JUNIO Considérese el sistema de ecuaciones dependiente del parámetro real a:

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1 JUNIO INSTRUCCIONS: l emen resent dos ociones B; el lumno deberá elegir un de ells contestr rondmente los cutro ejercicios de que const dich oción en h. min. OPCIÓN jercicio. ( Puntución máim: untos) Considérese el sistem de ecuciones deendiente del rámetro rel : () iscútse el sistem según los vlores d (b) Resuélvse el sistem r. ) Sistem de ecuciones con tu incógnit en función de un rámetro. Pr estudir un sistem con igul número de ecuciones que de incógnits en función de un rámetro h que sber que vlores del rámetro nuln el determinnte de l mtri de coeficiente. det iscusión I) Si. S.C. solución únic, que se uede obtener or el método de CRR. II) Si. S sistem equivlente { : S' S.C.I con dos grdos de indeterminción. III) Si. S ste sistem se uede estudir or dos métodos. ) Guss: Se tringulrí l mtri socid l sistem } { { } L tercer ecución se convierte en un incongruenci, or lo que el sistem es incomtible

2 ) studindo los rngos de ls mtrices que definen el sistem. ' rg : rg teniendo en cuent que el determinnte de es nulo r rg rg : Tomndo el menor, el rngo de l mlid será tres si lguno de los menores orldos l nterior es distinto de cero, en cso contrrio será dos. Los menores orldos son el determinnte de l mtri de coeficientes, que es nulo r,, or tnto rg Según el teorem de Rouché, el sistem es incomtible or tener los rngos de sus mtrices diferentes. b) : S dos métodos: b ) Crmer:. Solución (,, ) b )Guss: mtri que se soci l sistem: : : : Solución (,, )

3 jercicio. (Puntución máim: untos) Un emres fbric cjs de ltón sin t de volumen 5 cm, r lmcenr un líquido colornte. Ls cjs tienen l bse cudrd. Hállense l ltur el ldo de l bse de cd cj r que l cntidd de ltón emled en fbricrls se l mínim osible. Solución Se ide minimir el áre lterl de un rleleíedo de bse cudr sin t briendo el cubo or ls rist verticles etendiéndolo sobre un suerficies, qued l siguiente figur: cuo áre en función de l longitud del ldo del cudrdo() de l ltur() es: R LTRL (, ) Restringiendo l función h quells cuo volumen se 5 cm, se consigue eresr el áre lterl en función de un sol vrible L (, ) 5 5 L () V 5 : ordenndo simlificndo L () Pr obtener el mínimo de l función, se igul cero su rimer derivd, en los vlores que l nulen se estudi el signo de l segund derivd, debiendo ser ositiv ' L ; L '' L '' el vlor de l del mínimo se clcul con l eresión del volumen mínimo

4 jercicio. (Puntución máim: untos) Un fábric roduce tres modelos de coche:, B C. Cd uno de los modelos uede tener motor de gsolin o diesel. Sbemos que el 6% de los modelos son de tio el % de tio B. l % de los coches fbricdos tienen motor diesel, el % de los coches del modelo son de tio diesel el % de los coches del modelo B tienen motor diesel. Se elige un coche l r. Se iden ls robbiliddes de los siguientes sucesos: () l coche es del modelo C. (b) l coche es del modelo, sbiendo que tiene motor diesel. (c) l coche tiene motor diesel, sbiendo que es del modelo C. Solución Problem de robbilidd condiciond. Se uede resolver de dos forms diferentes, or digrm de contingenci o or álgebr de sucesos. I) igrm de contingenci: Tomndo como bse de clculo coches roducidos or l fbric B C Gsolin iesel (6 ) Un ve comletdo el cudro de contingenci ls robbiliddes edids se clculn or l definición iomtic de robbilidd. nº csos fvorbles nº csos osibles ó del % 8,6 ó del 6% ) ( C), b) c) ( ) ( C) 6,6 ó del 6% C II) Álgebr de sucesos: ( C) el coche es del modelo. B el coche es del modelo B. C el coche es del modelo C. el coche tiene motor diesel. G el coche tiene motor gsolin. B tos: (),6. (B),. (),.,.,. ) Se ide clculr (C) ; Puesto que solo h coches de los moldes, B C(( B C) ). Teniendo en cuent que un mismo coche no uede ser de dos modelos diferentes, los sucesos, B, C, son incomtibles or tnto: ( B C) () (B) (C) (C) () (B) 6

