sen ˆ ˆ + a + a = θ a + θa a θ sen θ φ sen θ θ φ θ φ Ejemplo 6. Halle el vecto nomal unitaio a la supeficie descita po ( ) = + = U,, z 4z 5z

33 6 en el punto (3,, ). olución: El vecto nomal unitaio a la supeficie en cualquie punto es n ˆ = U U. Po tanto, ( ) U = 4 aˆ + 4zaˆ + 4 z a ˆ z ˆ 8 ˆ 4ˆ 3ˆ ˆ 6ˆ ˆ U a + a a a + a a n = U = = ( ) ( ) 46 3,, z z. La Divegencia el Rotacional en Coodenadas Catesianas En esta sección se intoduce el campo escala conocido como la divegencia de un campo vectoial B el campo vectoial conocido como el otacional de B. En coodenadas catesianas, el escala B B B z i B = + + (.49) z el vecto B B B B = aˆ ˆ ˆ + a + a z (.5) z se definen como la divegencia de B (divb) el otacional de B ( ) ot B, espectivamente. Estas elaciones se obtienen diectamente a pati de la definición dada po la Ec. (.45) paa el opeado nabla. La Ec. (.5) con fecuencia se epesa fomalmente como un deteminante: aˆ aˆ aˆ z B = (.5) z B B B z Las Ecs. (.4), (.5) la epesentación del opeado (.45) a menudo son convenientes en la deivación de identidades vectoiales. in embago, no se obtiene una buena idea física a pati de la epesentación en foma de opeado. Paa nuestos popósitos, las definiciones del gadiente, divegencia otacional dadas po las Ecs. (.46), (.49) (.5) no son completamente adecuadas. En las secciones.,.4.5 se estudiaán definiciones geneales que no dependen de un sistema de coodenadas específico. Con la auda de esas definiciones, se podán detemina epesentaciones paa el gadiente, divegencia otacional en sistemas de coodenadas difeentes de las catesianas (ección.). Po los

34 7 objetivos actuales, sólo se daán las elaciones paa la divegencia el otacional en los sistemas de coodenadas cilíndicas esféicas. En coodenadas cilíndicas esféicas, la divegencia de un campo vectoial A es dada, espectivamente, po el otacional de A po Aφ Az i A = ( ρ Aρ ) + + (.5) ρ ρ ρ φ z Aφ i A = ( A ) + ( Aθ sen θ ) + (.53) sen θ θ sen θ φ aˆ ρaˆ aˆ ρ z A = ( coodenadas cilíndicas) (.54) ρ ρ φ z A ρa A ρ φ φ z aˆ aˆ sen θaˆ θ φ A = sen θ θ φ ( coodenadas esféicas) A A ( sen θ) A φ (.55) Ejemplo 7. Calcúlese la divegencia de F, suponiendo que (a) F = ρ aˆ zsen ˆ ˆ ρ + φ aφ + a z, (b) F = aˆ cos ˆ ˆ + θ aφ + a φ. olución: F F z = ρ ρ + + = ρ + ( z sen φ ) + () = + cosφ ρ ρ ρ φ z ρ ρ ρ φ z ρ φ z (a) i F ( F ) ( )

