Selectividad Septiembre 2006 SEPTIEMBRE 2006

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1 Bloque A SEPTIEMBRE En una fábrica trabajan 22 personas entre electricistas, administrativos y directivos. El doble del número de administrativos más el triple del número de directivos, es igual al doble del número de electricistas. a) Es posible saber con estos datos el número de electricistas que hay? b) Si además se sabe que el número de electricistas es el doble del de administrativos. Cuántas personas hay de cada tipo? 2.- Se considera la función: f () = 2 a) Calcula sus asíntotas y el dominio de definición de la función. b) Determina los intervalos de crecimiento y decrecimiento. c) Representa gráficamente la función f (). d) Obtén la epresión de la recta tangente a dicha función en = Las ausencias en días de un empleado de una empresa para un determinado año se aproima por una distribución normal de media µ días y desviación típica σ = 2 días. Se pretende estimar µ usando la media X de las ausencias en ese año de n trabajadores seleccionados de forma aleatoria en la empresa. a) Si suponemos µ = 6,3 y que n = 25, Cuál es la probabilidad de que la media muestral X esté comprendida entre 6,1 y 6,5 días? b) Qué tamaño n debería tener la muestra aleatoria para poder estimar µ usando la media muestral X con un error máimo (diferencia entre µ y X ) de ± 0,2 días con una confianza del 95%? 4.- Sabiendo que P ( A B ) = 0,55, P (A) = 0,4 y P (B) = 0,35, son independientes A y B? Bloque B 1.- Una fábrica produce mermelada de naranja y de ciruela. El doble de la producción de mermelada de ciruela es menor o igual que la producción de mermelada de naranja más 800 cajas. También, se sabe que el triple de la producción de mermelada de naranja más el doble de la producción de mermelada de ciruela es menor o igual que 2400 cajas. Cada caja de mermelada de naranja produce un beneficio de 40 euros y cada caja de mermelada de ciruela 50 euros. Utilizando técnicas de programación lineal, cuántas cajas de cada tipo de mermelada se han de producir para obtener un beneficio máimo? Calcula el beneficio máimo. 2.- Se sabe que la derivada de la función f () viene dada por f () = a) Determina los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función original f (). Dónde alcanza la función f () sus máimos y mínimos locales? b) Obtén la recta tangente a f () en el punto = 2 sabiendo que f (2) = 5. c) Cuál sería la función original f () si f (2) = 5? Dpto. Matemáticas 1 / 9 IES Ramón Olleros

2 3.- En un determinado país el 30 % de los coches en circulación tiene motor diesel y el 70 % motor de gasolina. Entre los de tipo diesel, el 25 % tiene una antigüedad superior a 10 años, mientras que sólo el 10 % de los que tienen motor gasolina supera dicha antigüedad. a) Determinar el porcentaje de coches con una antigüedad superior a 10 años. b) Entre los coches con más de 10 años de antigüedad, qué porcentaje son diesel? 4.- Sean A y B dos sucesos tales que P (A) = 0,4, P (B) = 0,3 y P (A B) = 0,2. Cuánto debe valer P (A / B ) (con B denotando el complementario del suceso B)? Dpto. Matemáticas 2 / 9 IES Ramón Olleros

3 Bloque A SOLUCIONES 1.- En una fábrica trabajan 22 personas entre electricistas, administrativos y directivos. El doble del número de administrativos más el triple del número de directivos, es igual al doble del número de electricistas. a) Es posible saber con estos datos el número de electricistas que hay? b) Si además se sabe que el número de electricistas es el doble del de administrativos. Cuántas personas hay de cada tipo? Sean E, A y D el número de electricistas, administrativos y directivos respectivamente. Se tiene que: E + A + D = 22 2A + 3D = 2E a) Con estos datos no es posible saber el número de electricistas que hay, pues se trata de un sistema con tres incógnitas y sólo dos ecuaciones. b) Si además se sabe que E = 2A, entonces: E+ A+ D= 22 2A+ A+ D= 22 2A+ 3D= 2E 2A+ 3D= 4A E = 2A E = 2A D= 22 3A 2A + 3(22 3 A) = 0 E = 2A Hay 12 electricistas, 6 administrativos y 4 directivos. 3A+ D= 22 2A+ 3D=0 E = 2A D= 22 3A D = 4 11A = 66 A = 6 E = 2A E = Se considera la función f () = 2 a) Calcula sus asíntotas y el dominio de definición de la función. b) Determina los intervalos de crecimiento y decrecimiento. c) Representa gráficamente la función f (). d) Obtén la epresión de la recta tangente a dicha función en = 3. a) El dominio de la función es: Dom f () = {2}, pues para = 2 se anula el denominador. En ese punto hay una asíntota vertical, pues ecuación = 2. Lim 2 2 =. La asíntota vertical es pues la recta de Dpto. Matemáticas 3 / 9 IES Ramón Olleros