5 b) ( ) ( ) Sustituendo: : Puesto que el tio de motor el modelo de coche son sucesos deendientes, l ( ) se clculn or el teorem de l robbilidd totl: P( )() ( ) ( ) c) ( ) ( ) ( B ) ( C ) C ( ) ( ),6,,6, [ ] ( ) ( B ) ( C ) ( C ) ( ) ( B ) ( ) ( ) (B)( ),,6,,,, 6 B (,6 ), 6 C, jercicio. (Puntución máim: untos) Un estblecimiento vende quetes de crbón r brbco de eso teórico kg. Se suone que el eso de los quetes sigue un distribución norml con desvición tíic kg. Pr contrstr l citd hiótesis, frente que el eso teórico se distinto de kg., se escogen l r quetes que esn en kg., resectivmente: 8,, 9, 8 Se dese que l robbilidd de cetr l hiótesis nul, cundo ést es ciert, se,95. Se ide: () L región crític del contrste. (b) Se debe rechr l hiótesis nul? Solución Contrste de hiótesis de un vrible (eso en kg de los quetes de crbón r brbco) que sigue un distribución N(,) siendo µ r.. Ls medis de ls muestrs de tmño cutro de ests vribles seguirán un distribución N. Se ide hcer un test de hiótesis bilterl con un nivel de confin del 95%. Hiótesis nul H o : µ o kg Hiótesis lterntiv H : µ kg α Zc Z α : α,95 α,5 :,5 Z α,5,975 Zα,96. σ σ Región de cetción: µ Zα, µ Zα n n σ σ Región crític:, µ o Zα µ Zα n n Región crític:,,96,96 (,9,) (, 98 ) b. 8, 75 (9, 98). Si, se rech l hiótesis nul (H o ) se cet l hiótesis lterntiv (H ).

6 OPCIÓN B jercicio. ( Puntución máim: untos) n un deósito se lmcenn bidones de etróleo de gsolin Pr oder tender l demnd se hn de tener lmcendos un mínimo de bidones de etróleo de gsolin. Siemre debe hber más bidones de gsolin que de etróleo, siendo l ccidd del deósito de bidones. Por rones comerciles, deben mntenerse en inventrio l menos 5 bidones. l gsto de lmcenje de un bidón de etróleo es de esets el de uno de gsolin es de esets. Se dese sber cuántos bidones de cd clse hn de lmcenrse r que el gsto de lmcenje se mínimo. () résense l función objetivo ls restricciones del roblem. (b) Rereséntese gráficmente l región fctible clcúlense los vértices de l mism. (c) Resuélvse el roblem. Solución.. efinición de vribles: nº de bidones de etróleo. nº de bidones de gsolin. Función objetivo: F(, ) Restricciones: < 5 b. Reresentción gráfic Vértices: : C : 5 (,9) ( 5, 5) B : 5 : (, ) (,)