35 8 Fφ = + θ θ + sen θ θ sen θ φ ( ) = + ( cos θsen θ ) + ( ) sen θ θ sen θ φ 4 cos θ = + sen θ (b) i F ( F ) ( F sen ). Integales de Línea, upeficie Volumen Paa continua esta pate sobe análisis vectoial, ahoa se daá una intoducción sencilla al poceso de integación de línea también algunas definiciones necesaias paa detemina opeaciones impotantes en el cálculo vectoial a intoducidas anteiomente (divegencia otacional). Este análisis comienza con una consideación de la integación de línea a lo lago de cuvas planas. En los casos de dos tes dimensiones sólo se tabajaá con cuvas continuas que son suaves po tamos, es deci, cuvas que son continuas que consisten de un númeo finito de acos (o cuvas suaves) unidos de etemo a etemo, en los cuales la diección de la línea tangente cambia en foma continua. Toda cuva suave po tamos solamente tiene un númeo finito de esquinas donde la diección de la tangente cambia en foma abupta. Adicionalmente, la longitud de cada una de estas cuvas ente cualesquiea dos de sus puntos es finita, es deci, las cuvas son ectificables... Integales de Línea Pimeo se eaiminaá el concepto de lo que se entende po una línea. Una línea es la taectoia en el espacio a lo lago de una cuva desde un punto de patida hasta un punto de llegada. Obseve que esta intepetación le da a la línea una diección positiva definida. e usaán indistintamente los téminos línea, contono, a lo lago de la cuva a lo lago de la taectoia. Algunas veces la taectoia ecoida po una línea es a lo lago de una cuva ceada, si seguimos esta cuva en todo su ecoido, se egesa al punto de patida. Usualmente esta línea se denomina un contono ceado. Las integales de línea ocuen con fecuencias en las ciencias físicas. Posiblemente, la más conocida es la coespondiente al tabajo ealizado po una fueza F ente dos puntos A B a lo lago de alguna taectoia C: Tabajo ( A B) = d Fi donde d es el vecto de desplazamiento definido anteiomente. Algunas veces se utiliza dl en luga de d paa ecalca que el vecto de desplazamiento se define a lo lago de una deteminada taectoia paa la integal de línea. B A, C

36 9 Una cuva C en el espacio puede se especificada en foma paamética dando cualesquiea dos de las coodenadas en función de la tecea. Es deci, es posible especifica una cuva po ecuaciones tales como C : = g( ), z = h( ) Esto significa que, sobe la cuva, cualquie función abitaia continua de la posición puede epesase como una función de cualquiea de las tes coodenadas. upóngase que se tiene una cuva C en tes dimensiones (Fig..9) también que la cuva está diigida, lo cual se indica mediante una flecha en la cuva. ea l la longitud de aco medida a lo lago de la cuva desde cualquie punto abitaio en ella con l = l en un punto P f,, z definida en todas pates l = l en P. uponga también que se tiene una función ( ) sobe C. Ahoa se subdivide la pate de C ente P P abitaiamente en N secciones. La Fig..9 ilusta un ejemplo de una subdivisión así paa N = 5. Después, se unen con cuedas los puntos de las subdivisiones sucesivas de C ente P P, una cueda típica, digamos la k- ésima, tiene longitud lk. Después se evalúa la función dada f (,, z ) en cada punto (k, k, zk), que es cualquie punto en la k-ésima subdivisión de la cuva se foma el poducto f ( z) l. Esto se hace paa cada uno de los N segmentos de C luego se foma la suma N k= (,, ) f z l k k k k,, k z P C ( k k, z k ) P Figua.9 Po definición, la integal de línea de f (,, z ) a lo lago de la cuva C es el límite de esta suma confome el númeo de subdivisiones N tiende a infinito la longitud de cada cueda tiende a ceo, es deci, C N N cada s k= (,, ) lím (,, ) f z dl = f z l k k k k k

37 3 Paa evalua la integal de línea se debe conoce la taectoia C. Usualmente la foma más conveniente de especifica esta taectoia es paaméticamente en función del paámeto longitud de aco s. Entonces se escibe = (s), = (s) z = z(s), la integal de línea puede se educida a una integal definida odinaia: Ejemplo 8. Evalúe en dos dimensiones C l (,, ) ( ), ( ), ( ) f z dl = f s s z s dl C l ( + ) donde C es la línea ecta desde el oigen hasta el punto cuas coodenadas son (, ) (Fig..). dl (, ) (, ) C P(, ) C C 45 Figua. Figua. olución: i (, ) son las coodenadas de cualquie punto P en C si s es la longitud de aco medida desde el oigen, entonces = l = l. Po tanto, + = l tenemos que ( ) C + dl = l dl = Ahoa se intega la misma función + desde (, ) hasta (. ) peo po ota taectoia, como la mostada en la Fig... Aquí se sepaa la integación en dos pates, una a lo lago de C la segunda a lo lago de C. En C se tiene = = l. De manea que en C + = l, po tanto, En C, = l, = entonces C + dl = l dl = ( )