4 La curva también tiene una asíntota horizontal, pues Lim = 1. Dicha asíntota horizontal tiene por ± 2 ecuación y = 1. b) Para estudiar los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función, calculemos la derivada primera: 1 ( 2) 1 2 f () = = 2 2 ( 2) ( 2) Se observa claramente que la derivada toma valores negativos para todo valor de 2, pues el numerador es negativo y el denominador es siempre positivo (por ser un cuadrado). Así pues la función es decreciente en todo su dominio. c) De lo anterior se deduce que la función tampoco tiene ni máimos ni mínimos. Para representar la función nos puede ayudar por ejemplo, el calcular los puntos de corte con los ejes: Eje OX (y = 0) 0 = = 0 Punto (0, 0) 2 0 Eje OY ( = 0) y = = 0 Punto (0, 0) 0 2 Con los datos que tenemos, se obtiene la gráfica siguiente: d) La ecuación de la recta tangente a f () en el punto (a, f (a)) es: y f (a) = f (a) ( a) En este caso, como f (3) = = 3 y f (3) = 2 2 (3 2) = 2, la ecuación de la recta tangente es: y 3 = 2 ( 3) y = Dpto. Matemáticas 4 / 9 IES Ramón Olleros

5 3.- Las ausencias en días de un empleado de una empresa para un determinado año se aproima por una distribución normal de media µ días y desviación típica σ = 2 días. Se pretende estimar µ usando la media X de las ausencias en ese año de n trabajadores seleccionados de forma aleatoria en la empresa. a) Si suponemos µ = 6,3 y que n = 25, Cuál es la probabilidad de que la media muestral X esté comprendida entre 6,1 y 6,5 días? b) Qué tamaño n debería tener la muestra aleatoria para poder estimar µ usando la media muestral X con un error máimo (diferencia entre µ y X ) de ± 0,2 días con una confianza del 95%? a) La media de las muestras de tamaño n obtenidas en una población de media µ y desviación típica σ, σ N (µ, σ), se distribuye según una normal N, µ n En nuestro caso: N (6,3; 2) (si n = 25) N 6,3; 2 25 N (6,3;0,4) Esta distribución se tipifica haciendo el cambio Z = X µ σ = X 6,3. Con esto: 2 6,1 6,3 6,5 6,3 P (6,1 < X < 6,5) = P < Z < = P ( 0,5 < Z < 0,5) = 2 2 = P (Z < 0,5) P (Z < 0,5) = 2 0, = 0,383 σ b) El error admitido, E, viene dado por E = Z α/2, siendo σ la desviación típica poblacional, n el n tamaño muestral y Z α/2 el valor correspondiente en la tabla normal para una confianza 1 α. En nuestro caso, para una confianza del 95 %, Z α/2 = 1,96. Como además tenemos que σ = 2 y el error E ha de ser menor que 0,2, se tendrá: 1,96 2 n < 0,2 n > 19,6 n > 384,16 Por tanto, el tamaño muestral debe ser n 385 días. 4.- Sabiendo que P ( A B ) = 0,55, P (A) = 0,4 y P (B) = 0,35, son independientes A y B? Los sucesos A y B son independientes si se cumple que P (A B) = P (A) P (B) Sabemos también que: P ( A B ) = 1 P (A B) y P (A B) = P (A) + P (B) P (A B) Dpto. Matemáticas 5 / 9 IES Ramón Olleros

6 Con esto: Luego: Como: 0,55 = 1 P (A B) P (A B) = 0,45 0,45 = 0,4 + 0,35 P (A B) P (A B) = 0,30 P (A) P (B) = 0,4 0,35 = 0,14 P (A B) = 0,30 los sucesos A y B no son independientes. Bloque B 1.- Una fábrica produce mermelada de naranja y de ciruela. El doble de la producción de mermelada de ciruela es menor o igual que la producción de mermelada de naranja más 800 cajas. También, se sabe que el triple de la producción de mermelada de naranja más el doble de la producción de mermelada de ciruela es menor o igual que 2400 cajas. Cada caja de mermelada de naranja produce un beneficio de 40 euros y cada caja de mermelada de ciruela 50 euros. Utilizando técnicas de programación lineal, cuántas cajas de cada tipo de mermelada se han de producir para obtener un beneficio máimo? Calcula el beneficio máimo. Sean e y el número de cajas de mermelada de naranja y ciruela respectivamente. A partir del enunciado del problema podemos establecer las siguientes condiciones: La función a maimizar es: F (, y) = y Dibujemos la región factible: 2y y y 0 Dpto. Matemáticas 6 / 9 IES Ramón Olleros