7 c. Otimción: unque l región resent cutro vértices, h dos (C, ) que no cumlen un restricción ( < ), or tnto no entrn dentro de l otimción. Y F(, ) 9 59 B Pr que el gsto de lmcenje se mínimo cumliendo tods ls restricciones se deberán lmcenr die brriles de etróleo curent brriles de gsolin. jercicio. (Puntuci6n máim: untos) d l función f () () etermínense sus máimos mínimos reltivos. (b) Clcúlense sus untos de infleión. (c) sbócese su gráfic. Solución.. L condición necesri suficiente r que un función lcnce un etremo reltivo en un unto es que en dicho unto l rimer derivd de l función se cero, l segund se distint de cero, con el siguiente criterio: f ' Sí f ( o ) : f ' ' ( '( o ) > o ) < ( o, f ( o )) (, f ( )) o o ÍNIO ÁXIO Los osibles untos de etremo reltivo se obtiene con los ceros de l ª derivd: f ' ; f ' ; ; resolviendo l ecución de segundo grdo ó cu imágenes son: f () f ( ) 6 Los osibles etremos reltivos de l función f() son los untos,, Pr comrobr si son etremos reltivos se tendrá en cuent el criterio de l ª derivd: () sustituendo los vlores que nuln l ª derivd: ( ) < n, ÁXIO () > n, ÍNIO 6 b. Punto de infleión: L condición necesri suficiente r que un función teng un unto de infleión es que en dicho unto l segund derivd de l función se cero, l tercer se distint de cero, con el siguiente criterio: f ' '' ( o ) > ( o, f ( o )) Inflesión[ Conve( ) Concv( ) ] Sí ( o ) : f ' '' ( o ) < ( o, f ( o )) Inflesión[ Concv( ) Conve( ) ]

8 Los osibles untos de infleión se obtienen de los ceros de l ª derivd () ; () ; ; cu imgen en l función es: c. Gráfic 5 ( ) (, 5 ) f Pr comrobr si en (, 5 ) ' > (, 5 ) un P.I. se tiene en cuent el criterio de l ª derivd.. P.I. Conve ( ) Concv( ) jercicio. (Puntución máim: untos) Tres máquins, B C fbricn tornillos. n un hor, l máquin fbric 6 tornillos, l B l C. Ls robbiliddes de que ls máquins roducn tornillos defectuosos son, resectivmente, de, r, de, r B de, r C. l finlir un hor se juntn todos los tornillos roducidos se elige uno l r. () Cuál es l robbilidd de que no se defectuoso? (b) Cuál es l robbilidd de que lo h fbricdo l máquin, sbiendo que no es defectuoso? Solución. Sucesos: tornillo fbricdo or B tornillo fbricdo or B C tornillo fbricdo or C tornillo defectuoso tos: 6 ' 6 ( B) ' ( C) ' ' ' 99 B B ' ' 98 C C ' ' 97. ( ( ) ( B ) ( C ) ) ( ( ) ( B ) ( C ) ) ( ( ) ( B) ( ) ( C) ( ) ( '6 ' ' ' ' ') ' 985 B C

9 b. Se ide clculr l un robbilidd condiciond, licndo Bes: '6 '99 '6 '985 jercicio. (Puntución máim: untos) Se suone que el eso de ls sndís de ciert vriedd sigue un distribución norml con desvición tíic de kg. Se tom un muestr letori de sndís se observ que el eso medio es de 6 kg. () Clcúlese un intervlo de confin l 95% r el eso medio de es vriedd de sndí (b) Puede cetrse l hiótesis de que el verddero eso medio de ls sndís es de 5 kg. frente que se diferente, con un nivel de significción de,5? Solución.. Se ide clculr el intervlo de confin r l medi de un vrible continu de l que se tomn muestrs de tmño, rtir del eso medio de un muestr. Si l vrible( eso de ls sndis) sigue un distribución norml N(µ, σ), ls medi de ls σ muestrs de tmño de est vrible seguirán un distribución norml N µ, n : N (µ, ) : N µ, N ( µ, ' ) l intervlo de confin del eso de ls sndis rtir de un medi muestrl viene esesdo or: σ σ o Zα, o Zα n n donde o eso medio de l muestr Vlor crítico, función del nivel de significción(α), siendo α, el nivel de confin. Z α α '5 α sustituendo en el intervlo de robbilidd 6 '96, 6 '96 α 95 5 Z φ φ φ ( '975) ' 96 ( 5'8, 6') b. l vlor oblcionl(µ 5) no ertenece l región de cetción, sino l región crític. µ 5 ( 5'8, 6') Se rech l hiótesis de que el eso medio de ls sndis se de 5 Kg

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