38 3 C ( ) ( ) 3 + dl = l + dl = umando los esultados paa los dos segmentos, se encuenta que ( ) ( ) ( ) 3 + dl = + dl + + dl = + = C C C Este ejemplo no sólo ilusta los detalles del cálculo de la integación sino que también muesta que, en geneal, una integal de línea depende no sólo de los puntos etemos sino también de la taectoia paticula que los une. Ha una clase especial de integales de línea del tipo descito que son de etema impotancia en algunas áeas, especialmente en las elacionadas con el concepto de tabajo a mencionadas al comienzo de esta sección. Tabajo, en el sentido más elemental, es el poducto de fueza po desplazamiento. Esto debe analizase con más detalle si se econoce que tanto la fueza como el desplazamiento son vectoes. Considee la cuva C mostada en la Fig... Defina ˆt como el vecto unitaio tangente a C. ea F(,, z) un campo vectoial que está definido en todo punto de la taectoia definida po C. Entonces F C (,, z) tˆ i dl (.56) se define como la integal de línea de la componente tangencial de F a lo lago de C, se entiende que la integación comienza en l = l temina en l = l. i F es una fueza actuando sobe un objeto, entonces, po definición, la componente de F que ealiza tabajo es sólo aquella que actúa a lo lago de la cuva, es deci, la componente tangencial a la cuva. Paa ve cómo se puede evalua la integal en (.56), considéese el vecto adial desde un oigen abitaio hasta un punto en C, como muesta la Fig... Fome ahoa la deivada dieccional de en la diección de s. Es deci, foma el cociente d = lím dl l l (.57) eamínese su significado. u diección es obviamente la de la tangente a la cuva C. u magnitud, claamente, es la unidad. Po tanto se tiene que i se sustitue esta epesión paa ˆt en el integando, se obtiene d ˆ dl = t (.58)

39 3 ˆ d Fit dl = Fi dl = Fi d (.59) dl C C C La foma final muesta que se cambió el paámeto escala s po el paámeto vectoial. Esto simplifica el poblema. Recuédese que en coodenadas ectangulaes, el vecto adial es dado po po tanto = aˆ + aˆ + za ˆ z F l C ˆt l + l O Figua. d = daˆ + daˆ + dza ˆ Como F = F aˆ + F aˆ + F a ˆ, se tiene entonces que z z z C C ( z ) Fid = F d + F d + F dz = F d + F d + F d z z z z (.6) Aquí se ve que el poblema oiginal se tansfomó en tes poblemas mucho más sencillos (tes integaciones odinaias). Po la foma de la integal en la Ec. (.59) se obseva ápidamente que, en coodenadas cilíndicas, el esultado seá de la foma ρ φ z ρ φ C ρ φ z Fi d = F dρ + F ρdφ + F dz (.6) z

40 33 en coodenadas esféicas, θ φ θ C θ φ Fi d = F d + F dθ + F sen φdφ (.6) φ donde, po supuesto, los integandos deben evaluase sobe la cuva en función de las vaiables de integación. i la taectoia de integación se ecoe completamente en tono a una cuva ceada, se usa la notación d Fi l (.63) C Este esultado con fecuencia se denomina la ciculación de F alededo de C. Cuando la integal en la Ec. (.4) es igual a ceo se dice que el campo F es consevativo. Ejemplo 9. Dado el campo vectoial = ˆ + F a a ˆ el contono tiangula ceado en el plano mostado en la Fig..3, evalúe la integal de línea con taectoia que comienza en el oigen se desplaza po la línea = hasta el punto =, después po la línea = hasta el punto = egesa al oigen a lo lago de la línea =. Calcula d Fi l (a) en coodenadas ectangulaes; (b) en coodenadas cilíndicas. olución: C (a) Fidl = Fidl + Fidl + Fi dl C C C C = = = = F d + F d + F d + F d = = = = = d d d d