7 Los vértices de esta región son los puntos: A = ( 0, 0) B = (0, 400) C = (400, 600) D = (800, 0) El máimo de la función objetivo se presentará en uno de estos puntos. Veamos en cual: F (0, 0) = = 0 F (0, 400) = = F (400, 600) = = F (800, 0) = = Por tanto el beneficio máimo es de euros y se consigue elaborando 400 cajas de mermelada de naranja y 600 cajas de mermelada de ciruela. 2.- Se sabe que la derivada de la función f () viene dada por f () = a) Determina los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función original f (). Dónde alcanza la función f () sus máimos y mínimos locales? b) Obtén la recta tangente a f () en el punto = 2 sabiendo que f (2) = 5. c) Cuál sería la función original f () si f (2) = 5? a) Calculemos los puntos singulares de la función: f () = = 0 = 1 y = 3 Estudiemos el signo de f () en cada uno de los intervalos en los que ha quedado dividida la recta real por los puntos singulares: Por tanto, a partir de la figura anterior, se deduce que la función original f (): Crece en (, 1) (3, + ) Decrece en (1, 3) De igual modo se deduce que la función f () presenta un máimo en el punto = 1 pues en él pasa de crecer a decrecer y en el punto = 3 presenta un mínimo pues en él pasa de decrecer a crecer. b) La recta tangente a f () en el punto = 2 viene dada por la ecuación: y f (2) = f (2) ( 2) Como f () = f (2) = = 3. Dpto. Matemáticas 7 / 9 IES Ramón Olleros

8 Así pues: y 5 = 3 ( 2) y = c) La función original f () vendrá dada por la integral de f (): f () = 2 ( ) d= C Imponiendo además la condición f (2) = 5 calculamos la constante de integración C: f (2) = C = C = 5 C = 3 Así pues la función original es: f () = En un determinado país el 30 % de los coches en circulación tiene motor diesel y el 70 % motor de gasolina. Entre los de tipo diesel, el 25 % tiene una antigüedad superior a 10 años, mientras que sólo el 10 % de los que tienen motor gasolina supera dicha antigüedad. a) Determinar el porcentaje de coches con una antigüedad superior a 10 años. b) Entre los coches con más de 10 años de antigüedad, qué porcentaje son diesel? a) Consideremos los sucesos: D : coche con motor diesel G : coche con motor de gasolina >10 : coche con más de diez años <10 : coche con menos de diez años Para resolver el problema, hagamos el siguiente diagrama de árbol: 0,30 0,70 D G 0,25 0,75 0,10 0,90 >10 <10 >10 <10 La probabilidad de que un coche tenga una antigüedad superior a 10 años viene dada por: P (> 10) = P (D) P (>10 / D) + P (G) P (>10 / G) = 0,30 0,25 + 0,70 0,10 = 0,145 Por tanto, el 14,5 % de los coches tienen más de 10 años. b) Ahora debemos calcular P (D / >10) P( D > 10) 0,30 0, 25 P (D / >10) = = = 0,5172 P ( > 10) 0,145 Por tanto, aproimadamente el 52 % de los coches con más de 10 años de antigüedad son diesel. Dpto. Matemáticas 8 / 9 IES Ramón Olleros

9 4.- Sean A y B dos sucesos tales que P (A) = 0,4, P (B) = 0,3 y P (A B) = 0,2. Cuánto debe valer P (A / B ) (con B denotando el complementario del suceso B)? Se tiene que: Por otro lado: Así: P( A B) P (A / B ) = P( B) P (A B ) = P (A) P (A B) P (A / B ) = P( A B) P( B) = P( A) P( A B) P( B) = 0, 4 0, 2 0,7 = 0,2857 Nota: P (B) = 0,3 P ( B ) = 1 P (B) = 1 0,3 = 0,7 Dpto. Matemáticas 9 / 9 IES Ramón Olleros

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